資源簡介

(共63張PPT)
4.1　指數
4.1.1　n次方根與分數指數冪
第四章　指數函數與對數函數
學習單元6　指數　指數函數
[學習目標]　1.理解n次方根、根式的概念.　2.能正確運用根式的運算性質化簡、求值.　3.會對分式和分數指數冪進行轉化.　4.掌握并運用有理數指數冪的運算性質化簡、求值.
知識點1　n次方根
內容索引
知識點2　根式
課時作業 鞏固提升
知識點3　根式與分數指數冪的互化
課堂達標·素養提升
知識點4　分數指數冪的運算
知識點1　n次方根
1.a的n次方根的定義
一般地,如果 ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
xn=a
2.a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符號 a的取值范圍
n為奇數 R
n為偶數 _________ [0,+∞)
±
(多選)有下列四個命題,其中正確的是(　　)
A.正數的偶次方根是一個正數
B.正數的奇次方根是一個正數
C.負數的偶次方根是一個負數
D.負數的奇次方根是一個負數
[分析]　n次方根的定義判斷.
AC錯,BD正確.
例1
BD
正數的偶次方根有兩個,負數的偶次方根不存在;正數的奇次方根是一個正數,負數的奇次方根是一個負數.
思維提升
1.已知m10=2,則m等于(　　)
A.　　　　　　　　 B.-
C. D.±
由m10=2,所以m=±.
跟蹤訓練
D
知識點2　根式
注意:(1)=0.
(2)負數沒有偶次方根.
求下列各式的值:
(1)()2;
[分析]　本題考查的是對()n與的理解,求解的關鍵是注意a的正、負與n的奇、偶.
[解]　(1)()2=7.
例2
(2);
[分析]　本題考查的是對()n與的理解,求解的關鍵是注意a的正、負與n的奇、偶.
[解]　(2) =-3.
(3) ;
[分析]　本題考查的是對()n與的理解,求解的關鍵是注意a的正、負與n的奇、偶.
[解]　(3) =
(4) + .
[分析]　本題考查的是對()n與的理解,求解的關鍵是注意a的正、負與n的奇、偶.
[解]　(4)原式= +
= + =+1+-1=2.
根式化簡或求值的思路及注意點
1.思路:解決根式的化簡問題,首先要分清根式是奇次根式還是偶次根式,然后運用根式的性質進行化簡.
2.注意正確區分與()n
()n=a(n∈N*,且n>1);
=
思維提升
2.求下列各式的值:(1);
解:(1)=-2.
(2)+;
解: (2)+=|π-4|+π-4=4-π+π-4=0.
跟蹤訓練
(3)(a≤1);
解: (3)∵a≤1,
∴=|3a-3|=3|a-1|=3-3a.
(4)-+.
解: (4)原式= - +
=+-(2-)+2-=2.
知識點3　根式與分數指數冪的互化
分數指數冪的意義
分數指數冪 正分數指數冪
負分數指數冪
0的分數指數冪 0的正分數指數冪等于 ,0的負分數指數冪
___________
沒有意義
0
(1)的值為　　　　.
[分析]　(1)把被開方數寫成指數冪的形式;
(1)==-.
例3
-
(2)下列關系式中,根式與分數指數冪的互化正確的有　　　　(填序號).
①-=(-x(x>0);
②=(y<0);
③=(x>0).
[分析]　(2)根式與分數指數冪的互化時觀察根指數與被開方數的關系.
③
(2)對于①,-=-,故①錯誤;對于②,當y<0時,>0,<0,故②錯誤;對于③,==(x>0),故③正確.
根式與分數指數冪互化的規律
1.根指數 分數指數的分母,被開方數(式)的指數 分數指數的分子.
2.分數指數不能隨意約分,如(-3約分后為(-3=,而在實數范圍內是無意義的.
思維提升
3.根式a化成分數指數冪是　　　　.
因為a有意義,所以-a≥0,所以a≤0,所以a=-=-=-(-a.
跟蹤訓練
-(-a
知識點4　分數指數冪的運算
規定了分數指數冪的意義以后,冪ax中指數x的取值范圍就從整數拓展到有理數.
整數指數冪的運算性質對于有理數指數冪也同樣適用,即對于任意有理數r,s,均有下面的運算性質.
(1)aras= (a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s= (a>0,r,s∈Q);
(3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).
ar+s
ars
arbr
化簡下列各式:
(1)(×(×;
[分析]　分數指數冪運算關鍵是將根式化成分數指數冪的形式,分數指數冪化簡的關鍵是同底數冪的運算.
[解]　(1)(×(×=(×(×=2-1×50=.
例4
(2)(a>0,b>0);
[分析]　分數指數冪運算關鍵是將根式化成分數指數冪的形式,分數指數冪化簡的關鍵是同底數冪的運算.
[解]　(2)
=
=
=ab-1=.
(3)(×)6-4-×80.25-(-2.015)0.
