資源簡(jiǎn)介

7.4　二項(xiàng)式定理
7.4.1　二項(xiàng)式定理
1.（x＋）9的展開式中的第4項(xiàng)是（　　）
A.56x3 B.84x3
C.56x4 D.84x4
2.（2024·淮安月考）（x－y）10的展開式中x6y4的系數(shù)是（　　）
A.－840 B.840
C.210 D.－210
3.（2024·鎮(zhèn)江月考）若實(shí)數(shù)a＝2－，則a10－2a9＋22a8－…＋210＝（　　）
A.32 B.－32
C.1 024 D.512
4.（1＋3x）n（n∈N*）的展開式中，若第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6，則第四項(xiàng)的系數(shù)為（　　）
A.4 B.27
C.36 D.108
5.（多選）對(duì)于二項(xiàng)式（x－）9的展開式，下列結(jié)論正確的是（　　）
A.展開式共有10項(xiàng)
B.第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是126
C.第6項(xiàng)的系數(shù)是126
D.x3的系數(shù)是84
6.（多選）若二項(xiàng)式（x＋）6展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15，則實(shí)數(shù)m的值可能為（　　）
A.1 B.－1
C.2 D.－2
7.的展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是　　　，第4項(xiàng)的系數(shù)是　　　　.
8.（2024·常州月考）在（1－x）5－（1－x）6的展開式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)為　　　　.
9.（x－）2n的展開式的中間項(xiàng)為　　　　.
10.已知二項(xiàng)式（2x－1）4：
（1）求展開式；
（2）求展開式中第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；
（3）求展開式中第2項(xiàng)的系數(shù).
11.（多選）對(duì)于二項(xiàng)式（n∈N*），以下判斷正確的有（　　）
A.存在n∈N*，展開式中有常數(shù)項(xiàng) B.對(duì)任意n∈N*，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)
C.對(duì)任意n∈N*，展開式中沒有含x的項(xiàng) D.存在n∈N*，展開式中有含x的項(xiàng)
12.若（2x3＋）n的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則最小的正整數(shù)n的值為　　　　，此時(shí)常數(shù)項(xiàng)為　　　　.
13.（x＋）100的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有　　　　項(xiàng).
14.已知在（－）n的二項(xiàng)展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).
（1）求n；
（2）求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；
（3）求展開式中所有的有理項(xiàng).
15.已知數(shù)列{an}（n為正整數(shù)）是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列.
（1）求：a1－a2＋a3，a1－a2＋a3－a4；
（2）由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個(gè)結(jié)論，并加以證明.
7.4.1　二項(xiàng)式定理
1.B　由展開式的通項(xiàng)知T4＝x6（）3＝84x3.
2.B　在通項(xiàng)公式Tk＋1＝（－y）kx10－k中，令k＝4，得x6y4的系數(shù)為（－）4＝840.
3.A　a10－2a9＋22a8－…＋210＝（a－2）10，當(dāng)a＝2－時(shí)，（a－2）10＝32.
4.D　Tk＋1＝（3x）k，由＝6，得n＝4，從而T4＝·（3x）3，故第四項(xiàng)的系數(shù)為·33＝108.
5.AB　二項(xiàng)展開式共有9＋1＝10（項(xiàng)），A正確；由已知得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝x9－k·（－）k＝（－1）k··x9－2k，∴T6＝（－1）5··x9－2×5＝－126x－1，∴第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為＝126，第6項(xiàng)的系數(shù)為－126，故B正確，C錯(cuò)誤；令9－2k＝3，得k＝3，即展開式中第4項(xiàng)含x3，其系數(shù)為（－1）3·＝－84，D錯(cuò)誤.
6.AB　二項(xiàng)式（x＋）6展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝x6－k·（）k＝mk.令6－k＝0，得k＝4，常數(shù)項(xiàng)為m4＝15，則m4＝1，解得m＝±1.故選A、B.
7.84　－　解析：Tk＋1＝·（x2）9－k·＝··x18－3k，當(dāng)k＝3時(shí)，T4＝··x9＝－x9，所以第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為＝84，第4項(xiàng)的系數(shù)為－.
8.10　解析：（1－x）5中x3的系數(shù)為－＝－10，－（1－x）6中x3的系數(shù)為－·（－1）3＝20，故（1－x）5－（1－x）6的展開式中x3的系數(shù)為10.
