資源簡介

7.2　排列
第1課時　排列
1.下列問題是排列問題的是（　　）
A.10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次
B.平面上有2 024個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可以構成多少條線段
C.集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三個元素的子集有多少個
D.從高三（19）班的54名學生中選出2名學生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節目，有多少種選法
2.世界華商大會的某分會場有A，B，C三個展臺，將甲、乙、丙、丁4名“雙語”志愿者分配到這三個展臺，每個展臺至少1人，其中甲、乙兩人被分配到同一展臺的不同分法的種數為（　　）
A.12 B.10
C.8 D.6
3.從1，2，3，4，5這五個數字中任取兩個數字組成兩位數，組成不同的兩位數共有（　　）
A.10個 B.12個
C.18個 D.20個
4.（2024·宿遷月考）四張卡片上分別標有數字“2”“0”“2”“4”，則由這四張卡片可組成的不同的四位數的個數為（　　）
A.6 B.9
C.12 D.24
5.由1，2，3，4這四個數字組成的首位數字是1，且恰有三個相同數字的四位數有（　　）
A.9個 B.12個
C.15個 D.18個
6.（多選）已知甲、乙等5人站一橫排，則下列說法正確的是（　　）
A.甲、乙站兩端有14種站法
B.甲、乙站兩端有12種站法
C.甲、乙不站兩端有108種站法
D.甲、乙不站兩端有36種站法
7.甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排頭的所有排列種數為　　　　.
8.從1，3，5，7，9這五個數中，每次取出兩個，分別記為a，b，共可得到lg a－lg b的不同的值的個數是　　　　.
9.某高三畢業班有40人，同學之間彼此給對方僅寫一條畢業留言，那么全班共寫了　　　　條畢業留言（用數字作答）.
10.寫出下列問題的所有排列：
（1）北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應該有多少種直達機票？
（2）A，B，C，D四名同學排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少種不同的排列方法？
11.（2024·蘇州月考）若一個三位數的十位數字比個位數字和百位數字都大，則稱這個數為“傘數”.現從1，2，3，4，5這5個數字中任取3個數，組成無重復數字的三位數，其中“傘數”有（　　）
A.80個 B.40個
C.20個 D.10個
12.（多選）甲、乙、丙、丁四人參加4項體育比賽，每項比賽第一名到第四名的得分依次為4，3，2，1.比賽結束時甲以14分獲第一名，乙的得分為13分，則（　　）
A.第三名的得分不超過9分
B.第三名可能獲得其中一場比賽的第一名
C.最后一名的得分不超過6分
D.第四名可能有一項比賽拿到3分
13.（2024·南通月考）三人互相傳球，由甲開始發球，并作為第一次傳球，經過五次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有　　　　種.
14.將3名男生，2名女生排成一列.
（1）男生甲必須排在第1位的排法有多少種？
（2）兩名女生相鄰的排法有多少種？兩名女生不相鄰的排法有多少種？
15.某藥品研究所研制了5種消炎藥a1，a2，a3，a4，a5，4種退熱藥b1，b2，b3，b4，現從中取兩種消炎藥和一種退熱藥同時進行療效試驗，但a1，a2兩種藥或同時用或同時不用，a3，b4兩種藥不能同時使用，試寫出所有不同試驗方法.
第1課時　排列
1.D　A中握手次數的計算與次序無關，B中線段的條數計算與點的次序無關，C中子集的個數與該集合中元素的次序無關，故這三個問題都不是排列問題.D中，選出的2名學生，如甲、乙，其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是2種不同的選法，因此是排列問題.故選D.
2.D　因為甲、乙兩人被分配到同一展臺，所以甲與乙捆在一起，看成一個人，然后將3個人分到3個展臺進行排列，即有3×2×1＝6（種），所以甲、乙兩人被分配到同一展臺的不同分法的種數為6.
3.D　從1，2，3，4，5這五個數字中任取兩個數字可組成的兩位數為12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，41，51，32，42，52，43，53，54，共20個.
