資源簡介

培優課　排列與組合的綜合應用
1.＝（　　）
A.120 B.160
C.180 D.240
2.從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓、管理三項不同的工作，則不同的選派方案共有（　?。?br/>A.60種 B.80種
C.100種 D.120種
3.從5名志愿者中選派4人在星期六和星期日參加公益活動，每人一天，每天兩人，則不同的選派方法共有（　?。?br/>A.60種 B.48種
C.30種 D.10種
4.有七名同學站成一排照畢業紀念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學要站在一起，則不同的站法有（　?。?br/>A.240種 B.192種
C.96種 D.48種
5.（多選）（2024·蘇州月考）某醫院派出甲、乙、丙、丁4名醫生到A，B，C三家企業開展某種疾病的防護排查工作，每名醫生只能到一家企業工作，則下列結論正確的是（　?。?br/>A.若C企業最多派1名醫生，則所有不同的分派方案共48種
B.若每家企業至少分派1名醫生，則所有不同的分派方案共36種
C.若每家企業至少分派1名醫生，且醫生甲必須到A企業，則所有不同的分派方案共12種
D.所有不同的分派方案共43種
6.（多選）某班某學習小組有6人，在體育課上，體育老師對這6人分組安排訓練任務，其中分配種數計算正確的是（　?。?br/>A.分成三組，第一組1人訓練跳高，第二組2人訓練跳遠，第三組3人訓練擲實心球，共60種分法
B.分成三組，人數分別是1，1，4，一組訓練跳高，一組訓練跳遠，一組訓練擲實心球，共90種分法
C.分成三組，每組2人，分別參加乒乓球、羽毛球、網球的訓練賽，共540種分法
D.分成兩組，每組3人，兩組間進行三人籃球訓練賽，共20種分法
7.不等式－n＜5的解集為　　　　.
8.要排出某班一天中語文、數學、政治、英語、體育、藝術6門課各一節的課程表.要求數學課排在前3節，英語課不排在第6節，則不同的排法種數為　　　　　（用數字作答）.
9.（2024·南京月考）如圖，∠MON的邊OM上有四個點A1，A2，A3，A4，ON上有三個點B1，B2，B3，則以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三點為頂點的三角形的個數為　　　　.
10.（2024·泰州月考）某餐廳供應客飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷、2素共4種不同的品種，現在餐廳準備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還要準備不同的素菜　　　　種.
11.平面上有9個點，其中有4個點共線，除此外無3點共線.
（1）這9個點，可確定多少條不同的直線？
（2）以這9個點中的3個點為頂點，可以確定多少個三角形？
12.為弘揚我國古代的六藝文化，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設禮樂射御書數六門體驗課程.
（1）若體驗課連續開設六周，每周一門，求其中射不排在第一周，數不排在最后一周的所有可能排法種數；
（2）甲、乙、丙、丁、戊五名教師教這六門課程，每名教師至少任教一門課程，求其中甲不任教數的課程安排方案種數.
13.在混放在一起的6件不同的產品中，有2件次品，4件正品.現需要通過檢測將其區分，每次隨機抽取一件進行檢測，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出4件正品時檢測結束.
（1）若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少種不同的抽法；
（2）已知每檢測一件產品需要檢測費用100元，求檢測結束時檢測費用為400元的抽法有多少種？
培優課　排列與組合的綜合應用
1.A?。剑?20.
2.D　從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓、管理三項不同的工作，則不同的選派方案共有＝6×5×4＝120（種）.故選D.
3.C　根據題意，分3步進行：①從5名志愿者中選派4人參加活動，有＝5種選法；②將4人分為2組，有＝3種分法；③將2組進行全排列，對應星期六和星期日，有＝2種情況，則共有5×3×2＝30種不同的選派方法，故選C.
4.B　分三步：先排甲，有1種方法；再排乙、丙，排在甲的左邊或右邊，各有4種方法；再排其余4人，有種方法，故共有2×4×＝192（種）不同的站法.故選B.
5.ABC　對于選項A，若C企業沒有派醫生去，每名醫生有2種選擇，則共用24＝16（種），若C企業派1名醫生，則有·23＝32（種），所以共有16＋32＝48（種）；對于選項B，若每家企業至少分派1名醫生，則有＝36（種）；對于選項C，若每家企業至少分派1名醫生，且醫生甲必須到A企業，若A企業分2人，則有＝6（種），若A企業分1人，則有＝6（種），所以共有6＋6＝12（種）；對于選項D，所有不同的分派方案共有34種.