9.（－1）n　解析：Tr＋1＝x2n－r（－）r＝（－1）rx2n－2r，展開式共有2n＋1項(xiàng)，中間項(xiàng)為第n＋1項(xiàng)，即Tn＋1＝（－1）n.
10.解：（1）（2x－1）4＝[2x＋（－1）]4＝（2x）4（－1）0＋（2x）3（－1）1＋（2x）2（－1）2＋（2x）1（－1）3＋（2x）0（－1）4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1.
（2）由（1）可知展開式中第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為＝4.
（3）由（1）可知展開式中第2項(xiàng)的系數(shù)為·23·（－1）＝－32.
11.AD　設(shè)二項(xiàng)式（n∈N*）展開式的通項(xiàng)為Tk＋1，則Tk＋1＝（x3）k＝x4k－n，不妨令n＝4，則當(dāng)k＝1時(shí)，展開式中有常數(shù)項(xiàng)，故A正確，B錯(cuò)誤；令n＝3，則當(dāng)k＝1時(shí)，展開式中有含x的項(xiàng)，故C錯(cuò)誤，D正確.
12.7　14　解析：二項(xiàng)式的通項(xiàng)為Tk＋1＝（2x3）n－k（）k＝2n－k，令3n－k＝0，即k＝n，而k∈N*.∴n為7的整數(shù)倍，即最小的正整數(shù)n的值為7，此時(shí)常數(shù)項(xiàng)為T7＝×2＝14.
13.17　解析：（x＋）100的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝x100－k··.若Tk＋1的系數(shù)為有理數(shù)，則，均為整數(shù)，即k為6的整數(shù)倍.由0≤k≤100，k∈N，知k的可能取值為0，6，12，…，96，共17個(gè)，即系數(shù)為有理數(shù)的共有17項(xiàng).
14.解：通項(xiàng)公式為Tr＋1＝（－3）r
＝（－3）r.
（1）∵第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，
∴當(dāng)r＝5時(shí)，有＝0，即n＝10.
（2）令＝2，
得r＝（10－6）＝2，
∴所求的系數(shù)為（－3）2＝405.
（3）由題意得，
令＝t（t∈Z），
則10－2r＝3t，即r＝5－t.
∵r∈N，∴t應(yīng)為偶數(shù).
令t＝2，0，－2，即r＝2，5，8.
∴第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為405x2，－61 236，295 245x－2.
15.解：（1）a1－a2＋a3＝a1－2a1q＋a1q2＝a1（1－q）2，
a1－a2＋a3－a4＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1（1－q）3.
（2）歸納概括的結(jié)論為：
若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，則
a1－a2＋a3－a4＋…＋（－1）nan＋1·
＝a1（1－q）n，n為正整數(shù).
證明：a1－a2＋a3－a4＋…＋（－1）nan＋1·
＝a1－a1q＋a1q2－a1q3＋…＋（－1）na1qn
＝a1[－q＋q2－q3＋…＋（－1）nqn]＝a1（1－q）n.
2 / 27.4.1　二項(xiàng)式定理
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.理解二項(xiàng)式定理的相關(guān)概念 數(shù)學(xué)抽象
2.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理 邏輯推理
3.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題 數(shù)學(xué)運(yùn)算
　　觀察以下各式：
　　（a＋b）1＝a＋b，
　　（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，
　　（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
　　（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4，
　　…
【問題】　（1）它們的系數(shù)之間有何規(guī)律？
（2）各項(xiàng)系數(shù)與我們學(xué)過的組合數(shù)有何聯(lián)系？
（3）那么（a＋b）n的展開式又是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)　二項(xiàng)式定理
二項(xiàng)式定理 （a＋b）n＝　　　　　　　　　　　　　　（n∈N*）
二項(xiàng)式系數(shù) 　　　（r＝0，1，2，…，n）
二項(xiàng)展開 式的通項(xiàng) ＝　　　
提醒　二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)：①展開式共有n＋1項(xiàng)；②各項(xiàng)中a，b的次數(shù)和都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n；③字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0，字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）（a＋b）n展開式中共有n項(xiàng).（　　）
（2）在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒有影響.（　　）
（3）an－rbr是（a＋b）n展開式中的第r項(xiàng).（　　）
（4）（a－b）n與（a＋b）n的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)相同.（　　）
2.（x＋2）n的展開式共有11項(xiàng)，則n＝（　　）
A.9 B.10
C.11 D.8
3.（2024·南通月考）（x3－）4的展開式中常數(shù)項(xiàng)為　　　　.
