資源簡介

7.4.2　二項式系數的性質及應用
1.在（a－b）20的二項展開式中，二項式系數與第6項的二項式系數相同的項是（　　）
A.第15項 B.第16項
C.第17項 D.第18項
2.的展開式中，只有第4項的二項式系數最大，則該展開式的常數項是（　　）
A.－15 B.－20
C.15 D.20
3.（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n的展開式中各項系數之和為（　　）
A.2n＋1 B.2n－1
C.2n＋1－1 D.2n＋1－2
4.（2024·南通月考）若x10＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a10（x－1）10，則a8的值為（　　）
A.10 B.45
C.－9 D.－45
5.（多選）關于（a－b）11的說法，正確的是（　　）
A.展開式中的二項式系數之和為2 048
B.展開式中只有第6項的二項式系數最大
C.展開式中第6項和第7項的二項式系數最大
D.展開式中第6項的系數最大
6.（多選）已知（x－1）n的展開式中奇數項的二項式系數之和是64，則（　　）
A.n＝7
B.所有項的系數和為0
C.偶數項的系數和為－64
D.展開式的中間項為－35x3和35x4
7.在（1＋2x）8的展開式中，第　　　　項的二項式系數最大，該項的系數是　　　　.
8.（2024·宿遷月考）已知展開式的各項系數和為243，則展開式中含x7的項的二項式系數為　　　　.
9.已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝　　　　.
10.已知（＋）n的展開式中沒有比第10項的二項式系數更大的項，求第5項.
11.（多選）已知（ax2＋）n（a＞0）的展開式中第5項與第7項的二項式系數相等，且展開式的各項系數之和為1 024，則下列說法正確的是（　　）
A.展開式中奇數項的二項式系數之和為256
B.展開式中第6項的系數最大
C.展開式中存在常數項
D.展開式中含x15項的系數為45
12.（2024·鹽城月考）設n為正整數，（a＋b）2n的展開式中二項式系數的最大值為x，（a＋b）2n＋1的展開式中二項式系數的最大值為y，若13x＝7y，則n＝　　　　.
13.如圖，在由二項式系數所構成的楊輝三角中，第　　　　行中從左至右的第14個數與第15個數的比為2∶3.
14.設（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
（1）a1＋a2＋a3＋a4；
（2）（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2；
（3）｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜.
15.（2024·淮安質檢）已知（ax－）n（a∈R，n∈N*）的展開式中，前三項的二項式系數之和為16，所有項的系數之和為1.
（1）求n和a的值；
（2）展開式中是否存在常數項？若存在，求出常數項；若不存在，請說明理由；
（3）求展開式中二項式系數最大的項.
7.4.2　二項式系數的性質及應用
1.B　第6項的二項式系數為，又因為＝，所以第16項符合條件.
2.C　因為只有第4項的二項式系數最大，得n＝6，所以的展開式的通項為Tk＋1＝（x2）6－k·＝（－1）kx12－3k.令12－3k＝0得k＝4，所以展開式中的常數項是（－1）4＝15.故選C.
3.D　令x＝1，則2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.故選D.
4.B　x10＝[1＋（x－1）]10＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a10（x－1）10，∴a8＝＝＝45.
5.AC　（a－b）11的展開式中的二項式系數之和為211＝2 048，故A正確；因為n＝11為奇數，所以展開式中有12項，中間兩項（第6項和第7項）的二項式系數相等且最大，故B不正確，C正確；展開式中第6項的系數為負數，不是最大值，故D不正確.
6.ABC　由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，（x－1）7的展開式中共有8項，且奇數項系數為正，偶數項系數為負，各項的系數的絕對值與其二項式系數相等.取x＝1代入二項式得所有項的系數和為0，則偶數項的系數和為－64.展開式的中間項為第4項與第5項，T4＝x4·（－1）3＝－35x4，T5＝x3·（－1）4＝35x3，故A、B、C正確，D錯誤.
7.5　1 120　解析：因為n＝8，展開式有9項，中間項即第5項的二項式系數最大；又T5＝（2x）4＝1 120x4，故第5項系數是1 120.
8.10　解析：∵展開式的各項系數和為243，∴令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.∴展開式的通項Tr＋1＝25－rx15－4r，r∈{0，1，…，5}.令15－4r＝7，得r＝2，∴展開式中含x7的項的二項式系數為＝10.
