資源簡介

第1課時　兩個基本計數原理及簡單應用
1.如果某禮堂共有4個門，規定從一個門進，另一個門出，那么不同的走法共有（　　）
A.81種 B.64種
C.16種 D.12種
2.（2024·宿遷月考）如圖所示，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的線段表示它們有網線相連，連線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量.現從結點A向結點B傳遞信息，信息可以從不同的路線同時傳遞，則單位時間內傳遞的最大信息量為（　　）
A.26 B.20
C.24 D.19
3.閱讀課上，5名同學分別從3種不同的書中選擇一種進行閱讀，不同的選法種數是（　　）
A.50 B.60
C.125 D.243
4.已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，7}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、二象限內不同的點的個數是（　　）
A.18 B.17
C.16 D.10
5.（多選）下列說法正確的是（　　）
A.從3名射擊運動員、2名游泳運動員和5名跳水運動員中選1名作為運動員代表發言，有10種不同的選法
B.將3名同學分配到3個班級，每班1人，有9種不同的方案
C.將3名同學分配到3個班級，有27種不同的方案
D.某人有3個不同的電子郵箱，他要發5封電子郵件，則有35種不同的方案
6.（多選）（2024·蘇州月考）現有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫，下列說法正確的是（　　）
A.從中任選一幅畫布置房間，有14種不同的選法
B.從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有70種不同的選法
C.從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有59種不同的選法
D.要從5幅不同的國畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有9種不同的掛法
7.從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經B村去C村，不同路線的條數是　　　　.
8.古人用天干、地支來表示年、月、日、時的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成　　　　組.
9.（2024·連云港月考）已知a∈{2，4，6，8}，b∈{3，5，7，9}，則能使logab＞1的對數值有　　　　個.
10.現有3名醫生、5名護士、2名麻醉師.
（1）從中選派1名去參加外出學習，有多少種不同的選法？
（2）從這些人中選出1名醫生、1名護士和1名麻醉師組成1個醫療小組，有多少種不同的選法？
11.（2024·南通月考）滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的有序實數對（a，b）的個數為（　　）
A.14 B.13
C.12 D.10
12.（多選）設東、西、南、北四面通往山頂的路各有2，3，3，4條，只從一面上山，而從其他任意一面下山，不同的走法種數可能為（　　）
A.20 B.27
C.32 D.30
13.某人持100元人民幣到銀行兌換成10元、20元、50元的零錢，共有　　　　種不同的兌換方式.（有足夠數量的零錢，且相同面值之間沒有區別）
14.將三個分別標有A，B，C的球隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子中.
求：（1）1號盒中無球的不同放法種數；
（2）1號盒中有球的不同放法種數.
15.用1，2，3，4四個數字（可重復）排成三位數，并把這些三位數由小到大排成一個數列{an}.
（1）寫出這個數列的前11項；
（2）這個數列共有多少項？
（3）若an＝341，求n.
第1課時　兩個基本計數原理及簡單應用
1.D　分兩步：第一步，進門有4種方法；第二步，出門有3種方法.共有4×3＝12（種）不同的走法.
2.D　因為信息可以從不同的路線同時傳遞，由分類計數原理，完成從A向B傳遞有四種辦法：12→5→3；12→6→4；12→6→7；12→8→6.故單位時間內傳遞的最大信息量為3＋4＋6＋6＝19.
3.D　由題意，5名同學分別從3種不同的書中選擇一種進行閱讀，其中，每名同學都有3種不同的選法，所以不同的選法種數是35＝243.故選D.
4.B　分兩類：第1類，M中的元素作橫坐標，N中的元素作縱坐標，則有3×3＝9（個）在第一、二象限內的點；第2類，N中的元素作橫坐標，M中的元素作縱坐標，則有4×2＝8（個）在第一、二象限內的點.由分類計數原理，共有9＋8＝17（個）點在第一、二象限內.
5.ACD　從3名射擊運動員、2名游泳運動員和5名跳水運動員中選1名作為運動員代表發言，根據分類計數原理，有3＋2＋5＝10（種）選法，故選項A正確；將3名同學分配到3個班級，每班1人，有3×2×1＝6（種）不同的方案，故選項B錯誤；將3名同學分配到3個班級，有33＝27（種）不同的方案，故選項C正確；某人有3個不同的電子郵箱，他要發5封電子郵件，每封電子郵件都有3種不同的發法，根據分步計數原理，則有35種不同的方案，故選項D正確.故選A、C、D.
