資源簡介

8.2.1　隨機變量及其分布列
1.下列敘述中，隨機變量X不是離散型隨機變量的是（　　）
A.某座大橋一天經過的車輛數X
B.某無線電尋呼臺一天內收到的尋呼次數X
C.一天之內的溫度X
D.一位射擊手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，用X表示該射擊手在一次射擊中的得分
2.（2024·常州月考）下列表格可以作為ξ的概率分布的是（　　）
A.
ξ 0 1 3
P a 1－a
B.
ξ 1 2 3
P － 1
C.
ξ 4 5
P 0 1
D.
ξ －1 1 2
P 2a a2＋2
3.設離散型隨機變量X的概率分布為
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若隨機變量Y＝X－2，則P（Y＝2）＝（　　）
A.0.3　　　　　　　　　B.0.4
C.0.6 D.0.7
4.（2024·徐州月考）已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且P（X＝0）＝3－4P（X＝1）＝a，則a＝（　　）
A. B.
C. D.
5.（多選）拋擲兩顆骰子各一次，記第一顆骰子擲出的點數與第二顆骰子擲出的點數的差為X，則“X＞3”表示的試驗的結果有（　　）
A.第一顆為5點，第二顆為1點 B.第一顆大于4點，第二顆也大于4點
C.第一顆為6點，第二顆為1點 D.第一顆為6點，第二顆為2點
6.（多選）已知離散型隨機變量X的概率分布為
X 1 2 4 6
P 0.2 m n 0.1
則下列選項正確的是（　　）
A.m＋n＝0.7
B.若m＝0.3，則P（X＞3）＝0.5
C.若m＝0.9，則n＝－0.2
D.P（X＝1）＝2P（X＝6）
7.在某次考試中，需回答三個問題，每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則某名同學回答這三個問題的總得分ξ的所有可能取值是　　　　.
8.已知離散型隨機變量X的概率分布為
X 0 1 2
P 1－2q q
則P（∈Z）＝　　　　.
9.離散型隨機變量X的概率分布如下，x，y∈N，且x，y≤10.
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.1x 0.05 0.10 0.01y 0.40
則x＝　　　　，y＝　　　　，P（＜X＜）＝　　　　.
10.（2024·鹽城月考）一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號分別為1，2，3，4，5，6，現從中隨機取出3個球，以X表示取出的3個球中的最大編號數.
（1）求X的概率分布；
（2）求X的取值不小于4的概率.
11.（2024·揚州質檢）隨機變量X的概率分布的規律為P（X＝n）＝（n＝1，2，3，4），其中a為常數，則P（X＝）＝（　　）
A. B.
C. D.
12.（多選）口袋中有大小、形狀都相同的4個紅球和n個白球，每次從中摸1個球，然后放回口袋中.摸到紅球記2分，摸到白球記1分.共摸球3次，設所得分數為隨機變量ξ.若P（ξ＝3）＝，則摸球3次，隨機變量ξ的取值可能為（　　）
A.2 B.3
C.4 D.5
13.在醫學生物學試驗中，經常以果蠅作為試驗對象，一個關有6只果蠅的籠子里，不慎混入了兩只蒼蠅，只好把籠子打開一個小孔，讓蠅子一只一只地往外飛，直到兩只蒼蠅都飛出，再關閉小孔.以ξ表示籠內還剩下的果蠅數量，則P（ξ≥2）＝　　　　.
14.某大型水果超市每天以10元/千克的價格從水果基地購進若干千克A水果，然后以15元/千克的價格出售，若有剩余，則將剩余的水果以8元/千克的價格退回水果基地，為了確定進貨數量，該超市記錄了A水果最近50天的日需求量（單位：千克），整理如表所示：
日需求量 140 150 160 170 180 190 200
頻數 5 10 8 8 7 7 5
以50天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率.
（1）求該超市A水果日需求量n（單位：千克）的概率分布；
（2）若該超市一天購進A水果150千克，記超市當天A水果獲得的利潤為X（單位：元），求X的概率分布.
