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6.1.1 向量的概念
人教B版（2019）必修第一冊
第六章 平面向量初步
學習目標
了解向量的概念及實際背景
01
了解零向量、單位向量、向量的模等概念
02
理解相等向量
03
理解共線向量(平行向量)、位置向量
04
情境與問題
我們在物理學中已經學過位移的有關知識，知道位移是表示物體位置變化的物理量. 如圖所示，當物體從 A 運動到 B 時，不管沿著什么軌跡，它的位移都是一樣的，即 “向北 300 m”.
探索新知
100 m
A
B
C
D
北
(1) 圖中，從 B 到 A 的位移是“__________________”，
它與從 A 到 B 的位移有什么關系？
(2) 怎樣直觀地表示位移？用你的方法表示出圖中從 A 到 B，從 A 到 C，從 A 到 D 的位移，說出這三個位移之間的關系.
向南 300 m
二者方向相反
AB，與 AC、AD 的位移方向不同，AC 的位移與 AD 的位移方向相同
探索新知
位移與向量
向量：既有　　　　又有　　　　的量稱為向量 (也稱為矢量).
位移被“方向”和“距離”唯一確定，其中“距離”也稱為位移的大小.
向量與標量的區別
向量有方向，而標量沒有方向；標量與標量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小.
大小
方向
模：向量的大小也稱為向量的模 (或長度)；只有大小的量稱為標量，長度、面積等都是標量.
探索新知
位移與向量
向量的表示：用　　　　　　　來直觀地表示向量.
通常將有向線段不帶箭頭的端點稱為向量的始點 (或起點)，帶箭頭的端點稱為向量的　　　. 有向線段始點和終點的相對位置確定向量的大小與方向. 始點為 A 終點為 B 的有向線段表示的向量，可以用符號簡記為　　　，此時向量的大小用　　　　表示.
我們知道，位移可以用帶箭頭的線段 (即有向線段) 來直觀地表示.
有向線段
向量的大小：有向線段的　　　　表示向量的大小.
長度
向量的方向：有向線段箭頭所指的方向表示向量的方向.
終點
　　 .
探索新知
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
d
如圖中，向量 與 的方向相同，
但是 與它們的方向相反；
假設每一小格的邊長為 1，則
，
除了用始點和終點的兩個大寫字母來表示向量外，還可用一個小寫字母來表示向量：
印刷體：如 a ( 加粗的斜體小寫字母 )
手寫體：如 ( 小寫字母 ( 帶箭頭 ))
此時，向量 a 的模也用 或 來表示.
探索新知
零向量與單位向量
零向量：　　　　和　　　　相同的向量稱為零向量.
單位向量：　　　　　　　的向量稱為單位向量，即.
始點
終點
零向量本質上是一個點，因此可以認為零向量的方向是不確定的. .
模等于 1
特殊向量 的表示 名稱 印書體 手寫體 特征
零向量 0 模為零
單位向量 e 模為單位1
e 是單位向量的充要條件是 .
探索新知
零向量與單位向量
對0、單位向量的理解：
(1) 若用有向線段表示零向量，則其終點與始點重合，其本質是一個點. 零向量的方向不確定，不能說零向量沒有方向.
(2) 要注意 0 與 0 的區別與聯系：0 是一個實數，0 是一個向量，且有 |0|=0；書寫時表示零向量，一定不能漏掉 0 上的箭頭.
(3)單位向量有無數個，它們大小相等，但方向不一定相同.
典型例題
例 1 指出下圖中，哪些是單位向量.
解：不難看出 ，2.
且其余向量的模均為 1，因此單位向量有 ，a，b， .
a
b
c
A
B
C
D
E
F
情境與問題
上體育課時，當某一排同學整理好隊形，并執行完老師的口令 “向前三步走，向右看齊” 之后，同學們位移的方向是否相同？位移的大小是否相等？能否認為同學們的位移是相同的？
探索新知
可以認為，情境中同學們位移的方向和大小都相等，即位移相同.
相等向量：　　　　 　　　的向量稱為相等的向量.
大小相等、方向相同
向量 a 和 b 相等，記作：a＝b .
探索新知
嘗試與發現
下圖中，相等的向量有
a＝，　　　　 　　　.
a
b
B
A
D
C
d
c
F
E
典型例題
例 2 如圖，已知四邊形 ABCD，則“”
是“四邊形 ABCD 為平行四邊形”的什么條件？
解：如果 ，那就表示這兩個向量的方向相同且大小相等；
由圖可知 ABDC 且 AB∥DC，因此四邊形 ABCD 為平行四邊形.
反之，如果四邊形 ABCD 為平行四邊形，
則 ABDC 且 AB∥DC，則 .
綜上，“”是“四邊形 ABCD 為平行四邊形”的充要條件．
典型例題
例 3 如圖所示，O 是正六邊形 ABCDEF 的中心，以圖中字母為始點或終點，分別寫出與向量 ，， 相等的向量.
解：因為兩個向量相等，只要方向相同大小相等即可，因此
A
B
C
D
E
F
O
探索新知
共線向量
向量的平行：如果兩個非零向量的方向　　　　　　　，則稱這兩個向量平行，兩個向量平行也稱兩個向量共線 .
對向量平行的理解
(1) 向量平行 (共線) 時，表示向量的有向線段所在的直線平行或重合.
(2) 向量共線中的“共線”的含義不是平面幾何中的“共線”的含義.共線向量有四種情況：方向相同模相等；方向相同模不等；方向相反模相等；方向相反模不等.
(3) 任一向量 a 都與它本身平行.
相同或者相反
平行
規定：零向量與任意向量　　　 .
記作：a ∥b .
典型例題
例 4 如圖所示，找出其中共線的向量，并寫出共線向量模之間的關系
解：不難看出
a
b
d
e
f
c
a∥c 且
b∥d 且
e∥f 且
當堂檢測
當堂檢測
B
當堂檢測
D
當堂檢測
BD
當堂檢測
D
當堂檢測
D
當堂檢測
B
當堂檢測
當堂檢測
A
當堂檢測
D
本節課學習了哪些知識點呢？
1. 向量的定義：方向、大小；
2. 向量的表示；
3. 特殊向量：單位向量、零向量；
4. 特殊關系：相等向量、共線向量.
感謝觀看
祝同學新學期新氣象

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