4.B　第一類，0在個位，有2 240，2 420，4 220，共3個；第二類，0在十位，有2 204，2 402，4 202，共3個；第三類，0在百位，有2 024，2 042，4 022，共3個，故由這四張卡片可組成的不同的四位數的個數為9.
5.B　本題要求首位數字是1，且恰有三個相同的數字，用樹狀圖表示為：
由圖可知共有12個.
6.BD　甲、乙兩人站兩端有2×3×2×1＝12（種），B正確.甲、乙兩人不站兩端分兩步進行：第1步，甲、乙站中間3個位置中的2個位置有3×2＝6（種）站法；第2步，其余3個人任意排列有3×2×1＝6（種），所以共有6×6＝36（種）站法，D正確.故選B、D.
7.4　解析：列“樹狀圖”如下，故共有乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲4種排列方法.
　　
8.18　解析：lg a－lg b＝lg，從1，3，5，7，9中任取兩個數分別記為a，b，共有5×4＝20（種），其中lg＝lg，lg＝lg，故共可得到18種結果.
9.1 560　解析：根據題意，得40×39＝1 560，故全班共寫了1 560條畢業留言.
10.解：（1）列出每一個起點和終點情況，如圖所示.
故符合題意的機票有北京廣州，北京南京，北京天津，廣州南京，廣州天津，廣州北京，南京天津，南京北京，南京廣州，天津北京，天津廣州，天津南京，共12種.
（2）因為A不排第一，排第一位的情況有3類（可從B，C，D中任選一人排），而此時兼顧分析B的排法，畫出樹形圖如圖.
所以符合題意的所有排列是BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14種.
11.C　十位數只能是3，4，5.當十位數為3時只有：132，231，共2個；當十位數是4時有：142，143，241，243，341，342，共6個；當十位數是5時有：152，153，154，251，253，254，351，352，354，451，452，453，共12個，故共有2＋6＋12＝20（個）.
12.ACD　所有分數之和為4×（4＋3＋2＋1）＝40，甲和乙的總得分是27分，所以第三名和第四名的總得分是13分，第四名的得分不超過6分，C正確.第四名至少得4分，所以A正確.所有項目的第一名和第二名分數之和為4×（4＋3）＝28，只比甲、乙的總得分高1分，說明只有一種情況，即甲和乙包攬了所有的第一名，總共拿了3個第二名和1個第三名，總分第三名不可能獲得其中某一場比賽的第一名，故B錯誤.如圖所示為D正確的一種情況.
選手 比賽項目
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
甲 4 4 4 2
乙 3 3 3 4
丙 2 2 2 1
丁 1 1 1 3
故選A、C、D.
13.10　解析：記另外兩人為乙、丙，若甲第一次把球傳給乙，則不同的傳球方式如圖所示，其中經過五次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方式有5種.同理，若甲第一次把球傳給丙，也有5種符合題意的不同的傳球方式，所以共有10種符合題意的不同的傳球方式.
14.解：（1）男生甲必須排在第1位的排法有4×3×2×1＝24（種）.
（2）先把兩名女生當作一個整體，與3個男生進行排列，共有4×3×2×1＝24（種）排法.兩個女生再進行排列，共2×1＝2（種）排法.根據分步計數原理，共有24×2＝48（種）排法；
若兩名女生不相鄰，先排3個男生，共有3×2×1＝6（種）排法，再把2個女生插在4個空中，共有4×3＝12（種）排法.根據分步計數原理，共有6×12＝72（種）排法.
15.解：如圖，由樹狀圖可寫出所有不同試驗方法如下：
故不同的試驗方法為：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14種.
2 / 27.2　排列
新課程標準解讀 核心素養
1.通過實例，理解排列的概念；能利用計數原理推導排列數公式 數學抽象
2.能運用排列數公式解決簡單的實際問題 數學建模、數學運算
第1課時　排列
　　兩個同學從寫有數字1，2，3，4的卡片中選取卡片進行組數字游戲.
