資源簡介

一、兩個基本計數原理
　　分類計數原理和分步計數原理是本章內容的學習基礎，在進行計數過程中，常因分類不明、分步不清導致增（漏）解，因此在解題中既要保證類與類的互斥性，又要關注總數的完備性，甚至還要考慮步與步之間的連貫性.
【例1】?。?）從數字1，2，3，4，5中，取出3個數字（允許重復）組成三位數，各位數字之和等于6，這樣的三位數的個數為（　　）
A.7 B.9
C.10 D.13
（2）如圖，用四種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區域涂色，相鄰區域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法的種數為　　　　（用數字作答）.
A B
C D
反思感悟
應用兩個基本計數原理計數的四個步驟
（1）明確完成的這件事是什么；
（2）思考如何完成這件事；
（3）判斷它屬于分類還是分步，是先分類后分步，還是先分步后分類；
（4）選擇計數原理進行計算.
【跟蹤訓練】
“回文數”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數.如22，121，3 443，94 249等.顯然2位“回文數”有9個：11，22，33，…，99；3位“回文數”有90個：101，111，121，…，191，202，…，999；則
（1）4位“回文數”有　　　　個；
（2）2n＋1（n∈N*）位“回文數”有　　　　個.
二、排列與組合
　　排列、組合是兩類特殊的計數求解方式，在計數原理求解中起著舉足輕重的作用，解決排列與組合常用的方法有：（1）合理分類，準確分步；（2）特殊優先，一般在后；（3）先取后排，間接排除；（4）相鄰捆綁，間隔插空；（5）抽象問題，構造模型；（6）均分除序，定序除序.
【例2】?。?）（2023·全國乙卷理7題）甲、乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（　?。?br/>A.30種 B.60種
C.120種 D.240種
（2）從1，2，3，4，5，6這6個數字中，任取3個數字組成無重復數字的三位數，其中，若有1和3時，3必須排在1的前面；若只有1和3中的一個時，它應排在其他數字的前面，這樣不同的三位數共有　　　個.（用數字作答）
反思感悟
解決排列、組合問題的注意點
（1）“在”與“不在”問題常是排列問題，一般貫徹特殊元素或特殊位置要優先安排，沒有限制條件的可以任意排列；“鄰”與“不鄰”通常采用捆綁法與插空法，捆綁法時注意小團體內部的排列，插空法要注意與“相間排列”的區別；
（2）“含有”或“不含有”問題常是組合問題，“含”則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取.“至少”或“至多”含有幾個元素的組合問題常采用直接法和間接法，一般來說用直接法分類復雜時，用間接法處理，即正難則反.
【跟蹤訓練】
　一條沿江公路上有18盞路燈，為節約用電，現打算關掉其中4盞路燈，為安全起見，要求公路的頭尾兩盞路燈不可關閉，關掉的相鄰兩個路燈之間至少有3盞亮著的路燈，則不同的方案共有　　　種.
三、二項式定理
　　對于二項式定理的考查常有兩類問題：第一類，直接運用通項求特定項或解決與系數有關的問題；第二類，需運用轉化思想化歸為二項式定理來處理的問題.
【例3】　已知（x＋）n展開式的二項式系數之和為256.
（1）求n；
（2）若展開式中常數項為，求m的值；
（3）若（x＋m）n展開式中系數最大項只有第6項和第7項，求m的值.
反思感悟
二項式特定項的求解策略
（1）確定二項式中的有關元素：一般是根據已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項式中的有關元素；
（2）確定二項展開式中的常數項：先寫出其通項公式，令未知數的指數為零，從而確定項數，然后代入通項公式，即可確定常數項；
（3）求二項展開式中條件項的系數：先寫出其通項公式，再由條件確定項數，然后代入通項公式求出此項的系數；
（4）確定二項展開式中的系數最大項或最小項：利用二項式系數的性質.
【跟蹤訓練】
1.在（－1＋）（1＋）6的展開式中，的系數為（　　）
A.－60 B.60
C.－80 D.80
2.已知二項式（a－2x）7＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a7（x－1）7，其中a＞0，且此二項式的x3項的系數是－22 680.則實數a＝　　　??；（a0＋a2＋a4＋a6）（a1＋a3＋a5＋a7）＝　　　　（結果可保留冪的形式）.