6.ABD　A選項，分3步完成，先選1人訓練跳高有種，再選2人訓練跳遠有種，剩余3人訓練擲實心球有種，根據分步計數原理可知，共有··＝6×10×1＝60種分法，故A正確；B選項，先分好三組，有＝15種分法，再安排3組去參加不同的訓練，有種安排方法，所以由分步計數原理知共有15＝90種分法，故B正確；C選項，先選2人參加乒乓球訓練賽有種，再選2人參加羽毛球訓練賽有種，再選2人參加網球訓練賽有種，由分步計數原理知共有··＝90種分法，故C錯誤；D選項，先分成2組，每組3人有＝10種，再分成2隊有種分法，由分步計數原理知共有10＝20種分法，故D正確.
7.{2，3，4}　解析：由－n＜5，得－n＜5，所以n2－3n－10＜0.解得－2＜n＜5.由題設條件知n≥2，且n∈N*，所以n＝2，3，4，故原不等式的解集為{2，3，4}.
8.288　解析：先在前3節課中選一節安排數學，有種安排方法；在除了數學課與第6節課外的4節課中選一節安排英語課，有種安排方法；其余4節課無約束條件，有種安排方法.根據分步計數原理，不同的排法種數為××＝288.
9.42　解析：利用間接法，先在8個點中任取3個點，再減去三點共線的情況，所以符合條件的三角形的個數為－－＝42.
10.7　解析：設餐廳至少還要準備不同的素菜x種，則·≥200，即x（x－1）≥40.∵x取正整數，∴x最小取7.∴x≥7.故餐廳至少還要準備不同的素菜7種.
11.解：共線的4點記為A，B，C，D.
（1）第一類：A，B，C，D確定1條直線；
第二類：A，B，C，D以外的5個點可確定條直線；
第三類：從A，B，C，D中任取1點，其余5點中任取1點可確定條直線.
根據分類計數原理，共有不同直線1＋＋＝1＋10＋20＝31（條）.
（2）第一類：從A，B，C，D中取2個點，可得個三角形；
第二類：從A，B，C，D中取1個點，可得個三角形；
第三類：從其余5個點中任取3點，可得個三角形.
共有＋＋＝80（個）三角形.
12.解：（1）分兩種情況討論：
當射排在最后一周時，則有＝120種排法；
當當射不排在最后一周，則射有4種排法，數也有4種排法，剩下的4門課程全排列，有4×4×＝384種排法，
所以共有120＋384＝504種不同排法.
（2）分兩種情況討論：
當甲教兩科時，則有＝240種安排方法；
當甲教一科時，則有＝1 200種安排方法.
所以共有240＋1 200＝1 440種不同安排方案.
13.解：（1）由題意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次檢測結束，
第1次抽到的是正品有種抽法；第2次抽到的是次品有種抽法；第3次抽到的是正品有種抽法；
當抽取4次結束時，第4次抽到的必是次品，共有＝24種抽法；
當抽取5次結束時，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品，則共有＝48種抽法；
若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，則共有＝48種抽法；
綜上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120種抽法.
（2）由題意知，檢測費用為400元，說明一共抽取了4次檢測結束，共有以下兩種情況：
①4次抽到的均為正品，共有＝24種抽法；
②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共有··＝72種抽法.
所以，檢測結束時，檢測費用為400元的抽法共有96種.
2 / 2　排列與組合的綜合應用
題型一 分組、分配問題
角度1　不同元素分組、分配問題
【例1】　按以下要求分配6本不同的書，各有幾種方法？
（1）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；
（2）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（3）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本.
通性通法
分組、分配問題的求解策略
（1）分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：
①完全均勻分組，每組的元素個數均相等；
②部分均勻分組，應注意不要重復，若有n組均勻，最后必須除以n！；
③完全非均勻分組，這種分組不需要考慮重復現象.
（2）分配問題屬于“排列”問題，可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配.
【跟蹤訓練】
　將4個編號為1，2，3，4的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子中.
（1）有多少種放法？
（2）每盒至多一球，有多少種放法？
（3）恰好有一個空盒，有多少種放法？
（4）把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？
角度2　相同元素分配問題
【例2】　將6個相同的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子，求下列放法的種數.
（1）每個盒子都不空；
（2）恰有一個空盒子.
通性通法
相同元素分配問題的處理策略
（1）隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法.隔板法專門解決相同元素的分配問題；
（2）將n個相同的元素分給m個不同的對象（n≥m，每個對象都有元素），有種方法，可描述為（n－1）個空中插入（m－1）塊隔板的方法.