[分析]　分數指數冪運算關鍵是將根式化成分數指數冪的形式,分數指數冪化簡的關鍵是同底數冪的運算.
[解]　(3)原式=-4-×(23-1=22×33-4×
-(2×23-1=4×27-4×--1=108-7-2-1=98.
1.利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質進行根式運算時,其順序是先把根式化為分數指數冪,再由冪的運算性質來運算.但結果不能既有分數指數又有根式,也不能既有分母又有負指數.
2.當根式為多重根式時,要清楚哪個是被開方數,一般由里向外用分數指數冪依次寫出.
思維提升
4.計算下列各式(式中字母都是正數):
(1)(-)÷;
解:(1)原式=(2-12)÷2=(-)÷=-=-5=-5.
跟蹤訓練
(2);
解: (2)原式====.
(3)0.06-+[(-2)3+16-0.75+|-0.01.
解: (3)原式=(0.43-1+(-2)-4+(24)-0.75+(0.12=0.4-1-1+++0.1=.
〈課堂達標·素養提升〉
1.已知x5=6,則x等于(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C.- D.±
6的5次方根為.
B
2.若a>0,則將表示成分數指數冪,其結果是(　　)
A. B.
C. D.
C
===.
3.的值是　　　　.
==-2.
-2
4.+的值是　 　　　.
當a>b時,原式=a-b+a-b=2a-2b;
當a≤b時,原式=b-a+a-b=0.
0或2a-2b
課時作業 鞏固提升
[A組　必備知識練]
1.()4運算的結果是(　　)
A.2　　　　　　　　 B.-2
C.±2 D.不確定
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A
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2.下列各式中一定成立的個數為(　　)
①=a;
②若a∈R,則(a2-a+1)0=1;
③=+y;
④=.
A.0 B.1
C.2 D.3
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B
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①中,當n為偶數時,=|a|,故①不一定成立;②中,a2-a+1=+≠0,故②一定成立;③中, =(x4+y3,故③不成立;④中,≠,故④不成立.
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3.(多選)要使有意義,則a可以取的值為(　　)
A.-2b B.-
C. D.2
因為=成立的條件為a>0,所以選C,D.
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CD
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4.(多選)下列根式與分數指數冪的互化中,正確的是(　　)
A.-=-(x>0)
B.=-(x>0)
C.=(xy>0)
D.=
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AC
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-=-,故A正確;
=,故B錯誤;
=(xy>0),故C正確;
=|y,故D錯誤.
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5.計算:0.25×-4÷20-=　　　　.
原式=×16-4÷1-
=4-4-4=-4.
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-4
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6.設α,β為方程2x2+3x+1=0的兩個根,則=　　　　.
由根與系數的關系得α+β=-,
所以==(2-2=23=8.
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7.計算(化簡)下列各式:
(1)+(0.002-10(-2)-1+(-)0;
解:(1)原式=+-+1=+50-10(+2)+1=+10-10-20+1=-.
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(2)(a-2)×(-4a-1b)÷(12a-4b-2c);
解: (2)原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)=-×a-3-(-4)×b-2-(-2)c-1=-ac-1=-.
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(3)(2a-3)×(-3a-1b)÷(4a-4).
解: (3)(2a-3)×(-3a-1b)÷(4a-4)
=(2a-3)×(-3a-1b)×
=-a-3-1+4=-b2.
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8.設a=2×1 00+6+.
(1)化簡上式,求a的值;
解:(1)原式=2×1 00+6+2=2×100+16+2=218.
(2)設集合A={x|x>a},全集為R,B= RA∩N,求集合B中的元素個數.
解: (2)A={x|x>218}, RA={x|x≤218},B={x|0≤x≤218,x∈N},
所以B中元素個數為219.
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[B組　關鍵能力練]
9.已知x∈[1,2],化簡()4+的結果是(　　)
A.2x-3 B.1
C.-1 D.3-2x
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B
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因為x∈[1,2],所以x-1≥0,x-2≤0,
所以()4+=x-1+|x-2|=x-1-(x-2)=1.
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10.,,這三個數的大小關系為(　　)
A.<< B.<<
C.<< D.<<
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B
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===,===,=.因為<<,所以<<.
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11.已知m=2,n=3,則的值是　　　　.
m=2,n=3,則原式===mn-3=
2×3-3=.
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12.已知3a+2b+1=0,則=　　　　.
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===,
因為3a+2b+1=0,
所以+b-1=--1=-,
所以===.
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13.(1)求值:16-0.75-+0.06++|-0.01;
解:(1)原式=-1+0.++0.=-1+0.4++0.1=-.
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(2)已知x=,y=,求3x2-2xy+3y2的值.
解: (2)因為x=,y=,
所以x+y=+
=5-2+5+2=10,xy=1.
故3x2-2xy+3y2=3(x+y)2-8xy=3×102-8=292.
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