資源簡介

第2課時　排列數與排列數公式
1.某學習小組共5人，約定假期彼此給對方發起微信聊天，共需發起的聊天次數為（　　）
A.20 B.15
C.10 D.5
2.（2024·鎮江月考）89×90×91×92×…×100可表示為（　　）
A. B.
C. D.
3.（2024·南京月考）已知3＝4，則n＝（　　）
A.5 B.7
C.10 D.14
4.某電影要在5所大學里輪流放映，則不同的輪映方法有（　　）
A.25種 B.55種
C.種 D.53種
5.（多選）與·相等的是（　　）
A. B.81
C.10 D.
6.（多選）已知－＋0！＝4，則m的可能取值是（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
7.計算＋＝　　　　.
8.不等式－n＜7的解集為　　　　.
9.（2024·無錫月考）有5名同學被安排在周一至周五值日，已知同學甲只能在周一值日，那么5名同學值日順序的編排方案共有　　　　種.
10.計算下列各題：
（1）；（2）.
11.（2024·泰州月考）若S＝＋＋＋＋…＋，則S的個位數字是（　　）
A.8 B.5
C.3 D.0
12.（多選）下列等式中，正確的是（　　）
A.（n＋1）＝ B.＝（n－2）！
C.＝· D.＝
13.滿足n＞3且＜6的n的值為　　　　.
14.求證：（1）＝－；
（2）＋＋＋…＋＝1－.
15.英國數學家泰勒（B.Taylor，1685—1731）以發現泰勒公式和泰勒級數聞名于世，由泰勒公式，我們能得到e＝1＋＋＋＋…＋＋（其中e為自然對數的底數，0＜θ＜1，n！＝n（n－1）（n－2）×…×2×1），其拉格朗日余項是Rn＝.可以看出，右邊的項用得越多，計算得到的e的近似值也就越精確.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余項Rn，求Rn不超過時，正整數n的最小值.
第2課時　排列數與排列數公式
1.A　由題意得共需發起的聊天次數為＝5×4＝20.
2.C　89×90×91×92×…×100＝＝＝.
3.B　由題意解得2＜n≤9，由×3＝×4，得（11－n）·（10－n）＝12，解得n＝7，n＝14（舍）.
4.C　不同的輪映方法相當于將5所大學全排列，即輪映方法有種.
5.ACD　·＝10×9×8×7！＝＝10＝，81＝9≠，故選A、C、D.
6.CD　因為－＋0！＝4，所以－×6＋1＝4，所以＝6，當m＝2或3時成立，所以m的值可能是2或3.故選C、D.
7.726　解析：由條件得得n＝3，所以＋＝＋＝726.
8.{3，4}　解析：由－n＜7，得（n－1）（n－2）－n＜7，整理，得n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5.又n－1≥2且n∈N*，即3≤n＜5且n∈N*，所以n＝3或n＝4.
9.24　解析：∵同學甲只能在周一值日，∴除同學甲外的4名同學將在周二至周五值日，∴5名同學值日順序的編排方案共有＝24（種）.
10.解：（1）＝10×9×8＝720.
（2）＝
＝＝＝.
11.C　因為當n≥5時，的個位數字是0，故S的個位數取決于前四個排列數.又＋＋＋＝33.故選C.
12.ABC　通過計算可知選項A、B、C均正確，但選項D中＝≠.
13.6　解析：兩不等式可化為
∵n－1＞0，∴①式可化為n（n－2）＞3，即n2－2n－3＞0，∴n＞3或n＜－1（舍去）.由②得＜6·，∴（8－n）（7－n）＜6，即n2－15n＋50＜0，∴5＜n＜10.由排列數的意義可知n≥3，且n＋2≤8，∴3≤n≤6.綜上，5＜n≤6，又n∈N*，∴n＝6.
14.證明：（1）左邊＝＝－＝－＝右邊.
（2）在（1）中將k用1，2，3，…，n依次代入，再將各式相加，
得＋＋＋…＋
＝（1－）＋（－）＋…＋［－］＝1－.