6.ABC　對于A，分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法，根據分類計數原理，共有5＋2＋7＝14（種）不同的選法，A正確；對于B，分為三步：國畫、油畫、水彩畫分別有5種、2種、7種不同的選法，根據分步計數原理，共有5×2×7＝70（種）不同的選法，B正確；對于C，分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫.由分步計數原理知，有5×2＝10（種）不同的選法；第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35（種）不同的選法；第3類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14（種）不同的選法，所以共有10＋35＋14＝59（種）不同的選法，C正確；對于D，從5幅國畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第一步，從5幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有5種選法；第二步，從剩下的4幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有4種選法.根據分步計數原理，不同掛法的種數是N＝5×4＝20，D錯誤，故選A、B、C.
7.6　解析：要完成的一件事情是“從A村經B村去C村”，不同路線的條數是3×2＝6.
8.60　解析：分兩類：第一類：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有5×6＝30（組）不同的結果.第二類也有30組不同的結果，共可得到30＋30＝60（組）.
9.9　解析：分四類，當a＝2時，有b取3，5，7，9四種情況；當a＝4時，有b取5，7，9三種情況；當a＝6時，有b取7，9兩種情況；當a＝8時，有b取9一種情況，所以總共有4＋3＋2＋1＝10（種），又log23＝log49，所以能使logab＞1的對數值有9個.
10.解：（1）分三類：
第一類，選出的是醫生，有3種選法；
第二類，選出的是護士，有5種選法；
第三類，選出的是麻醉師，有2種選法.
根據分類計數原理，共有3＋5＋2＝10（種）選法.
（2）分三步：
第一步，選1名醫生，有3種選法；
第二步，選1名護士，有5種選法；
第三步，選1名麻醉師，有2種選法.
根據分步計數原理知，共有3×5×2＝30（種）選法.
11.B　由已知得ab≤1.當a＝－1時，b＝－1，0，1，2，有4種可能；當a＝0時，b＝－1，0，1，2，有4種可能；當a＝1時，b＝－1，0，1，有3種可能；當a＝2時，b＝－1，0，有2種可能.∴所求（a，b）的個數為4＋4＋3＋2＝13.
12.ABC　東面上山的種數為：2×（3＋3＋4）＝20，西面上山的種數為：3×（2＋3＋4）＝27，南面上山的種數為：3×（2＋3＋4）＝27，北面上山的種數為：4×（2＋3＋3）＝32，故只從一面上山，而從其他任意一面下山的走法種數可能為20，27，32.
13.10　解析：①有兩張50元的情況有1種；②有一張50元的情況有3種；③沒有50元的情況有6種.按分類計數原理，共有1＋3＋6＝10（種）兌換方式.
14.解：（1）根據題意，要求1號盒子內沒有球，即三個小球全部放進2、3、4號盒子，
分析可得：A球可以放進三個盒子中任意1個，即有3種選擇方法；
同理，B、C球也有3種選擇方法，
則不同的放法有3×3×3＝27種.
（2）先看總數，三個球選四個盒子，每個球有四種選擇，做三次選擇，共有43＝64種結果，
1號盒中沒球的情況，共有33＝27種結果，
故共有64－27＝37種結果.
15.解：（1）111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.
（2）這個數列的項數就是用1，2，3，4排成的三位數的個數，每個數位上都有4種排法，則共有4×4×4＝64（項）.
（3）比an＝341小的數有兩類：
①
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
共有2×4×4＋1×3×4＝44（項）.
所以n＝44＋1＝45.
2 / 2第七章　計數原理
7.1　兩個基本計數原理
新課程標準解讀 核心素養
1.通過實例，了解分類計數原理、分步計數原理及其意義 數學抽象
2.能利用兩個計數原理解決一些簡單的實際問題 數學建模、數學運算
第1課時　兩個基本計數原理及簡單應用
　　杭州亞運會于2023年9月23日至10月8日舉行，名稱仍為杭州2022年第19屆亞運會.一名志愿者從成都赴杭州為亞運會服務，從成都到杭州每天有6個航班，4列火車.
【問題】　（1）該志愿者從成都到杭州的方案可以分為幾類？
（2）在這幾類中各有幾種方法？
（3）該志愿者從成都到杭州共有多少種不同的方法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　分類計數原理
　如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法……在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝　　　　　　　　種不同的方法.
知識點二　分步計數原理
　如果完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝　　　　　　種不同的方法.