4.在（1－2x）6的展開式中，x2的系數(shù)為　　　　（用數(shù)字作答）.
題型一 二項(xiàng)式定理的正用、逆用
【例1】　（鏈接教科書第83頁例1）（1）求（x＋2y）4的展開式；
（2）化簡(jiǎn)：（x＋1）n－（x＋1）n－1＋（x＋1）n－2－…＋（－1）k（x＋1）n－k＋…＋（－1）n.
通性通法
運(yùn)用二項(xiàng)式定理解題的策略
（1）正用：求形式簡(jiǎn)單的二項(xiàng)展開式時(shí)可直接由二項(xiàng)式定理展開，展開時(shí)要注意二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)，前一個(gè)字母是降冪，后一個(gè)字母是升冪.形如（a－b）n的展開式中會(huì)出現(xiàn)正負(fù)間隔的情況.對(duì)較繁雜的式子，先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開；
（2）逆用：逆用二項(xiàng)式定理可將多項(xiàng)式化簡(jiǎn)，對(duì)于這類問題的求解，要熟悉公式的特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)的系數(shù).
提醒　逆用二項(xiàng)式定理時(shí)如果項(xiàng)的系數(shù)是正負(fù)相間的，則是（a－b）n的形式.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.（2024·徐州月考）已知3n＋3n－1＋3n－2＋…＋3＋＝1 024，則n＝　　　　.
2.求的展開式.
題型二 二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用
角度1　二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)
【例2】　（鏈接教科書第84頁例2）在二項(xiàng)式（3－）10的二項(xiàng)展開式中，求：
（1）第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；
（2）第4項(xiàng)的系數(shù).
通性通法
1.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者僅與二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)有關(guān)，與二項(xiàng)式無關(guān)，后者與二項(xiàng)式、二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)均有關(guān).
2.求二項(xiàng)式系數(shù)可直接代入求解.求二項(xiàng)展開式某項(xiàng)的系數(shù)可以分為兩步完成：（1）根據(jù)所給出的條件和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)，求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件（n為正整數(shù)，r為非負(fù)整數(shù)，n≥r）；（2）根據(jù)所求的指數(shù)，求所求解的項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù).
【跟蹤訓(xùn)練】
　（2024·常州月考）若（1－2x）n的展開式中x3的系數(shù)為－160，則正整數(shù)n的值為（　　）
A.5 B.6
C.7 D.8
角度2　二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)
【例3】　（鏈接教科書第84頁例3）在二項(xiàng)式（x－）12的展開式中，求：
（1）第4項(xiàng)；（2）常數(shù)項(xiàng)；（3）有理項(xiàng).
通性通法
求二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)的步驟
【跟蹤訓(xùn)練】
1.二項(xiàng)式（2x2－）6的展開式的中間項(xiàng)是　　　　.
2.若（x－）6展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)a的值為　　　　.
1.在（－2）5的展開式中，x2的系數(shù)為（　　）
A.－5 B.5
C.－10 D.10
2.S＝（x－1）4＋4（x－1）3＋6（x－1）2＋4x－3，則S＝（　　）
A.x4 B.x4＋1
C.（x－2）4 D.x4＋4
3.（2024·連云港月考）若二項(xiàng)式展開式中的第5項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則自然數(shù)n的值為（　　）
A.6 B.10
C.12 D.15
4.在（x－）8的展開式中：
（1）求第3項(xiàng)；
（2）求含項(xiàng)的系數(shù).
7.4.1　二項(xiàng)式定理
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)
an＋bbr＋…＋bn　　br
自我診斷
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√
2.B　因?yàn)椋╝＋b）n的展開式共有（n＋1）項(xiàng)，而（x＋2）n的展開式共有11項(xiàng)，所以n＝10，故選B.
3.－4　解析：（x3－）4的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝（x3）4－k（－）k＝（－1）kx12－4k，令12－4k＝0，即k＝3，得常數(shù)項(xiàng)為T4＝（－1）3＝－4.
4.60　解析：（1－2x）6的展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝（－2）kxk，當(dāng)k＝2時(shí)，T3＝（－2）2x2＝60x2，所以x2的系數(shù)為60.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）（x＋2y）4＝x4＋x3（2y）＋x2（2y）2＋x（2y）3＋（2y）4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.
