資源簡介

章末檢測（七）　計數原理
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有（　　）
A.10種 B.20種
C.25種 D.32種
2.已知＝10，那么＝（　　）
A.20 B.60
C.42 D.72
3.從甲、乙、丙、丁四名同學中選出三名同學，分別參加三個不同科目的競賽，其中甲同學必須參賽，則不同的參賽方案共有（　　）
A.24種 B.18種
C.21種 D.9種
4.若二項式（2x＋）7的展開式中的系數是84，則實數a＝（　　）
A.2 B.
C.1 D.
5.若（1＋mx）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，則實數m＝（　　）
A.1或3 B.－3
C.1 D.1或－3
6.（2x＋1） 的展開式的常數項是（　　）
A.－10 B.－9
C.11 D.9
7.某城市有3個演習點同時進行消防演習，現將5個消防隊分配到這3個演習點，若每個演習點至少安排1個消防隊，則不同的分配方案種數為（　　）
A.150 B.240
C.360 D.540
8.習近平總書記在黨的十九大報告中指出：“要堅定文化自信，推動社會主義文化繁榮興盛.”“楊輝三角”揭示了二項式系數在三角形中的一種幾何排列規律，最早在我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現.“楊輝三角”是中國數學史上的一個偉大成就，激發了一批又一批數學愛好者的探究欲望.如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（　　）
A.＋＋＋…＋＝120 B.第2 025行中從左往右第1 014個數與第1 015個數相等
C.記第n行的第i個數為ai，則2i－1ai＝4n D.第20行中第8個數與第9個數之比為8∶13
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.下列問題屬于排列問題的是（　　）
A.從10人中選2人分別去種樹和掃地
B.從10人中選2人去掃地
C.從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊
D.從數字5，6，7，8中任取兩個不同的數作冪運算
10.帶有編號1，2，3，4，5的五個球，則下列說法正確的是（　　）
A.全部投入4個不同的盒子里，共有45種放法
B.放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有種放法
C.將其中的4個球投入4個盒子里的一個（另一個球不投入），共有·種放法
D.全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有·種不同的放法
11.傳說古希臘數學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.這是因為阿基米德認為這個“圓柱容球”是他最為得意的發現，于是留下遺言：他死后，墓碑上要刻上一個“圓柱容球”的幾何圖形，設圓柱的體積與球的體積之比為m，圓柱的表面積與球的表面積之比為n，若f（x）＝（x3－）8，則（　　）
A.f（x）的展開式中的常數項是56
B.f（x）的展開式中的各項系數之和為0
C.f（x）的展開式中的二項式系數最大值是70
D.f（i）＝－16，其中i為虛數單位
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數a，b組成復數a＋bi，其中虛數有　　　　個.
13.早在11世紀中葉，我國宋代數學家賈憲在其著作《釋鎖算數》中就給出了二、三、四、五、六次冪的二項式系數表.已知（ax－1）6的展開式中x3的系數為－160，則實數a＝　　　，展開式中各項系數之和為　　　　（用數字作答）.
14.從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區服務，每天安排一人，每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當甲、乙兩人都參加時，他們參加社區服務的日期不相鄰，那么不同的安排種數為　　　　.（用數字作答）
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）已知（－）n的展開式中，第4項和第9項的二項式系數相等.
（1）求n；
（2）求展開式中含x的項的系數.
16.（本小題滿分15分）8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人.
（1）若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？
（2）若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），有多少種坐法？
17.（本小題滿分15分）在（3x－2y）20的展開式中，求：
（1）二項式系數最大的項；
（2）系數絕對值最大的項.
18.（本小題滿分17分）某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行，決定按照乘客經過地鐵站的數量實施分段優惠政策，不超過12站的地鐵票價如下表：
乘坐站數 0＜x≤3 3＜x≤7 7＜x≤12
票價（元） 3 5 7
現有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過12站，且他們各自在每個站下地鐵的可能性是相同的.