15.解：由題意知，Rn≤，
即≤，近似表示為≤，∴（n＋1）！≥3 000，
又∵（5＋1）！＝6×5×4×3×2×1＝720，
（6＋1）！＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040＞3 000，∴n的最小值為6.
2 / 2第2課時　排列數與排列數公式
　　在上海交通大學建校120周年之際，有29位曾是交大學子的名人大家，要在慶祝會上逐一介紹……
【問題】　這29位名人大家的排列順序有多少種？這樣的排列順序問題能否用一個公式來表示呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　排列數與排列數公式
1.排列數的定義：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有　　　　的個數，叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號　　　　表示.
2.排列數公式：＝　　　　　　　　　　　（m，n∈N*，且m≤n）.
3.全排列：n個不同元素全部取出的一個排列，叫作n個不同元素的一個全排列.在排列數公式中，當m＝n時，即有＝n（n－1）（n－2）×…×3×2×1，n（n－1）（n－2）×…×3×2×1稱為n的階乘，通常用　　　表示，即＝　　　.
提醒　（1）注意排列數公式的特征，m個自然數之積，其中最大的因數是n，最小的因數是n－m＋1；（2）規定0！＝1.排列數公式還可以寫成＝（m，n∈N*，且m≤n）.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）在式子中，m，n的值都可以為0.（　　）
（2）甲、乙、丙三名同學排成一排，不同的排列方法有4種.（　　）
（3）若＝9×10×11×12，則m＝4.（　　）
2.計算：＝　　　　，＝　　　　.
題型一 排列數的計算
【例1】　（鏈接教科書第68頁例2）計算：
（1）；（2）.
通性通法
應用排列數公式時應注意兩個方面的問題
（1）準確展開：應用排列數公式展開時要注意展開式的項數要準確；
（2）合理約分：若運算式是分式形式，則要先約分后計算.
【跟蹤訓練】
1.7×8×9×…×15可表示為（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
2.（2024·宿遷月考）計算：＝　　　　.
題型二 排列數公式的應用
【例2】　（鏈接教科書第69頁例4）（1）解方程：＝140；
（2）求證：－＝m.
通性通法
　　排列數的第二個公式＝適用于與排列數有關的證明、解方程、解不等式等，在具體運用時，應注意先提取公因式再計算，同時還要注意隱含條件“n，m∈N*，m≤n”的運用.
【跟蹤訓練】
1.（2024·常州月考）不等式＜6的解集為（　　）
A.[2，8] B.[2，6] C.（7，12） D.{8}
2.求證：＝（n＋1）.
題型三 無約束條件的排列問題
【例3】　（鏈接教科書第70頁例5）將4名醫生與4名護士分配到四個不同單位，每個單位分配一名醫生與一名護士，共有多少種不同的分配方案？
通性通法
無約束條件的排列問題
　　無約束條件的排列問題，即對所排列的元素或所排列的位置沒有特別限制的問題.這一類型題目相對簡單，分清元素和位置即可.把m個元素按一定順序排列到n（n≥m）個位置上，排列數為，從n個元素中選 m個（m≤n），排列到m個位置上，排列數也是.
【跟蹤訓練】
　用排列數表示下列問題：
（1）利用1，2，3，4這四個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？
（2）一天有6節課，安排6門學科，一天的課程表有幾種排法？
1.10×9×…×6＝（　　）
A. B. C. D.
2.＝（　　）
A.12 B.24 C.30 D.36
3.（2024·南通月考）已知＝132，則n＝　　　　.
4.12名選手參加校園歌手大獎比賽，比賽設一等獎、二等獎、三等獎各一名，每人最多獲得一種獎項，共有多少種不同的獲獎情況？
第2課時　排列數與排列數公式
【基礎知識·重落實】
知識點
1.排列　　2.n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）　3.n！　n！
自我診斷
1.（1）×　（2）×　（3）√
2.20　24　解析：＝5×4＝20.＝4×3×2×1＝24.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：根據排列數公式，可得
（1）＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.