（2）原式＝（x＋1）n＋（x＋1）n－1（－1）＋（x＋1）n－2（－1）2＋…＋（x＋1）n－k（－1）k＋…＋（－1）n＝[（x＋1）＋（－1）]n＝xn.
跟蹤訓(xùn)練
1.5　解析：3n＋3n－1＋…＋3＋＝3n·10＋3n－1·11＋…＋31·1n－1＋30·1n＝（3＋1）n＝4n＝1 024＝210，即22n＝210，解得n＝5.
2.解：法一　＝（3）4＋（3）3·＋（3）2＋（3）· ＋＝81x2＋108x＋54＋＋.
法二　＝＝（1＋3x）4＝·[1＋·3x＋（3x）2＋（3x）3＋（3x）4]＝（1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4）＝＋＋54＋108x＋81x2.
【例2】　解：（3－）10的展開式的通項(xiàng)是
Tr＋1＝（3）10－r（－）r
＝310－r（－）r·（r＝0，1，2，…，10）.
（1）展開式的第4項(xiàng)（r＝3）的二項(xiàng)式系數(shù)為＝120.
（2）展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)為37（－）3＝－77 760.
跟蹤訓(xùn)練
　B　（1－2x）n的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝1n－k·（－2x）k＝（－2）kxk，又展開式中x3的系數(shù)為－160，則（－2）3＝－160，則＝20，解得n＝6.
【例3】　解：二項(xiàng)展開式的第r＋1項(xiàng)是Tr＋1＝x12－r·（－）r＝（－1）r.
（1）令r＝3，則T4＝（－1）3＝－220x8.
（2）令12－r＝0，則r＝9，從而常數(shù)項(xiàng)為（－1）9＝－220.
（3）若求展開式中的有理項(xiàng)，則12－r為整數(shù)，即r＝0，3，6，9，12，故有理項(xiàng)分別為T1＝x12，T4＝－x8＝－220x8，T7＝x4＝924x4，T10＝－＝－220，T13＝x－4.
跟蹤訓(xùn)練
1.－x3　解析：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝（2x2）6－k·（－）k＝（－）k26－kx12－3k，二項(xiàng)展開式一共有7項(xiàng)，所以第4項(xiàng)為中間項(xiàng)，即k＝3，T4＝（－）326－3x12－3×3＝－x3.
2.4　解析：（x－）6的展開式的通項(xiàng)是Tr＋1＝x6－r·（－）rx－2r＝x6－3r（－）r，令6－3r＝0，得r＝2，即當(dāng)r＝2時(shí)，Tr＋1為常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)是a，根據(jù)已知得a＝60，解得a＝4.
隨堂檢測(cè)
1.C　由二項(xiàng)式定理得（－2）5的展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝（）5－k（－2）k＝（－2）k，令＝2，得k＝1，所以T2＝·（－2）·x2＝－10x2，所以x2的系數(shù)為－10，故選C.
2.A　S＝（x－1）4＋4（x－1）3＋6（x－1）2＋4（x－1）＋1＝（x－1）4＋（x－1）3＋（x－1）2＋（x－1）＋＝[（x－1）＋1]4＝x4.故選A.
3.C　由二項(xiàng)式展開式的第5項(xiàng)T5＝·（）n－4（－）4＝16是常數(shù)項(xiàng)，可得－6＝0，解得n＝12.故選C.
4.解：（1）（x－）8＝（x－2x－2）8，
所以第3項(xiàng)為T3＝x8－2（－2x－2）2＝（－2）2x6x－4＝4x2＝112x2.
（2）Tr＋1＝x8－r（－2x－2）r＝（－1）r2rx8－3r，
令8－3r＝－1，解得r＝3，
所以T4＝（－1）323x－1＝－.
所以含項(xiàng)的系數(shù)為－448.