9.－256　解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，兩式相加可得2（a0＋a2＋a4）＝32，兩式相減可得2（a1＋a3＋a5）＝－32，則a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256.
10.解：依題意，（＋）n的展開式的第k＋1項為Tk＋1＝（）n－k（）k，
當n為偶數時，只有第10項的二項式系數最大，即＋1＝10，則n＝18，
此時T5＝（）18－4（）4＝3 060x4.
當n為奇數時，第10，11項的二項式系數最大或第9，10項的二項式系數最大，即＝10或＝9，解得n＝19或n＝17.
當n＝19時，T5＝（）19－4（）4＝3 876；
當n＝17時，T5＝（）17－4（）4＝2 380.
綜上，當n＝18時，第5項為3 060x4；當n＝19時，第5項為3 876；當n＝17時，第5項為2 380.
11.BCD　因為（ax2＋）n（a＞0）的展開式中第5項與第7項的二項式系數相等，所以＝，解得n＝10.因為展開式的各項系數之和為1 024，所以令x＝1，得（a＋1）10＝1 024，又a＞0，所以a＝1.則原式為（x2＋）10，其展開式的第k＋1項為Tk＋1＝×（x2）10－k×（）k＝.展開式中奇數項的二項式系數之和為×1 024＝512，故A錯誤；因為展開式中二項式系數與對應項的系數一樣，且展開式有11項，所以展開式中第6項的系數最大，故B正確；令20－k＝0，解得k＝8，又0＜8＜10，所以展開式中存在常數項，故C正確；令20－k＝15，解得k＝2，又＝45，故D正確.
12.6　解析：由題意知x＝，y＝，因為13x＝7y，所以13＝7，即13×＝7×，即13＝7×，故13×（n＋1）＝7×（2n＋1），解得n＝6.
13.34　解析：由題意設第n行的第14個數與第15個數的比為2∶3，它等于二項展開式的第14項和第15項的二項式系數的比，所以∶＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以在第34行中，從左至右第14個數與第15個數的比是2∶3.
14.解：（1）由（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1，得（2－3）4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
令x＝0，得（0－3）4＝a0，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0
＝1－81＝－80.
（2）在（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1，得（2－3）4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4. ①
令x＝－1，得（－2－3）4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②
所以（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2
＝（a0－a1＋a2－a3＋a4）（a0＋a1＋a2＋a3＋a4）
＝（－2－3）4（2－3）4＝（2＋3）4（2－3）4＝625.
（3）由展開式知a0，a2，a4為正，a1，a3為負，
由（2）中①＋②得2（a0＋a2＋a4）＝626，
由（2）中①－②得2（a1＋a3）＝－624，
所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜
＝－a1＋a2－a3＋a4
＝（a0＋a2＋a4）－（a1＋a3）－a0
＝313＋312－81＝544.
15.解：（1）由題意得，＋＋＝16，
即1＋n＋＝16.
解得n＝5或n＝－6（舍去），
所以n＝5.
因為所有項的系數之和為1，令x＝1，
所以（a－1）5＝1，解得a＝2.
（2）不存在.理由如下：
因為（ax－）n＝（2x－）5，
所以Tk＋1＝（2x）5－k（－）k＝（－1）k25－k（k∈N*）.
令5－＝0，解得k＝ N*，所以展開式中不存在常數項.
（3）由二項式系數的性質知，展開式中中間兩項的二項式系數最大，
二項式系數最大的兩項為T3＝（－1）2·25－2x5－3＝80x2，T4＝（－1）3·25－3＝－40.
2 / 27.4.2　二項式系數的性質及應用
新課程標準解讀 核心素養
1.了解楊輝三角各行數字特點，歸納二項式系數間的關系 邏輯推理
2.理解二項式系數的性質并解決與二項展開式有關的問題 數學運算
　　我國古代數學的許多創新和發展都位于世界前列，如南宋數學家楊輝（約13世紀）所著的《詳解九章算術》一書中，用如圖所示的三角形解釋（a＋b）n的展開式的各項系數.
