資源簡(jiǎn)介

第2課時(shí)　兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
1.從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為（　　）
A.30 B.20
C.10 D.6
2.將4個(gè)不同小球放入3個(gè)不同的盒子，其中每個(gè)盒子都不空的放法共有（　　）
A.81種 B.256種
C.18種 D.36種
3.某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左數(shù)第2個(gè)號(hào)碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從0～9這10個(gè)數(shù)字中選擇（數(shù)字可以重復(fù)）.若某車主第1個(gè)號(hào)碼（從左到右）只想在數(shù)字3，5，6，8，9中選擇，其他號(hào)碼只想在1，3，6，9中選擇，則他可選的車牌號(hào)碼的所有可能情況有（　　）
A.180種 B.360種
C.720種 D.960種
4.（2024·鎮(zhèn)江月考）從集合{1，2，3，4，5}中任取2個(gè)不同的數(shù)，作為直線Ax＋By＝0的系數(shù)，則最多形成不同的直線的條數(shù)為（　　）
A.18 B.20
C.25 D.10
5.如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么滿足條件的不同的有序自然數(shù)對(duì)（x，y）的個(gè)數(shù)是（　　）
A.15 B.12
C.5 D.4
6.（多選）“二進(jìn)制”與我國古代的《易經(jīng)》有著一定的聯(lián)系，該書中有兩類最基本的符號(hào)：“——”和“— —”，其中“——”在二進(jìn)制中記作“1”，“— —”在二進(jìn)制中記作“0”，其變化原理與“逢二進(jìn)一”的法則相通.若從兩類符號(hào)中任取2個(gè)符號(hào)排列，可以組成的不同的十進(jìn)制數(shù)為（　　）
A.0 B.1 C.2 D.4
7.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有　　　　種.
8.如圖所示，在A，B之間有4個(gè)焊接點(diǎn)，若焊接點(diǎn)脫落，則可能導(dǎo)致線路不通，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有　　　　種.
9.（2024·揚(yáng)州月考）在一個(gè)三位數(shù)中，若十位數(shù)字小于個(gè)位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”，比如“102”“546”為“駝峰數(shù)”.由數(shù)字1，2，3，4可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有　　　　個(gè)，其中偶數(shù)有　　　　個(gè).
10.用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字.
（1）可以排出多少個(gè)三位數(shù)字的密碼？
（2）可以排成多少個(gè)三位數(shù)？
（3）可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？
11.《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬.設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個(gè)數(shù)是（　　）
A.8 B.12
C.16 D.18
12.某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè)，則該外商不同的投資方案有　　　　種（用數(shù)字作答）.
13.（2024·常州月考）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案種數(shù)為　　　　.
14.某出版社的7名工人中，有3人只會(huì)排版，2人只會(huì)印刷，還有2人既會(huì)排版又會(huì)印刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，請(qǐng)問有多少種不同的安排方法？
15.高中學(xué)生甲到教室需要走樓梯，一步可以邁一級(jí)或兩級(jí)或三級(jí)臺(tái)階.
（1）若樓梯有4級(jí)臺(tái)階，則甲有多少種不同的爬樓方法；
（2）若樓梯有10級(jí)臺(tái)階，則甲有多少種不同的爬樓方法.
第2課時(shí)　兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
1.D　從0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加，和為偶數(shù)可分為兩類：①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種取法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種取法.故由分類計(jì)數(shù)原理得，共有N＝3＋3＝6（種）取法.
2.D　必有一個(gè)盒子放2個(gè)小球，將4個(gè)小球分3組，其中有2個(gè)小球?yàn)橐唤M，另外2個(gè)小球各為一組，共有6種分組方法.然后，每一種分組的小球放入3個(gè)不同的盒子，按分步計(jì)數(shù)原理，有（3×2×1）種放法，共有6×（3×2×1）＝36（種）放法.
3.D　按照車主的要求，從左到右第1個(gè)號(hào)碼有5種選法，第2個(gè)號(hào)碼有3種選法，其余3個(gè)號(hào)碼各有4種選法，因此共有5×3×4×4×4＝960（種）情況.
4.A　分兩步：第1步，給A賦值有5種選擇；第2步，給B賦值有4種選擇，由分步計(jì)數(shù)原理可得5×4＝20（種）.又因?yàn)锳＝1，B＝2，與A＝2，B＝4表示同一直線.A＝2，B＝1與A＝4，B＝2，也表示同一直線.所以最多形成不同的直線的條數(shù)為20－2＝18.
5.A　分情況討論：①當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，1，2，3，4，5，有6種情況；②當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0，1，2，3，4，有5種情況；③當(dāng)x＝3時(shí)，y＝0，1，2，3，有4種情況.由分類計(jì)數(shù)原理可得，滿足條件的有序自然數(shù)對(duì)（x，y）的個(gè)數(shù)是6＋5＋4＝15.