章末復習與總結
【例1】　（1）C?。?）48　解析：（1）從數字1，2，3，4，5中，取出3個數字（允許重復）組成三位數，各位數字之和等于6，可分為三類情況：①當三個數為1，1，4時，共有＝3種排法；②當三個數為1，2，3時，共有＝6種排法；③當三個數為2，2，2時，只有1種排法，由分類計數原理可得，共有3＋6＋1＝10種不同排法，即這樣的三位數共有10個.
（2）由已知按區域分四步：第一步A區域有4種選擇，第二步B區域有3種選擇，第三步C區域有2種選擇，第四步D區域也有2種選擇，則由分步計數原理可得共有4×3×2×2＝48（種）不同的涂色方法.
跟蹤訓練
　（1）90?。?）9×10n　解析：（1）4位“回文數”的特點為中間兩位相同，千位和個位數字相同但不能為零，第一步，選千位和個位數字，共有9種選法；第二步，選中間兩位數字，有10種選法，故4位“回文數”有9×10＝90（個）.
（2）第一步，選左邊第一個數字，有9種選法；第二步，分別選左邊第2，3，4，…，n，n＋1位數字，共有10×10×10×…×10＝10n（種）選法，故2n＋1（n∈N*）位“回文數”有9×10n個.
【例2】?。?）C　（2）60　解析：（1）法一　先從6種讀物中選1種作為兩人選擇的相同讀物，再從另外5種讀物中選2種分別作為甲、乙兩人選擇的不同讀物，則不同的選法種數為＝120.故選C.
法二　甲、乙二人先選1種相同的課外讀物，有＝6（種）情況，再從剩下的5種課外讀物中各自選1本不同的讀物，有＝20（種）情況，由分步計數原理可得共有6×20＝120（種）選法，故選C.
（2）1與3是特殊元素，以此為分類標準進行分類.分三類：①沒有數字1和3時，滿足條件的三位數有個；②只有1和3中的一個時，滿足條件的三位數有2個；③同時有1和3時，把3排在1的前面，再從其余4個數字中選1個數字插入3個空中的1個即可，滿足條件的三位數有個.所以滿足條件的三位數共有＋2＋＝60（個）.
跟蹤訓練
　35　解析：先拿出15盞路燈，按如下順序排好，（ 表示燈亮；○表示燈滅）
○ ○ ○ ○
再將剩下的三盞燈放進去，若三盞燈在一起，有＝5種方法；若分成兩組，有＝20種方法；若三盞燈均不在一起，有＝10種方法，所以共有35種方法.
【例3】　解：（1）二項式系數之和為2n＝256，可得n＝8.
（2）設常數項為第r＋1項，則
Tr＋1＝x8－r（）r＝mrx8－2r，
故8－2r＝0，即r＝4，則m4＝，解得m＝±.
（3）易知m＞0，設第r＋1項系數最大.
則化簡可得≤r≤.
由于只有第6項和第7項系數最大，
所以即
所以m只能等于2.
跟蹤訓練
1.C　∵（1＋）6的展開式的通項為Tr＋1＝（）r＝2r··，∴原式的展開式中含的項為（－1）×24·＋×23·＝－，∴的系數為－80.故選C.
2.3　　解析：二項式（a－2x）7的展開式中含x3的項為a4（－2x）3＝－280a4x3，∴－280a4＝－22 680，則a4＝81，又a＞0，解得a＝3.∴（a－2x）7＝[1－2（x－1）]7＝a0＋a1（x－1）＋…＋a7（x－1）7.令x＝2，則a0＋a1＋…＋a7＝（1－2）7＝－1①，令x＝0，則a0－a1＋a2－…－a7＝（1＋2）7＝37②，∴由①＋②可得：a0＋a2＋a4＋a6＝；由①－②可得：a1＋a3＋a5＋a7＝.∴（a0＋a2＋a4＋a6）（a1＋a3＋a5＋a7）＝×＝.