3 / 3(共52張PPT)
7.4.1　二項(xiàng)式定理
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.理解二項(xiàng)式定理的相關(guān)概念 數(shù)學(xué)抽象
2.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證
明二項(xiàng)式定理 邏輯推理
3.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式
有關(guān)的簡(jiǎn)單問題 數(shù)學(xué)運(yùn)算
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
　　觀察以下各式：
　　（a＋b）1＝a＋b，
　　（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，
　　（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
　　（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4，
　　…
【問題】　（1）它們的系數(shù)之間有何規(guī)律？
（2）各項(xiàng)系數(shù)與我們學(xué)過的組合數(shù)有何聯(lián)系？
（3）那么（a＋b）n的展開式又是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識(shí)點(diǎn)　二項(xiàng)式定理
二項(xiàng)式定理 （a＋b）n＝
（n∈N*）
二項(xiàng)式系數(shù) （r＝0，1，2，…，n）
二項(xiàng)展開 式的通項(xiàng)
an＋ b br
＋…＋ bn　
　
br　
提醒　二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)：①展開式共有n＋1項(xiàng)；②各項(xiàng)中a，b的
次數(shù)和都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n；③字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減
到0，字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）（a＋b）n展開式中共有n項(xiàng). （　×　）
（2）在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒有影響. （　×　）
（3） an－rbr是（a＋b）n展開式中的第r項(xiàng). （　×　）
（4）（a－b）n與（a＋b）n的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)相
同. （　√　）
×
×
×
√
2. （x＋2）n的展開式共有11項(xiàng)，則n＝（　　）
A. 9 B. 10
C. 11 D. 8
解析： 　因?yàn)椋╝＋b）n的展開式共有（n＋1）項(xiàng)，而（x＋
2）n的展開式共有11項(xiàng)，所以n＝10，故選B.
3. （2024·南通月考）（x3－ ）4的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 .
解析：（x3－ ）4的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝ （x3）4－k（－ ）k
＝（－1）k x12－4k，令12－4k＝0，即k＝3，得常數(shù)項(xiàng)為T4＝
（－1）3 ＝－4.
4. 在（1－2x）6的展開式中，x2的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）.
解析：（1－2x）6的展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝ （－2）kxk，當(dāng)k＝2
時(shí)，T3＝ （－2）2x2＝60x2，所以x2的系數(shù)為60.
－4　
60　
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 二項(xiàng)式定理的正用、逆用
【例1】　（鏈接教科書第83頁例1）（1）求（x＋2y）4的展開式；
解： （x＋2y）4＝ x4＋ x3（2y）＋ x2（2y）2＋
x（2y）3＋ （2y）4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.
（2）化簡(jiǎn)： （x＋1）n－ （x＋1）n－1＋ （x＋1）n－2－…
＋（－1）k （x＋1）n－k＋…＋（－1）n .
解： 原式＝ （x＋1）n＋ （x＋1）n－1（－1）＋
（x＋1）n－2（－1）2＋…＋ （x＋1）n－k（－1）k＋…＋
（－1）n＝[（x＋1）＋（－1）]n＝xn.
通性通法
運(yùn)用二項(xiàng)式定理解題的策略
（1）正用：求形式簡(jiǎn)單的二項(xiàng)展開式時(shí)可直接由二項(xiàng)式定理展開，
展開時(shí)要注意二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)，前一個(gè)字母是降冪，后一個(gè)
字母是升冪.形如（a－b）n的展開式中會(huì)出現(xiàn)正負(fù)間隔的情
況.對(duì)較繁雜的式子，先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開；
（2）逆用：逆用二項(xiàng)式定理可將多項(xiàng)式化簡(jiǎn)，對(duì)于這類問題的求
解，要熟悉公式的特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)的
系數(shù).
提醒　逆用二項(xiàng)式定理時(shí)如果項(xiàng)的系數(shù)是正負(fù)相間的，則是（a
－b）n的形式.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. （2024·徐州月考）已知 3n＋ 3n－1＋ 3n－2＋…＋ 3＋
＝1 024，則n＝ .
解析： 3n＋ 3n－1＋…＋ 3＋ ＝ 3n·10＋ 3n－1·11
＋…＋ 31·1n－1＋ 30·1n＝（3＋1）n＝4n＝1 024＝210，即
22n＝210，解得n＝5.
5　
2. 求 的展開式.
解：法一　 ＝ （3 ）4＋ （3 ）3· ＋
（3 ）2 ＋ （3 ）· ＋ ＝81x2＋108x＋
54＋ ＋ .
法二　 ＝ ＝ （1＋3x）4＝ ·[1＋ ·3x＋
（3x）2＋ （3x）3＋ （3x）4]＝ （1＋12x＋54x2＋108x3＋
81x4）＝ ＋ ＋54＋108x＋81x2.
