資源簡介

(共59張PPT)
4.2　指數函數
4.2.1　指數函數的概念
第四章　指數函數與對數函數
學習單元6　指數　指數函數
[學習目標]　1.了解指數函數的實際背景,理解指數函數的概念.　
2.了解指數增長型和指數衰減型在實際問題中的應用.
知識點1　指數函數的概念
內容索引
知識點2　求指數函數的解析式
課時作業 鞏固提升
知識點3　指數函數在實際生活中的應用
課堂達標·素養提升
知識點1　指數函數的概念
一般地,函數 (a>0,且a≠1)叫做指數函數,其中指數 是自變量,定義域是R.
y=ax
x
(1)下列函數:
①y=2×3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=(-2)x.
其中,指數函數的個數是(　　)
A.0　　　　　　　　 B.1
C.2 D.3
(1)3x的系數是2,故①不是指數函數;y=3x+1的指數是x+1,不是自變量x,故②不是指數函數;3x的系數是1,冪的指數是自變量x,且只有3x一項,故③是指數函數;底數-2<0,故④不是指數函數.
例1
B
(2)函數y=(a2-3a+3)ax是指數函數,則a的值為　　　　.
(2)由指數函數的概念知,
解得a=2.
2
判斷一個函數是指數函數的方法
1.看形式:判斷其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)這一結構特征.
2.明特征:看是否具備指數函數解析式具有的三個特征.只要有一個特征不具備,該函數就不是指數函數
思維提升
1.(1)(多選)下列函數是指數函數的是(　　)
A.y=-4x B.y=πx
C.y= D.y=ax+1(a>0,a≠1)
(1)根據指數函數定義,B項是指數函數,A,D項均不是指數函數,
又y==是指數函數,故C項是指數函數.
跟蹤訓練
BC
(2)函數f(x)=(m2-m-1)ax(a>0,且a≠1)是指數函數,則實數m為(　　)
A.2 B.1
C.3 D.2或-1
(2)由指數函數的定義得m2-m-1=1,得m=2或m=-1.
D
知識點2　求指數函數的解析式
1.指數函數的結構特征
(1)指數函數解析式中ax的系數為 ;(2)底數a是常數,滿足a>0,且a≠1;(3)自變量x是指數,且x∈R.其中函數y=kax(k≠0,a>0,且a≠1)稱為指數型函數,y=ax(x∈N*)稱為正整數指數函數.
2.指數函數和冪函數的區別
兩者雖然都是冪的形式,但不同之處在于指數函數的自變量在 上,而冪函數的自變量在 上.
1
指數
底數
指數函數y=f(x)的圖象經過點,求f(4)·f(2)的值.
[分析]　利用指數函數的解析式和已知點,確定指數函數,再求值.
[解]　設指數函數y=f(x)=ax(a>0,且a≠1),由函數圖象經過點,可得a-2=,解得a=2,所以函數的解析式為f(x)=2x.所以f(4)·f(2)=24×22=64.
例2
1.求指數函數的解析式時,一般采用待定系數法,即先設出函數的解析式,然后利用已知條件,求出解析式中的參數,從而得到函數的解析式.
2.求指數函數的函數值的關鍵是求出指數函數的解析式.
思維提升
2.若指數函數f(x)的圖象過點(3,8),則f(x)的解析式為(　　)
A.f(x)=x3　　　　 B.f(x)=2x
C.f(x)= D.f(x)=
設f(x)=ax(a>0,且a≠1),則由f(3)=8,得a3=8,所以a=2,即f(x)=2x.
跟蹤訓練
B
3.已知函數f(x)=2x+2ax+b,f(1)=,f(2)=,求函數f(x)的解析式.
解:依題意,得
即
所以解得
所以函數f(x)的解析式為f(x)=2x+2-x.
知識點3　指數函數在實際生活中的應用
增長率為 的變化方式,我們稱為指數增長.
衰減率為 的變化方式,我們稱為指數衰減.
常數
常數
光線通過一塊玻璃,強度要損失10%,設光線原來的強度為k,通過x塊這樣的玻璃以后強度為y.
(1)寫出y關于x的函數解析式;
[分析]　從特殊到一般推出函數的解析式,再把x代入函數式求值.
例3
[解]　(1)光線通過1塊玻璃后強度變為(1-10%)k=0.9k;
光線通過2塊玻璃后強度變為(1-10%)×0.9k=0.92k;
光線通過3塊玻璃后強度變為(1-10%)×0.92k=0.93k;
……
光線通過x塊玻璃后強度變為0.9xk,
因此y=0.9xk(x∈N*).