【跟蹤訓練】
　（多選）（2024·無錫月考）某中學為提升學生勞動意識和社會實踐能力，利用周末進社區義務勞動，高三一共6個班，其中只有1班有2個勞動模范，本次義務勞動一共20個名額，勞動模范必須參加并不占名額，每個班都必須有人參加，則下列說法正確的是（　　）
A.若1班不再分配名額，則共有種分配方法
B.若1班有除勞動模范之外學生參加，則共有種分配方法
C.若每個班至少3人參加，則共有90種分配方法
D.若每個班至少3人參加，則共有126種分配方法
題型二 排列與組合的綜合問題
角度1　特殊元素（位置）問題
【例3】　有五張卡片，它們的正、反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9.將其中任意三張并排放在一起組成三位數，共可組成多少個不同的三位數？
通性通法
　　解特殊元素（位置）的排列與組合問題要遵循的兩個原則
（1）按元素（位置）的性質進行分類；
（2）按事情發生的過程進行分步.具體地說，解排列、組合問題常以元素（位置）為主體，即先滿足特殊元素（位置），再考慮其他元素（位置）.
【跟蹤訓練】
　由1，2，3，4，5，6組成沒有重復數字且1與2不相鄰的六位數，可以組成　　　　個.
角度2　選排問題
【例4】　（2024·徐州月考）有5個男生和3個女生，從中選出5人分別擔任5門不同學科的課代表，求分別符合下列條件的選法數.
（1）有女生但人數必須少于男生；
（2）某女生一定擔任語文課代表；
（3）某男生必須包括在內，但不擔任語文課代表.
通性通法
解排列、組合中選排問題的一般思路
（1）“先選后排”，即先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進行排列；
（2）按元素的性質確定分類的標準，按事情的發生過程確定分步順序；
（3）對于有多個限制條件的復雜問題，應認真分析每個限制條件及其聯系，從某一個限制條件出發，考慮合理分類、分步，一般優先考慮特殊的元素.
【跟蹤訓練】
　有4名男醫生，3名女醫生，從中選2名男醫生，1名女醫生到3個不同地區巡回醫療，但規定男醫生甲不能到地區A，則不同的分派方案共有　　　　種.（用數字作答）
題型三 “至多”與“至少”問題
【例5】?。ǘ噙x）（2024·淮安月考）在100件產品中，有98件合格品，2件不合格品，從這100件產品中任意抽出3件，則抽出的3件產品中（　　）
A.至多有1件不合格品的抽法種數為
B.都是合格品的抽法種數為
C.至少有1件不合格品的抽法種數為＋
D.至少有1件不合格品的抽法種數為－
通性通法
　　“至多”“至少”型問題，常用“直接分類法”與“間接法”解答，通?？紤]三種途徑
（1）元素分析法：先考慮特殊元素，再考慮其他元素；
（2）位置分析法：先考慮特殊位置，再考慮其他位置；
（3）“正難則反”：涉及“至多”“至少”等組合問題，當從正面分析問題分的類較多、較復雜或計算量較大時，不適合用直接分類法求解，不妨從反面入手，特別是可先算出不帶限制條件的組合數，再減去不滿足限制條件的組合數.
【跟蹤訓練】
某市工商局對35種商品進行檢查，鑒定結果有15種假貨，現從35種商品中選取3種.
（1）恰有2種假貨在內，不同的取法有多少種？
（2）至少有2種假貨在內，不同的取法有多少種？
（3）至多有2種假貨在內，不同的取法有多少種？
7.3　組合
培優課　排列與組合的綜合應用
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）3個人一個一個地來取書，甲從6本不同的書中任取2本的方法有種，甲不論用哪種方法，取得2本書后，乙再從余下的4本書中任取2本有種方法，而甲、乙不論用哪一種方法各取2本書后，丙從余下的兩本書中取兩本書，有種方法，所以一共有××＝90（種）方法.
（2）先在6本書中任取1本，作為一份，有種取法，再從余下的5本書中任取2本，作為一份，有種取法，最后余下3本書作為一份，有種取法，共有××＝60（種）方法.
（3）分成三份共有××種，但每一種分組方法又有種不同的分配方案，故一人得1本，一人得2本，一人得3本的分法有×××＝360（種）.
跟蹤訓練
　解：（1）每個小球都可能放入4個盒子中的任何一個，將小球一個一個放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256（種）放法.