【問題】　（1）從這4個數字中選出2個能構成多少個無重復數字的兩位數？
（2）從這4個數字中選出3個能構成多少個無重復數字的三位數？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　排列的概念
一般地，從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素，按照　　　　　　排成一列，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
提醒　排列定義中兩層含義：一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排成一列”.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）1，2，3與3，2，1為同一排列.（　　）
（2）在一個排列中，同一個元素不能重復出現.（　　）
（3）從1，2，3，4中任選兩個數字，就組成一個排列.（　　）
2.從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為（　　）
A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B.甲乙丙、乙丙甲
C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D.甲乙、甲丙、乙丙
3.（多選）從1，2，3，4四個數字中，任選兩個數做加、減、乘、除運算，分別計算它們的結果，在這些問題中，可以看作排列問題的有（　　）
A.加法 B.減法
C.乘法 D.除法
題型一 排列的有關概念
【例1】　判斷下列問題是否為排列問題：
（1）會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排三位客人，又有多少種方法？
（2）從集合M＝{1，2，…，9}中，任取兩個元素作為a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程＋＝1？可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程－＝1？
（3）平面上有5個點，其中任意三個點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？
通性通法
判斷一個具體問題是否為排列問題的方法
【跟蹤訓練】
　下面問題中，是排列問題的是（　　）
A.由1，2，3三個數字組成無重復數字的三位數
B.從40人中選5人組成籃球隊
C.從100人中選2人抽樣調查
D.從1，2，3，4，5中選2個數組成集合
題型二 畫樹狀圖寫排列
【例2】　（鏈接教科書第65頁例1）（1）從1，2，3，4四個數字中任取兩個數字組成沒有重復數字的兩位數，一共可以組成多少個？
（2）寫出從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列，一共可以組成多少個排列？
通性通法
利用“樹狀圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略
（1）適用范圍：“樹狀圖”在解決排列元素個數不多的問題時，是一種比較有效的表示方式；
（2）策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，再安排第二個元素，并按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹狀圖寫出排列.
【跟蹤訓練】
　從語文、數學、英語、物理4本書中任意取出3本分給甲、乙、丙三人，每人一本，試將所有不同的分法列舉出來.
題型三 簡單的排列問題
【例3】　用具體數字表示下列問題：
（1）由0，1，2，3組成的能被5整除且沒有重復數字的四位數的個數；
（2）有4名大學生可以到5家單位實習，若每家單位至多招1名實習生，每名大學生至多到1家單位實習，且這4名大學生全部被分配完畢，求其分配方案的個數.
通性通法
解決簡單的排列實際應用問題的策略
（1）首先明確要研究的元素是什么，有無順序；
（2）在處理該問題時是需要分類完成還是分步完成.
【跟蹤訓練】
1.（2024·南京月考）滬寧高鐵線上有六個大站：上海、蘇州、無錫、常州、鎮江、南京，鐵路部門應為滬寧線上的六個大站（這六個大站之間）準備不同的火車票的種數為（　　）
A.15 B.30
C.12 D.36
2.已知某工藝品的加工需要先由普通技師完成粗加工，再由高級技師完成精加工，其中粗加工要完成A，B，C，D四道工序且不分順序，精加工要完成E，F，G三道工序且E為F的前一道工序，則完成該工藝品加工不同的方法有（　　）
A.144種 B.96種
C.48種 D.112種
1.（多選）下列問題中，是排列問題的有（　　）
A.從甲、乙、丙3名同學中選出2名分別參加數學和物理學習小組
B.從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動
C.從a，b，c，d這4個字母中取出2個
D.從1，2，3，4這4個數字中取出2個組成一個兩位數
2.李老師要給4個同學輪流進行心理輔導，每個同學1次，則輪流次序共有（　　）
A.6種 B.12種
C.24種 D.48種
3.（2024·揚州月考）將《語文》《數學》《英語》三本不同的教科書按上下方式放在一起，則《數學》放在最上面或最下面的不同放法共有（　　）
A.2種 B.4種
C.6種 D.9種
4.寫出A，B，C，D四名同學站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法.
、第1課時　排列
【基礎知識·重落實】
知識點
一定的順序
自我診斷
1.（1）×　（2）√　（3）×
2.C　從三人中選出兩人，而且要考慮這兩人的順序，所以有如下6種站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.