（1）若甲、乙兩人共付車費8元，則甲、乙下地鐵的方案共有多少種？
（2）若甲、乙兩人共付車費10元，則甲比乙先下地鐵的方案共有多少種？
19.（本小題滿分17分）已知f（x）＝（1＋x）n＋1＋2（1＋x）n＋2＋…＋k（1＋x）n＋k＋…＋n（1＋x）2n（n∈N*）.
（1）當n＝3時，求f（x）的展開式中含x3項的系數；
（2）證明：f（x）的展開式中含xn項的系數為（n＋1）；
（3）定義：ai＝a1＋a2＋…＋an，化簡：（i＋1）.
章末檢測（七）　計數原理
1.D　5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有25＝32種.故選D.
2.B　因為＝10，所以＝10即n＝5，故＝＝60.
3.B　從除甲外的乙、丙、丁三名同學中選出2人，有種選法，再將3人安排到3個科目，有種，故共有×＝18（種）不同的參賽方案.
4.C　（2x＋）7的二項展開式的通項為Tr＋1＝（2x）7－r（）r＝27－rarx7－2r（r＝0，1，2，…，7），令7－2r＝－3，得r＝5，故含的項的系數為22a5＝84，解得a＝1.
5.D　令x＝0，得a0＝（1＋0）6＝1.令x＝1，得（1＋m）6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴（1＋m）6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.
6.B　（2x＋1）＝（2x＋1）·（ 1－＋10·－10·＋5·－），故展開式中的常數項是2×（－5）＋1＝－9.故選B.
7.A　由題意得，把5個消防隊分成三組，可分為1，1，3和1，2，2兩類方法.（1）分組為1，1，3，共有＝10種不同的分組方法；（2）分組為1，2，2，共有＝15種不同的分組方法.所以分配到3個演習點，共有（10＋15）×＝150種不同的分配方案.
8.D　根據題意，由“楊輝三角”可得，第n行的第r個數為.對于A，＋＋…＋＝＋＋＋…＋－1＝－1＝119，故A錯誤；對于B，第2 025行中從左往右第1 014個數為，第1 015個數為，兩者不相等，故B錯誤；對于C，記第n行的第i個數為ai，則ai＝，則2i－1ai＝2i－1×1n－i＋1＝（1＋2）n＝3n，故C錯誤；對于D，第20行中第8個數為，第9個數為，則兩個數的比為∶＝∶＝8∶13，故D正確.
9.AD　對于A，從10人中選2人分別去種樹和掃地，選出的2人有分工的不同，是排列問題；對于B，從10人中選2人去掃地，與順序無關，是組合問題；對于C，從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊，與順序無關，是組合問題；對于D，從數字5，6，7，8中任取兩個不同的數作冪運算，順序不一樣，計算結果也不一樣，是排列問題.
10.ACD　五個球投入4個不同的盒子里共有45種放法，A選項對；若要放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有·種放法，B選項錯，D選項對；將其中的4個球投入4個盒子里的一個（另一個球不投入），共有·種放法，C選項對.故選A、C、D.
11.BC　設內切球的半徑為r，則圓柱的高為2r，∴m＝＝，n＝＝，則＝1，∴f（x）＝（x3－）8.對于A，f（x）展開式的通項為Tr＋1＝x24－3r·（－）r＝（－1）rx24－4r，令24－4r＝0，解得r＝6，∴f（x）展開式的常數項為（－1）6＝28，A錯誤；對于B，令x＝1，得f（1）＝0，即f（x）展開式的各項系數之和為0，B正確；對于C，f（x）展開式中二項式系數最大值為＝70，C正確；對于D，f（i）＝（i3－）8＝（－i＋i）8＝0，D錯誤.
12.36　解析：第一步取b的數，有6種方法，第二步取a的數，也有6種方法，根據分步計數原理，共有6×6＝36（種）方法，即共組成36個虛數.
13.2　1　解析：由于（ax－1）6展開式的通項公式為Tk＋1＝·a6－k·x6－k·（－1）k，令6－k＝3，解得k＝3，故（ax－1）6展開式中x3的系數為·a3（－1）3＝－160，解得a＝2，故（ax－1）6＝（2x－1）6展開式中各項系數和為（2－1）6＝1.