題型二 二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用
角度1　二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)
【例2】　（鏈接教科書第84頁例2）在二項(xiàng)式（3 － ）10的二項(xiàng)
展開式中，求：
（1）第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；
（1）展開式的第4項(xiàng)（r＝3）的二項(xiàng)式系數(shù)為 ＝120.
解：（3 － ）10的展開式的通項(xiàng)是
Tr＋1＝ （3 ）10－r（－ ）r
＝ 310－r（－ ）r· （r＝0，1，2，…，10）.
（2）第4項(xiàng)的系數(shù).
解：展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)為 37（－ ）3＝－77 760.
通性通法
1. 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者僅與二項(xiàng)式的指數(shù)
及項(xiàng)數(shù)有關(guān)，與二項(xiàng)式無關(guān)，后者與二項(xiàng)式、二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)
均有關(guān).
2. 求二項(xiàng)式系數(shù)可直接代入求解 .求二項(xiàng)展開式某項(xiàng)的系數(shù)可以分
為兩步完成：（1）根據(jù)所給出的條件和通項(xiàng)公式，建立方程來確
定指數(shù)，求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件（n為正整
數(shù)，r為非負(fù)整數(shù)，n≥r）；（2）根據(jù)所求的指數(shù)，求所求解的
項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù).
【跟蹤訓(xùn)練】
（2024·常州月考）若（1－2x）n的展開式中x3的系數(shù)為－160，則正
整數(shù)n的值為（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： 　（1－2x）n的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝ 1n－k·（－2x）k
＝（－2）k xk，又展開式中x3的系數(shù)為－160，則（－2）3 ＝－
160，則 ＝20，解得n＝6.
角度2　二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)
【例3】　（鏈接教科書第84頁例3）在二項(xiàng)式（x－ ）12的展開式
中，求：（1）第4項(xiàng)；（2）常數(shù)項(xiàng)；
解：二項(xiàng)展開式的第r＋1項(xiàng)是Tr＋1＝ x12－r·（－ ）r＝（－1）
r .
（1）令r＝3，則T4＝（－1）3 ＝－220x8.
（2）令12－ r＝0，則r＝9，從而常數(shù)項(xiàng)為（－1）9 ＝－220.
解：若求展開式中的有理項(xiàng)，則12－ r為整數(shù)，即r＝0，3，6，
9，12，故有理項(xiàng)分別為T1＝x12，T4＝－ x8＝－220x8，T7＝ x4
＝924x4，T10＝－ ＝－220，T13＝x－4.
（3）有理項(xiàng).
通性通法
求二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)的步驟
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 二項(xiàng)式（2x2－ ）6的展開式的中間項(xiàng)是 　－ x3　.
解析：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝ （2x2）6－k·（－ ）k＝
（－ ）k26－k x12－3k，二項(xiàng)展開式一共有7項(xiàng)，所以第4項(xiàng)為中間
項(xiàng)，即k＝3，T4＝（－ ）326－3 x12－3×3＝－ x3.
－ x3　
2. 若（x－ ）6展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)a的值為 .
解析：（x－ ）6的展開式的通項(xiàng)是Tr＋1＝ x6－r·（－ ）rx－
2r＝ x6－3r（－ ）r，令6－3r＝0，得r＝2，即當(dāng)r＝2時(shí)，Tr
＋1為常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)是 a，根據(jù)已知得 a＝60，解得a＝4.
4　
1. 在（ －2）5的展開式中，x2的系數(shù)為（　　）
A. －5 B. 5
C. －10 D. 10
解析： 　由二項(xiàng)式定理得（ －2）5的展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝
（ ）5－k（－2）k＝ （－2）k ，令 ＝2，得k＝1，所
以T2＝ ·（－2）·x2＝－10x2，所以x2的系數(shù)為－10，故選C.
2. S＝（x－1）4＋4（x－1）3＋6（x－1）2＋4x－3，則S＝
（　　）
A. x4 B. x4＋1
C. （x－2）4 D. x4＋4
解析： 　S＝（x－1）4＋4（x－1）3＋6（x－1）2＋4（x－1）
＋1＝ （x－1）4＋ （x－1）3＋ （x－1）2＋ （x－1）
＋ ＝[（x－1）＋1]4＝x4.故選A.