【問題】　觀察上圖，你能借助二項式系數的性質分析上圖中的數嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　二項式系數的性質
　一般地，（a＋b）n展開式的二項式系數，，…，有如下性質：
（1）＝；
（2）＋＝　　　；
（3）當r＜時，　　；當r＞時，　　；
（4）＋＋…＋＝　　　.
提醒　（1）在求二項式系數的最大值時，要注意討論n的奇偶性；（2）在（a＋b）n的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，都為2n－1.
1.觀察圖中的數所成的規律，則a所表示的數是（　　）
1
1　2　1
1　3　3　1
1　4　a　4　1
1　5　10　10　5　1
A.8 B.6
C.4 D.2
2.（2024·鹽城月考）（1＋x）n（n∈N*）的二項展開式中，若只有x5的系數最大，則n＝（　　）
A.7 B.8 C.10 D.11
3.（2x－1）6展開式中各項系數的和為　　　　；各項的二項式系數和為　　　　.
題型一 二項式系數表
【例1】　如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數組成一個鋸齒形數列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，記其前n項和為Sn，求S16的值.
通性通法
解決與楊輝三角有關問題的一般思路
（1）觀察：對題目要橫看、豎看、隔行看、連續看，多角度觀察；
（2）找規律：通過觀察找出每一行的數之間，行與行之間的數據的規律；
（3）將數據間的這種聯系用數學式表達出來，使問題得解.
【跟蹤訓練】
　如圖是與楊輝三角有類似性質的三角形數壘，a，b是某行的前兩個數，當a＝7時，b＝（　　）
A.20 B.21
C.22 D.23
題型二 二項展開式的系數和
【例2】　（鏈接教科書第88頁習題13題）已知（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值.
（1）a0＋a1＋a2＋…＋a5；
（2）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜；
（3）a1＋a3＋a5.
【母題探究】
　（變設問）在本例條件下，求下列各式的值：
（1）a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
（2）5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
通性通法
二項展開式的系數和的求法
（1）對形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展開式各項系數之和，只需令x＝y＝1即可；
（2）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f（x）展開式中各項系數之和為f（1），
奇數項系數之和為a0＋a2＋a4＋…＝，
偶數項系數之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
【跟蹤訓練】
　在（2x－3y）10的展開式中，求：
（1）奇數項的系數和與偶數項的系數和；
（2）x的奇次項系數和與x的偶次項系數和.
題型三 二項式系數性質的應用
【例3】　已知（＋2x）n的展開式前三項的二項式系數的和等于37，求：
（1）展開式中二項式系數最大的項的系數；
（2）展開式中系數最大的項.
通性通法
1.二項式系數最大的項的求法
求二項式系數最大的項，根據二項式系數的性質對（a＋b）n中的n進行討論：
（1）當n為奇數時，中間兩項的二項式系數最大，即和最大；
（2）當n為偶數時，中間一項的二項式系數最大，即.
2.展開式中系數最大的項的求法
求展開式中系數最大的項與求二項式系數最大的項是不同的，需要根據各項系數的正、負變化情況進行分析.如求（a＋bx）n（a，b∈R）的展開式中系數最大的項，一般采用待定系數法.設展開式中各項系數分別為A0，A1，A2，…，An，且第k＋1項最大，應用解出k，即得出系數最大的項.
【跟蹤訓練】
　（2024·徐州質檢）在的展開式中：
（1）求二項式系數最大的項；
（2）系數的絕對值最大的項是第幾項？
1.的展開式中二項式系數最大的項是（　　）
A.第6項 B.第8項 C.第5，6項 D.第6，7項
2.（2024·南京月考）已知的二項展開式的各項系數和為32，則二項展開式中x4的系數為（　　）
A.5 B.10 C.20 D.40
3.已知二項式（1－x）8，求：
（1）展開式中二項式系數最大的項；
（2）展開式中系數最小的項.
提示：完成課后作業　第七章　7.4　7.4.2
3 / 3(共60張PPT)
7.4.2　
二項式系數的性質及應用
新課程標準解讀 核心素養
1.了解楊輝三角各行數字特點，歸納二項
式系數間的關系 邏輯推理
2.理解二項式系數的性質并解決與二項展
開式有關的問題 數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　我國古代數學的許多創新和發展都位于世界前列，如南宋數學家
楊輝（約13世紀）所著的《詳解九章算術》一書中，用如圖所示的三
角形解釋（a＋b）n的展開式的各項系數.