3.BD　因為加法和乘法滿足交換律，所以選出兩個數做加法和乘法時，結果與兩數字順序無關，故不是排列問題.而減法、除法與兩數字的順序有關，故是排列問題.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）第一問不是排列問題，第二問是排列問題.“入座”問題同“排隊”問題，與順序有關，故選3個座位安排三位客人是排列問題.
（2）第一問不是排列問題，第二問是排列問題.若方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則必有a＞b，a，b的大小關系一定；在雙曲線－＝1中，不管a＞b還是a＜b，方程－＝1均表示焦點在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故是排列問題.
（3）確定直線不是排列問題，確定射線是排列問題.
跟蹤訓練
　A　對選項A，由于三個數字位置不同所得到的三位數不同，即與順序有關.A為排列問題，其他B、C、D表述事情均與所選取的元素順序無關，它們不是排列問題，故選A.
【例2】　解：（1）由題意作出樹狀圖如圖：
故組成的所有沒有重復數字的兩位數為12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，一共可以組成12個.
（2）由題意作出樹狀圖如圖：
故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.一共可以組成24個排列.
跟蹤訓練
　解：從語文、數學、英語、物理4本書中任意取出3本，分給甲、乙、丙三人，每人一本，相當于從4個不同的元素中任意取出3個元素，按“甲、乙、丙”的順序進行排列，每一個排列就對應著一種分法，所以共有4×3×2＝24（種）不同的分法，不妨給“語文、數學、英語、物理”編號，依次為1，2，3，4，畫出樹狀圖如圖.
由樹狀圖可知，按甲、乙、丙的順序分的方法為：
語數英 語數物 語英數 語英物 語物數 語物英
數語英 數語物 數英語 數英物 數物語 數物英
英語數 英語物 英數語 英數物 英物語 英物數
物語數 物語英 物數語 物數英 物英語 物英數.
【例3】　解：（1）因為組成的沒有重復數字的四位數能被5整除，
所以這個四位數的個位數字一定是“0”，
故要確定此四位數，只需確定千位數字、百位數字、十位數字即可，
共有3×2×1＝6（個）.
（2）此題可以理解為從5家單位中選出4家單位，
分別把4名大學生安排到4家單位，
共有5×4×3×2＝120（個）分配方案.
跟蹤訓練
1.B　對于兩個大站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因為每張車票對應一個起點站和一個終點站，因此，每張火車票對應從6個不同元素（大站）中取出2個不同元素（起點站和終點站）的一種排列，故不同的火車票有6×5＝30（種）.
2.C　由題意可知，粗加工工序的排法種數為4×3×2×1＝24.將E，F進行捆綁，且E為F的前一道工序，精加工工序的排法種數為2.由分步計數原理可知，完成該工藝品加工不同的方法有24×2＝48（種）.故選C.
隨堂檢測
1.AD　A是排列問題，因為2名同學參加的學習小組與順序有關；B不是排列問題，因為2名同學參加這項活動與順序無關；C不是排列問題，因為取出的2個字母與順序無關；D是排列問題，因為取出的2個數字還需要按順序排成一個兩位數.
2.C　從4個同學中任選1個同學有4種，再從剩下的3個同學中任選1個同學有3種，再從剩下的2個同學中任選1個同學有2種，最后剩下1個同學.按分步計數原理，不同的選法有4×3×2×1＝24（種）.
3.B　第一類《數學》放在最上面，有兩種不同的放法，第二類《數學》放在最下面，也有兩種不同的放法，則《數學》放在最上面或最下面的不同放法共有4種.
4.解：由題意作“樹狀圖”，如圖.
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
3 / 3(共53張PPT)
7.2　排列
新課程標準解讀 核心素養
1.通過實例，理解排列的概念；能利
用計數原理推導排列數公式 數學抽象
2.能運用排列數公式解決簡單的實際
問題 數學建模、數學運算
第1課時　排列
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　兩個同學從寫有數字1，2，3，4的卡片中選取卡片進行組數
字游戲.