3. （2024·連云港月考）若二項(xiàng)式 展開式中的第5項(xiàng)是常數(shù)
項(xiàng)，則自然數(shù)n的值為（　　）
A. 6 B. 10
C. 12 D. 15
解析： 　由二項(xiàng)式 展開式的第5項(xiàng)T5＝ ·（ ）n－
4（－ ）4＝16 是常數(shù)項(xiàng)，可得 －6＝0，解得n＝12.故
選C.
4. 在（x－ ）8的展開式中：
（1）求第3項(xiàng)；
解： （x－ ）8＝（x－2x－2）8，
所以第3項(xiàng)為T3＝ x8－2（－2x－2）2＝（－2）2 x6x－4＝
4 x2＝112x2.
（2）求含 項(xiàng)的系數(shù).
解： Tr＋1＝ x8－r（－2x－2）r＝（－1）r2r x8－3r，
令8－3r＝－1，解得r＝3，
所以T4＝（－1）323 x－1＝－ .
所以含 項(xiàng)的系數(shù)為－448.
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. （x＋ ）9的展開式中的第4項(xiàng)是（　　）
A. 56x3 B. 84x3
C. 56x4 D. 84x4
解析： 　由展開式的通項(xiàng)知T4＝ x6（ ）3＝84x3.
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2. （2024·淮安月考）（x－ y）10的展開式中x6y4的系數(shù)是
（　　）
A. －840 B. 840
C. 210 D. －210
解析： 在通項(xiàng)公式Tk＋1＝ （－ y）kx10－k中，令k＝4，
得x6y4的系數(shù)為 （－ ）4＝840.
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3. （2024·鎮(zhèn)江月考）若實(shí)數(shù)a＝2－ ，則a10－2 a9＋22 a8
－…＋210＝（　　）
A. 32 B. －32
C. 1 024 D. 512
解析： 　a10－2 a9＋22 a8－…＋210＝（a－2）10，當(dāng)a＝2
－ 時(shí)，（a－2）10＝32.
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4. （1＋3x）n（n∈N*）的展開式中，若第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6，
則第四項(xiàng)的系數(shù)為（　　）
A. 4 B. 27
C. 36 D. 108
解析： 　Tk＋1＝ （3x）k，由 ＝6，得n＝4，從而T4＝
·（3x）3，故第四項(xiàng)的系數(shù)為 ·33＝108.
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5. （多選）對(duì)于二項(xiàng)式（x－ ）9的展開式，下列結(jié)論正確的是
（　　）
A. 展開式共有10項(xiàng)
B. 第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是126
C. 第6項(xiàng)的系數(shù)是126
D. x3的系數(shù)是84
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解析： 　二項(xiàng)展開式共有9＋1＝10（項(xiàng)），A正確；由已知得
二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝ x9－k·（－ ）k＝（－1）k· ·x9－
2k，∴T6＝（－1）5· ·x9－2×5＝－126x－1，∴第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)
為 ＝126，第6項(xiàng)的系數(shù)為－126，故B正確，C錯(cuò)誤；令9－2k＝
3，得k＝3，即展開式中第4項(xiàng)含x3，其系數(shù)為（－1）3· ＝－
84，D錯(cuò)誤.
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6. （多選）若二項(xiàng)式（x＋ ）6展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15，則實(shí)數(shù)m
的值可能為（　　）
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
解析： 　二項(xiàng)式（x＋ ）6展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝ x6－
k·（ ）k＝ mk.令6－ k＝0，得k＝4，常數(shù)項(xiàng)為 m4＝
15，則m4＝1，解得m＝±1.故選A、B.
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7. 的展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是 ，第4項(xiàng)的系
數(shù)是 .
解析：Tk＋1＝ ·（x2）9－k· ＝ · ·x18－3k，當(dāng)k＝3
時(shí)，T4＝ · ·x9＝－ x9，所以第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 ＝
84，第4項(xiàng)的系數(shù)為－ .
84　
－ 　
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8. （2024·常州月考）在（1－x）5－（1－x）6的展開式中，含x3項(xiàng)
的系數(shù)為 .
解析：（1－x）5中x3的系數(shù)為－ ＝－10，－（1－x）6中x3的
系數(shù)為－ ·（－1）3＝20，故（1－x）5－（1－x）6的展開式中
x3的系數(shù)為10.
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9. （x－ ）2n的展開式的中間項(xiàng)為 .