6.ABC　根據(jù)題意，從兩類符號(hào)中任取2個(gè)符號(hào)排列的情況可分為三類.第一類：由兩個(gè)“——”組成，二進(jìn)制數(shù)為11，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，為3.第二類：由兩個(gè)“— —”組成，二進(jìn)制數(shù)為00，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，為0.第三類：由一個(gè)“——”和一個(gè)“— —”組成，二進(jìn)制數(shù)為10，01，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，為2，1.所以從兩類符號(hào)中任取2個(gè)符號(hào)排列，可以組成的不同的十進(jìn)制數(shù)為0，1，2，3，故選A、B、C.
7.20　解析：分三類：若甲在周一，則乙、丙有4×3＝12（種）排法；若甲在周二，則乙、丙有3×2＝6（種）排法；若甲在周三，則乙、丙有2×1＝2（種）排法.所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20（種）.
8.13　解析：4個(gè)焊接點(diǎn)共有24種情況，其中使A，B之間線路通的情況是1，4都通，2和3至少有一個(gè)通，此時(shí)共有3種可能，故焊接點(diǎn)脫落的情況有24－3＝13（種）.
9.8　5　解析：十位上的數(shù)為1時(shí)，有213，214，312，314，412，413，共6個(gè)，十位上的數(shù)為2時(shí)，有324，423，共2個(gè)，所以共有6＋2＝8個(gè).偶數(shù)為214，312，314，412，324，共5個(gè).
10.解：（1）三位數(shù)字的密碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125（個(gè)）.
（2）三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種排法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100（個(gè)）.
（3）被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，
第1類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12（種）排法；
第2類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18（種）排法.
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有12＋18＝30（種）排法.即可以排成30個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).
11.C　如圖，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，當(dāng)A1ABB1為底面矩形時(shí)，有4個(gè)滿足題意；同理，當(dāng)A1AFF1為底面矩形時(shí)，有4個(gè)滿足題意；當(dāng)A1ACC1為底面矩形時(shí)，有4個(gè)滿足題意；當(dāng)A1AEE1為底面矩形時(shí)，有4個(gè)滿足題意，故共有4＋4＋4＋4＝16（個(gè)）陽馬.
12.60　解析：有兩類不同的投法：①外商從4個(gè)候選城市中選擇3個(gè)城市，各投資1個(gè)項(xiàng)目，第一個(gè)項(xiàng)目有4種投法，第二個(gè)項(xiàng)目有3種投法，第三個(gè)項(xiàng)目有2種投法，這種情況下共有4×3×2＝24（種）投法.②外商從4個(gè)候選城市只選擇2個(gè)城市分別投資1個(gè)項(xiàng)目、2個(gè)項(xiàng)目；3個(gè)項(xiàng)目中選一個(gè)項(xiàng)目投到1個(gè)城市，有4種選法，剩下2個(gè)項(xiàng)目選1個(gè)城市有3種可能，這種情況下共有3×4×3＝36（種）投法.從而外商不同的投資方案共有24＋36＝60（種）.
13.420　解析：如圖，若區(qū)域①與③顏色相同，區(qū)域①有5種涂法，區(qū)域②有4種涂法，區(qū)域④有3種涂法，區(qū)域⑤有3種涂法，由分步計(jì)數(shù)原理可知不同的涂色方案有5×4×3×3＝180種；若區(qū)域①與③顏色不同，區(qū)域①有5種涂法，區(qū)域②有4種涂法，區(qū)域③有3種涂法，區(qū)域④有2種涂法，區(qū)域⑤有2種涂法，由分步計(jì)數(shù)原理可知不同的涂色方案有5×4×3×2×2＝240種.綜上，由分類計(jì)數(shù)原理可知不同的涂色方案種數(shù)為180＋240＝420.
14.解：根據(jù)既會(huì)排版又會(huì)印刷的2人中被選出的人數(shù)，可將問題分為三類：
第一類：既會(huì)排版又會(huì)印刷的2人全不被選出，即從只會(huì)排版的3人中選2人，有3種選法；只會(huì)印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有3×1＝3種選法.
第二類：既會(huì)排版又會(huì)印刷的2人中被選出1人，有2種選法.若此人去排版，則再從會(huì)排版的3人中選1人，有3種選法，只會(huì)印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有2×3×1＝6種選法；若此人去印刷，則再從會(huì)印刷的2人中選1人，有2種選法，從會(huì)排版的3人中選2人，有3種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有2×2×3＝12種選法.由分類計(jì)數(shù)原理知共有6＋12＝18種選法.
第三類：既會(huì)排版又會(huì)印刷的2人全被選出，若此2人都去印刷，有3種選法；若此2人都去排版，有1種選法；若此2人中1人去排版，1人去印刷，有2×3×2＝12種選法.由分類計(jì)數(shù)原理知共有3＋1＋12＝16種選法.
所以不同的安排方法種數(shù)為3＋18＋16＝37.
15.解：（1）用1，2，3分別表示學(xué)生甲一步邁一級(jí)、兩級(jí)、三級(jí)臺(tái)階，用例舉法可知學(xué)生甲有1111，121，112，13，211，22，31，共7種不同的爬樓方法.