15.（2024·鎮江月考）在一次購物抽獎活動中，假設某10張獎券中有1張一等獎，可獲價值50元的獎品；有3張二等獎，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎.某顧客從這10張中任抽2張.求：
（1）該顧客中獎的概率；
（2）該顧客獲得的獎品總價值X（元）的概率分布.
8.2.1　隨機變量及其分布列
1.C　A、B、D中的X的可能取值可以一一列舉出來，而C中的X可以取某一區間內的一切值，是連續型隨機變量.
2.C　在A中，各概率之和為＞1，故A錯誤；在B中，P（ξ＝2）＝－＜0，故B錯誤；在C中，滿足0≤P≤1以及各概率之和等于1，故C正確；在D中，＋2a＋a2＋2＝（a＋1）2＋＞1，故D錯誤，故選C.
3.A　由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.P（Y＝2）＝P（X＝4）＝0.3.
4.C　因為X服從兩點分布，所以P（X＝0）＋P（X＝1）＝1.因為P（X＝0）＝3－4P（X＝1）＝a，所以P（X＝0）＝3－4[1－P（X＝0）]，所以P（X＝0）＝，所以a＝.
5.ACD　因為5－1＝4＞3，6－1＝5＞3，6－2＝4＞3，所以選項A、C、D符合題意；對于B：第一顆大于4點，可以是5點，6點，第二顆也大于4點，可以是5點，6點，因為5－5＝0＜3，5－6＝－1＜3，6－5＝1＜3，6－6＝0＜3，所以不符合題意.故選A、C、D.
6.ABD　對于A中，由概率分布的性質，可得0.2＋m＋n＋0.1＝1，解得m＋n＝0.7，所以A正確；對于B中，若m＝0.3，可得n＝0.4，則P（X＞3）＝P（X＝4）＋P（X＝6）＝0.5，所以B正確；對于C中，由概率的定義知m≥0，n≥0，所以C不正確；對于D中，由P（X＝1）＝0.2，P（X＝6）＝0.1，則P（X＝1）＝2P（X＝6），所以D正確.故選A、B、D.
7.－300，－100，100，300　解析：答對0個問題得－300分；答對1個問題得－100分；答對2個問題得100分；問題全答對得300分.
8.　解析：由概率分布的性質得1－2q≥0，q≥0，且＋1－2q＋q＝1，解得q＝，∴P（∈Z）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋1－2×＝.
9.2　5　0.25　解析：根據概率分布的性質知，0.20＋0.1x＋0.05＋0.10＋0.01y＋0.40＝1，即10x＋y＝25.由x，y∈N且x，y≤10可解得x＝2，y＝5，故P（＜X＜）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.25.
10.解：（1）隨機變量X的可能取值為3，4，5，6，
P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，
P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，
所以隨機變量X的概率分布為
X 3 4 5 6
P
（2）X的取值不小于4的概率P（X≥4）＝P（X＝4）＋P（X＝5）＋P（X＝6）＝＋＋＝.
11.D　由P（X＝n）＝＝（－），可知P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝1，即（1－＋－＋－＋－）＝1，得a＝.∴P（X＝）＝P（X＝2）＝×（－）＝.
12.BCD　由題意知，摸到紅球的概率是P1＝，摸到白球的概率是P2＝，而ξ＝3表示得3分，即表示3次摸到的都是白球，所以（）3＝，解得n＝3，所以ξ的可能取值為3，4，5，6，故選B、C、D.
13.　解析：記“籠中還剩下k只果蠅”為事件Ak（k＝0，1，2，3，…，6），當事件Ak發生時，共飛出（8－k）只蠅子，第8－k只飛出的是蒼蠅，且在前7－k只飛出的蠅子中有1只是蒼蠅，所以P（Ak）＝＝，故P（ξ≥2）＝1－P（ξ＝0）－P（ξ＝1）＝1－P（A0）－P（A1）＝1－－＝.
14.解：（1）n的概率分布為：
n 140 150 160 170 180 190 200
P 0.1 0.2 0.16 0.16 0.14 0.14 0.1
（2）若A水果日需求量為140千克，則X＝140×（15－10）－（150－140）×（10－8）＝680（元），所以P（X＝680）＝＝0.1.