14.5 040　解析：分兩類，一類是甲、乙都參加，另一類是甲、乙中選一人，方法數為N＝＋＝1 440＋3 600＝5 040.
15.解：（1）由第4項和第9項的二項式系數相等可得＝，解得n＝11.
（2）由（1）知，展開式的第r＋1項為Tr＋1＝（）11－r（－）r＝（－2）r，
令＝1，得r＝3，
此時T3＋1＝（－2）3x＝－1 320x.
所以展開式中含x的項的系數為－1 320.
16.解：（1）若正、副組長相鄰而坐，可將此2人看作1人，即7人圍一圓桌，有種坐法，
由于正、副組長2人可交換，有種坐法，
所以共有＝6×5×4×3×2×1×2×1＝1 440種坐法.
（2）若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），可將3人看作1人，即6人圍一圓桌，有種坐法，
因為正、副組長2人可交換，有種坐法，
所以共有＝5×4×3×2×1×2×1＝240種坐法.
17.解：（1）二項式（3x－2y）20的展開式有21項，展開式的通項為Tk＋1＝（3x）20－k（－2y）k，
其二項式系數最大的項為第11項，T11＝·（3x）10·（－2y）10＝·610·x10y10.
（2）設系數絕對值最大的項是第k＋1（k∈N*）項，
則
即
解得7≤k≤8，
所以k＝8，系數絕對值最大的項為T9＝·312·28·x12·y8.
18.解：（1）若甲、乙兩人共付車費8元，則其中一人乘坐地鐵站數不超過3站，另外一人乘坐地鐵站數超過3站且不超過7站，共有＝24（種），
故甲、乙下地鐵的方案共有24種.
（2）若甲、乙兩人共付車費10元，則甲比乙先下地鐵的情形有兩類：
第一類，甲乘地鐵站數不超過3站，乙乘地鐵站數超過7站且不超過12站，有＝15（種）；
第二類，甲、乙兩人乘地鐵站數都超過3站且不超過7站，記地鐵第四站至第七站分別為P4，P5，P6，P7，易知甲比乙先下地鐵有以下三種情形：
①甲P4站下，乙下地鐵方式有種；②甲P5站下，乙下地鐵方式有種；③甲P6站下，乙只能從P7下地鐵，共有1種方式，共有＋＋1＝6（種），
依據分類計數原理，得15＋6＝21（種），
故甲比乙先下地鐵的方案共有21種.
19.解：（1）當n＝3時，f（x）＝（1＋x）4＋2（1＋x）5＋3（1＋x）6，
∴f（x）的展開式中含x3項的系數為＋2＋3＝84.
（2）證明：∵f（x）＝（1＋x）n＋1＋2（1＋x）n＋2＋…＋k（1＋x）n＋k＋…＋n（1＋x）2n（n∈N*），
故f（x）的展開式中含xn項的系數為＋2＋3＋…＋n＝＋2＋3＋…＋n.
∵k＝k＝
＝（n＋1）＝（n＋1），
（3）（i＋1）＝2＋3＋…＋n＋（n＋1）， ①
（i＋1）＝（n＋1）＋n＋…＋3＋2， ②
在①②中分別添加，則得1＋（i＋1）＝＋2＋3＋…＋n＋（n＋1）， ③
1＋（i＋1）＝（n＋1）＋n＋…＋3＋2＋， ④
③＋④得2（1＋（i＋1））＝（n＋2）（＋＋＋…＋＋）＝（n＋2）2n，
∴（i＋1）＝（n＋2）2n－1－1.
3 / 3(共35張PPT)
章末檢測（七）　
計數原理
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小
組，則不同的報名方法共有（　　）
A. 10種 B. 20種 C. 25種 D. 32種
解析： 　5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中
的一個小組，則不同的報名方法共有25＝32種.故選D.
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2. 已知 ＝10，那么 ＝（　　）
A. 20 B. 60
C. 42 D. 72
解析： 　因為 ＝10，所以 ＝10即n＝5，故 ＝
＝60.