（2）設(shè)學(xué)生甲爬n級(jí)臺(tái)階有an種方法，考慮最后一步：若最后一步只邁一級(jí)臺(tái)階，則前n－1級(jí)臺(tái)階有an－1種方法；
若最后一步邁兩級(jí)臺(tái)階，則前n－2級(jí)臺(tái)階有an－2種不同的方法；
若最后一步邁三級(jí)臺(tái)階，則前n－3級(jí)臺(tái)階有an－3種不同的方法，
由分類計(jì)數(shù)原理得：an＝an－1＋an－2＋an－3（n≥4），顯然a1＝1，a2＝2，a3＝4，則：a4＝a1＋a2＋a3＝7，a5＝a2＋a3＋a4＝13，a6＝a3＋a4＋a5＝24，a7＝a4＋a5＋a6＝44，a8＝a5＋a6＋a7＝81，a9＝a6＋a7＋a8＝149，a10＝a7＋a8＋a9＝274，
故該學(xué)生上10級(jí)臺(tái)階的樓梯有274種不同的爬樓方法.
2 / 2(共50張PPT)
第2課時(shí)　
兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
目錄
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
典型例題·精研析
01
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 組數(shù)問題
【例1】　（鏈接教科書第64頁習(xí)題7題）已知0，1，2，3，4，5這六
個(gè)數(shù)字.
（1）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？
解： 若組成的數(shù)為數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)，則首位數(shù)字不為
零，個(gè)位和十位的數(shù)字無限制，
所以數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為5×5×4＝100.
（2）可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)？
解： 若組成的數(shù)為數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)，則首位數(shù)字不
為零，個(gè)位和十位的數(shù)字無限制，
所以數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為5×62＝180.
通性通法
對(duì)于組數(shù)問題應(yīng)掌握以下兩個(gè)原則
（1）明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”
的關(guān)鍵.一般按特殊位置（末位或首位）分類，分類中再按特殊
數(shù)字（或特殊元素）優(yōu)先的策略分步；如果正面分類較多，可
采用間接法求解；
（2）要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的
最高位.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. （2024·徐州月考）用0，1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其
中奇數(shù)有（　　）
A. 8個(gè) B. 10個(gè)
C. 18個(gè) D. 24個(gè)
解析： 　個(gè)位數(shù)只能是1或3，所以有2種選擇，首位不能為0，則
有2種選擇；百位數(shù)字有2種選擇；十位數(shù)字只有1種選擇.由分步計(jì)
數(shù)原理，所以用0，1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)為奇數(shù)的有
2×2×2×1＝8（個(gè)）.
2. 用0，1，2，3，4，5可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位整數(shù)有 ；
其中比2 000大的四位偶數(shù)有 個(gè).
解析：①分四步：第1步，千位數(shù)字有5種選取方法；第2步，百位
數(shù)字有5種選取方法；第3步，十位數(shù)字有4種選取方法；第4步，個(gè)
位數(shù)字有3種選取方法.由分步計(jì)數(shù)原理知，可組成無重復(fù)數(shù)字的四
位整數(shù)共5×5×4×3＝300（個(gè)）.②分為三類：第1類，末位是0的
有4×4×3＝48（個(gè)）；第2類，末位是2的有3×4×3＝36（個(gè)）；
第3類，末位是4的有3×4×3＝36（個(gè)）.由分類計(jì)數(shù)原理知，共有
48＋36＋36＝120（個(gè)）.
300　
120　
題型二 選（抽）取與分配問題
【例2】　高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)
踐，其中甲工廠必須有班級(jí)去，每班去哪個(gè)工廠可自由選擇，則不同
的分配方案有（　　）
A. 16種 B. 18種
C. 37種 D. 48種
解析： 　法一（直接法）　以甲工廠分配班級(jí)情況進(jìn)行分類，共分
為三類.第1類，三個(gè)班級(jí)都去甲工廠，此時(shí)分配方案只有1種；第2
類，有兩個(gè)班級(jí)去甲工廠，剩下的班級(jí)去另外三個(gè)工廠，其分配方案
有3×3＝9（種）；第3類，有一個(gè)班級(jí)去甲工廠，另外兩個(gè)班級(jí)去其
他三個(gè)工廠，其分配方案有3×3×3＝27（種）.綜上所述，不同的分
配方案共有1＋9＋27＝37（種）.
法二（間接法）　先計(jì)算三個(gè)班自由選擇去哪個(gè)工廠的總數(shù)，再扣除
甲工廠無人去的情況，即有4×4×4－3×3×3＝37（種）不同的分配
方案.
通性通法
解決抽取（分配）問題的方法技巧
（1）當(dāng)涉及對(duì)象的數(shù)目不大時(shí)，一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖
法或圖表法；
（2）當(dāng)涉及對(duì)象的數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：①直接法：直接
使用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理.若抽取是有順序的，則按分
步進(jìn)行；若是按對(duì)象特征抽取的，則按分類進(jìn)行；②間接法：
去掉限制條件，計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合
條件的抽取方法數(shù)即可.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. （2024·鹽城月考）從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)
購、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯
工作，則選派方案共有（　　）
A. 280種 B. 240種
C. 180種 D. 96種
解析： 　由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的
4名志愿者中選1人，有4種選法，后面三項(xiàng)工作的選法有5×4×3
種，因此共有4×5×4×3＝240（種）選派方案.