若A水果日需求量不小于150千克，則X＝150×（15－10）＝750（元），所以P（X＝750）＝1－0.1＝0.9.
則X的所有可能取值為680，750，
故X的概率分布為：
X 680 750
P 0.1 0.9
15.解：（1）記顧客中獎為事件A，則P（A）＝＝＝，即該顧客中獎的概率為.
（2）X所有可能的取值為0，10，20，50，60，
且P（X＝0）＝＝，
P（X＝10）＝＝，
P（X＝20）＝＝，
P（X＝50）＝＝，
P（X＝60）＝＝，
故X的概率分布為：
X 0 10 20 50 60
P
2 / 38.2.1　隨機變量及其分布列
新課程標準解讀 核心素養
1.通過具體實例，了解隨機變量、離散型隨機變量的概念 數學抽象
2.理解離散型隨機變量的分布列，會求某些簡單的離散型隨機變量的分布列 數學抽象、數學運算
　　在射擊運動中，運動員射擊一次，可能出現不中靶，命中1環，…，命中10環的結果，若用變量X表示他一次射擊所命中的環數.
【問題】　變量X的取值情況如何，能否一一列舉出來？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　隨機變量
1.隨機變量
（1）定義：一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有　　　　的實數X（ω）與之對應，則稱X為隨機變量；
（2）表示：通常用大寫英文字母X，Y，Z（或小寫希臘字母ξ，η，ζ）等表示隨機變量，而用小寫英文字母x，y，z（加上適當下標）等表示隨機變量的取值.
提醒　隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數與之對應，隨機變量有如下特征：①取值依賴于樣本點；②所有可能取值是明確的.
2.離散型隨機變量與連續型隨機變量
（1）離散型隨機變量：取值為　　　　的數值的隨機變量；
（2）連續型隨機變量：取值為　　　　的實數區間.
提醒　離散型隨機變量的特征：①可以用數值表示；②試驗之前可以判斷其可能出現的所有值，但不能確定取何值；③試驗結果能一一列出.
【想一想】
所有離散型隨機變量的取值都是有限個嗎？
知識點二　離散型隨機變量的分布列
1.離散型隨機變量的分布列
（1）定義：一般地，隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是x1，x2，…，xn，且P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n， ①
稱①為隨機變量X的　　　　　　，簡稱為X的　　　　；
（2）概率分布表：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
通常將上表稱為隨機變量X的　　　　　.隨機變量X的概率分布列和概率分布表都叫作隨機變量X的概率分布.
（3）性質：①pi≥　　　，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝　　　.
2.0－1分布（兩點分布）
X 0 1
P 1－p p
隨機變量X只取兩個可能值0和1，這一類概率分布稱為0－1分布或兩點分布，并記為　　　　分布或　　　　　　，此處“～”表示“　　　　”.
提醒　（1）離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率的和；（2）如果隨機變量X的試驗結果只有兩種可能，且它們的概率之和為1，則是兩點分布，否則不是兩點分布.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個.（　　）
（2）在拋擲一枚質地均勻的硬幣試驗中，“出現正面的次數”為隨機變量.（　　）
（3）手機電池的使用壽命X是離散型隨機變量.（　　）
（4）在離散型隨機變量的分布列中，每一個可能值對應的概率可以為任意的實數.（　　）
2.袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中無放回地每次任意取出一個球，直到取出的球是白球為止，所需要的取球次數為隨機變量X，則X的可能取值為（　　）
A.1，2，…，6　　　　　　 B.1，2，…，7
C.1，2，…，11 D.1，2，3，…
3.若離散型隨機變量X的概率分布為
X 0 1
P 3m 2m
則m＝（　　）
A. B.
C. D.
4.若隨機變量X服從兩點分布，且P（X＝0）＝0.8，P（X＝1）＝0.2，令Y＝3X－2，則P（Y＝－2）＝　　　　.