（2）
＝＝1.
跟蹤訓練
1.D　7×8×9×…×15＝＝.
2.6　解析：＝＝6.
【例2】　解：（1）因為所以x≥3，x∈N*.
由＝140得（2x＋1）2x（2x－1）（2x－2）＝140x（x－1）（x－2）.
化簡得4x2－35x＋69＝0，
解得x1＝3，x2＝（舍去）.
所以原方程的解為x＝3.
（2）證明：因為－＝－＝·（－1）＝·＝m·＝m，所以－＝m.
跟蹤訓練
1.D　由＜6，得＜6×，化簡得x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12①，又所以2＜x≤8②，由①②及x∈N*，得x＝8.
2.證明：因為＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，
（n＋1）＝（n＋1）·n！＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，所以＝（n＋1）.
【例3】　解：完成這件事可以分為兩步.
第一步：把4名醫生分配到四個不同的單位，等價于從4個不同元素中取出4個元素的排列問題，有種方法；
第二步：把4名護士分配到四個不同的單位，也有種方法.
根據分步計數原理，不同的分配方案有×＝576（種）.
跟蹤訓練
　解：（1）本題實質是求從1，2，3，4四個數字中，任意選出三個數字排成一排，有多少種排法的排列問題，故排列數為，所以可以組成個沒有重復數字的三位數.
（2）這是6個元素的全排列問題，其排列數為，所以一天的課程表有種排法.
隨堂檢測
1.C　根據排列數公式可得10×9×…×6＝，故選C.
2.D　因為＝7×6×，＝6×，所以原式＝＝36.
3.12　解析：由題意得n（n－1）＝132，即n2－n－132＝0，解得n＝12，n＝－11（舍）.
4.解：從12名選手中選出3名獲獎并安排獎次，共有＝12×11×10＝1 320（種）不同的獲獎情況.
1 / 2(共43張PPT)
第2課時　
排列數與排列數公式
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　在上海交通大學建校120周年之際，有29位曾是交大學子的名人
大家，要在慶祝會上逐一介紹……
【問題】　這29位名人大家的排列順序有多少種？這樣的排列順序問
題能否用一個公式來表示呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識點　排列數與排列數公式

2. 排列數公式： ＝
（m，n∈N*，且m≤n）.
排列　
　
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）　
3. 全排列：n個不同元素全部取出的一個排列，叫作n個不同元素的
一個全排列.在排列數公式中，當m＝n時，即有 ＝n（n－1）
（n－2）×…×3×2×1，n（n－1）（n－2）×…×3×2×1稱
為n的階乘，通常用 表示，即 ＝ .
提醒　（1）注意排列數公式的特征，m個自然數之積，其中最大
的因數是n，最小的因數是n－m＋1；（2）規定0！＝1.排列數公
式還可以寫成 ＝ （m，n∈N*，且m≤n）.
n！　
n！　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）在式子 中，m，n的值都可以為0. （　×　）
（2）甲、乙、丙三名同學排成一排，不同的排列方法有4種.
（　×　）
（3）若 ＝9×10×11×12，則m＝4. （　√　）
2. 計算： ＝ ， ＝ .
解析： ＝5×4＝20. ＝4×3×2×1＝24.
×
×
√
20　
24　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 排列數的計算
【例1】　（鏈接教科書第68頁例2）計算：
（1） ；（2） .
解：根據排列數公式，可得
（1） ＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.
（2）
＝ ＝1.
通性通法
應用排列數公式時應注意兩個方面的問題
（1）準確展開：應用排列數公式展開時要注意展開式的項數要準
確；
（2）合理約分：若運算式是分式形式，則要先約分后計算.
【跟蹤訓練】
1.7×8×9×…×15可表示為（　　）
解析： 　7×8×9×…×15＝ ＝ .
2. （2024·宿遷月考）計算： ＝ .
解析： ＝ ＝6.