2. 甲、乙、丙三人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的
賀卡，則不同取法的種數(shù)為 .
解析：不妨由甲先來取，共2種取法，而甲取到誰的將由誰在甲取
后第二個(gè)來取，余下來的人，都只有了一種選擇，所以不同取法共
有2×1×1＝2（種）.
2　
題型三 涂色（種植）問題
【例3】　（鏈接教科書第64頁習(xí)題13題）（1）如圖所示，有A，
B，C，D四個(gè)區(qū)域，用紅、黃、藍(lán)三種顏色涂色，要求任意兩個(gè)相
鄰區(qū)域的顏色各不相同，共有 種不同的涂法；
18　
解析： ①若A，C涂色相同，則A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3，2，1，2，則有3×2×1×2＝12（種）不同的涂法.②若A，C涂色不相同，則A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3，2，1，1，則有3×2×1×1＝6（種）不同的涂法.所以根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有12＋6＝18（種）不同的涂法.
（2）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在
不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，則有 種不
同的種植方法.
解析： 若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6（種）不同的種植方法.同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6（種）不同的種植方法.故不同的種植方法共有6×3＝18（種）.
18　
通性通法
解決涂色（種植）問題的一般思路
（1）按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步計(jì)數(shù)原理分析；
（2）以顏色（種植作物）為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線
段”等問題，用分類計(jì)數(shù)原理分析；
（3）對(duì)于涂色問題，將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色
問題.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 對(duì)圖中的A，B，C三個(gè)區(qū)域染色，每塊區(qū)域染一種顏色，有公共
邊的區(qū)域不同色.現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種不同的顏色可以選擇，則不
同的染色方法共有（　　）
A B C
A. 22種 B. 18種
解析： 　先給A染色，有3種方法；再給B染色，有2種方法；再
給C染色，有2種方法，由分步計(jì)數(shù)原理可得不同的染色方法共有
3×2×2＝12（種）.故選C.
C. 12種 D. 6種
2. 如圖，將1個(gè)四棱錐的每個(gè)面染上1種顏色，使每?jī)蓚€(gè)具有公共棱的
面染成不同顏色.如果只有4種顏色可使用，那么不同的染色方法有
（　　）
A. 36種 B. 48種
C. 72種 D. 108種
解析： 當(dāng)側(cè)面SAB與側(cè)面SDC同色時(shí)，底面ABCD有4種染色
方法，側(cè)面SDC有3種染色方法，側(cè)面SAD有2種染色方法，側(cè)面
SAB有1種染色方法，側(cè)面SBC有2種染色方法，共有
4×3×2×1×2＝48（種）染色方法.當(dāng)側(cè)面SAB與側(cè)面SDC不同
色時(shí)，底面ABCD有4種染色方法，側(cè)面SDC有3種染色方法，側(cè)
面SAD有2種染色方法，側(cè)面SAB有1種染色方法，側(cè)面SBC有1種
染色方法，共有4×3×2×1×1＝24（種）染色方法.則不同的染色
方法共有48＋24＝72（種）.
1. 由數(shù)字1，2，3組成的無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為
（　　）
A. 15 B. 12
C. 10 D. 5
解析： 　分三類，第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個(gè)；第二類組
成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè)；第三類組成三位整數(shù)，其中偶數(shù)有2
個(gè).由分類計(jì)數(shù)原理知共有偶數(shù)5個(gè).
2. （a1＋a2）（b1＋b2）（c1＋c2＋c3）完全展開后的項(xiàng)數(shù)是
（　　）
A. 9 B. 18
C. 7 D. 12
解析： 　每個(gè)括號(hào)內(nèi)各取1項(xiàng)相乘才能得到展開式中的1項(xiàng)，由分
步計(jì)數(shù)原理得，完全展開后的項(xiàng)數(shù)為2×2×3＝12.
3. 某縣總工會(huì)利用業(yè)余時(shí)間開設(shè)太極、書法、繪畫三個(gè)培訓(xùn)班，甲、
乙、丙、丁四人報(bào)名參加，每人只報(bào)名參加一項(xiàng)，且甲、乙不參加
同一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法種數(shù)為 .
解析：甲有三個(gè)培訓(xùn)班可選，甲、乙不參加同一項(xiàng)，所以乙有兩個(gè)
培訓(xùn)班可選，丙、丁各有三個(gè)培訓(xùn)可選，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同
的報(bào)名方法種數(shù)為3×2×3×3＝54.
54　
4. （2024·淮安月考）如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有
多少種？
A B
C D 解：先涂A，有4種選擇，
再涂B有3種選擇，C與A，B相鄰，
則C有2種選擇，D只與C相鄰，
則D有3種選擇，
所以一共有4×3×2×3＝72（種）不同的涂法.