題型一 隨機變量的概念及分類
【例1】　（鏈接教科書第111頁例1）下列變量中哪些是隨機變量？如果是隨機變量，那么哪些是離散型隨機變量，哪些是連續型隨機變量，并寫出可能的取值有哪些？
（1）體積為8 cm3的正方體的棱長；
（2）某機場一年中每天運送乘客的數量；
（3）某單位辦公室一天中接到電話的次數；
（4）一瓶果汁的容量為500±2 mL.
通性通法
1.判斷一個試驗是否是隨機試驗，可根據這個試驗是否滿足隨機試驗的三個條件，即
（1）試驗在相同條件下是否可重復進行；
（2）試驗的所有可能結果是否是明確的，并且試驗的結果不止一個；
（3）每次試驗的結果恰好是一個，而且在每一次試驗前無法預知出現哪個結果.
2.判斷是否為離散型隨機變量的關鍵是離散型隨機變量X的可能取值為有限個或可以一一列出.
3.用隨機變量表示隨機試驗結果的關鍵是明確隨機變量的所有可能取值，以及取每一個值對應的意義，即一個隨機變量的取值對應一個或多個隨機試驗的結果.
【跟蹤訓練】
1.（多選）下列隨機變量是離散型隨機變量的是（　　）
A.從10張已編好號碼的卡片（從1號到10號）中任取一張，被取出的卡片的號數
B.一個袋中裝有9個正品和1個次品，從中任取3個，其中所含正品的個數
C.某林場樹木最高達30 m，則此林場中樹木的高度
D.某加工廠加工的某種鋼管的外徑與規定的外徑尺寸之差
2.寫出下列隨機變量可能取的值，并說明這些值所表示的隨機試驗的結果.
（1）袋中有大小相同的紅球10個，白球5個，從袋中每次任取1個球，取后不放回，直到取出的球是白球為止，所需要的取球次數；
（2）從分別標有數字1，2，3，4的4張卡片中任取2張，所取卡片上的數字之和.
題型二 離散型隨機變量的概率分布
【例2】　（鏈接教科書第113頁例2）一個箱子里裝有5個大小相同的球，有3個白球，2個紅球，從中摸出2個球.
（1）求摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的概率；
（2）用X表示摸出的2個球中的白球個數，求X的概率分布.
通性通法
求離散型隨機變量的概率分布的關鍵
（1）列出隨機變量的所有可能的取值，不重不漏；
（2）計算出每一個取值所對應的概率；
（3）用所有概率之和是否為1來檢驗.
【跟蹤訓練】
　某工廠生產一種航天儀器零件，每件零件生產成型后，得到合格零件的概率為0.6，得到的不合格零件可以進行一次技術處理，技術處理費用為100元/件，技術處理后得到合格零件的概率為0.5，得到的不合格零件成為廢品.合格零件以1 500元/件的價格銷售，廢品以100元/件的價格被回收.零件的生產成本為800元/件，假如每件產品是否合格相互獨立，記X為生產一件零件獲得的利潤，求X的概率分布.
題型三 0－1分布（兩點分布）
【例3】　（鏈接教科書第113頁例3）袋內有10個白球，5個紅球，從中隨機摸出2個球，記X＝求X的概率分布.
通性通法
　　兩步法判斷一個分布是否為兩點分布
（1）看取值：隨機變量只取兩個值0和1.
（2）驗概率：檢驗P（X＝0）＋P（X＝1）＝1是否成立.如果一個分布滿足以上兩點，則該分布是兩點分布，否則不是兩點分布.
【跟蹤訓練】
　已知一批200件的待出廠產品中，有1件不合格品，現從中任意抽取2件進行檢查，若用隨機變量X表示抽取的2件產品中的次品數，求X的概率分布.
題型四 離散型隨機變量概率分布的性質
【例4】　（鏈接教科書第114頁例4）設隨機變量X的概率分布為P（X＝i）＝（i＝1，2，3，4），求：
（1）P（X＝1或X＝2）；
（2）P（＜X＜）.
通性通法
概率分布的性質及其應用
（1）利用概率分布表中各概率之和為1可求參數的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數；
（2）求隨機變量在某個范圍內的概率時，根據概率分布表，將所求范圍內各隨機變量對應的概率相加即可，其依據是互斥事件的概率加法公式.