（2）這是全排列問題，共有＝24（種）放法.
（3）法一　先將4個小球分為三組，有種方法，再將三組小球放入四個盒子中的三個盒子，有種方法，故共有×＝144（種）放法.
法二　先取4個球中的兩個“捆”在一起，有種方法，把它與其他兩個球共3個元素分別放入4個盒子中的3個盒子，有種方法，所以共有×＝144（種）放法.
（4）先從四個盒子中選出三個盒子，再從三個盒子中選出一個盒子放入兩個球，余下兩個盒子各放一個.由于球是相同的即沒有順序，所以屬于組合問題，故共有×＝12（種）放法.
【例2】　解：（1）先把6個相同的小球排成一行，然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，故共有＝10（種）放法.
（2）恰有一個空盒子，第一步先選出一個盒子，有種選法，第二步在小球之間5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，有種方法.由分步計數原理得，共有＝40（種）放法.
跟蹤訓練
　BD　若1班不再分配名額，則20個名額分配到5個班級，每個班級至少1個，根據隔板法，有種分配方法，故A錯誤；若1班有除勞動模范之外學生參加，則20個名額分配到6個班級，每個班級至少1個，根據隔板法，有種分配方法，故B正確；若每個班至少3人參加，由于1班有2個勞模，故只需先滿足每個班級有2個名額，還剩10個名額，再將10個名額分配到6個班級，每個班級至少1個名額，故只需在10個名額中的9個空上放置5個隔板即可，故有＝126種，故C錯誤，D正確.故選B、D.
【例3】　解：從0與1兩個特殊值著眼，可分三類：
①取0不取1，可先從另四張卡片中選一張作百位，有種方法；0可在后兩位，有種方法；最后需從剩下的三張中任取一張，有種方法；又除含0的那張外，其他兩張都有正面或反面兩種可能，故此時不同的三位數有·22個.
②取1不取0，同上分析，不同的三位數有·22·個.
③0和1都不取，不同的三位數有·23·個.
綜上所述，不同的三位數共有···22＋·22·＋·23·＝432（個）.
跟蹤訓練
　480　解析：因為數字1與2不相鄰，故可用插空法.先排數字3，4，5，6，有種不同排法，每種排法留出五個空位，再將1，2插入，有種排法，所以由分步計數原理可知共有＝480（種）不同排法.
【例4】　解：（1）先選后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，
所以先選有＋種，后排有種，
所以共有不同選法（＋）·＝5 400（種）.
（2）除去一定擔任語文課代表的女生后，先選后排，共有不同選法·＝840（種）.
（3）先選后排，但先安排不擔任語文課代表的該男生，所以共有不同選法··＝3 360（種）.
跟蹤訓練
　90　解析：法一　分兩類完成.第一類：甲被選中，有＝36種分派方案.第二類：甲不被選中，有＝54種分派方案.根據分類計數原理，分派方案共有36＋54＝90種.
法二　分兩類完成.第一類：地區A分派女醫生，有＝36種分派方案.第二類：地區A分派除醫生甲之外的男醫生，有＝54種分派方案.根據分類計數原理，分派方案共有36＋54＝90種.
【例5】　CD　對于A，分兩種情況：①抽出的3件產品都是合格品，抽法種數為；②抽出的3件產品中有1件不合格品，抽法種數為，所以抽法種數為＋，故A錯誤，B錯誤.對于C，分兩種情況：①抽出的3件產品中有1件不合格品，抽法種數為；②抽出的3件產品中有2件不合格品，抽法種數為.所以抽法種數為＋.故C正確.對于D，用“正難則反”，知抽法種數為－，故D正確.
跟蹤訓練
　解：（1）由題意可知不同的取法共有·＝2 100（種）.
（2）至少有2種假貨在內，可能有2種假貨，可能有3種假貨，故有·＋＝2 555（種）.
（3）至多有2種假貨在內，可能沒有假貨，可能有1種假貨，可能有2種假貨，故共有＋＋＝6 090（種）.
3 / 3(共49張PPT)
培優課　
排列與組合的綜合應用
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
02
典型例題·精研析
01
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 分組、分配問題
角度1　不同元素分組、分配問題
【例1】　按以下要求分配6本不同的書，各有幾種方法？
（1）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；
解： 3個人一個一個地來取書，甲從6本不同的書中任取2
本的方法有 種，甲不論用哪種方法，取得2本書后，乙再從
余下的4本書中任取2本有 種方法，而甲、乙不論用哪一種方
法各取2本書后，丙從余下的兩本書中取兩本書，有 種方
法，所以一共有 × × ＝90（種）方法.