【問題】　（1）從這4個數字中選出2個能構成多少個無重復數字的
兩位數？
（2）從這4個數字中選出3個能構成多少個無重復數字的三位數？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識點　排列的概念
一般地，從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素，按照
排成一列，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
提醒　排列定義中兩層含義：一是“取出元素”，二是“按照一定的
順序排成一列”.
一定
的順序　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）1，2，3與3，2，1為同一排列. （　×　）
（2）在一個排列中，同一個元素不能重復出現. （　√　）
（3）從1，2，3，4中任選兩個數字，就組成一個排列.
（　×　）
×
√
×
2. 從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為（　　）
A. 甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B. 甲乙丙、乙丙甲
C. 甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D. 甲乙、甲丙、乙丙
解析： 　從三人中選出兩人，而且要考慮這兩人的順序，所以有
如下6種站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.
3. （多選）從1，2，3，4四個數字中，任選兩個數做加、減、乘、除
運算，分別計算它們的結果，在這些問題中，可以看作排列問題的
有（　　）
A. 加法 B. 減法 C. 乘法 D. 除法
解析： 　因為加法和乘法滿足交換律，所以選出兩個數做加法
和乘法時，結果與兩數字順序無關，故不是排列問題.而減法、除
法與兩數字的順序有關，故是排列問題.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 排列的有關概念
【例1】　判斷下列問題是否為排列問題：
（1）會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個
座位安排三位客人，又有多少種方法？
解： 第一問不是排列問題，第二問是排列問題.“入座”
問題同“排隊”問題，與順序有關，故選3個座位安排三位客人
是排列問題.
（2）從集合M＝{1，2，…，9}中，任取兩個元素作為a，b，可以
得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程 ＋ ＝1？可以得到多少
個焦點在x軸上的雙曲線方程 － ＝1？
解： 第一問不是排列問題，第二問是排列問題.若方程
＋ ＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則必有a＞b，a，b的大小
關系一定；在雙曲線 － ＝1中，不管a＞b還是a＜b，方
程 － ＝1均表示焦點在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲
線，故是排列問題.
（3）平面上有5個點，其中任意三個點不共線，這5個點最多可確定
多少條直線？可確定多少條射線？
解： 確定直線不是排列問題，確定射線是排列問題.
通性通法
判斷一個具體問題是否為排列問題的方法
【跟蹤訓練】
　下面問題中，是排列問題的是（　　）
A. 由1，2，3三個數字組成無重復數字的三位數
B. 從40人中選5人組成籃球隊
C. 從100人中選2人抽樣調查
D. 從1，2，3，4，5中選2個數組成集合
解析： 　對選項A，由于三個數字位置不同所得到的三位數不同，
即與順序有關.A為排列問題，其他B、C、D表述事情均與所選取的元
素順序無關，它們不是排列問題，故選A.
題型二 畫樹狀圖寫排列
【例2】　（鏈接教科書第65頁例1）（1）從1，2，3，4四個數字中
任取兩個數字組成沒有重復數字的兩位數，一共可以組成多少個？
解： 由題意作出樹狀圖如圖：
故組成的所有沒有重復數字
的兩位數為12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，一共可以組成12個.
（2）寫出從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列，一共
可以組成多少個排列？
解： 由題意作出樹
狀圖如圖：
故所有的排列為
abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，
bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，
dba，dbc，dca，dcb.一共可以組成24個排列.
通性通法
利用“樹狀圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略
（1）適用范圍：“樹狀圖”在解決排列元素個數不多的問題時，是
一種比較有效的表示方式；
（2）策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個
元素為分類標準進行分類，再安排第二個元素，并按此元素分
類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然
后再按樹狀圖寫出排列.
【跟蹤訓練】
　從語文、數學、英語、物理4本書中任意取出3本分給甲、乙、丙三
人，每人一本，試將所有不同的分法列舉出來.
解：從語文、數學、
英語、物理4本書中任
意取出3本，分給甲、
乙、丙三人，每人一本，相當于從4個不同的元素中任意取出3個元素，按“甲、乙、丙”的順序進行排列，每一個排列就對應著一種分法，所以共有4×3×2＝24（種）不同的分法，不妨給“語文、數學、英語、物理”編號，依次為1，2，3，4，畫出樹狀圖如圖.