【跟蹤訓練】
1.設隨機變量X的概率分布為
X －1 0 1
P 1－3q q2
則q＝　　　　.
2.（2024·連云港月考）設離散型隨機變量X的概率分布為
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：（1）2X＋1的概率分布；
（2）｜X－1｜的概率分布.
1.某人進行射擊，共有5發子彈，擊中目標或子彈打完就停止射擊，記射擊次數為X，則“X＝5”表示的試驗結果是（　　）
A.第5次擊中目標 B.第5次未擊中目標
C.前4次均未擊中目標 D.第4次擊中目標
2.（多選）下列是隨機變量的是（　　）
A.股票交易所下一個交易日的收盤指數 B.在標準大氣壓下，冰水混合物的溫度
C.拋兩枚骰子，出現的點數和 D.某個人的屬相隨年齡的變化
3.某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X描述1次試驗的成功次數，則P（X＝1）＝（　　）
A.0 B.
C. D.
4.（2024·無錫月考）一批產品分為一、二、三級，其中一級品是二級品的兩倍，三級品為二級品的一半，從這批產品中隨機抽取一個檢驗，其級別為隨機變量X，則P（≤X≤）＝　　　　.
8.2.1　隨機變量及其分布列
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.（1）唯一　　2.（1）離散　（2）連續
想一想
　提示：不一定.
知識點二
1.（1）概率分布列　分布列　（2）概率分布表　（3）①0　②1
2.X～0－1　x～兩點分布　服從
自我診斷
1.（1）√　（2）√　（3）×　（4）×
2.B　可能第一次就取到白球，也可能把6個紅球都取完后，才取得白球，故X的可能取值為1，2，3，4，5，6，7.
3.A　由離散型隨機變量概率分布的性質可知，2m＋3m＝1，所以m＝.
4.0.8　解析：由Y＝－2可知3X－2＝－2，即X＝0，∴P（Y＝－2）＝P（X＝0）＝0.8.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）正方體的棱長為定值，不是隨機變量.
（2）某機場一年中每天運送乘客的數量是隨機變化的，因此是隨機變量，且是離散型隨機變量，可能的取值為0，1，2，3，….
（3）某單位辦公室一天中接到電話的次數是隨機變化的，因此是隨機變量，且是離散型隨機變量，可能的取值為0，1，2，3，….
（4）由于果汁的容量具有一定的隨機性，因此是隨機變量，且是連續型隨機變量，可能的取值為[498，502]內的某個數.
跟蹤訓練
1.AB　A項，只要取出一張，便有一個號碼，因此被取出的卡片號數可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義；B項，從10個產品中取3個產品，所得的結果有以下幾種：3個正品，2個正品和1個次品，即其結果可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義；C項，林場樹木的高度是一個隨機變量，它可以取（0，30]內的一切值，無法一一列舉，不是離散型隨機變量；D項，實際測量值與規定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機變量.
2.解：（1）設所需的取球次數為X，
則X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前（i－1）次取到的均是紅球，第i次取到白球，這里i＝1，2，3，4，…，11.
（2）設所取卡片上的數字之和為X，則X＝3，4，5，6，7.
{X＝3}表示“取出標有1，2的兩張卡片”；
{X＝4}表示“取出標有1，3的兩張卡片”；
{X＝5}表示“取出標有2，3或1，4的兩張卡片”；
{X＝6}表示“取出標有2，4的兩張卡片”；
{X＝7}表示“取出標有3，4的兩張卡片”.
【例2】　解：一個箱子里裝有5個大小相同的球，有3個白球，2個紅球，從中摸出2個球，有＝10（種）情況.
（1）設摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的事件為A，
P（A）＝＝，
即摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的概率為.
（2）用X表示摸出的2個球中的白球個數，則X的所有可能取值為0，1，2.
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝.
故X的概率分布如表所示.