提醒　兩個計數原理的區別與聯系
分類計數原理 分步計數原理
關鍵詞 分類 分步
區別 每類方法都能獨立完成這件事 各步都完成，才能完成這件事
各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的 各步之間是關聯的、獨立的，“關聯”確保不遺漏，“獨立”確保不重復
聯系 都是用來解決關于完成一件事的不同方法種數的問題
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）在分類計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.（　　）
（2）在分類計數原理中，每類方案中的方法都能完成這件事.（　　）
（3）在分步計數原理中，事情若是分兩步完成，那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成.（　　）
（4）從甲地經丙地到乙地是分步問題.（　　）
2.從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內汽車發3次，火車發4次，輪船發2次，那么從A地到B地的不同方法數為（　　）
A.1＋1＋1＝3 B.3＋4＋2＝9
C.3×4×2＝24 D.以上都不對
3.現有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，若一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數為（　　）
A.7 B.12
C.64 D.81
題型一 分類計數原理
【例1】　（鏈接教科書第60頁例1（1））某校高三共有三個班，各班人數如下表：
班級 男生人數 女生人數 總人數
高三（1）班 30 20 50
高三（2）班 30 30 60
高三（3）班 35 20 55
（1）從三個班中任選1名學生擔任學生會主席，有多少種不同的選法？
（2）從高三（1）班、（2）班男生中或從高三（3）班女生中選1名學生擔任學生會生活部部長，有多少種不同的選法？
通性通法
利用分類計數原理計數時的解題流程
【跟蹤訓練】
1.某中學需從2024年師范大學畢業的3名女大學生和5名男大學生中選聘1人，則不同的選法種數為（　　）
A.3 B.5
C.8 D.15
2.（2024·無錫月考）設集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，則方程＋＝1表示焦點位于x軸上的橢圓有（　　）
A.6個 B.8個
C.12個 D.16個
題型二 分步計數原理
【例2】　（鏈接教科書第61頁例2（2））從1，2，3，4中選三個數字，組成無重復數字的整數，則滿足下列條件的數有多少個？
（1）三位數；
（2）三位偶數.
通性通法
利用分步計數原理計數時的解題流程
【跟蹤訓練】
1.某項測試要過兩關，第一關有3種測試方案，第二關有4種測試方案.某人參加該項測試，不同的測試方法種數為（　　）
A.3＋4＝7 B.3×4＝12
C.34 D.43
2.若4名學生報名參加數學、物理、化學興趣小組，每人選報1項，則不同的報名方式有（　　）
A.6種 B.24種
C.64種 D.81種
題型三 兩個計數原理的簡單應用
【例3】　現有高一學生50人，高二學生42人，高三學生30人，組成冬令營.
（1）若從中選1人作總負責人，共有多少種不同的選法？
（2）若每年級各選1名負責人，共有多少種不同的選法？
（3）若從中推選兩人作為中心發言人，要求這兩人要來自不同的年級，則共有多少種選法？
通性通法
使用兩個計數原理的原則
　　使用兩個計數原理解題時，一定要從“分類”“分步”的角度入手，“分類”是把較復雜應用問題的元素分成互相排斥的幾類，逐類解決，用分類計數原理；“分步”就是把問題分化為幾個互相關聯的步驟，然后逐步解決，用分步計數原理.
【跟蹤訓練】
有一項活動，需在3名老師、8名男同學和5名女同學中選部分人員參加.
（1）若只需一人參加，有多少種不同的選法？
（2）若需老師、男同學、女同學各一人參加，有多少種不同的選法？
（3）若需一名老師、一名同學參加，有多少種不同的選法？
1.某校高一年級共8個班，高二年級共6個班，從中選一個班級擔任學校星期一早晨升旗任務，安排方法共有（　　）
A.8種 B.6種
C.14種 D.48種
2.（2024·泰州月考）已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，則xy的不同的值的個數是（　　）
A.2 B.3
C.6 D.9
3.某校教學大樓共有四層，每層均有兩個樓梯，一學生由該樓第一層走到第四層的方法共有　　　　種（用數字作答）.
4.一學習小組有4名男生，3名女生.
（1）若任選一名學生當數學課代表，共有多少種不同選法？
（2）若選男、女生各一名當組長，共有多少種不同選法？
第1課時　兩個基本計數原理及簡單應用
【基礎知識·重落實】
知識點一
m1＋m2＋…＋mn
知識點二
m1×m2×…×mn
自我診斷
1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）√
2.B　根據分類計數原理可得，一天內從A地乘坐這三種交通工具到B地的不同走法種數為3＋4＋2＝9.
3.B　第1步，選上衣，從4件上衣中任選一件，有4種不同的選法；第2步，選長褲，從3條長褲中任選一條，有3種不同的選法.故共有4×3＝12（種）不同的配法.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）從三個班中選1名學生擔任學生會主席，共有三類不同的方案：
第一類，從高三（1）班中選出1名學生，有50種不同的選法；
第二類，從高三（2）班中選出1名學生，有60種不同的選法；
第三類，從高三（3）班中選出1名學生，有55種不同的選法.
根據分類計數原理，從三個班中選1名學生擔任學生會主席，共有50＋60＋55＝165（種）不同的選法.
（2）從高三（1）班、（2）班男生中或高三（3）班女生中選1名學生擔任學生會生活部部長，共有三類不同的方案：
第一類，從高三（1）班男生中選出1名學生，有30種不同的選法；
第二類，從高三（2）班男生中選出1名學生，有30種不同的選法；
第三類，從高三（3）班女生中選出1名學生，有20種不同的選法.