知能演練·扣課標(biāo)
02
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1. 從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加，其
和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為（　　）
A. 30 B. 20
解析： 　從0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同的數(shù)字
相加，和為偶數(shù)可分為兩類：①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種取
法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種取法.故由分類計(jì)數(shù)原理得，
共有N＝3＋3＝6（種）取法.
C. 10 D. 6
2. 將4個(gè)不同小球放入3個(gè)不同的盒子，其中每個(gè)盒子都不空的放法共
有（　　）
A. 81種 B. 256種
C. 18種 D. 36種
解析： 　必有一個(gè)盒子放2個(gè)小球，將4個(gè)小球分3組，其中有2個(gè)
小球?yàn)橐唤M，另外2個(gè)小球各為一組，共有6種分組方法.然后，每
一種分組的小球放入3個(gè)不同的盒子，按分步計(jì)數(shù)原理，有
（3×2×1）種放法，共有6×（3×2×1）＝36（種）放法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左數(shù)第2個(gè)號(hào)碼只能從
字母B，C，D中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從0～9這10個(gè)數(shù)字中選
擇（數(shù)字可以重復(fù)）.若某車主第1個(gè)號(hào)碼（從左到右）只想在數(shù)字
3，5，6，8，9中選擇，其他號(hào)碼只想在1，3，6，9中選擇，則他
可選的車牌號(hào)碼的所有可能情況有（　　）
A. 180種 B. 360種
C. 720種 D. 960種
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　按照車主的要求，從左到右第1個(gè)號(hào)碼有5種選法，第2
個(gè)號(hào)碼有3種選法，其余3個(gè)號(hào)碼各有4種選法，因此共有
5×3×4×4×4＝960（種）情況.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. （2024·鎮(zhèn)江月考）從集合{1，2，3，4，5}中任取2個(gè)不同的數(shù)，
作為直線Ax＋By＝0的系數(shù)，則最多形成不同的直線的條數(shù)為
（　　）
A. 18 B. 20
C. 25 D. 10
解析： 　分兩步：第1步，給A賦值有5種選擇；第2步，給B賦值
有4種選擇，由分步計(jì)數(shù)原理可得5×4＝20（種）.又因?yàn)锳＝1，
B＝2，與A＝2，B＝4表示同一直線.A＝2，B＝1與A＝4，B＝
2，也表示同一直線.所以最多形成不同的直線的條數(shù)為20－2＝18.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么滿足條件的不同的有
序自然數(shù)對(duì)（x，y）的個(gè)數(shù)是（　　）
A. 15 B. 12
C. 5 D. 4
解析： 　分情況討論：①當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，1，2，3，4，5，有
6種情況；②當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0，1，2，3，4，有5種情況；③當(dāng)x
＝3時(shí)，y＝0，1，2，3，有4種情況.由分類計(jì)數(shù)原理可得，滿足
條件的有序自然數(shù)對(duì)（x，y）的個(gè)數(shù)是6＋5＋4＝15.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多選）“二進(jìn)制”與我國古代的《易經(jīng)》有著一定的聯(lián)系，該書
中有兩類最基本的符號(hào)：“——”和“— —”，其中“——”在
二進(jìn)制中記作“1”，“— —”在二進(jìn)制中記作“0”，其變化原
理與“逢二進(jìn)一”的法則相通.若從兩類符號(hào)中任取2個(gè)符號(hào)排列，
可以組成的不同的十進(jìn)制數(shù)為（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　根據(jù)題意，從兩類符號(hào)中任取2個(gè)符號(hào)排列的情況可
分為三類.第一類：由兩個(gè)“——”組成，二進(jìn)制數(shù)為11，轉(zhuǎn)化為
十進(jìn)制數(shù)，為3.第二類：由兩個(gè)“— —”組成，二進(jìn)制數(shù)為00，
轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，為0.第三類：由一個(gè)“——”和一個(gè)“— —”
組成，二進(jìn)制數(shù)為10，01，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，為2，1.所以從兩類
符號(hào)中任取2個(gè)符號(hào)排列，可以組成的不同的十進(jìn)制數(shù)為0，1，2，
3，故選A、B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活
動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外
兩位前面.不同的安排方法共有 種.
解析：分三類：若甲在周一，則乙、丙有4×3＝12（種）排法；若
甲在周二，則乙、丙有3×2＝6（種）排法；若甲在周三，則乙、
丙有2×1＝2（種）排法.所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20
（種）.
20　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 如圖所示，在A，B之間有4個(gè)焊接點(diǎn)，若焊接點(diǎn)脫落，則可能導(dǎo)
致線路不通，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情
況有 種.
解析：4個(gè)焊接點(diǎn)共有24種情況，其中使A，B之間線路通的情況
是1，4都通，2和3至少有一個(gè)通，此時(shí)共有3種可能，故焊接點(diǎn)脫
落的情況有24－3＝13（種）.
13　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. （2024·揚(yáng)州月考）在一個(gè)三位數(shù)中，若十位數(shù)字小于個(gè)位和百位
數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”，比如“102”“546”為“駝峰
數(shù)”.由數(shù)字1，2，3，4可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有
個(gè)，其中偶數(shù)有 個(gè).