X 0 1 2
P
跟蹤訓練
　解：若一件零件生產成型即合格，則X＝1 500－800＝700，
若一件零件經過技術處理后合格，則X＝1 500－800－100＝600，
若一件零件成為廢品，則X＝－800－100＋100＝－800.
所以X可取700，600，－800，
則P（X＝700）＝0.6，
P（X＝600）＝（1－0.6）×0.5＝0.2，
P（X＝－800）＝（1－0.6）×（1－0.5）＝0.2.
所以隨機變量X的概率分布如表所示.
X 700 600 －800
P 0.6 0.2 0.2
【例3】　解：由題設可知X服從兩點分布，
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝1－P（X＝0）＝.
∴X的概率分布為
X 0 1
P
跟蹤訓練
　解：由題意知，X服從兩點分布，
P（X＝0）＝＝，
所以P（X＝1）＝1－＝.
所以隨機變量X的概率分布為
X 0 1
P
【例4】　解：（1）∵＋＋＋＝1，
∴a＝10，
則P（X＝1或X＝2）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝＋＝.
（2）由a＝10，
得P（＜X＜）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＋＝.
跟蹤訓練
1.　解析：由＋1－3q＋q2＝1，解得q＝或q＝.由得0≤q≤，所以q＝.
2.解：由概率分布的性質知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表為
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
｜X－1｜ 1 0 1 2 3
從而由上表得：
（1）2X＋1的概率分布為
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2）｜X－1｜的概率分布為
｜X－1｜ 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
隨堂檢測
1.C　擊中目標或子彈打完就停止射擊，射擊次數X＝5，說明前4次均未擊中目標.
2.AC　在標準大氣壓下，冰水混合物的溫度是0 ℃，是一個確定的值，不是隨機變量；一個人的屬相在他出生時就確定了，不隨年齡的變化而變化，也不是隨機變量；而選項A、C中的“收盤指數”與“點數和”都是隨機變量，故選A、C.
3.D　設失敗率為p，則成功率為2p，概率分布如下，
X 0 1
P p 2p
由p＋2p＝1，得p＝，所以P（X＝1）＝2p＝.
4.　解析：設二級品有k個，則一級品有2k個，三級品有個，總數為個，∴X的概率分布如下，
X 1 2 3
P
∴P（≤X≤）＝P（X＝1）＝.
4 / 5(共72張PPT)
8.2.1　
隨機變量及其分布列
新課程標準解讀 核心素養
1.通過具體實例，了解隨機變量、離散
型隨機變量的概念 數學抽象
2.理解離散型隨機變量的分布列，會求
某些簡單的離散型隨機變量的分布列 數學抽象、數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　在射擊運動中，運動員射擊一次，可能出現不中靶，命中1
環，…，命中10環的結果，若用變量X表示他一次射擊所命中的環
數.
【問題】變量X的取值情況如何，能否一一列舉出來？　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識點一　隨機變量
1. 隨機變量
（1）定義：一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，
都有 的實數X（ω）與之對應，則稱X為隨機變量；
唯一　
（2）表示：通常用大寫英文字母X，Y，Z（或小寫希臘字母ξ，
η，ζ）等表示隨機變量，而用小寫英文字母x，y，z（加上
適當下標）等表示隨機變量的取值.
提醒　隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數與之對
應，隨機變量有如下特征：①取值依賴于樣本點；②所有可
能取值是明確的.
2. 離散型隨機變量與連續型隨機變量
（1）離散型隨機變量：取值為 的數值的隨機變量；
（2）連續型隨機變量：取值為 的實數區間.
提醒　離散型隨機變量的特征：①可以用數值表示；②試驗
之前可以判斷其可能出現的所有值，但不能確定取何值；③
試驗結果能一一列出.
離散　
連續　
【想一想】
所有離散型隨機變量的取值都是有限個嗎？
提示：不一定.
知識點二　離散型隨機變量的分布列
1. 離散型隨機變量的分布列
（1）定義：一般地，隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是
x1，x2，…，xn，且P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n，　
①
稱①為隨機變量X的 ，簡稱為X的
；
概率分布列　
分布
列　
（2）概率分布表：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
通常將上表稱為隨機變量X的 .隨機變量X的
概率分布列和概率分布表都叫作隨機變量X的概率分布.
