資源簡介

(共54張PPT)
4.1　指數
4.1.2　無理數指數冪及其運算性質
第四章　指數函數與對數函數
學習單元6　指數　指數函數
[學習目標]　1.了解無理數指數冪的概念.　2.掌握無理數指數冪可以用有理數指數冪來逼近的思想方法.　3.掌握實數指數冪的運算性質.
知識點1　實數指數冪的運算
內容索引
知識點2　實際問題中的指數運算
課時作業 鞏固提升
知識點3　實數指數冪的條件求值
課堂達標·素養提升
知識點4　實數指數冪等式的證明
知識點1　實數指數冪的運算
1.實數指數冪是一個 實數.
2.運算性質:對于任意實數r,s.
(1)aras= (a>0,r,s∈R);
(2)(ar)s= (a>0,r,s∈R);
(3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈R).
確定的
ar+s
ars
arbr
計算下列各式:
(1)×;
[分析]　應用實數指數冪的運算性質求解.
[解]　(1)×=(22×
=×=
=25=32.
例1
(2)(+×.
[分析]　應用實數指數冪的運算性質求解.
[解]　(2)(+×=52+21
=25+2=27.
關于無理數指數冪的運算
1.無理數指數冪的運算性質與有理數指數冪的運算性質相同.
2.若式子中含有根式,一般把底數中的根式化為指數式,指數中的根式可以保留直接運算.
思維提升
1.計算××的值.
解:原式=(22××(23=××2-2=
=23=8.
跟蹤訓練
知識點2　實際問題中的指數運算
從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升,然后加滿水,再倒出1升混合溶液后又用水填滿,以此繼續下去,則至少應倒　　　　次后才能使純酒精體積與總溶液的體積之比低于10%.
由題意,得第n次操作后溶液的濃度為,令<,驗證可得n≥4.
所以至少應倒4次后才能使酒精的濃度低于10%.
例2
4
指數運算在實際問題中的應用
在解決成倍數遞增(遞減)、固定增長率等問題時,常常用到指數運算,用來計算增減的次數、增減前后的數量等.
思維提升
2.如果在某種細菌培養過程中,細菌每10分鐘分裂一次(1個分裂成2個),那么經過1小時,一個這種細菌可以分裂成(　　)
A.16個　　　　　　　 B.32個
C.64個 D.128個
經過1小時可分裂6次,可分裂成26=64(個).
跟蹤訓練
C
知識點3　實數指數冪的條件求值
解決指數冪的條件求值問題,關鍵是建立已知代數式和所求代數式之間的關系,進而運用實數指數冪的運算性質進行求解.
已知+=3,求下列各式的值:
(1)a+a-1;
[分析]　觀察已知代數式與所求代數式之間的關系,通過代數恒等變形解題.
[解]　(1)將+=3的兩邊平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7.
例3
(2).
[分析]　觀察已知代數式與所求代數式之間的關系,通過代數恒等變形解題.
[解]　(2)==a+a-1+1=8.
利用“整體代入法”求值時常用的變形公式如下:
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2;
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
思維提升
3.已知a,b是方程x2-6x+4=0的兩個根,且a>b>0,求的值.
解:由根與系數的關系,得a+b=6,ab=4,因而()2+2+()2=10,即+=.
同理()2-2+()2=2,即-=.
則=.
跟蹤訓練
知識點4　實數指數冪等式的證明
對于實數指數冪等式的證明問題常常將等式化為同底指數冪,利用冪的指數相等來證明.解決此類問題的關鍵是通過指數運算進行等價代換,以及利用參數找到已知條件與結論的關系,這樣才能使問題迅速得到解決.
已知pa3=qb3=rc3,且++=1.求證:(pa2+qb2+rc2=++.
[分析]　看見三個式子連等,立刻想到賦中間變量,通過中間變量去構建能用到題干中已知值的式子.
例4
[證明]　令pa3=qb3=rc3=k,
則pa2=,qb2=,rc2=;
p=,q=,r=,
所以所證等式左邊===,
所證等式右邊=++
==.
所以(pa2+qb2+rc2=++.
1.對于“連等式”,常用換元法處理.如本例,我們可令它等于一個常數k,然后以k為媒介化簡,這樣使問題容易解決.