由樹狀圖可知，按甲、乙、丙的順序分的方法為：
語數英 語數物 語英數 語英物 語物數 語物英
數語英 數語物 數英語 數英物 數物語 數物英
英語數 英語物 英數語 英數物 英物語 英物數
物語數 物語英 物數語 物數英 物英語 物英數.
題型三 簡單的排列問題
【例3】　用具體數字表示下列問題：
（1）由0，1，2，3組成的能被5整除且沒有重復數字的四位數的
個數；
解： 因為組成的沒有重復數字的四位數能被5整除，
所以這個四位數的個位數字一定是“0”，
故要確定此四位數，只需確定千位數字、百位數字、十位數字
即可，
共有3×2×1＝6（個）.
（2）有4名大學生可以到5家單位實習，若每家單位至多招1名實習
生，每名大學生至多到1家單位實習，且這4名大學生全部被分
配完畢，求其分配方案的個數.
解： 此題可以理解為從5家單位中選出4家單位，
分別把4名大學生安排到4家單位，
共有5×4×3×2＝120（個）分配方案.
通性通法
解決簡單的排列實際應用問題的策略
（1）首先明確要研究的元素是什么，有無順序；
（2）在處理該問題時是需要分類完成還是分步完成.
【跟蹤訓練】
1. （2024·南京月考）滬寧高鐵線上有六個大站：上海、蘇州、無
錫、常州、鎮江、南京，鐵路部門應為滬寧線上的六個大站（這六
個大站之間）準備不同的火車票的種數為（　　）
A. 15 B. 30 C. 12 D. 36
解析： 對于兩個大站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火
車票不同，因為每張車票對應一個起點站和一個終點站，因此，每
張火車票對應從6個不同元素（大站）中取出2個不同元素（起點站
和終點站）的一種排列，故不同的火車票有6×5＝30（種）.
2. 已知某工藝品的加工需要先由普通技師完成粗加工，再由高級技師
完成精加工，其中粗加工要完成A，B，C，D四道工序且不分順
序，精加工要完成E，F，G三道工序且E為F的前一道工序，則
完成該工藝品加工不同的方法有（　　）
A. 144種 B. 96種 C. 48種 D. 112種
解析： 　由題意可知，粗加工工序的排法種數為4×3×2×1＝
24.將E，F進行捆綁，且E為F的前一道工序，精加工工序的排法
種數為2.由分步計數原理可知，完成該工藝品加工不同的方法有
24×2＝48（種）.故選C.
1. （多選）下列問題中，是排列問題的有（　　）
A. 從甲、乙、丙3名同學中選出2名分別參加數學和物理學習小組
B. 從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動
C. 從a，b，c，d這4個字母中取出2個
D. 從1，2，3，4這4個數字中取出2個組成一個兩位數
解析： 　A是排列問題，因為2名同學參加的學習小組與順序有
關；B不是排列問題，因為2名同學參加這項活動與順序無關；C不
是排列問題，因為取出的2個字母與順序無關；D是排列問題，因
為取出的2個數字還需要按順序排成一個兩位數.
2. 李老師要給4個同學輪流進行心理輔導，每個同學1次，則輪流次序
共有（　　）
A. 6種 B. 12種
C. 24種 D. 48種
解析： 　從4個同學中任選1個同學有4種，再從剩下的3個同學中
任選1個同學有3種，再從剩下的2個同學中任選1個同學有2種，最
后剩下1個同學.按分步計數原理，不同的選法有4×3×2×1＝24
（種）.
3. （2024·揚州月考）將《語文》《數學》《英語》三本不同的教科
書按上下方式放在一起，則《數學》放在最上面或最下面的不同放
法共有（　　）
A. 2種 B. 4種
C. 6種 D. 9種
解析： 　第一類《數學》放在最上面，有兩種不同的放法，第二
類《數學》放在最下面，也有兩種不同的放法，則《數學》放在最
上面或最下面的不同放法共有4種.