【問題】　觀察上圖，你能借助二項式系數的性質分析上圖中的
數嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識點　二項式系數的性質
　一般地，（a＋b）n展開式的二項式系數 ， ，…， 有如下
性質：
（1） ＝ ；
（2） ＋ ＝ ；
（3）當r＜ 時， ；當r＞ 時，
；
　
＜　
＜　
（4） ＋ ＋…＋ ＝ .
提醒　（1）在求二項式系數的最大值時，要注意討論n的奇偶
性；（2）在（a＋b）n的展開式中，奇數項的二項式系數的和
等于偶數項的二項式系數的和，都為2n－1.
2n　
1. 觀察圖中的數所成的規律，則a所表示的數是（　　）
1
1　2　1
1　3　3　1
1　4　a　4　1
1　5　10　10　5　1
A. 8 B. 6
解析： 　由題圖知，下一行的數是其肩上兩數的和，所以4＋a＝
10，得a＝6.
C. 4 D. 2
2. （2024·鹽城月考）（1＋x）n（n∈N*）的二項展開式中，若只有
x5的系數最大，則n＝（　　）
A. 7 B. 8
C. 10 D. 11
解析： 　（1＋x）n（n∈N*）的二項展開式中，每一項系數即
二項式系數，分別為 ， ，…， .二項展開式中只有一項的
二項式系數最大，則n為偶數，二項式系數 最大.則x5的系數
最大，故 ＝5，n＝10.
3. （2x－1）6展開式中各項系數的和為 ；各項的二項式系數和
為 .
解析：令展開式中x＝1，得各項系數和為1；各二項式系數之和為
26＝64.
1　
64　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 二項式系數表
【例1】　如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數組成一個鋸齒形數列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，記其前n項和為Sn，求S16的值.
解：由題意及二項式系數表的特點可得
S16＝（1＋2）＋（3＋3）＋（6＋4）＋（10＋5）＋…＋（36＋9）＝
（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋…＋（ ＋ ）＝
（ ＋ ＋ ＋…＋ ）＋（2＋3＋…＋9）＝ ＋ ＝
164.
通性通法
解決與楊輝三角有關問題的一般思路
（1）觀察：對題目要橫看、豎看、隔行看、連續看，多角度觀察；
（2）找規律：通過觀察找出每一行的數之間，行與行之間的數據的
規律；
（3）將數據間的這種聯系用數學式表達出來，使問題得解.
【跟蹤訓練】
　如圖是與楊輝三角有類似性質的三角形數壘，a，b是某行的前兩
個數，當a＝7時，b＝（　　）
A. 20 B. 21
C. 22 D. 23
解析： 　根據觀察可知，每一行除開始和末尾的數外，中間的數分
別是上一行相鄰兩個數的和，當a＝7時，上面一行的第一個數為6，
第二個數為16，所以b＝6＋16＝22.
題型二 二項展開式的系數和
【例2】　（鏈接教科書第88頁習題13題）已知（2x－1）5＝a0x5＋
a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值.
（1）a0＋a1＋a2＋…＋a5；
解： 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
（2）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜；
解： 令x＝－1，得（－3）5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
由（2x－1）5的通項Tr＋1＝ （－1）r×25－rx5－r知a1，a3，
a5為負值，
所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜＝a0－a1＋a2－a3＋
a4－a5＝35＝243.
（3）a1＋a3＋a5.
解： 由（1）（2）得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝（－3）5，
兩式相加得2（a1＋a3＋a5）＝1－35，
所以a1＋a3＋a5＝ ＝－121.
【母題探究】
　（變設問）在本例條件下，求下列各式的值：
（1）a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
解： 因為a0是（2x－1）5展開式中x5的系數，
所以a0＝ 25·（－1）0＝32.
又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
（2）5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
解： 因為（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋
a5，所以兩邊求導數，得10（2x－1）4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2
＋2a3x＋a4.
令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.
通性通法
二項展開式的系數和的求法
（1）對形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，
n∈N*）的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需
令x＝1即可；對（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求
其展開式各項系數之和，只需令x＝y＝1即可；
（2）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f（x）展開
式中各項系數之和為f（1），
奇數項系數之和為a0＋a2＋a4＋…＝ ，
偶數項系數之和為a1＋a3＋a5＋…＝ .