解析：十位上的數(shù)為1時(shí)，有213，214，312，314，412，413，共6
個(gè)，十位上的數(shù)為2時(shí)，有324，423，共2個(gè)，所以共有6＋2＝8個(gè).
偶數(shù)為214，312，314，412，324，共5個(gè).
8　
5　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字.
（1）可以排出多少個(gè)三位數(shù)字的密碼？
解： 三位數(shù)字的密碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重
復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125（個(gè)）.
（2）可以排成多少個(gè)三位數(shù)？
解： 三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先
考慮首位的排法，除0外共有4種排法，第二、三位可以排
0，因此，共有4×5×5＝100（個(gè)）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3）可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？
解： 被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因
此，可以分兩類，
第1類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12（種）排法；
第2類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排
首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，
因此有2×3×3＝18（種）排法.
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有12＋18＝30（種）排法.即可以排
成30個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐
為陽馬.設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱
柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個(gè)
數(shù)是（　　）
A. 8 B. 12
C. 16 D. 18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　如圖，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，當(dāng)A1ABB1
為底面矩形時(shí)，有4個(gè)滿足題意；同理，當(dāng)A1AFF1
為底面矩形時(shí)，有4個(gè)滿足題意；當(dāng)A1ACC1為底面
矩形時(shí)，有4個(gè)滿足題意；當(dāng)A1AEE1為底面矩形
時(shí)，有4個(gè)滿足題意，故共有4＋4＋4＋4＝16
（個(gè)）陽馬.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市
投資的項(xiàng)目不超過2個(gè)，則該外商不同的投資方案有 種（用
數(shù)字作答）.
60　
解析：有兩類不同的投法：①外商從4個(gè)候選城市中選擇3個(gè)城
市，各投資1個(gè)項(xiàng)目，第一個(gè)項(xiàng)目有4種投法，第二個(gè)項(xiàng)目有3種投
法，第三個(gè)項(xiàng)目有2種投法，這種情況下共有4×3×2＝24（種）
投法.②外商從4個(gè)候選城市只選擇2個(gè)城市分別投資1個(gè)項(xiàng)目、2個(gè)
項(xiàng)目；3個(gè)項(xiàng)目中選一個(gè)項(xiàng)目投到1個(gè)城市，有4種選法，剩下2個(gè)
項(xiàng)目選1個(gè)城市有3種可能，這種情況下共有3×4×3＝36（種）投
法.從而外商不同的投資方案共有24＋36＝60（種）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. （2024·常州月考）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注
時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂
色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同
的涂色方案種數(shù)為 .
420　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：如圖，若區(qū)域①與③顏色相同，區(qū)域①有5種
涂法，區(qū)域②有4種涂法，區(qū)域④有3種涂法，區(qū)域
⑤有3種涂法，由分步計(jì)數(shù)原理可知不同的涂色方案
有5×4×3×3＝180種；若區(qū)域①與③顏色不同，區(qū)
域①有5種涂法，區(qū)域②有4種涂法，區(qū)域③有3種涂法，區(qū)域④有2種涂法，區(qū)域⑤有2種涂法，由分步計(jì)數(shù)原理可知不同的涂色方案有5×4×3×2×2＝240種.綜上，由分類計(jì)數(shù)原理可知不同的涂色方案種數(shù)為180＋240＝420.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 某出版社的7名工人中，有3人只會(huì)排版，2人只會(huì)印刷，還有2人
既會(huì)排版又會(huì)印刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，請(qǐng)問有多
少種不同的安排方法？
解：根據(jù)既會(huì)排版又會(huì)印刷的2人中被選出的人數(shù)，可將問題分為
三類：
第一類：既會(huì)排版又會(huì)印刷的2人全不被選出，即從只會(huì)排版的3
人中選2人，有3種選法；只會(huì)印刷的2人全被選出，有1種選法，
由分步計(jì)數(shù)原理知共有3×1＝3種選法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
第二類：既會(huì)排版又會(huì)印刷的2人中被選出1人，有2種選法.若此
人去排版，則再從會(huì)排版的3人中選1人，有3種選法，只會(huì)印刷的
2人全被選出，有1種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有2×3×1＝6種
選法；若此人去印刷，則再從會(huì)印刷的2人中選1人，有2種選法，
從會(huì)排版的3人中選2人，有3種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有
2×2×3＝12種選法.由分類計(jì)數(shù)原理知共有6＋12＝18種選法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
第三類：既會(huì)排版又會(huì)印刷的2人全被選出，若此2人都去印刷，
有3種選法；若此2人都去排版，有1種選法；若此2人中1人去排
版，1人去印刷，有2×3×2＝12種選法.由分類計(jì)數(shù)原理知共有3
＋1＋12＝16種選法.
所以不同的安排方法種數(shù)為3＋18＋16＝37.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 高中學(xué)生甲到教室需要走樓梯，一步可以邁一級(jí)或兩級(jí)或三級(jí)
臺(tái)階.