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3. 從甲、乙、丙、丁四名同學中選出三名同學，分別參加三個不同科
目的競賽，其中甲同學必須參賽，則不同的參賽方案共有（　　）
A. 24種 B. 18種
C. 21種 D. 9種
解析： 　從除甲外的乙、丙、丁三名同學中選出2人，有 種選
法，再將3人安排到3個科目，有 種，故共有 × ＝18
（種）不同的參賽方案.
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4. 若二項式（2x＋ ）7的展開式中 的系數是84，則實數a＝
（　　）
A. 2
C. 1
解析： 　（2x＋ ）7的二項展開式的通項為Tr＋1＝ （2x）7－r
（ ）r＝ 27－rarx7－2r（r＝0，1，2，…，7），令7－2r＝－
3，得r＝5，故含 的項的系數為 22a5＝84，解得a＝1.
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5. 若（1＋mx）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝
63，則實數m＝（　　）
A. 1或3 B. －3
C. 1 D. 1或－3
解析： 　令x＝0，得a0＝（1＋0）6＝1.令x＝1，得（1＋m）6
＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴（1＋m）6
＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.
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6. （2x＋1） 的展開式的常數項是（　　）
A. －10 B. －9
C. 11 D. 9
解析： 　（2x＋1） ＝（2x＋1）·（ 1－ ＋10· －
10· ＋5· － ），故展開式中的常數項是2×（－5）＋1＝－9.
故選B.
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7. 某城市有3個演習點同時進行消防演習，現將5個消防隊分配到這3
個演習點，若每個演習點至少安排1個消防隊，則不同的分配方案
種數為（　　）
A. 150 B. 240
C. 360 D. 540
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解析： 　由題意得，把5個消防隊分成三組，可分為1，1，3和
1，2，2兩類方法.（1）分組為1，1，3，共有 ＝10種不同的
分組方法；（2）分組為1，2，2，共有 ＝15種不同的分組方
法.所以分配到3個演習點，共有（10＋15）× ＝150種不同的分
配方案.
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8. 習近平總書記在黨的十九大報告中指出：“要堅定文化自信，推動
社會主義文化繁榮興盛.”“楊輝三角”揭示了二項式系數在三角
形中的一種幾何排列規律，最早在我國南宋數學家楊輝1261年所著
的《詳解九章算法》一書中出現.“楊輝三角”是中國數學史上的
一個偉大成就，激發了一批又一批數學愛好者的探究欲望.如圖，
由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（　　）
B. 第2 025行中從左往右第1 014個數與第1 015個數相等
D. 第20行中第8個數與第9個數之比為8∶13
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解析： 　根據題意，由“楊輝三角”可得，第n行的第r個數為
.對于A， ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋…＋ －1＝
－1＝119，故A錯誤；對于B，第2 025行中從左往右第1 014個
數為 ，第1 015個數為 ，兩者不相等，故B錯誤；對于
C，記第n行的第i個數為ai，則ai＝ ，則 2i－1ai＝ 2i－
1 ×1n－i＋1＝（1＋2）n＝3n，故C錯誤；對于D，第20行中第8
個數為 ，第9個數為 ，則兩個數的比為 ∶ ＝
∶ ＝8∶13，故D正確.
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二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選
對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 下列問題屬于排列問題的是（　　）
A. 從10人中選2人分別去種樹和掃地
B. 從10人中選2人去掃地
C. 從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊
D. 從數字5，6，7，8中任取兩個不同的數作冪運算
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解析： 　對于A，從10人中選2人分別去種樹和掃地，選出的2
人有分工的不同，是排列問題；對于B，從10人中選2人去掃地，
與順序無關，是組合問題；對于C，從班上30名男生中選出5人組
成一個籃球隊，與順序無關，是組合問題；對于D，從數字5，6，
7，8中任取兩個不同的數作冪運算，順序不一樣，計算結果也不一
樣，是排列問題.