【跟蹤訓練】
　在（2x－3y）10的展開式中，求：
（1）奇數項的系數和與偶數項的系數和；
解： 設（2x－3y）10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10.
令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.　①
令x＝1，y＝－1（或x＝－1，y＝1），得a0－a1＋a2－a3＋…
＋a10＝510.　②
①＋②，得2（a0＋a2＋…＋a10）＝1＋510.
所以奇數項的系數和為 .
①－②，得2（a1＋a3＋…＋a9）＝1－510.
所以偶數項的系數和為 .
（2）x的奇次項系數和與x的偶次項系數和.
解： x的奇次項系數的和為a1＋a3＋a5＋…＋a9＝ .
x的偶次項系數的和為a0＋a2＋a4＋…＋a10＝ .
題型三 二項式系數性質的應用
【例3】　已知（ ＋2x）n的展開式前三項的二項式系數的和等于
37，求：
（1）展開式中二項式系數最大的項的系數；
解： 由（ ＋2x）n的展開式前三項的二項式系數的和等
于37，即 ＋ ＋ ＝37，解得n＝8，即二項式為（ ＋2x）8，
所以展開式中第5項的二項式系數最大，T5＝ （ ）4×24x4＝ x4，
所以展開式中二項式系數最大的項的系數為 .
（2）展開式中系數最大的項.
解： 設二項展開式的第r＋1項的系數最大，
則
解得7≤r≤8，所以展開式中系數最大的項為第8項或第9項，
即T8＝ （ ）1×27x7＝28x7，T9＝ （ ）0×28x8＝28x8.
通性通法
1. 二項式系數最大的項的求法
求二項式系數最大的項，根據二項式系數的性質對（a＋b）n中
的n進行討論：
（1）當n為奇數時，中間兩項的二項式系數最大，即 和
最大；
（2）當n為偶數時，中間一項的二項式系數最大，即 .
2. 展開式中系數最大的項的求法
求展開式中系數最大的項與求二項式系數最大的項是不同的，需要
根據各項系數的正、負變化情況進行分析.如求（a＋bx）n（a，
b∈R）的展開式中系數最大的項，一般采用待定系數法.設展開式
中各項系數分別為A0，A1，A2，…，An，且第k＋1項最大，應用
解出k，即得出系數最大的項.
【跟蹤訓練】
　（2024·徐州質檢）在 的展開式中：
（1）求二項式系數最大的項；
解： 二項式系數最大的項為中間項，即為第5項.
故T5＝ （－2）4x－6＝1 120x－6.
（2）系數的絕對值最大的項是第幾項？
解： 因為Tk＋1＝ ·（ ）8－k ＝（－1）
k· ·2k· .
設第k＋1項系數的絕對值最大，則
即整理得于是k＝5或k＝6.
故系數的絕對值最大的項是第6項和第7項.
1. 的展開式中二項式系數最大的項是（　　）
A. 第6項 B. 第8項
C. 第5，6項 D. 第6，7項
解析： 　由n＝11為奇數，則展開式中第 項和第 ＋1項，
即第6項和第7項的二項式系數相等，且最大.
2. （2024·南京月考）已知 的二項展開式的各項系數和為
32，則二項展開式中x4的系數為（　　）
A. 5 B. 10 C. 20 D. 40
解析： 因為 的二項展開式的各項系數和為32，所以
令x＝1得2n＝32，所以n＝5.所以 的二項展開式的第k＋
1項為Tk＋1＝ （x2）5－k ＝ x10－3k，令10－3k＝4，得k＝
2，故二項展開式中x4的系數為 ＝10.
3. 已知二項式（1－x）8，求：
（1）展開式中二項式系數最大的項；
解： 因為（1－x）8的展開式中共有9項，所以中間一項
（第5項）的二項式系數最大，所以展開式中二項式系數最大
的項為 （－x）4＝70x4.
（2）展開式中系數最小的項.
解： 二項展開式中系數的最小值應在各負項中確定.由
題意知第4項和第6項系數相等且最小，T4＝ （－x）3＝－
56x3，T6＝ （－x）5＝－56x5，所以展開式中系數最小的
項是－56x3和－56x5.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 在（a－b）20的二項展開式中，二項式系數與第6項的二項式系數
相同的項是（　　）
A. 第15項 B. 第16項
C. 第17項 D. 第18項
解析： 　第6項的二項式系數為 ，又因為 ＝ ，所以第
16項符合條件.