6　
題型二 排列數公式的應用
【例2】　（鏈接教科書第69頁例4）（1）解方程： ＝140 ；
解： 因為
所以x≥3，x∈N*.
由 ＝140 得（2x＋1）2x（2x－1）（2x－2）＝140x
（x－1）（x－2）.
化簡得4x2－35x＋69＝0，
解得x1＝3，x2＝ （舍去）.
所以原方程的解為x＝3.
（2）求證： － ＝m .
解： 證明：因為 － ＝ － ＝
·（ －1）＝ · ＝m· ＝
m ，所以 － ＝m .
通性通法
　　排列數的第二個公式 ＝ 適用于與排列數有關的證明、
解方程、解不等式等，在具體運用時，應注意先提取公因式再計算，
同時還要注意隱含條件“n，m∈N*，m≤n”的運用.
【跟蹤訓練】
1. （2024·常州月考）不等式 ＜6 的解集為（　　）
A. [2，8] B. [2，6]
C. （7，12） D. {8}
解析： 　由 ＜6 ，得 ＜6× ，化簡得x2－
19x＋84＜0，解得7＜x＜12①，又所以2＜x≤8
②，由①②及x∈N*，得x＝8.
2. 求證： ＝（n＋1） .
證明：因為 ＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，
（n＋1） ＝（n＋1）·n！＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，
所以 ＝（n＋1） .
題型三 無約束條件的排列問題
【例3】　（鏈接教科書第70頁例5）將4名醫生與4名護士分配到四個
不同單位，每個單位分配一名醫生與一名護士，共有多少種不同的分
配方案？
解：完成這件事可以分為兩步.
第一步：把4名醫生分配到四個不同的單位，等價于從4個不同元素中
取出4個元素的排列問題，有 種方法；
第二步：把4名護士分配到四個不同的單位，也有 種方法.
根據分步計數原理，不同的分配方案有 × ＝576（種）.
通性通法
無約束條件的排列問題
　　無約束條件的排列問題，即對所排列的元素或所排列的位置沒有
特別限制的問題.這一類型題目相對簡單，分清元素和位置即可.把m
個元素按一定順序排列到n（n≥m）個位置上，排列數為 ，從n
個元素中選 m個（m≤n），排列到m個位置上，排列數也是 .
【跟蹤訓練】
　用排列數表示下列問題：
（1）利用1，2，3，4這四個數字，可以組成多少個沒有重復數字的
三位數？
解： 本題實質是求從1，2，3，4四個數字中，任意選出三
個數字排成一排，有多少種排法的排列問題，故排列數為 ，
所以可以組成 個沒有重復數字的三位數.
（2）一天有6節課，安排6門學科，一天的課程表有幾種排法？
解： 這是6個元素的全排列問題，其排列數為 ，所以一
天的課程表有 種排法.
1.10×9×…×6＝（　　）
解析： 　根據排列數公式可得10×9×…×6＝ ，故選C.
2. ＝（　　）
A. 12 B. 24
C. 30 D. 36
解析： 　因為 ＝7×6× ， ＝6× ，所以原式＝ ＝
36.
3. （2024·南通月考）已知 ＝132，則n＝ .
解析：由題意得n（n－1）＝132，即n2－n－132＝0，解得n＝
12，n＝－11（舍）.
4.12名選手參加校園歌手大獎比賽，比賽設一等獎、二等獎、三等獎
各一名，每人最多獲得一種獎項，共有多少種不同的獲獎情況？
解：從12名選手中選出3名獲獎并安排獎次，共有 ＝12×11×10
＝1 320（種）不同的獲獎情況.
12　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 某學習小組共5人，約定假期彼此給對方發起微信聊天，共需發起
的聊天次數為（　　）
A. 20 B. 15
C. 10 D. 5
解析： 　由題意得共需發起的聊天次數為 ＝5×4＝20.
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2. （2024·鎮江月考）89×90×91×92×…×100可表示為（　　）
解析： 　89×90×91×92×…×100＝ ＝ ＝ .