根據分類計數原理，從高三（1）班、（2）班男生中或高三（3）班女生中選1名學生擔任學生會生活部部長，共有30＋30＋20＝80（種）不同的選法.
跟蹤訓練
1.C　選取的方法可分為兩類：從3名女大學生中選聘1人，有3種選法；從5名男大學生中選聘1人，有5種選法，根據分類計數原理，可知不同的選法種數為3＋5＝8，故選C.
2.A　因為橢圓的焦點在x軸上，所以m＞n.當m＝4時，n＝1，2，3；當m＝3時，n＝1，2；當m＝2時，n＝1，即所求的橢圓共有3＋2＋1＝6（個）.
【例2】　解：（1）三位數有三個數位：
百位 十位 個位
，故可分三個步驟完成：
第一步，排個位，從1，2，3，4中選1個數字，有4種方法；
第二步，排十位，從剩下的3個數字中選1個，有3種方法；
第三步，排百位，從剩下的2個數字中選1個，有2種方法.
根據分步計數原理，共有4×3×2＝24（個）滿足要求的三位數.
（2）分三個步驟完成：
第一步，排個位，從2，4中選1個，有2種方法；
第二步，排十位，從余下的3個數字中選1個，有3種方法；
第三步，排百位，從余下的2個數字中選1個，有2種方法.
根據分步計數原理，共有2×3×2＝12（個）滿足要求的三位偶數.
跟蹤訓練
1.B　因過第一關有3種測試方法，過第二關有4種測試方法.由分步計數原理知，不同的測試方法共有3×4＝12種.
2.D　每名學生都有3種選擇，則4名學生的報名方式共有34＝81（種）.故選D.
【例3】　解：（1）分三類：從高一學生中選1人作總負責人有50種選法；從高二學生中選1人作總負責人有42種選法；從高三學生中選1人作總負責人有30種選法.由分類計數原理，可知共有50＋42＋30＝122（種）選法.
（2）分三步：從高一學生中選1名負責人有50種選法；從高二學生中選1名負責人有42種選法；從高三學生中選1名負責人有30種選法.由分步計數原理，可知共有50×42×30＝63 000（種）選法.
（3）分三類：①從高一和高二學生中各選1人作為中心發言人，有50×42＝2 100（種）選法；②從高二和高三學生中各選1人作為中心發言人，有42×30＝1 260（種）選法；③從高一和高三學生中各選1人作為中心發言人，有50×30＝1 500（種）選法.故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860（種）選法.
跟蹤訓練
　解：（1）分三類：3名老師中選一人，有3種選法；8名男同學中選一人，有8種選法；5名女同學中選一人，有5種選法.
由分類計數原理知，有3＋8＋5＝16（種）選法.
（2）分三步：第一步選老師，有3種選法；第二步選男同學，有8種選法；第三步選女同學，有5種選法.由分步計數原理知，共有3×8×5＝120（種）選法.
（3）分兩類，每一類又分兩步.
第一類，選一名老師再選一名男同學，有3×8＝24（種）選法；
第二類，選一名老師再選一名女同學，共有3×5＝15（種）選法.
由分類計數原理知，共有24＋15＝39（種）選法.
隨堂檢測
1.C　由分類計數原理，得完成升旗這一任務分兩類，安排方法共有8＋6＝14（種）.
2.D　x從2，3，7中選一個，有3種方法，y從－31，－24，4中選一個，有3種方法，故xy共有3×3＝9（個）不同的值.
3.8　解析：學生由該樓第一層走到第四層共分為三步：即一層到二層，二層到三層，三層到四層，∵每層均有兩個樓梯，即每層都有2種走法，∴學生由該樓第一層走到第四層的方法共有2×2×2＝23＝8種.
4.解：（1）任選一名當數學課代表可分兩類，第1類是從男生中選，有4種選法；第2類是從女生中選，有3種選法.根據分類計數原理，共有4＋3＝7（種）不同選法.
（2）若選男、女生各一名當組長，需分兩步：第1步，從男生中選一名，有4種選法；第2步，從女生中選一名，有3種選法.根據分步計數原理，共有4×3＝12（種）不同選法.
3 / 4(共60張PPT)
7.1　兩個基本計數原理
新課程標準解讀 核心素養
1.通過實例，了解分類計數原理、分步計
數原理及其意義 數學抽象
2.能利用兩個計數原理解決一些簡單的實
際問題 數學建模、數學運算
第1課時　
兩個基本計數原理及簡單應用
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　杭州亞運會于2023年9月23日至10月8日舉行，名稱仍為杭州2022
年第19屆亞運會.一名志愿者從成都赴杭州為亞運會服務，從成都到
杭州每天有6個航班，4列火車.