（1）若樓梯有4級(jí)臺(tái)階，則甲有多少種不同的爬樓方法；
解： 用1，2，3分別表示學(xué)生甲一步邁一級(jí)、兩級(jí)、三
級(jí)臺(tái)階，用例舉法可知學(xué)生甲有1111，121，112，13，
211，22，31，共7種不同的爬樓方法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若樓梯有10級(jí)臺(tái)階，則甲有多少種不同的爬樓方法.
解： 設(shè)學(xué)生甲爬n級(jí)臺(tái)階有an種方法，考慮最后一
步：若最后一步只邁一級(jí)臺(tái)階，則前n－1級(jí)臺(tái)階有an－1種
方法；
若最后一步邁兩級(jí)臺(tái)階，則前n－2級(jí)臺(tái)階有an－2種不同的
方法；
若最后一步邁三級(jí)臺(tái)階，則前n－3級(jí)臺(tái)階有an－3種不同的
方法，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
由分類計(jì)數(shù)原理得：an＝an－1＋an－2＋an－3（n≥4），顯
然a1＝1，a2＝2，a3＝4，則：a4＝a1＋a2＋a3＝7，a5＝a2
＋a3＋a4＝13，a6＝a3＋a4＋a5＝24，a7＝a4＋a5＋a6＝
44，a8＝a5＋a6＋a7＝81，a9＝a6＋a7＋a8＝149，a10＝a7
＋a8＋a9＝274，
故該學(xué)生上10級(jí)臺(tái)階的樓梯有274種不同的爬樓方法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
謝 謝 觀 看！第2課時(shí)　兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
題型一 組數(shù)問題
【例1】　（鏈接教科書第64頁習(xí)題7題）已知0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字.
（1）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？
（2）可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)？
通性通法
對(duì)于組數(shù)問題應(yīng)掌握以下兩個(gè)原則
（1）明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置（末位或首位）分類，分類中再按特殊數(shù)字（或特殊元素）優(yōu)先的策略分步；如果正面分類較多，可采用間接法求解；
（2）要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.（2024·徐州月考）用0，1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)有（　　）
A.8個(gè) B.10個(gè)
C.18個(gè) D.24個(gè)
2.用0，1，2，3，4，5可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位整數(shù)有　　　；其中比2 000大的四位偶數(shù)有　　　個(gè).
題型二 選（抽）取與分配問題
【例2】　高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中甲工廠必須有班級(jí)去，每班去哪個(gè)工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（　　）
A.16種 B.18種
C.37種 D.48種
通性通法
解決抽取（分配）問題的方法技巧
（1）當(dāng)涉及對(duì)象的數(shù)目不大時(shí)，一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或圖表法；
（2）當(dāng)涉及對(duì)象的數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：①直接法：直接使用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理.若抽取是有順序的，則按分步進(jìn)行；若是按對(duì)象特征抽取的，則按分類進(jìn)行；②間接法：去掉限制條件，計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.（2024·鹽城月考）從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有（　　）
A.280種 B.240種
C.180種 D.96種
2.甲、乙、丙三人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀卡，則不同取法的種數(shù)為　　　　.
題型三 涂色（種植）問題
【例3】　（鏈接教科書第64頁習(xí)題13題）（1）如圖所示，有A，B，C，D四個(gè)區(qū)域，用紅、黃、藍(lán)三種顏色涂色，要求任意兩個(gè)相鄰區(qū)域的顏色各不相同，共有　　　　種不同的涂法；
（2）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，則有　　　　種不同的種植方法.
通性通法
解決涂色（種植）問題的一般思路
（1）按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步計(jì)數(shù)原理分析；
（2）以顏色（種植作物）為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問題，用分類計(jì)數(shù)原理分析；
（3）對(duì)于涂色問題，將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.對(duì)圖中的A，B，C三個(gè)區(qū)域染色，每塊區(qū)域染一種顏色，有公共邊的區(qū)域不同色.現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種不同的顏色可以選擇，則不同的染色方法共有（　　）
A B C
A.22種 B.18種
C.12種 D.6種
2.如圖，將1個(gè)四棱錐的每個(gè)面染上1種顏色，使每?jī)蓚€(gè)具有公共棱的面染成不同顏色.如果只有4種顏色可使用，那么不同的染色方法有（　　）
A.36種 B.48種 C.72種 D.108種
1.由數(shù)字1，2，3組成的無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（　　）
A.15 B.12 C.10 D.5
2.（a1＋a2）（b1＋b2）（c1＋c2＋c3）完全展開后的項(xiàng)數(shù)是（　　）
A.9 B.18 C.7 D.12
3.某縣總工會(huì)利用業(yè)余時(shí)間開設(shè)太極、書法、繪畫三個(gè)培訓(xùn)班，甲、乙、丙、丁四人報(bào)名參加，每人只報(bào)名參加一項(xiàng)，且甲、乙不參加同一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法種數(shù)為　　　　.