（2）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
解： 先在6本書中任取1本，作為一份，有 種取法，再
從余下的5本書中任取2本，作為一份，有 種取法，最后余下
3本書作為一份，有 種取法，共有 × × ＝60（種）
方法.
（3）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本.
解： 分成三份共有 × × 種，但每一種分組方法又
有 種不同的分配方案，故一人得1本，一人得2本，一人得3
本的分法有 × × × ＝360（種）.
通性通法
分組、分配問題的求解策略
（1）分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：
①完全均勻分組，每組的元素個數均相等；
②部分均勻分組，應注意不要重復，若有n組均勻，最后必須除
以n！；
③完全非均勻分組，這種分組不需要考慮重復現象.
（2）分配問題屬于“排列”問題，可以按要求逐個分配，也可以分
組后再分配.
【跟蹤訓練】
　將4個編號為1，2，3，4的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒
子中.
（1）有多少種放法？
解： 每個小球都可能放入4個盒子中的任何一個，將小球
一個一個放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256（種）放法.
解：這是全排列問題，共有 ＝24（種）放法.
解：法一　先將4個小球分為三組，有 種方法，再將
三組小球放入四個盒子中的三個盒子，有 種方法，故共有
× ＝144（種）放法.
（2）每盒至多一球，有多少種放法？
（3）恰好有一個空盒，有多少種放法？
法二　先取4個球中的兩個“捆”在一起，有 種方法，把它與其他
兩個球共3個元素分別放入4個盒子中的3個盒子，有 種方法，所以
共有 × ＝144（種）放法.
解：先從四個盒子中選出三個盒子，再從三個盒子中選出一個盒子
放入兩個球，余下兩個盒子各放一個.由于球是相同的即沒有順序，
所以屬于組合問題，故共有 × ＝12（種）放法.
（4）把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少
種放法？
角度2　相同元素分配問題
【例2】　將6個相同的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子，求下
列放法的種數.
（1）每個盒子都不空；
解： 先把6個相同的小球排成一行，然后在小球之間5個空
隙中任選3個空隙各插一塊隔板，故共有 ＝10（種）放法.
（2）恰有一個空盒子.
解： 恰有一個空盒子，第一步先選出一個盒子，有
種選法，第二步在小球之間5個空隙中任選2個空隙各插一塊
隔板，有 種方法.由分步計數原理得，共有 ＝40
（種）放法.
通性通法
相同元素分配問題的處理策略
（1）隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看
作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板
形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒
子的一種方法，此法稱之為隔板法.隔板法專門解決相同元
素的分配問題；
（2）將n個相同的元素分給m個不同的對象（n≥m，每個對象都有
元素），有 種方法，可描述為（n－1）個空中插入（m
－1）塊隔板的方法.
【跟蹤訓練】
　（多選）（2024·無錫月考）某中學為提升學生勞動意識和社會實
踐能力，利用周末進社區義務勞動，高三一共6個班，其中只有1班有
2個勞動模范，本次義務勞動一共20個名額，勞動模范必須參加并不
占名額，每個班都必須有人參加，則下列說法正確的是（　?。?br/>C. 若每個班至少3人參加，則共有90種分配方法
D. 若每個班至少3人參加，則共有126種分配方法
解析： 　若1班不再分配名額，則20個名額分配到5個班級，每個
班級至少1個，根據隔板法，有 種分配方法，故A錯誤；若1班有
除勞動模范之外學生參加，則20個名額分配到6個班級，每個班級至
少1個，根據隔板法，有 種分配方法，故B正確；若每個班至少3人
參加，由于1班有2個勞模，故只需先滿足每個班級有2個名額，還剩
10個名額，再將10個名額分配到6個班級，每個班級至少1個名額，故
只需在10個名額中的9個空上放置5個隔板即可，故有 ＝126種，故
C錯誤，D正確.故選B、D.
題型二 排列與組合的綜合問題
角度1　特殊元素（位置）問題
【例3】　有五張卡片，它們的正、反面分別寫0與1，2與3，4與5，6
與7，8與9.將其中任意三張并排放在一起組成三位數，共可組成多少
個不同的三位數？
解：從0與1兩個特殊值著眼，可分三類：
①取0不取1，可先從另四張卡片中選一張作百位，有 種方法；0可
在后兩位，有 種方法；最后需從剩下的三張中任取一張，有 種
方法；又除含0的那張外，其他兩張都有正面或反面兩種可能，故此
時不同的三位數有 ·22個.