【問題】　（1）該志愿者從成都到杭州的方案可以分為幾類？
（2）在這幾類中各有幾種方法？
（3）該志愿者從成都到杭州共有多少種不同的方法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識點一　分類計數原理
　如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方
法，在第2類方式中有m2種不同的方法……在第n類方式中有mn種不
同的方法，那么完成這件事共有N＝ 種不同的
方法.
m1＋m2＋…＋mn　
知識點二　分步計數原理
　如果完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方
法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那
么完成這件事共有N＝ 種不同的方法.
m1×m2×…×mn　
分類計數原理 分步計數原理
關鍵詞 分類 分步
區別 每類方法都能獨立完成
這件事 各步都完成，才能完成這件事
各類方法之間是互斥
的、并列的、獨立的 各步之間是關聯的、獨立的，
“關聯”確保不遺漏，“獨立”
確保不重復
聯系 都是用來解決關于完成一件事的不同方法種數的問題 提醒　兩個計數原理的區別與聯系
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）在分類計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.
（　×　）
（2）在分類計數原理中，每類方案中的方法都能完成這件事.
（　√　）
（3）在分步計數原理中，事情若是分兩步完成，那么其中任何一
個單獨的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，
這件事情才算完成. （　√　）
（4）從甲地經丙地到乙地是分步問題. （　√　）
×
√
√
√
2. 從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內
汽車發3次，火車發4次，輪船發2次，那么從A地到B地的不同方
法數為（　　）
A. 1＋1＋1＝3
B. 3＋4＋2＝9
C. 3×4×2＝24
D. 以上都不對
解析： 　根據分類計數原理可得，一天內從A地乘坐這三種交通
工具到B地的不同走法種數為3＋4＋2＝9.
3. 現有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，若一條長褲與一件
上衣配成一套，則不同的配法種數為（　　）
A. 7 B. 12
C. 64 D. 81
解析： 　第1步，選上衣，從4件上衣中任選一件，有4種不同的
選法；第2步，選長褲，從3條長褲中任選一條，有3種不同的選法.
故共有4×3＝12（種）不同的配法.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 分類計數原理
【例1】　（鏈接教科書第60頁例1（1））某校高三共有三個班，各
班人數如下表：
班級 男生人數 女生人數 總人數
高三（1）班 30 20 50
高三（2）班 30 30 60
高三（3）班 35 20 55
（1）從三個班中任選1名學生擔任學生會主席，有多少種不同的
選法？
解： 從三個班中選1名學生擔任學生會主席，共有三類不
同的方案：
第一類，從高三（1）班中選出1名學生，有50種不同的選法；
第二類，從高三（2）班中選出1名學生，有60種不同的選法；
第三類，從高三（3）班中選出1名學生，有55種不同的選法.
根據分類計數原理，從三個班中選1名學生擔任學生會主席，共
有50＋60＋55＝165（種）不同的選法.
（2）從高三（1）班、（2）班男生中或從高三（3）班女生中選1名
學生擔任學生會生活部部長，有多少種不同的選法？
解：從高三（1）班、（2）班男生中或高三（3）班女生中
選1名學生擔任學生會生活部部長，共有三類不同的方案：
第一類，從高三（1）班男生中選出1名學生，有30種不同的
選法；
第二類，從高三（2）班男生中選出1名學生，有30種不同的
選法；
第三類，從高三（3）班女生中選出1名學生，有20種不同的
選法.
根據分類計數原理，從高三（1）班、（2）班男生中或高三（3）班女生中選1名學生擔任學生會生活部部長，共有30＋30＋20＝80（種）不同的選法.
通性通法
利用分類計數原理計數時的解題流程
【跟蹤訓練】
1. 某中學需從2024年師范大學畢業的3名女大學生和5名男大學生中選
聘1人，則不同的選法種數為（　　）
A. 3 B. 5
C. 8 D. 15
解析： 　選取的方法可分為兩類：從3名女大學生中選聘1人，有
3種選法；從5名男大學生中選聘1人，有5種選法，根據分類計數原
理，可知不同的選法種數為3＋5＝8，故選C.
2. （2024·無錫月考）設集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，則方程
＋ ＝1表示焦點位于x軸上的橢圓有（　　）
A. 6個 B. 8個
C. 12個 D. 16個
解析： 　因為橢圓的焦點在x軸上，所以m＞n.當m＝4時，n＝
1，2，3；當m＝3時，n＝1，2；當m＝2時，n＝1，即所求的橢
圓共有3＋2＋1＝6（個）.