(2)通過20塊這樣的玻璃后,光線強度約為多少 (參考數據:0.919≈0.14,0.920≈0.12)
[分析]　從特殊到一般推出函數的解析式,再把x代入函數式求值.
[解]　(2)將x=20代入函數解析式,
因為0.920≈0.12,所以y=0.920k≈0.12k,
即光線強度約為0.12k.
1.設原有量為N,每次的增長率為p,經過x次增長,設現有量增長到y,則y=N(1+p)x(x∈N*).
2.y=kax(k>0,a>0且a≠1),當a>1時為指數增長型函數模型.
y=kax(k>0,a>0且a≠1),當0思維提升
4.隨著我國經濟的不斷發展,2023年年底某地區農民人均年收入為7 000元,預計該地區今后農民的人均年收入將以每年6%的年平均增長率增長,那么2031年年底該地區的農民人均年收入為(　　)
A.7 000×1.06×7元　 B.7 000×1.067元
C.7 000×1.06×8元 D.7 000×1.068元
跟蹤訓練
D
設經過x年,該地區的農民人均年收入為y元,
根據題意可得y=7 000×1.06x,從2023年到2031年共經過了8年,
所以2031年年底該地區的農民人均年收入為7 000×1.068元.
5.某車間產生的廢氣經過過濾后排放,過濾過程中廢氣的污染物數量P(mg/L)與時間t(h)之間的關系為P=P02-kt(其中P0表示初始廢氣中的污染物數量).經過5 h后,經測試,消除了20%的污染物.問:
(1)15 h后還剩百分之幾的污染物
解:(1)由題意得,P=P02-5k=(1-20%)P0,則2-5k=0.8,
故當t=15時,P=P02-15k=P0(2-5k)3=(80%)3P0=51.2%P0.
故15個小時后還剩51.2%的污染物.
(2)污染物減少36%需要花多長時間
解: (2)由題意,P02-kt=(1-36%)P0,
即(2-5k=0.64,所以0.=0.64,所以=2,即t=10,故污染物減少36%需要花10 h.
〈課堂達標·素養提升〉
1.下列函數是指數函數的是(　　)
A.y=2x+1　　　　　　 B.y=4x-1
C.y= D.y=3×
C
2.若函數y=(a-1)x(x是自變量)是指數函數,則a的取值范圍是(　　)
A.a>0且a≠1 B.a≥0且a≠1
C.a>1且a≠2 D.a≥1
由題意得解得a>1且a≠2.
C
3.若函數f(x)是指數函數,且f(2)=2,則f(x)=　　　　.
由題意,設f(x)=ax(a>0,且a≠1),
則由f(2)=a2=2,得a=,
所以f(x)=()x.
()x
4.某企業為了調動員工的勞動積極性,決定基礎工資部分每年按6%的速度增加.設第一年的基礎工資為a,則第n年的基礎工資y與n的關系式為　 　　　.
y=a(1+6%)n-1,n∈N*
課時作業 鞏固提升
[A組　必備知識練]
1.在①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=(2a-1)x中,y是關于x的指數函數的個數是(　　)
A.1　　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
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B
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根據指數函數的定義,知①⑤中的函數是指數函數,②中底數不是常數,指數不是自變量,所以不是指數函數;③中4x的系數是-1,所以不是指數函數;④中底數-4<0,所以不是指數函數.
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2.已知函數f(x)=ax(a>0,且a≠1),f(2)=4,則函數f(x)的解析式是(　　)
A.f(x)=2x
B.f(x)=
C.f(x)=4x
D.f(x)=
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A
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由f(2)=4,得a2=4.又a>0,且a≠1,所以a=2,即f(x)=2x.
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3.(多選)若函數f(x)=ax(a>0,且a≠1)是指數函數,則下列說法正確的是(　　)
A.a=8 B.f(0)=-3
C.f=2 D.a=4
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AC
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因為函數f(x)是指數函數,所以a-3=1,所以a=8,
所以f(x)=8x,所以f(0)=1,f==2,故A,C正確.
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4.(多選)函數f(x)=ax(a>0,且a≠1)對于任意實數x,y都有(　　)
A.f=f(x)-f(y)
B.f(nx)=[f(x)]n(n∈Q)
C.f(x+y)=f(x)f(y)
D.f(x+y)=f(x)+f(y)
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BC
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f==(ax,
且f(x)-f(y)=ax-ay≠(ax,故選項A錯誤;
f(nx)=anx=(ax)n=[f(x)]n,故選項B正確;
f(x+y)=ax+y=axay=f(x)f(y),故選項C正確,選項D錯誤.
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5.已知函數f(x)=若f(1)=,則f(3)=　　　　.