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章末復習與總結
一、兩個基本計數原理
　　分類計數原理和分步計數原理是本章內容的學習基礎，在進行計
數過程中，常因分類不明、分步不清導致增（漏）解，因此在解題中
既要保證類與類的互斥性，又要關注總數的完備性，甚至還要考慮步
與步之間的連貫性.
【例1】?。?）從數字1，2，3，4，5中，取出3個數字（允許重復）
組成三位數，各位數字之和等于6，這樣的三位數的個數為（　C　）
A. 7 B. 9
C. 10 D. 13
C
解析： 從數字1，2，3，4，5中，取出3個數字（允許重
復）組成三位數，各位數字之和等于6，可分為三類情況：①當
三個數為1，1，4時，共有 ＝3種排法；②當三個數為1，2，
3時，共有 ＝6種排法；③當三個數為2，2，2時，只有1種排
法，由分類計數原理可得，共有3＋6＋1＝10種不同排法，即這
樣的三位數共有10個.
（2）如圖，用四種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區域涂色，
相鄰區域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不
同的涂色方法的種數為 （用數字作答）.
A B C D
解析： 由已知按區域分四步：第一步A區域有4種選擇，
第二步B區域有3種選擇，第三步C區域有2種選擇，第四步D區
域也有2種選擇，則由分步計數原理可得共有4×3×2×2＝48
（種）不同的涂色方法.
48　
反思感悟
應用兩個基本計數原理計數的四個步驟
（1）明確完成的這件事是什么；
（2）思考如何完成這件事；
（3）判斷它屬于分類還是分步，是先分類后分步，還是先分步后
分類；
（4）選擇計數原理進行計算.
【跟蹤訓練】
“回文數”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數.如22，121，
3 443，94 249等.顯然2位“回文數”有9個：11，22，33，…，99；3
位“回文數”有90個：101，111，121，…，191，202，…，999；則
（1）4位“回文數”有 個；
解析： 4位“回文數”的特點為中間兩位相同，千位和個
位數字相同但不能為零，第一步，選千位和個位數字，共有9種
選法；第二步，選中間兩位數字，有10種選法，故4位“回文
數”有9×10＝90（個）.
90　
（2）2n＋1（n∈N*）位“回文數”有 個.
解析： 第一步，選左邊第一個數字，有9種選法；第二
步，分別選左邊第2，3，4，…，n，n＋1位數字，共有
10×10×10×…×10＝10n（種）選法，故2n＋1（n∈N*）位
“回文數”有9×10n個.
9×10n　
二、排列與組合
　　排列、組合是兩類特殊的計數求解方式，在計數原理求解中起著
舉足輕重的作用，解決排列與組合常用的方法有：（1）合理分類，
準確分步；（2）特殊優先，一般在后；（3）先取后排，間接排除；
（4）相鄰捆綁，間隔插空；（5）抽象問題，構造模型；（6）均分
除序，定序除序.
【例2】　（1）（2023·全國乙卷理7題）甲、乙兩位同學從6種課外
讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法
共有（　C?。?br/>A. 30種 B. 60種
C. 120種 D. 240種
C
解析： 法一　先從6種讀物中選1種作為兩人選擇的相同讀
物，再從另外5種讀物中選2種分別作為甲、乙兩人選擇的不同
讀物，則不同的選法種數為 ＝120.故選C.
法二　甲、乙二人先選1種相同的課外讀物，有 ＝6（種）情況，再
從剩下的5種課外讀物中各自選1本不同的讀物，有 ＝20（種）
情況，由分步計數原理可得共有6×20＝120（種）選法，故選C.
（2）從1，2，3，4，5，6這6個數字中，任取3個數字組成無重復數
字的三位數，其中，若有1和3時，3必須排在1的前面；若只有1
和3中的一個時，它應排在其他數字的前面，這樣不同的三位數
共有 個.（用數字作答）
60　
解析： 1與3是特殊元素，以此為分類標準進行分類.分三類：①沒有數字1和3時，滿足條件的三位數有 個；②只有1和3中的一個時，滿足條件的三位數有2 個；③同時有1和3時，把3排在1的前面，再從其余4個數字中選1個數字插入3個空中的1個即可，滿足條件的三位數有 個.所以滿足條件的三位數共有 ＋2 ＋ ＝60（個）.