題型二 分步計數原理
【例2】　（鏈接教科書第61頁例2（2））從1，2，3，4中選三個數
字，組成無重復數字的整數，則滿足下列條件的數有多少個？
（1）三位數；
解： 三位數有三個數位：
百位 十位 個位
故可分三個步驟完成：
第一步，排個位，從1，2，3，4中選1個數字，有4種方法；
第二步，排十位，從剩下的3個數字中選1個，有3種方法；
第三步，排百位，從剩下的2個數字中選1個，有2種方法.
根據分步計數原理，共有4×3×2＝24（個）滿足要求的三
位數.
，
（2）三位偶數.
解： 分三個步驟完成：
第一步，排個位，從2，4中選1個，有2種方法；
第二步，排十位，從余下的3個數字中選1個，有3種方法；
第三步，排百位，從余下的2個數字中選1個，有2種方法.
根據分步計數原理，共有2×3×2＝12（個）滿足要求的三
位偶數.
通性通法
利用分步計數原理計數時的解題流程
【跟蹤訓練】
1. 某項測試要過兩關，第一關有3種測試方案，第二關有4種測試方
案.某人參加該項測試，不同的測試方法種數為（　　）
A. 3＋4＝7 B. 3×4＝12
C. 34 D. 43
解析： 因過第一關有3種測試方法，過第二關有4種測試方法.
由分步計數原理知，不同的測試方法共有3×4＝12種.
2. 若4名學生報名參加數學、物理、化學興趣小組，每人選報1項，則
不同的報名方式有（　　）
A. 6種 B. 24種
C. 64種 D. 81種
解析： 　每名學生都有3種選擇，則4名學生的報名方式共有34＝
81（種）.故選D.
題型三 兩個計數原理的簡單應用
【例3】　現有高一學生50人，高二學生42人，高三學生30人，組成
冬令營.
（1）若從中選1人作總負責人，共有多少種不同的選法？
解： 分三類：從高一學生中選1人作總負責人有50種選
法；從高二學生中選1人作總負責人有42種選法；從高三學生中
選1人作總負責人有30種選法.由分類計數原理，可知共有50＋
42＋30＝122（種）選法.
（2）若每年級各選1名負責人，共有多少種不同的選法？
解： 分三步：從高一學生中選1名負責人有50種選法；從
高二學生中選1名負責人有42種選法；從高三學生中選1名負責
人有30種選法.由分步計數原理，可知共有50×42×30＝63 000
（種）選法.
（3）若從中推選兩人作為中心發言人，要求這兩人要來自不同的年
級，則共有多少種選法？
解： 分三類：①從高一和高二學生中各選1人作為中心發
言人，有50×42＝2 100（種）選法；②從高二和高三學生中各
選1人作為中心發言人，有42×30＝1 260（種）選法；③從高一
和高三學生中各選1人作為中心發言人，有50×30＝1 500（種）
選法.故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860（種）選法.
通性通法
使用兩個計數原理的原則
　　使用兩個計數原理解題時，一定要從“分類”“分步”的角度入
手，“分類”是把較復雜應用問題的元素分成互相排斥的幾類，逐類
解決，用分類計數原理；“分步”就是把問題分化為幾個互相關聯的
步驟，然后逐步解決，用分步計數原理.
【跟蹤訓練】
有一項活動，需在3名老師、8名男同學和5名女同學中選部分人員
參加.
（1）若只需一人參加，有多少種不同的選法？
解： 分三類：3名老師中選一人，有3種選法；8名男同學
中選一人，有8種選法；5名女同學中選一人，有5種選法.
由分類計數原理知，有3＋8＋5＝16（種）選法.
（2）若需老師、男同學、女同學各一人參加，有多少種不同的選
法？
解： 分三步：第一步選老師，有3種選法；第二步選男同
學，有8種選法；第三步選女同學，有5種選法.由分步計數原理
知，共有3×8×5＝120（種）選法.
（3）若需一名老師、一名同學參加，有多少種不同的選法？
解： 分兩類，每一類又分兩步.
第一類，選一名老師再選一名男同學，有3×8＝24（種）選
法；
第二類，選一名老師再選一名女同學，共有3×5＝15（種）
選法.
由分類計數原理知，共有24＋15＝39（種）選法.
1. 某校高一年級共8個班，高二年級共6個班，從中選一個班級擔任學
校星期一早晨升旗任務，安排方法共有（　　）
A. 8種 B. 6種
C. 14種 D. 48種
解析： 　由分類計數原理，得完成升旗這一任務分兩類，安排方
法共有8＋6＝14（種）.
2. （2024·泰州月考）已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，則
xy的不同的值的個數是（　　）
A. 2 B. 3
C. 6 D. 9
解析： 　x從2，3，7中選一個，有3種方法，y從－31，－24，4
中選一個，有3種方法，故xy共有3×3＝9（個）不同的值.
3. 某校教學大樓共有四層，每層均有兩個樓梯，一學生由該樓第一層
走到第四層的方法共有 種（用數字作答）.