4.（2024·淮安月考）如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有多少種？
A B
C
D
第2課時(shí)　兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）若組成的數(shù)為數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)，則首位數(shù)字不為零，個(gè)位和十位的數(shù)字無限制，
所以數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為5×5×4＝100.
（2）若組成的數(shù)為數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)，則首位數(shù)字不為零，個(gè)位和十位的數(shù)字無限制，
所以數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為5×62＝180.
跟蹤訓(xùn)練
1.A　個(gè)位數(shù)只能是1或3，所以有2種選擇，首位不能為0，則有2種選擇；百位數(shù)字有2種選擇；十位數(shù)字只有1種選擇.由分步計(jì)數(shù)原理，所以用0，1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)為奇數(shù)的有2×2×2×1＝8（個(gè)）.
2.300　120　解析：①分四步：第1步，千位數(shù)字有5種選取方法；第2步，百位數(shù)字有5種選取方法；第3步，十位數(shù)字有4種選取方法；第4步，個(gè)位數(shù)字有3種選取方法.由分步計(jì)數(shù)原理知，可組成無重復(fù)數(shù)字的四位整數(shù)共5×5×4×3＝300（個(gè)）.②分為三類：第1類，末位是0的有4×4×3＝48（個(gè)）；第2類，末位是2的有3×4×3＝36（個(gè)）；第3類，末位是4的有3×4×3＝36（個(gè)）.由分類計(jì)數(shù)原理知，共有48＋36＋36＝120（個(gè)）.
【例2】　C　法一（直接法）　以甲工廠分配班級(jí)情況進(jìn)行分類，共分為三類.第1類，三個(gè)班級(jí)都去甲工廠，此時(shí)分配方案只有1種；第2類，有兩個(gè)班級(jí)去甲工廠，剩下的班級(jí)去另外三個(gè)工廠，其分配方案有3×3＝9（種）；第3類，有一個(gè)班級(jí)去甲工廠，另外兩個(gè)班級(jí)去其他三個(gè)工廠，其分配方案有3×3×3＝27（種）.綜上所述，不同的分配方案共有1＋9＋27＝37（種）.
法二（間接法）　先計(jì)算三個(gè)班自由選擇去哪個(gè)工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即有4×4×4－3×3×3＝37（種）不同的分配方案.
跟蹤訓(xùn)練
1.B　由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法，后面三項(xiàng)工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240（種）選派方案.
2.2　解析：不妨由甲先來取，共2種取法，而甲取到誰的將由誰在甲取后第二個(gè)來取，余下來的人，都只有了一種選擇，所以不同取法共有2×1×1＝2（種）.
【例3】　（1）18　（2）18　解析：（1）①若A，C涂色相同，則A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3，2，1，2，則有3×2×1×2＝12（種）不同的涂法.②若A，C涂色不相同，則A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3，2，1，1，則有3×2×1×1＝6（種）不同的涂法.所以根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有12＋6＝18（種）不同的涂法.
（2）若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6（種）不同的種植方法.同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6（種）不同的種植方法.故不同的種植方法共有6×3＝18（種）.
跟蹤訓(xùn)練
1.C　先給A染色，有3種方法；再給B染色，有2種方法；再給C染色，有2種方法，由分步計(jì)數(shù)原理可得不同的染色方法共有3×2×2＝12（種）.故選C.
2.C　當(dāng)側(cè)面SAB與側(cè)面SDC同色時(shí)，底面ABCD有4種染色方法，側(cè)面SDC有3種染色方法，側(cè)面SAD有2種染色方法，側(cè)面SAB有1種染色方法，側(cè)面SBC有2種染色方法，共有4×3×2×1×2＝48（種）染色方法.當(dāng)側(cè)面SAB與側(cè)面SDC不同色時(shí)，底面ABCD有4種染色方法，側(cè)面SDC有3種染色方法，側(cè)面SAD有2種染色方法，側(cè)面SAB有1種染色方法，側(cè)面SBC有1種染色方法，共有4×3×2×1×1＝24（種）染色方法.則不同的染色方法共有48＋24＝72（種）.
隨堂檢測(cè)
1.D　分三類，第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個(gè)；第二類組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè)；第三類組成三位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè).由分類計(jì)數(shù)原理知共有偶數(shù)5個(gè).
2.D　每個(gè)括號(hào)內(nèi)各取1項(xiàng)相乘才能得到展開式中的1項(xiàng)，由分步計(jì)數(shù)原理得，完全展開后的項(xiàng)數(shù)為2×2×3＝12.
3.54　解析：甲有三個(gè)培訓(xùn)班可選，甲、乙不參加同一項(xiàng)，所以乙有兩個(gè)培訓(xùn)班可選，丙、丁各有三個(gè)培訓(xùn)可選，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的報(bào)名方法種數(shù)為3×2×3×3＝54.
4.解：先涂A，有4種選擇，
再涂B有3種選擇，C與A，B相鄰，
則C有2種選擇，D只與C相鄰，
則D有3種選擇，
所以一共有4×3×2×3＝72（種）不同的涂法.
2 / 2

展開更多......

收起↑