反思感悟
解決排列、組合問題的注意點
（1）“在”與“不在”問題常是排列問題，一般貫徹特殊元素或特
殊位置要優先安排，沒有限制條件的可以任意排列；“鄰”與
“不鄰”通常采用捆綁法與插空法，捆綁法時注意小團體內部
的排列，插空法要注意與“相間排列”的區別；
（2）“含有”或“不含有”問題常是組合問題，“含”則先將這些
元素取出，再由另外元素補足；“不含”則先將這些元素剔
除，再從剩下的元素中選取.“至少”或“至多”含有幾個元素
的組合問題常采用直接法和間接法，一般來說用直接法分類復
雜時，用間接法處理，即正難則反.
【跟蹤訓練】
　一條沿江公路上有18盞路燈，為節約用電，現打算關掉其中4盞路
燈，為安全起見，要求公路的頭尾兩盞路燈不可關閉，關掉的相鄰兩
個路燈之間至少有3盞亮著的路燈，則不同的方案共有 種.
35　
解析：先拿出15盞路燈，按如下順序排好，（ 表示燈亮；○表示
燈滅）
○ ○ ○ ○
再將剩下的三盞燈放進去，若三盞燈在一起，有 ＝5種方法；若
分成兩組，有 ＝20種方法；若三盞燈均不在一起，有 ＝10
種方法，所以共有35種方法.
三、二項式定理
　　對于二項式定理的考查常有兩類問題：第一類，直接運用通項求
特定項或解決與系數有關的問題；第二類，需運用轉化思想化歸為二
項式定理來處理的問題.
【例3】　已知（x＋ ）n展開式的二項式系數之和為256.
（1）求n；
解： 二項式系數之和為2n＝256，可得n＝8.
（2）若展開式中常數項為 ，求m的值；
解： 設常數項為第r＋1項，則
Tr＋1＝ x8－r（ ）r＝ mrx8－2r，
故8－2r＝0，即r＝4，則 m4＝ ，解得m＝± .
（3）若（x＋m）n展開式中系數最大項只有第6項和第7項，求m的
值.
解： 易知m＞0，設第r＋1項系數最大.
則化簡可得 ≤r≤ .
由于只有第6項和第7項系數最大，
所以即
所以m只能等于2.
反思感悟
二項式特定項的求解策略
（1）確定二項式中的有關元素：一般是根據已知條件，列出等式，
從而可解得所要求的二項式中的有關元素；
（2）確定二項展開式中的常數項：先寫出其通項公式，令未知數
的指數為零，從而確定項數，然后代入通項公式，即可確定
常數項；
（3）求二項展開式中條件項的系數：先寫出其通項公式，再由條件
確定項數，然后代入通項公式求出此項的系數；
（4）確定二項展開式中的系數最大項或最小項：利用二項式系數的
性質.
【跟蹤訓練】
1. 在（－1＋ ）（1＋ ）6的展開式中， 的系數為（　?。?br/>A. －60 B. 60
C. －80 D. 80
解析： 　∵（1＋ ）6的展開式的通項為Tr＋1＝ （ ）r＝
2r· · ，∴原式的展開式中含 的項為（－1）×24 · ＋
×23 · ＝－ ，∴ 的系數為－80.故選C.

3　
　
解析：二項式（a－2x）7的展開式中含x3的項為 a4（－2x）3＝
－280a4x3，∴－280a4＝－22 680，則a4＝81，又a＞0，解得a＝
3.∴（a－2x）7＝[1－2（x－1）]7＝a0＋a1（x－1）＋…＋a7
（x－1）7.令x＝2，則a0＋a1＋…＋a7＝（1－2）7＝－1①，令x
＝0，則a0－a1＋a2－…－a7＝（1＋2）7＝37②，∴由①＋②可
得：a0＋a2＋a4＋a6＝ ；由①－②可得：a1＋a3＋a5＋a7＝
.∴（a0＋a2＋a4＋a6）（a1＋a3＋a5＋a7）＝ ×
＝ .
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