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2. 的展開式中，只有第4項的二項式系數最大，則該展開式
的常數項是（　　）
A. －15 B. －20
C. 15 D. 20
解析： 　因為只有第4項的二項式系數最大，得n＝6，所以
的展開式的通項為Tk＋1＝ （x2）6－k· ＝（－1）
k x12－3k.令12－3k＝0得k＝4，所以展開式中的常數項是（－
1）4 ＝15.故選C.
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3. （1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n的展開式中各項系數之和
為（　　）
A. 2n＋1 B. 2n－1
C. 2n＋1－1 D. 2n＋1－2
解析： 　令x＝1，則2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.故選D.
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4. （2024·南通月考）若x10＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋
a10（x－1）10，則a8的值為（　　）
A. 10 B. 45
C. －9 D. －45
解析： 　x10＝[1＋（x－1）]10＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2
＋…＋a10（x－1）10，∴a8＝ ＝ ＝45.
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5. （多選）關于（a－b）11的說法，正確的是（　　）
A. 展開式中的二項式系數之和為2 048
B. 展開式中只有第6項的二項式系數最大
C. 展開式中第6項和第7項的二項式系數最大
D. 展開式中第6項的系數最大
解析： 　（a－b）11的展開式中的二項式系數之和為211＝2
048，故A正確；因為n＝11為奇數，所以展開式中有12項，中間兩
項（第6項和第7項）的二項式系數相等且最大，故B不正確，C正
確；展開式中第6項的系數為負數，不是最大值，故D不正確.
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6. （多選）已知（x－1）n的展開式中奇數項的二項式系數之和是
64，則（　　）
A. n＝7
B. 所有項的系數和為0
C. 偶數項的系數和為－64
D. 展開式的中間項為－35x3和35x4
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解析： 　由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，（x－1）7的展
開式中共有8項，且奇數項系數為正，偶數項系數為負，各項的系
數的絕對值與其二項式系數相等.取x＝1代入二項式得所有項的系
數和為0，則偶數項的系數和為－64.展開式的中間項為第4項與第5
項，T4＝ x4·（－1）3＝－35x4，T5＝ x3·（－1）4＝35x3，故
A、B、C正確，D錯誤.
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7. 在（1＋2x）8的展開式中，第 項的二項式系數最大，該項的
系數是 .
解析：因為n＝8，展開式有9項，中間項即第5項的二項式系數最
大；又T5＝ （2x）4＝1 120x4，故第5項系數是1 120.
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1 120　
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8. （2024·宿遷月考）已知 展開式的各項系數和為243，則
展開式中含x7的項的二項式系數為 .
解析：∵ 展開式的各項系數和為243，∴令x＝1，可得
3n＝243，解得n＝5.∴ 展開式的通項Tr＋1＝ 25－rx15
－4r，r∈{0，1，…，5}.令15－4r＝7，得r＝2，∴展開式中含x7
的項的二項式系數為 ＝10.
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9. 已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則（a0＋a2
＋a4）（a1＋a3＋a5）＝ .
解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0
－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，兩式相加可得2（a0＋a2＋a4）＝
32，兩式相減可得2（a1＋a3＋a5）＝－32，則a0＋a2＋a4＝16，
a1＋a3＋a5＝－16，所以（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256.
－256　
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解：依題意，（ ＋ ）n的展開式的第k＋1項為Tk＋1＝
（ ）n－k（ ）k，
當n為偶數時，只有第10項的二項式系數最大，即 ＋1＝10，則
n＝18，
此時T5＝ （ ）18－4（ ）4＝3 060x4.
10. 已知（ ＋ ）n的展開式中沒有比第10項的二項式系數更大
的項，求第5項.
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當n為奇數時，第10，11項的二項式系數最大或第9，10項的二項
式系數最大，即 ＝10或 ＝9，解得n＝19或n＝17.
當n＝19時，T5＝ （ ）19－4（ ）4＝3 876 ；
當n＝17時，T5＝ （ ）17－4（ ）4＝2 380 .