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10. 帶有編號1，2，3，4，5的五個球，則下列說法正確的是（　　）
A. 全部投入4個不同的盒子里，共有45種放法
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解析： 　五個球投入4個不同的盒子里共有45種放法，A
選項對；若要放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有
· 種放法，B選項錯，D選項對；將其中的4個球投入4個
盒子里的一個（另一個球不投入），共有 · 種放法，C選
項對.故選A、C、D.
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11. 傳說古希臘數學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一
個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.這是因為阿基米德
認為這個“圓柱容球”是他最為得意的發現，于是留下遺言：他
死后，墓碑上要刻上一個“圓柱容球”的幾何圖形，設圓柱的體
積與球的體積之比為m，圓柱的表面積與球的表面積之比為n，
若f（x）＝（ x3－ ）8，則（　　）
A. f（x）的展開式中的常數項是56
B. f（x）的展開式中的各項系數之和為0
C. f（x）的展開式中的二項式系數最大值是70
D. f（i）＝－16，其中i為虛數單位
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解析： 　設內切球的半徑為r，則圓柱的高為2r，∴m＝
＝ ，n＝ ＝ ，則 ＝1，∴f（x）＝（x3－ ）8.對
于A，f（x）展開式的通項為Tr＋1＝ x24－3r·（－ ）r＝（－
1）r x24－4r，令24－4r＝0，解得r＝6，∴f（x）展開式的常
數項為（－1）6 ＝28，A錯誤；對于B，令x＝1，得f（1）＝
0，即f（x）展開式的各項系數之和為0，B正確；對于C，f
（x）展開式中二項式系數最大值為 ＝70，C正確；對于D，f
（i）＝（i3－ ）8＝（－i＋i）8＝0，D錯誤.
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三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中
橫線上）
12. 從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數a，b組
成復數a＋bi，其中虛數有 個.
解析：第一步取b的數，有6種方法，第二步取a的數，也有6種方
法，根據分步計數原理，共有6×6＝36（種）方法，即共組成36
個虛數.
36　
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13. 早在11世紀中葉，我國宋代數學家賈憲在其著作《釋鎖算數》中
就給出了二、三、四、五、六次冪的二項式系數表.已知（ax－
1）6的展開式中x3的系數為－160，則實數a＝ ，展開式中各
項系數之和為 （用數字作答）.
解析：由于（ax－1）6展開式的通項公式為Tk＋1＝ ·a6－k·x6－
k·（－1）k，令6－k＝3，解得k＝3，故（ax－1）6展開式中x3的
系數為 ·a3（－1）3＝－160，解得a＝2，故（ax－1）6＝（2x
－1）6展開式中各項系數和為（2－1）6＝1.
2　
1　
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14. 從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區服務，每天
安排一人，每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加，
且當甲、乙兩人都參加時，他們參加社區服務的日期不相鄰，那
么不同的安排種數為 .（用數字作答）
解析：分兩類，一類是甲、乙都參加，另一類是甲、乙中選一
人，方法數為N＝ ＋ ＝1 440＋3 600＝5 040.
5 040　
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說
明、證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）已知（ － ）n的展開式中，第4項和第9
項的二項式系數相等.
（1）求n；
解： 由第4項和第9項的二項式系數相等可得 ＝
，解得n＝11.
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（2）求展開式中含x的項的系數.
解： 由（1）知，展開式的第r＋1項為Tr＋1＝
（ ）11－r（－ ）r＝（－2）r ，令 ＝1，
得r＝3，此時T3＋1＝（－2）3 x＝－1 320x.所以展開式
中含x的項的系數為－1 320.
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16. （本小題滿分15分）8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記
錄員1人.
（1）若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？
解： 若正、副組長相鄰而坐，可將此2人看作1人，即7
人圍一圓桌，有 種坐法，
由于正、副組長2人可交換，有 種坐法，
所以共有 ＝6×5×4×3×2×1×2×1＝1 440種坐法.
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（2）若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），有多少種
坐法？
解： 若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），可
將3人看作1人，即6人圍一圓桌，有 種坐法，
因為正、副組長2人可交換，有 種坐法，
所以共有 ＝5×4×3×2×1×2×1＝240種坐法.