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3. （2024·南京月考）已知3 ＝4 ，則n＝（　　）
A. 5 B. 7
C. 10 D. 14
解析： 　由題意解得2＜n≤9，由 ×3＝
×4，得（11－n）·（10－n）＝12，解得n＝7，n＝14
（舍）.
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4. 某電影要在5所大學里輪流放映，則不同的輪映方法有（　　）
A. 25種 B. 55種
D. 53種
解析： 　不同的輪映方法相當于將5所大學全排列，即輪映方法
有 種.
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5. （多選）與 · 相等的是（　　）
解析： 　 · ＝10×9×8×7！＝ ＝10 ＝ ，81
＝9 ≠ ，故選A、C、D.
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6. （多選）已知 － ＋0！＝4，則m的可能取值是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 　因為 － ＋0！＝4，所以 － ×6＋1＝4，
所以 ＝6，當m＝2或3時成立，所以m的值可能是2或3.故選
C、D.
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7. 計算 ＋ ＝ .
解析：由條件得得n＝3，所以 ＋ ＝ ＋
＝726.
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8. 不等式 －n＜7的解集為 .
解析：由 －n＜7，得（n－1）（n－2）－n＜7，整理，得
n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5.又n－1≥2且n∈N*，即3≤n＜5
且n∈N*，所以n＝3或n＝4.
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9. （2024·無錫月考）有5名同學被安排在周一至周五值日，已知
同學甲只能在周一值日，那么5名同學值日順序的編排方案共
有 種.
解析：∵同學甲只能在周一值日，∴除同學甲外的4名同學將在周
二至周五值日，∴5名同學值日順序的編排方案共有 ＝24
（種）.
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10. 計算下列各題：
（1） ；（2） .
解：（1） ＝10×9×8＝720.
（2） ＝
＝ ＝ ＝ .
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11. （2024·泰州月考）若S＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ，則S的
個位數字是（　　）
A. 8 B. 5
C. 3 D. 0
解析： 　因為當n≥5時， 的個位數字是0，故S的個位數取
決于前四個排列數.又 ＋ ＋ ＋ ＝33.故選C.
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12. （多選）下列等式中，正確的是（　　）
解析： 　通過計算可知選項A、B、C均正確，但選項D中
＝ ≠ .
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13. 滿足n ＞3 且 ＜6 的n的值為 .
解析：兩不等式可化為
∵n－1＞0，∴①式可
化為n（n－2）＞3，即n2－2n－3＞0，∴n＞3或n＜－1（舍
去）.由②得 ＜6· ，∴（8－n）（7－n）
＜6，即n2－15n＋50＜0，∴5＜n＜10.由排列數的意義可知
n≥3，且n＋2≤8，∴3≤n≤6.綜上，5＜n≤6，又n∈N*，∴n
＝6.
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14. 求證：（1） ＝ － ；
證明： 左邊＝ ＝ － ＝ －
＝右邊.
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（2） ＋ ＋ ＋…＋ ＝1－ .
證明： 在（1）中將k用1，2，3，…，n依次代入，再
將各式相加，
得 ＋ ＋ ＋…＋
＝（1－ ）＋（ － ）＋…＋［ － ］＝1－
.
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15. 英國數學家泰勒（B. Taylor，1685—1731）以發現泰勒公式和泰
勒級數聞名于世，由泰勒公式，我們能得到e＝1＋ ＋ ＋
＋…＋ ＋ （其中e為自然對數的底數，0＜θ＜1，n！＝
n（n－1）（n－2）×…×2×1），其拉格朗日余項是Rn＝
.可以看出，右邊的項用得越多，計算得到的e的近似值也
就越精確.若 近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余項Rn，
求Rn不超過 時，正整數n的最小值.
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解：由題意知，Rn≤ ，
即 ≤ ，近似表示為 ≤ ，∴（n＋1）！≥
3 000，
又∵（5＋1）！＝6×5×4×3×2×1＝720，
（6＋1）！＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040＞3 000，∴n的最小
值為6.
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