綜上，當n＝18時，第5項為3 060x4；當n＝19時，第5項為3
876 ；當n＝17時，第5項為2 380 .
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11. （多選）已知（ax2＋ ）n（a＞0）的展開式中第5項與第7項的
二項式系數相等，且展開式的各項系數之和為1 024，則下列說法
正確的是（　　）
A. 展開式中奇數項的二項式系數之和為256
B. 展開式中第6項的系數最大
C. 展開式中存在常數項
D. 展開式中含x15項的系數為45
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解析： 因為（ax2＋ ）n（a＞0）的展開式中第5項與第7
項的二項式系數相等，所以 ＝ ，解得n＝10.因為展開式的
各項系數之和為1 024，所以令x＝1，得（a＋1）10＝1 024，又a
＞0，所以a＝1.則原式為（x2＋ ）10，其展開式的第k＋1項為
Tk＋1＝ ×（x2）10－k×（ ）k＝ .展開式中奇數項
的二項式系數之和為 ×1 024＝512，故A錯誤；
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因為展開式中二項式系數與對應項的系數一樣，且展開式有11項，所
以展開式中第6項的系數最大，故B正確；令20－ k＝0，解得k＝8，
又0＜8＜10，所以展開式中存在常數項，故C正確；令20－ k＝15，
解得k＝2，又 ＝45，故D正確.
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12. （2024·鹽城月考）設n為正整數，（a＋b）2n的展開式中二項式
系數的最大值為x，（a＋b）2n＋1的展開式中二項式系數的最大
值為y，若13x＝7y，則n＝ .
解析：由題意知x＝ ，y＝ ，因為13x＝7y，所以13
＝7 ，即13× ＝7× ，即13＝7× ，故
13×（n＋1）＝7×（2n＋1），解得n＝6.
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13. 如圖，在由二項式系數所構成的楊輝三角中，第 行中從左
至右的第14個數與第15個數的比為2∶3.
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解析：由題意設第n行的第14個數與第15個數的比為2∶3，它等
于二項展開式的第14項和第15項的二項式系數的比，所以
∶ ＝2∶3，即 ＝ ，解得n＝34，所以在第34行中，
從左至右第14個數與第15個數的比是2∶3.
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14. 設（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
（1）a1＋a2＋a3＋a4；
解： 由（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1，得（2－3）4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
令x＝0，得（0－3）4＝a0，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0
＝1－81＝－80.
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（2）（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2；
解： 在（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1，得（2－3）4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.　①
令x＝－1，得（－2－3）4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.　②
所以（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2
＝（a0－a1＋a2－a3＋a4）（a0＋a1＋a2＋a3＋a4）
＝（－2－3）4（2－3）4＝（2＋3）4（2－3）4＝625.
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（3）｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜.
解： 由展開式知a0，a2，a4為正，a1，a3為負，
由（2）中①＋②得2（a0＋a2＋a4）＝626，
由（2）中①－②得2（a1＋a3）＝－624，
所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜
＝－a1＋a2－a3＋a4
＝（a0＋a2＋a4）－（a1＋a3）－a0
＝313＋312－81＝544.
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15. （2024·淮安質檢）已知（ax－ ）n（a∈R，n∈N*）的展開式
中，前三項的二項式系數之和為16，所有項的系數之和為1.
（1）求n和a的值；
解： 由題意得， ＋ ＋ ＝16，
即1＋n＋ ＝16.
解得n＝5或n＝－6（舍去），
所以n＝5.
因為所有項的系數之和為1，令x＝1，
所以（a－1）5＝1，解得a＝2.
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（2）展開式中是否存在常數項？若存在，求出常數項；若不存
在，請說明理由；
解： 不存在.理由如下：
因為（ax－ ）n＝（2x－ ）5，
所以Tk＋1＝ （2x）5－k（－ ）k＝（－1）k 25－
k （k∈N*）.
令5－ ＝0，解得k＝ N*，所以展開式中不存在常數項.
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（3）求展開式中二項式系數最大的項.
解： 由二項式系數的性質知，展開式中中間兩項的二
項式系數最大，
二項式系數最大的兩項為T3＝（－1）2· 25－2x5－3＝
80x2，T4＝（－1）3· 25－3 ＝－40 .
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謝 謝 觀 看！

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