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17. （本小題滿分15分）在（3x－2y）20的展開式中，求：
（1）二項式系數最大的項；
解： 二項式（3x－2y）20的展開式有21項，展開式的
通項為Tk＋1＝ （3x）20－k（－2y）k，
其二項式系數最大的項為第11項，T11＝ ·（3x）10·（－
2y）10＝ ·610·x10y10.
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（2）系數絕對值最大的項.
解： 設系數絕對值最大的項是第k＋1（k∈N*）項，
則
即解得7 ≤k≤8 ，
所以k＝8，系數絕對值最大的項為T9＝ ·312·28·x12·y8.
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18. （本小題滿分17分）某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行，決定
按照乘客經過地鐵站的數量實施分段優惠政策，不超過12站的地
鐵票價如下表：
乘坐站數 0＜x≤3 3＜x≤7 7＜x≤12
票價（元） 3 5 7
現有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘
坐地鐵都不超過12站，且他們各自在每個站下地鐵的可能性是
相同的.
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（1）若甲、乙兩人共付車費8元，則甲、乙下地鐵的方案共有多
少種？
解： 若甲、乙兩人共付車費8元，則其中一人乘坐地鐵
站數不超過3站，另外一人乘坐地鐵站數超過3站且不超過7
站，共有 ＝24（種），
故甲、乙下地鐵的方案共有24種.
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（2）若甲、乙兩人共付車費10元，則甲比乙先下地鐵的方案共有
多少種？
解： 若甲、乙兩人共付車費10元，則甲比乙先下地鐵
的情形有兩類：
第一類，甲乘地鐵站數不超過3站，乙乘地鐵站數超過7站且
不超過12站，有 ＝15（種）；
第二類，甲、乙兩人乘地鐵站數都超過3站且不超過7站，記
地鐵第四站至第七站分別為P4，P5，P6，P7，易知甲比乙
先下地鐵有以下三種情形：
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①甲P4站下，乙下地鐵方式有 種；②甲P5站下，乙下地
鐵方式有 種；③甲P6站下，乙只能從P7下地鐵，共有1種
方式，共有 ＋ ＋1＝6（種），
依據分類計數原理，得15＋6＝21（種），
故甲比乙先下地鐵的方案共有21種.
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19. （本小題滿分17分）已知f（x）＝（1＋x）n＋1＋2（1＋x）n＋2
＋…＋k（1＋x）n＋k＋…＋n（1＋x）2n（n∈N*）.
（1）當n＝3時，求f（x）的展開式中含x3項的系數；
解： 當n＝3時，f（x）＝（1＋x）4＋2（1＋x）5＋3
（1＋x）6，
∴f（x）的展開式中含x3項的系數為 ＋2 ＋3 ＝84.
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（2）證明：f（x）的展開式中含xn項的系數為（n＋1） ；
解： 證明：∵f（x）＝（1＋x）n＋1＋2（1＋x）n＋2
＋…＋k（1＋x）n＋k＋…＋n（1＋x）2n（n∈N*），
故f（x）的展開式中含xn項的系數為 ＋2 ＋3
＋…＋n ＝ ＋2 ＋3 ＋…＋n .
∵k ＝k ＝
＝（n＋1） ＝（n＋1） ，


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（3）定義： ai＝a1＋a2＋…＋an，化簡： （i＋1） .
解： （i＋1） ＝2 ＋3 ＋…＋n ＋（n
＋1） ，　①
（i＋1） ＝（n＋1） ＋n ＋…＋3 ＋
2 ，　②
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在①②中分別添加 ，則得1＋ （i＋1） ＝ ＋2
＋3 ＋…＋n ＋（n＋1） ，　③
1＋ （i＋1） ＝（n＋1） ＋n ＋…＋3 ＋
2 ＋ ，　④
③＋④得2（1＋ （i＋1） ）＝（n＋2）（ ＋ ＋
＋…＋ ＋ ）＝（n＋2）2n，
∴ （i＋1） ＝（n＋2）2n－1－1.
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