解析：Tr＋1＝ x2n－r（－ ）r＝（－1）r x2n－2r，展開式共
有2n＋1項(xiàng)，中間項(xiàng)為第n＋1項(xiàng)，即Tn＋1＝（－1）n .
（－1）n 　
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10. 已知二項(xiàng)式（2x－1）4：
（1）求展開式；
解： （2x－1）4＝[2x＋（－1）]4＝ （2x）4（－
1）0＋ （2x）3（－1）1＋ （2x）2（－1）2＋
（2x）1（－1）3＋ （2x）0（－1）4＝16x4－32x3＋24x2
－8x＋1.
（2）求展開式中第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；
解： 由（1）可知展開式中第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為＝4.
（3）求展開式中第2項(xiàng)的系數(shù).
解： 由（1）可知展開式中第2項(xiàng)的系數(shù)為 ·23·（－
1）＝－32.
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11. （多選）對(duì)于二項(xiàng)式 （n∈N*），以下判斷正確的有
（　　）
A. 存在n∈N*，展開式中有常數(shù)項(xiàng)
B. 對(duì)任意n∈N*，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)
C. 對(duì)任意n∈N*，展開式中沒有含x的項(xiàng)
D. 存在n∈N*，展開式中有含x的項(xiàng)
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解析： 　設(shè)二項(xiàng)式 （n∈N*）展開式的通項(xiàng)為Tk＋
1，則Tk＋1＝ （x3）k＝ x4k－n，不妨令n＝4，則當(dāng)k
＝1時(shí)，展開式中有常數(shù)項(xiàng)，故A正確，B錯(cuò)誤；令n＝3，則當(dāng)k
＝1時(shí)，展開式中有含x的項(xiàng)，故C錯(cuò)誤，D正確.
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12. 若（2x3＋ ）n的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則最小的正整數(shù)n的值
為 ，此時(shí)常數(shù)項(xiàng)為 .
解析：二項(xiàng)式的通項(xiàng)為Tk＋1＝ （2x3）n－k（ ）k＝ 2n－
k ，令3n－ k＝0，即k＝ n，而k∈N*.∴n為7的整數(shù)
倍，即最小的正整數(shù)n的值為7，此時(shí)常數(shù)項(xiàng)為T7＝ ×2＝14.
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13. （ x＋ ）100的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有 項(xiàng).
解析：（ x＋ ）100的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝ x100－
k· · .若Tk＋1的系數(shù)為有理數(shù)，則 ， 均為整數(shù)，即k
為6的整數(shù)倍.由0≤k≤100，k∈N，知k的可能取值為0，6，
12，…，96，共17個(gè)，即系數(shù)為有理數(shù)的共有17項(xiàng).
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14. 已知在（ － ）n的二項(xiàng)展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).
（1）求n；
（1）∵第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，
∴當(dāng)r＝5時(shí)，有 ＝0，即n＝10.
解：通項(xiàng)公式為Tr＋1＝ （－3）r
＝ （－3）r .
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（2）求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；
解：令 ＝2，
得r＝ （10－6）＝2，
∴所求的系數(shù)為 （－3）2＝405.
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解：由題意得，
令 ＝t（t∈Z），
則10－2r＝3t，即r＝5－ t.
∵r∈N，∴t應(yīng)為偶數(shù).
令t＝2，0，－2，即r＝2，5，8.
∴第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為405x2，－
61 236，295 245x－2.
（3）求展開式中所有的有理項(xiàng).
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15. 已知數(shù)列{an}（n為正整數(shù)）是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列.
（1）求：a1 －a2 ＋a3 ，a1 －a2 ＋a3 －a4 ；
解： a1 －a2 ＋a3 ＝a1－2a1q＋a1q2＝a1（1－q）2，
a1 －a2 ＋a3 －a4 ＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1
（1－q）3.
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（2）由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個(gè)結(jié)論，并加
以證明.
解： 歸納概括的結(jié)論為：
若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，則
a1 －a2 ＋a3 －a4 ＋…＋（－1）nan＋1·
＝a1（1－q）n，n為正整數(shù).
證明：a1 －a2 ＋a3 －a4 ＋…＋（－1）nan＋1·
＝a1 －a1q ＋a1q2 －a1q3 ＋…＋（－1）na1qn
＝a1[－q ＋q2 －q3 ＋…＋（－1）nqn ]＝a1
（1－q）n.
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