4. 寫出A，B，C，D四名同學站成一排照相，A不站在兩端的所有
可能站法.
解：由題意作“樹狀圖”，
如圖.
故所有可能的站法是BACD，
BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 下列問題是排列問題的是（　　）
A. 10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次
B. 平面上有2 024個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可
以構成多少條線段
C. 集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三個元素的子集有多少個
D. 從高三（19）班的54名學生中選出2名學生分別參加校慶晚會的獨
唱、獨舞節目，有多少種選法
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解析： 　A中握手次數的計算與次序無關，B中線段的條數計算
與點的次序無關，C中子集的個數與該集合中元素的次序無關，故
這三個問題都不是排列問題.D中，選出的2名學生，如甲、乙，其
中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是
2種不同的選法，因此是排列問題.故選D.
1
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15
2. 世界華商大會的某分會場有A，B，C三個展臺，將甲、乙、丙、
丁4名“雙語”志愿者分配到這三個展臺，每個展臺至少1人，其中
甲、乙兩人被分配到同一展臺的不同分法的種數為（　　）
A. 12 B. 10
C. 8 D. 6
解析： 　因為甲、乙兩人被分配到同一展臺，所以甲與乙捆在一
起，看成一個人，然后將3個人分到3個展臺進行排列，即有
3×2×1＝6（種），所以甲、乙兩人被分配到同一展臺的不同分法
的種數為6.
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3. 從1，2，3，4，5這五個數字中任取兩個數字組成兩位數，組成不
同的兩位數共有（　　）
A. 10個 B. 12個
C. 18個 D. 20個
解析： 　從1，2，3，4，5這五個數字中任取兩個數字可組成的
兩位數為12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，
41，51，32，42，52，43，53，54，共20個.
1
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4. （2024·宿遷月考）四張卡片上分別標有數字
“2”“0”“2”“4”，則由這四張卡片可組成的不同的四位數的
個數為（　　）
A. 6 B. 9
C. 12 D. 24
解析： 　第一類，0在個位，有2 240，2 420，4 220，共3個；第
二類，0在十位，有2 204，2 402，4 202，共3個；第三類，0在百
位，有2 024，2 042，4 022，共3個，故由這四張卡片可組成的不
同的四位數的個數為9.
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5. 由1，2，3，4這四個數字組成的首位數字是1，且恰有三個相同數
字的四位數有（　　）
A. 9個 B. 12個
C. 15個 D. 18個
解析： 　本題要求首位數字是1，且恰
有三個相同的數字，用樹狀圖表示為：
由圖可知共有12個.
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6. （多選）已知甲、乙等5人站一橫排，則下列說法正確的是
（　　）
A. 甲、乙站兩端有14種站法
B. 甲、乙站兩端有12種站法
C. 甲、乙不站兩端有108種站法
D. 甲、乙不站兩端有36種站法
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15
解析： 　甲、乙兩人站兩端有2×3×2×1＝12（種），B正確.
甲、乙兩人不站兩端分兩步進行：第1步，甲、乙站中間3個位置中
的2個位置有3×2＝6（種）站法；第2步，其余3個人任意排列有
3×2×1＝6（種），所以共有6×6＝36（種）站法，D正確.故選
B、D.
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15
7. 甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排頭的所有排列種數
為 .
解析：列“樹狀圖”如下，故共有乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙
甲4種排列方法.
　　
4　
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15
8. 從1，3，5，7，9這五個數中，每次取出兩個，分別記為a，b，共
可得到lg a－lg b的不同的值的個數是 .
解析：lg a－lg b＝lg ，從1，3，5，7，9中任取兩個數分別記為
a，b，共有5×4＝20（種），其中lg ＝lg ，lg ＝lg ，故共可
得到18種結果.
18　
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15
9. 某高三畢業班有40人，同學之間彼此給對方僅寫一條畢業留言，那
么全班共寫了 條畢業留言（用數字作答）.
解析：根據題意，得40×39＝1 560，故全班共寫了1 560條畢
業留言.
1 560　
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15
10. 寫出下列問題的所有排列：
（1）北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應該有多少種
直達機票？
解： 列
出每一個起
點和終點情況，如圖所示.