②取1不取0，同上分析，不同的三位數有 ·22· 個.
③0和1都不取，不同的三位數有 ·23· 個.
綜上所述，不同的三位數共有 · · ·22＋ ·22· ＋ ·23· ＝
432（個）.
通性通法
　　解特殊元素（位置）的排列與組合問題要遵循的兩個原則
（1）按元素（位置）的性質進行分類；
（2）按事情發生的過程進行分步.具體地說，解排列、組合問題常以
元素（位置）為主體，即先滿足特殊元素（位置），再考慮其
他元素（位置）.
【跟蹤訓練】
　由1，2，3，4，5，6組成沒有重復數字且1與2不相鄰的六位數，可
以組成 個.
解析：因為數字1與2不相鄰，故可用插空法.先排數字3，4，5，6，
有 種不同排法，每種排法留出五個空位，再將1，2插入，有 種
排法，所以由分步計數原理可知共有 ＝480（種）不同排法.
480　
角度2　選排問題
【例4】　（2024·徐州月考）有5個男生和3個女生，從中選出5人分
別擔任5門不同學科的課代表，求分別符合下列條件的選法數.
（1）有女生但人數必須少于男生；
解： 先選后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，
所以先選有 ＋ 種，后排有 種，
所以共有不同選法（ ＋ ）· ＝5 400（種）.
（2）某女生一定擔任語文課代表；
解： 除去一定擔任語文課代表的女生后，先選后排，共有
不同選法 · ＝840（種）.
（3）某男生必須包括在內，但不擔任語文課代表.
解： 先選后排，但先安排不擔任語文課代表的該男生，所
以共有不同選法 · · ＝3 360（種）.
通性通法
解排列、組合中選排問題的一般思路
（1）“先選后排”，即先把符合題意的元素都選出來，再對元素或
位置進行排列；
（2）按元素的性質確定分類的標準，按事情的發生過程確定分步
順序；
（3）對于有多個限制條件的復雜問題，應認真分析每個限制條件及
其聯系，從某一個限制條件出發，考慮合理分類、分步，一般
優先考慮特殊的元素.
【跟蹤訓練】
　有4名男醫生，3名女醫生，從中選2名男醫生，1名女醫生到3個不
同地區巡回醫療，但規定男醫生甲不能到地區A，則不同的分派方案
共有 種.（用數字作答）
解析：法一　分兩類完成.第一類：甲被選中，有 ＝36種分
派方案.第二類：甲不被選中，有 ＝54種分派方案.根據分類
計數原理，分派方案共有36＋54＝90種.
90　
法二　分兩類完成.第一類：地區A分派女醫生，有 ＝36種分派
方案.第二類：地區A分派除醫生甲之外的男醫生，有 ＝54
種分派方案.根據分類計數原理，分派方案共有36＋54＝90種.
題型三 “至多”與“至少”問題
【例5】?。ǘ噙x）（2024·淮安月考）在100件產品中，有98件合格
品，2件不合格品，從這100件產品中任意抽出3件，則抽出的3件產品
中（　　）
解析： 　對于A，分兩種情況：①抽出的3件產品都是合格品，抽
法種數為 ；②抽出的3件產品中有1件不合格品，抽法種數為
，所以抽法種數為 ＋ ，故A錯誤，B錯誤.對于C，分
兩種情況：①抽出的3件產品中有1件不合格品，抽法種數為 ；
②抽出的3件產品中有2件不合格品，抽法種數為 .所以抽法種數
為 ＋ .故C正確.對于D，用“正難則反”，知抽法種數為
－ ，故D正確.
通性通法
　　“至多”“至少”型問題，常用“直接分類法”與“間接法”解
答，通常考慮三種途徑
（1）元素分析法：先考慮特殊元素，再考慮其他元素；
（2）位置分析法：先考慮特殊位置，再考慮其他位置；
（3）“正難則反”：涉及“至多”“至少”等組合問題，當從正面
分析問題分的類較多、較復雜或計算量較大時，不適合用直接
分類法求解，不妨從反面入手，特別是可先算出不帶限制條件
的組合數，再減去不滿足限制條件的組合數.
【跟蹤訓練】
某市工商局對35種商品進行檢查，鑒定結果有15種假貨，現從35種商
品中選取3種.
（1）恰有2種假貨在內，不同的取法有多少種？
解： 由題意可知不同的取法共有 · ＝2 100（種）.