2.換元過程中尤其要注意所代換的新變元的范圍一定與被替換對象一致,關鍵時候還要檢驗.
思維提升
4.設a,b,c都是正數,且3a=4b=6c,求證:=+.
證明:令3a=4b=6c=t,則3=,2=,6=.因為3×2=6,所以=,即+=,所以=+.
跟蹤訓練
〈課堂達標·素養提升〉
1.計算(的結果是(　　)
A.π　　　　　　　　 B.
C.-π D.
D
2.將化為分數指數冪為(　　)
A. B.
C. D.
D
3.已知3a=2,3b=5,則32a-b=　　　　.
32a-b==.
4.化簡=　　　　.
==.
課時作業 鞏固提升
[A組　必備知識練]
1.下列運算結果不正確的是(　　)
A.[(-2)×(-3)=(-2(-3
B.當a>0時,(ar)s=(as)r
C.是一個確定的實數
D.(=8
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A
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根據實數指數冪的運算,A不正確.
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2.下列的兩串有理數指數冪的逐漸逼近,可以得到的數為(　　)
(1)21.7,21.73,21.732,21.732 0,…
(2)21.8,21.74,21.733,21.732 1,…
A.21.7 B.21.8
C. D.4
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C
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數字串1.7,1.73,1.732,1.732 0,…與數字串1.8,1.74,1.733,1.732 1,…分別是的不足近似值與過剩近似值,因而選C.
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3.在算式2大+2國+2精+2神=29中,“大、國、精、神”分別代表四個不同的正整數,且依次從大到小,則“國”字所對應的數字為(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
由29=16+8+4+1=24+23+22+20,可得“國”字所對應的數字為3.
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B
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4.已知am=4,an=3,則的值為(　　)
A.2 B.6
C. D.
===.
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5.已知+=5(x>0),那么+=　　　　.
(+)2=++2=5+2=7.
又x>0,故+=.
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6.設α,β是方程5x2+10x+1=0的兩個實數根,則
2α×2β=　　　　,(2α)β=　　　　.
利用一元二次方程根與系數的關系,得α+β=-2,αβ=,則2α×2β=2α+β=
2-2=,
(2α)β=2αβ=.
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7.計算下列各式的值:
(1)(×;
解:(1)原式=
=(23×=23×3=24.
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(2).
解: (2)原式=====.
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8.已知+=(a>0),求下列各式的值:
(1)a2+a-2;
解:(1)將+=的兩邊平方,得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.由a+a-1=3,兩邊平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.
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(2)a2-a-2.
解: (2)設y=a2-a-2,兩邊平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.
所以y=±3,即a2-a-2=±3.
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[B組　關鍵能力練]
9.如果x=1+2b,y=1+2-b,那么用x表示y為(　　)
A.y= B.y=
C.y= D.y=
由x=1+2b,得2b=x-1,y=1+2-b=1+=1+=.
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D
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10.已知2a=5b=m,且+=2,則m等于(　　)
A. B.10
C.20 D.100
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A
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由題意得m>0,
∵2a=m,5b=m,
∴2=,5=.
∵2×5==,
∴m2=10,∴m=.
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11.如果a=3,b=384,那么a=　　　　.
因為a=3,b=384,所以a==3(12)n-3=3×2n-3.
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3×2n-3
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12.=2,9y=35-x,則等于　　　　.
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∵=2,∴=,
∴=,
即3x+4y-11=0.
∵9y=35-x,∴32y=35-x,
∴2y=5-x,
∴解得∴=.
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13.(1)若x+=4,求的值;
解:(1)∵x+=4,
∴x2+2+=16,
∴x2+=14,
∴==.
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(2)已知+=4,求的值.
解: (2)∵+=4,∴x+2+x-1=16,
∴x+x-1=14,∴x2+2+x-2=196,
∴x2+x-2=194,
∴原式==-3.
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14.對于正整數a,b,c(a≤b≤c)和非零實數x,y,z,w,若ax=by=cz=70w≠1,=++,求a,b,c的值.
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解:∵ax=70w,∴=7≠1.
同理=7,=7.
∴=7×7×7,
即(abc=7.
又=++,
∴abc=70.
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∵a,b,c為正整數,且ax=by=cz≠1,
∴a,b,c均不為1,
∴1又70=2×5×7,∴a=2,b=5,c=7.
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