故符合題意的機票有北京廣州，北京南京，北京天津，廣
州南京，廣州天津，廣州北京，南京天津，南京北京，南
京廣州，天津北京，天津廣州，天津南京，共12種.
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15
（2）A，B，C，D四名同學排成一排照相，要求自左向右，A
不排第一，B不排第四，共有多少種不同的排列方法？
解： 因為A
不排第一，排第一
位的情況有3類
（可從B，C，D
中任選一人排），而此時兼顧分析B的排法，畫出樹形
圖如圖.所以符合題意的所有排列是BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14種.
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11. （2024·蘇州月考）若一個三位數的十位數字比個位數字和百位數
字都大，則稱這個數為“傘數”.現從1，2，3，4，5這5個數字中
任取3個數，組成無重復數字的三位數，其中“傘數”有（　　）
A. 80個 B. 40個
C. 20個 D. 10個
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解析： 　十位數只能是3，4，5.當十位數為3時只有：132，
231，共2個；當十位數是4時有：142，143，241，243，341，
342，共6個；當十位數是5時有：152，153，154，251，253，
254，351，352，354，451，452，453，共12個，故共有2＋6＋12
＝20（個）.
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12. （多選）甲、乙、丙、丁四人參加4項體育比賽，每項比賽第一名
到第四名的得分依次為4，3，2，1.比賽結束時甲以14分獲第一
名，乙的得分為13分，則（　　）
A. 第三名的得分不超過9分
B. 第三名可能獲得其中一場比賽的第一名
C. 最后一名的得分不超過6分
D. 第四名可能有一項比賽拿到3分
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解析： 　所有分數之和為4×（4＋3＋2＋1）＝40，甲和乙
的總得分是27分，所以第三名和第四名的總得分是13分，第四名
的得分不超過6分，C正確.第四名至少得4分，所以A正確.所有項
目的第一名和第二名分數之和為4×（4＋3）＝28，只比甲、乙的
總得分高1分，說明只有一種情況，即甲和乙包攬了所有的第一
名，總共拿了3個第二名和1個第三名，總分第三名不可能獲得其
中某一場比賽的第一名，故B錯誤.如圖所示為D正確的一種情況.
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選手 比賽項目 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
甲 4 4 4 2
乙 3 3 3 4
丙 2 2 2 1
丁 1 1 1 3
故選A、C、D.
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13. （2024·南通月考）三人互相傳球，由甲開始發球，并作為第一次
傳球，經過五次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共
有 種.
解析：記另外兩人為乙、丙，若甲第一次把球傳給乙，則不同的傳球方式如圖所示，其中經過五次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方式有5種.同理，若甲第一次把球傳給丙，也有5種符合題意的不同的傳球方式，所以共有10種符合題意的不同的傳球方式.
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14. 將3名男生，2名女生排成一列.
（1）男生甲必須排在第1位的排法有多少種？
解： 男生甲必須排在第1位的排法有4×3×2×1＝24（種）.
（2）兩名女生相鄰的排法有多少種？兩名女生不相鄰的排法有多
少種？
解： 先把兩名女生當作一個整體，與3個男生進行排
列，共有4×3×2×1＝24（種）排法.兩個女生再進行排
列，共2×1＝2（種）排法.根據分步計數原理，共有24×2
＝48（種）排法；
若兩名女生不相鄰，先排3個男生，共有3×2×1＝6（種）
排法，再把2個女生插在4個空中，共有4×3＝12（種）排
法.根據分步計數原理，共有6×12＝72（種）排法.
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15. 某藥品研究所研制了5種消炎藥a1，a2，a3，a4，a5，4種退熱藥
b1，b2，b3，b4，現從中取兩種消炎藥和一種退熱藥同時進行療
效試驗，但a1，a2兩種藥或同時用或同時不用，a3，b4兩種藥不
能同時使用，試寫出所有不同試驗方法.
解：如圖，由樹狀圖可寫出所有不同試驗
方法如下：
故不同的試驗方法為：a1a2b1，a1a2b2，
a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，
a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14種.
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