解析：學生由該樓第一層走到第四層共分為三步：即一層到二
層，二層到三層，三層到四層，∵每層均有兩個樓梯，即每層
都有2種走法，∴學生由該樓第一層走到第四層的方法共有
2×2×2＝23＝8種.
8　
4. 一學習小組有4名男生，3名女生.
（1）若任選一名學生當數學課代表，共有多少種不同選法？
解： 任選一名當數學課代表可分兩類，第1類是從男生
中選，有4種選法；第2類是從女生中選，有3種選法.根據分
類計數原理，共有4＋3＝7（種）不同選法.
（2）若選男、女生各一名當組長，共有多少種不同選法？
解： 若選男、女生各一名當組長，需分兩步：第1步，
從男生中選一名，有4種選法；第2步，從女生中選一名，有3
種選法.根據分步計數原理，共有4×3＝12（種）不同選法.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 如果某禮堂共有4個門，規定從一個門進，另一個門出，那么不同
的走法共有（　　）
A. 81種 B. 64種
C. 16種 D. 12種
解析： 　分兩步：第一步，進門有4種方法；第二步，出門有3種
方法.共有4×3＝12（種）不同的走法.
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2. （2024·宿遷月考）如圖所示，小圓圈表示網絡的結點，結點之間
的線段表示它們有網線相連，連線標注的數字表示該段網線單位時
間內可以通過的最大信息量.現從結點A向結點B傳遞信息，信息
可以從不同的路線同時傳遞，則單位時間內傳遞的最大信息量為
（　　）
A. 26 B. 20
C. 24 D. 19
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解析： 　因為信息可以從不同的路線同時傳遞，由分類計數原
理，完成從A向B傳遞有四種辦法：12→5→3；12→6→4；
12→6→7；12→8→6.故單位時間內傳遞的最大信息量為3＋4＋6＋
6＝19.
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3. 閱讀課上，5名同學分別從3種不同的書中選擇一種進行閱讀，不同
的選法種數是（　　）
A. 50 B. 60
C. 125 D. 243
解析： 由題意，5名同學分別從3種不同的書中選擇一種進行閱
讀，其中，每名同學都有3種不同的選法，所以不同的選法種數是
35＝243.故選D.
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4. 已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，7}，從兩個集合中
各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示
第一、二象限內不同的點的個數是（　　）
A. 18 B. 17
C. 16 D. 10
解析： 分兩類：第1類，M中的元素作橫坐標，N中的元素作
縱坐標，則有3×3＝9（個）在第一、二象限內的點；第2類，N中
的元素作橫坐標，M中的元素作縱坐標，則有4×2＝8（個）在第
一、二象限內的點.由分類計數原理，共有9＋8＝17（個）點在第
一、二象限內.
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5. （多選）下列說法正確的是（　　）
A. 從3名射擊運動員、2名游泳運動員和5名跳水運動員中選1名作為運動員代表發言，有10種不同的選法
B. 將3名同學分配到3個班級，每班1人，有9種不同的方案
C. 將3名同學分配到3個班級，有27種不同的方案
D. 某人有3個不同的電子郵箱，他要發5封電子郵件，則有35種不同的方案
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解析： 　從3名射擊運動員、2名游泳運動員和5名跳水運動員
中選1名作為運動員代表發言，根據分類計數原理，有3＋2＋5＝10
（種）選法，故選項A正確；將3名同學分配到3個班級，每班1
人，有3×2×1＝6（種）不同的方案，故選項B錯誤；將3名同學
分配到3個班級，有33＝27（種）不同的方案，故選項C正確；某人
有3個不同的電子郵箱，他要發5封電子郵件，每封電子郵件都有3
種不同的發法，根據分步計數原理，則有35種不同的方案，故選項
D正確.故選A、C、D.
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6. （多選）（2024·蘇州月考）現有5幅不同的國畫，2幅不同的油
畫，7幅不同的水彩畫，下列說法正確的是（　　）
A. 從中任選一幅畫布置房間，有14種不同的選法
B. 從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有70種不同的
選法
C. 從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有59種不同的選法
D. 要從5幅不同的國畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定
位置，共有9種不同的掛法
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解析： 　對于A，分為三類：從國畫中選，有5種不同的選
法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的
選法，根據分類計數原理，共有5＋2＋7＝14（種）不同的選法，
A正確；對于B，分為三步：國畫、油畫、水彩畫分別有5種、2
種、7種不同的選法，根據分步計數原理，共有5×2×7＝70（種）
不同的選法，B正確；對于C，分為三類：第一類是一幅選自國
畫，一幅選自油畫.由分步計數原理知，有5×2＝10（種）不同的
選法；第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35
（種）不同的選法；
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第3類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14（種）不同的
選法，所以共有10＋35＋14＝59（種）不同的選法，C正確；對于D，
從5幅國畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：
第一步，從5幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有5種選法；第二步，從剩
下的4幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有4種選法.根據分步計數原理，不
同掛法的種數是N＝5×4＝20，D錯誤，故選A、B、C.