（2）至少有2種假貨在內，不同的取法有多少種？
解： 至少有2種假貨在內，可能有2種假貨，可能有3種假
貨，故有 · ＋ ＝2 555（種）.
（3）至多有2種假貨在內，不同的取法有多少種？
解： 至多有2種假貨在內，可能沒有假貨，可能有1種假
貨，可能有2種假貨，故共有 ＋ ＋ ＝6 090
（種）.
知能演練·扣課標
02
課后鞏固 核心素養落地
1. ＝（　?。?br/>A. 120 B. 160
C. 180 D. 240
解析： 　 ＝ ＝120.
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2. 從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓、管理三項不同的工作，
則不同的選派方案共有（　?。?br/>A. 60種 B. 80種
C. 100種 D. 120種
解析： 　從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓、管理三
項不同的工作，則不同的選派方案共有 ＝6×5×4＝120
（種）.故選D.
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3. 從5名志愿者中選派4人在星期六和星期日參加公益活動，每人一
天，每天兩人，則不同的選派方法共有（　?。?br/>A. 60種 B. 48種
C. 30種 D. 10種
解析： 根據題意，分3步進行：①從5名志愿者中選派4人參加
活動，有 ＝5種選法；②將4人分為2組，有 ＝3種分法；③
將2組進行全排列，對應星期六和星期日，有 ＝2種情況，則共
有5×3×2＝30種不同的選派方法，故選C.
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4. 有七名同學站成一排照畢業紀念照，其中甲必須站在正中間，并且
乙、丙兩位同學要站在一起，則不同的站法有（　　）
A. 240種 B. 192種
C. 96種 D. 48種
解析： 　分三步：先排甲，有1種方法；再排乙、丙，排在甲的
左邊或右邊，各有4種方法；再排其余4人，有 種方法，故共有
2×4× ＝192（種）不同的站法.故選B.
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5. （多選）（2024·蘇州月考）某醫院派出甲、乙、丙、丁4名醫生到
A，B，C三家企業開展某種疾病的防護排查工作，每名醫生只能
到一家企業工作，則下列結論正確的是（　　）
A. 若C企業最多派1名醫生，則所有不同的分派方案共48種
B. 若每家企業至少分派1名醫生，則所有不同的分派方案共36種
C. 若每家企業至少分派1名醫生，且醫生甲必須到A企業，則所有不
同的分派方案共12種
D. 所有不同的分派方案共43種
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解析： 　對于選項A，若C企業沒有派醫生去，每名醫生有2
種選擇，則共用24＝16（種），若C企業派1名醫生，則有 ·23＝
32（種），所以共有16＋32＝48（種）；對于選項B，若每家企業
至少分派1名醫生，則有 ＝36（種）；對于選項C，若每家企
業至少分派1名醫生，且醫生甲必須到A企業，若A企業分2人，則
有 ＝6（種），若A企業分1人，則有 ＝6（種），所以共
有6＋6＝12（種）；對于選項D，所有不同的分派方案共有34種.
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6. （多選）某班某學習小組有6人，在體育課上，體育老師對這6人分
組安排訓練任務，其中分配種數計算正確的是（　?。?br/>A. 分成三組，第一組1人訓練跳高，第二組2人訓練跳遠，第三組3人
訓練擲實心球，共60種分法
B. 分成三組，人數分別是1，1，4，一組訓練跳高，一組訓練跳遠，
一組訓練擲實心球，共90種分法
C. 分成三組，每組2人，分別參加乒乓球、羽毛球、網球的訓練賽，
共540種分法
D. 分成兩組，每組3人，兩組間進行三人籃球訓練賽，共20種分法
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解析： 　A選項，分3步完成，先選1人訓練跳高有 種，再
選2人訓練跳遠有 種，剩余3人訓練擲實心球有 種，根據分步
計數原理可知，共有 · · ＝6×10×1＝60種分法，故A正
確；B選項，先分好三組，有 ＝15種分法，再安排3組去參
加不同的訓練，有 種安排方法，所以由分步計數原理知共有
15 ＝90種分法，故B正確；
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C選項，先選2人參加乒乓球訓練賽有 種，再選2人參加羽毛球訓練
賽有 種，再選2人參加網球訓練賽有 種，由分步計數原理知共
有 · · ＝90種分法，故C錯誤；D選項，先分成2組，每組3人有
＝10種，再分成2隊有 種分法，由分步計數原理知共有10
＝20種分法，故D正確.
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7. 不等式 －n＜5的解集為 .