由f(1)=,可得a=,所以f(3)==.
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6.某商品價格y(單位:元)因上架時間x(單位:天)的不同而不同,假定商品的價格與上架時間的函數關系是一種指數型函數,即y=kax(a>0,且a≠1,x∈N*).當商品上架第1天的價格為96元,而上架第3天的價格為54元時,求該商品上架第4天的價格.
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解:由題意得
∴
∴y=128×,
∴當x=4時,y=128×=,
∴該商品上架第4天的價格為 元.
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7.某鄉鎮現在人均一年占有糧食360千克,如果該鄉鎮人口平均每年增長1.2%,糧食總產量平均每年增長4%,那么x年后,若人均一年占有y千克糧食,求y關于x的解析式.
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解:設該鄉鎮現在人口數為M,則該鄉鎮現在一年的糧食總產量為360M千克,
1年后,該鄉鎮糧食總產量為360M(1+4%)千克,人口數為M(1+1.2%),則人均占有糧食產量為千克,2年后,人均占有糧食產量為千克,
……
x年后,人均占有糧食產量為千克,
則所求解析式為y=360.
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[B組　關鍵能力練]
8.一種產品的成本是a元,今后m年內,計劃使成本平均每年比上一年降低p%,成本y是經過年數x(0A.y=a(1+p%)x(0B.y=a(1-p%)x(0C.y=a(p%)x(0D.y=a-(p%)x(01
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B
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∵產品的成本是a元,1年后,成本為a-p%a=a(1-p%);2年后,成本為a(1-p%)-a(1-p%)p%=a(1-p%)2;…,
∴x年后,成本y=a(1-p%)x(01
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9.已知函數f(x)=則f等于(　　)
A.4 B.
C.-4 D.-
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因為f=1-=1-3=-2,
所以f=f(-2)=2-2=.
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10.已知函數f(x)=ax+b(a>0,且a≠1),其圖象經過點(-1,5),(0,4),則f(-2)的值為　　　　.
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由已知得解得
所以f(x)=+3,
所以f(-2)=+3=4+3=7.
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11.有容積相等的桶A和桶B,開始時桶A中有a升水,桶B中無水.現把桶A中的水注入桶B,t分鐘后,桶A中的水剩余y1=amt(升),其中m為正常數.假設5分鐘后,桶A和桶B中的水相等,要使桶A中的水只有升,必須再經過　　　　分鐘.
答案:15
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設桶B中水的體積為y2=a-amt,
由題意知,當t=5時,y1=y2,
所以am5=a-am5,
可得m5=.
令y1=amt=,
可得mt==(m5)4=m20,
解得t=20,20-5=15,
故必須再經過15分鐘.
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12.已知指數函數y=g(x)滿足g(3)=8,定義域為R的函數f(x)=g(x)-g(-x).
(1)求y=g(x),y=f(x)的解析式;
解:(1)根據題意,函數y=g(x)為指數函數,
設g(x)=ax(a>0,且a≠1),
若g(3)=8,則a3=8,解得a=2,
則g(x)=2x,f(x)=g(x)-g(-x)=2x-2-x.
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(2)判斷函數f(x)的奇偶性.
解: (2)由(1)的結論,f(x)=2x-2-x,定義域為R.
又f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x),
所以函數f(x)為奇函數.
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13.甲、乙兩城市的現有人口都是100萬人,甲城市人口的年自然增長率為1.2%,乙城市每年增長人口1.3萬.試解答下面的問題:
(1)分別寫出甲、乙兩城市的人口總數y(萬人)與年份x(年)的函數關系式;
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解:(1)1年后甲城市人口總數為y甲=100+100×1.2%=100×(1+1.2%);
2年后甲城市人口總數為y甲=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2;
3年后甲城市人口總數為y甲=100×(1+1.2%)3;
……
x年后甲城市人口總數為y甲=100×(1+1.2%)x(x∈N*).
x年后乙城市人口總數為y乙=100+1.3x(x∈N*).
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(2)計算10年、20年、30年后兩城市的人口總數(精確到0.1萬人);
解: (2)10年、20年、30年后,甲、乙兩城市人口總數(單位:萬人)如表:
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10年后 20年后 30年后
甲城市 112.7 126.9 143.0
乙城市 113.0 126.0 139.0
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(3)對兩城市人口增長情況作出分析.
[參考數據:(1+1.2%)10≈1.127,(1+1.2%)20≈1.269,(1+1.2%)30≈1.430]
解: (3)甲、乙兩城市人口都逐年增長,而甲城市人口后期增長的速度快些,從中可以得出,不同的函數增長模型,增長變化存在很大差異.
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