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7. 從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經
B村去C村，不同路線的條數是 .
解析：要完成的一件事情是“從A村經B村去C村”，不同路線的
條數是3×2＝6.
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8. 古人用天干、地支來表示年、月、日、時的次序.用天干的“甲、
丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用
天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、
亥”相配，共可配成 組.
解析：分兩類：第一類：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支
的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有5×6＝30（組）不同的
結果.第二類也有30組不同的結果，共可得到30＋30＝60（組）.
60　
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9. （2024·連云港月考）已知a∈{2，4，6，8}，b∈{3，5，7，9}，
則能使logab＞1的對數值有 個.
解析：分四類，當a＝2時，有b取3，5，7，9四種情況；當a＝4
時，有b取5，7，9三種情況；當a＝6時，有b取7，9兩種情況；
當a＝8時，有b取9一種情況，所以總共有4＋3＋2＋1＝10
（種），又log23＝log49，所以能使logab＞1的對數值有9個.
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10. 現有3名醫生、5名護士、2名麻醉師.
（1）從中選派1名去參加外出學習，有多少種不同的選法？
解： 分三類：
第一類，選出的是醫生，有3種選法；
第二類，選出的是護士，有5種選法；
第三類，選出的是麻醉師，有2種選法.
根據分類計數原理，共有3＋5＋2＝10（種）選法.
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（2）從這些人中選出1名醫生、1名護士和1名麻醉師組成1個醫療
小組，有多少種不同的選法？
解： 分三步：
第一步，選1名醫生，有3種選法；
第二步，選1名護士，有5種選法；
第三步，選1名麻醉師，有2種選法.
根據分步計數原理知，共有3×5×2＝30（種）選法.
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11. （2024·南通月考）滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關于x的方
程ax2＋2x＋b＝0有實數解的有序實數對（a，b）的個數為
（　　）
A. 14 B. 13
解析： 　由已知得ab≤1.當a＝－1時，b＝－1，0，1，2，有4
種可能；當a＝0時，b＝－1，0，1，2，有4種可能；當a＝1
時，b＝－1，0，1，有3種可能；當a＝2時，b＝－1，0，有2種
可能.∴所求（a，b）的個數為4＋4＋3＋2＝13.
C. 12 D. 10
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12. （多選）設東、西、南、北四面通往山頂的路各有2，3，3，4
條，只從一面上山，而從其他任意一面下山，不同的走法種數可
能為（　　）
A. 20 B. 27
C. 32 D. 30
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解析： 　東面上山的種數為：2×（3＋3＋4）＝20，西面上
山的種數為：3×（2＋3＋4）＝27，南面上山的種數為：3×（2
＋3＋4）＝27，北面上山的種數為：4×（2＋3＋3）＝32，故只
從一面上山，而從其他任意一面下山的走法種數可能為20，27，
32.
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13. 某人持100元人民幣到銀行兌換成10元、20元、50元的零錢，共
有 種不同的兌換方式.（有足夠數量的零錢，且相同面值之
間沒有區別）
解析：①有兩張50元的情況有1種；②有一張50元的情況有3種；
③沒有50元的情況有6種.按分類計數原理，共有1＋3＋6＝10
（種）兌換方式.
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14. 將三個分別標有A，B，C的球隨機放入編號為1，2，3，4的四
個盒子中.
求：（1）1號盒中無球的不同放法種數；
解： 根據題意，要求1號盒子內沒有球，即三個小球全
部放進2、3、4號盒子，
分析可得：A球可以放進三個盒子中任意1個，即有3種選擇
方法；
同理，B、C球也有3種選擇方法，
則不同的放法有3×3×3＝27種.
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（2）1號盒中有球的不同放法種數.
解： 先看總數，三個球選四個盒子，每個球有四種選
擇，做三次選擇，共有43＝64種結果，
1號盒中沒球的情況，共有33＝27種結果，
故共有64－27＝37種結果.
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15. 用1，2，3，4四個數字（可重復）排成三位數，并把這些三位數
由小到大排成一個數列{an}.
（1）寫出這個數列的前11項；
解： 111，112，113，114，121，122，123，124，
131，132，133.
（2）這個數列共有多少項？
解： 這個數列的項數就是用1，2，3，4排成的三位數
的個數，每個數位上都有4種排法，則共有4×4×4＝64
（項）.
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（3）若an＝341，求n.
解： 比an＝341小的數有兩類：
①
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
共有2×4×4＋1×3×4＝44（項）.
所以n＝44＋1＝45.
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