解析：由 －n＜5，得 －n＜5，所以n2－3n－10＜0.
解得－2＜n＜5.由題設條件知n≥2，且n∈N*，所以n＝2，3，
4，故原不等式的解集為{2，3，4}.
{2，3，4}　
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8. 要排出某班一天中語文、數學、政治、英語、體育、藝術6門課各
一節的課程表.要求數學課排在前3節，英語課不排在第6節，則不
同的排法種數為 （用數字作答）.
解析：先在前3節課中選一節安排數學，有 種安排方法；在除了
數學課與第6節課外的4節課中選一節安排英語課，有 種安排方
法；其余4節課無約束條件，有 種安排方法.根據分步計數原
理，不同的排法種數為 × × ＝288.
288　
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9. （2024·南京月考）如圖，∠MON的邊OM上有四個點A1，A2，
A3，A4，ON上有三個點B1，B2，B3，則以O，A1，A2，A3，
A4，B1，B2，B3中三點為頂點的三角形的個數為 .
解析：利用間接法，先在8個點中任取3個點，再減去三點共線的情
況，所以符合條件的三角形的個數為 － － ＝42.
42　
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10. （2024·泰州月考）某餐廳供應客飯，每位顧客可以在餐廳提供的
菜肴中任選2葷、2素共4種不同的品種，現在餐廳準備了5種不同
的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少
還要準備不同的素菜 種.
解析：設餐廳至少還要準備不同的素菜x種，則 · ≥200，即
x（x－1）≥40.∵x取正整數，∴x最小取7.∴x≥7.故餐廳至少
還要準備不同的素菜7種.
7　
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11. 平面上有9個點，其中有4個點共線，除此外無3點共線.
（1）這9個點，可確定多少條不同的直線？
（1）第一類：A，B，C，D確定1條直線；
第二類：A，B，C，D以外的5個點可確定 條直線；
第三類：從A，B，C，D中任取1點，其余5點中任取1點
可確定 條直線.
根據分類計數原理，共有不同直線1＋ ＋ ＝1＋10＋
20＝31（條）.
解：共線的4點記為A，B，C，D.
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（2）以這9個點中的3個點為頂點，可以確定多少個三角形？
解：第一類：從A，B，C，D中取2個點，可得 個
三角形；
第二類：從A，B，C，D中取1個點，可得 個三角
形；
第三類：從其余5個點中任取3點，可得 個三角形.
共有 ＋ ＋ ＝80（個）三角形.
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12. 為弘揚我國古代的六藝文化，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開
設禮樂射御書數六門體驗課程.
（1）若體驗課連續開設六周，每周一門，求其中射不排在第一
周，數不排在最后一周的所有可能排法種數；
解： 分兩種情況討論：
當射排在最后一周時，則有 ＝120種排法；
當當射不排在最后一周，則射有4種排法，數也有4種排法，
剩下的4門課程全排列，有4×4× ＝384種排法，
所以共有120＋384＝504種不同排法.
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（2）甲、乙、丙、丁、戊五名教師教這六門課程，每名教師至少
任教一門課程，求其中甲不任教數的課程安排方案種數.
解： 分兩種情況討論：
當甲教兩科時，則有 ＝240種安排方法；
當甲教一科時，則有 ＝1 200種安排方法.
所以共有240＋1 200＝1 440種不同安排方案.
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13. 在混放在一起的6件不同的產品中，有2件次品，4件正品.現需要
通過檢測將其區分，每次隨機抽取一件進行檢測，檢測后不放
回，直到檢測出2件次品或者檢測出4件正品時檢測結束.
（1）若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少
種不同的抽法；
解： 由題意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或
5次檢測結束，
第1次抽到的是正品有 種抽法；第2次抽到的是次品有
種抽法；第3次抽到的是正品有 種抽法；
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當抽取4次結束時，第4次抽到的必是次品，共有 ＝
24種抽法；
當抽取5次結束時，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是
正品，則共有 ＝48種抽法；
若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，則共有
＝48種抽法；
綜上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120
種抽法.
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（2）已知每檢測一件產品需要檢測費用100元，求檢測結束時檢
測費用為400元的抽法有多少種？
解： 由題意知，檢測費用為400元，說明一共抽取了4
次檢測結束，共有以下兩種情況：
①4次抽到的均為正品，共有 ＝24種抽法；
②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共
有 · · ＝72種抽法.
所以，檢測結束時，檢測費用為400元的抽法共有96種.
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謝 謝 觀 看！

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