（3）性質：①pi≥ ，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝ .
概率分布表　
0　
1　
2.0－1分布（兩點分布）
X 0 1
P 1－p p
隨機變量X只取兩個可能值0和1，這一類概率分布稱為0－1分布或
兩點分布，并記為 分布或 ，此處
“～”表示“ ”.
X～0－1　
x～兩點分布　
服從　
提醒　（1）離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這
個范圍內各個值的概率的和；（2）如果隨機變量X的試驗結果只
有兩種可能，且它們的概率之和為1，則是兩點分布，否則不是兩
點分布.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個.
（　√　）
（2）在拋擲一枚質地均勻的硬幣試驗中，“出現正面的次數”為
隨機變量. （　√　）
（3）手機電池的使用壽命X是離散型隨機變量. （　×　）
（4）在離散型隨機變量的分布列中，每一個可能值對應的概率可
以為任意的實數. （　×　）
√
√
×
×
2. 袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中無放回地每次任意取
出一個球，直到取出的球是白球為止，所需要的取球次數為隨機變
量X，則X的可能取值為（　　）
A. 1，2，…，6 B. 1，2，…，7
C. 1，2，…，11 D. 1，2，3，…
解析： 　可能第一次就取到白球，也可能把6個紅球都取完后，
才取得白球，故X的可能取值為1，2，3，4，5，6，7.
3. 若離散型隨機變量X的概率分布為
X 0 1
P 3m 2m
則m＝（　　）
解析： 　由離散型隨機變量概率分布的性質可知，2m＋3m＝
1，所以m＝ .
4. 若隨機變量X服從兩點分布，且P（X＝0）＝0.8，P（X＝1）＝
0.2，令Y＝3X－2，則P（Y＝－2）＝ .
解析：由Y＝－2可知3X－2＝－2，即X＝0，∴P（Y＝－2）＝
P（X＝0）＝0.8.
0.8　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 隨機變量的概念及分類
【例1】　（鏈接教科書第111頁例1）下列變量中哪些是隨機變量？
如果是隨機變量，那么哪些是離散型隨機變量，哪些是連續型隨機變
量，并寫出可能的取值有哪些？
（1）體積為8 cm3的正方體的棱長；
解： 正方體的棱長為定值，不是隨機變量.
（2）某機場一年中每天運送乘客的數量；
解： 某機場一年中每天運送乘客的數量是隨機變化的，因
此是隨機變量，且是離散型隨機變量，可能的取值為0，1，2，
3，….
（3）某單位辦公室一天中接到電話的次數；
解： 某單位辦公室一天中接到電話的次數是隨機變化的，
因此是隨機變量，且是離散型隨機變量，可能的取值為0，1，
2，3，….
（4）一瓶果汁的容量為500±2 mL.
解： 由于果汁的容量具有一定的隨機性，因此是隨機
變量，且是連續型隨機變量，可能的取值為[498，502]內的
某個數.
通性通法
1. 判斷一個試驗是否是隨機試驗，可根據這個試驗是否滿足隨機試驗
的三個條件，即
（1）試驗在相同條件下是否可重復進行；
（2）試驗的所有可能結果是否是明確的，并且試驗的結果不止
一個；
（3）每次試驗的結果恰好是一個，而且在每一次試驗前無法預知
出現哪個結果.
2. 判斷是否為離散型隨機變量的關鍵是離散型隨機變量X的可能取值
為有限個或可以一一列出.
3. 用隨機變量表示隨機試驗結果的關鍵是明確隨機變量的所有可能取
值，以及取每一個值對應的意義，即一個隨機變量的取值對應一個
或多個隨機試驗的結果.
【跟蹤訓練】
1. （多選）下列隨機變量是離散型隨機變量的是（　　）
A. 從10張已編好號碼的卡片（從1號到10號）中任取一張，被取出的卡片的號數
B. 一個袋中裝有9個正品和1個次品，從中任取3個，其中所含正品的個數
C. 某林場樹木最高達30 m，則此林場中樹木的高度
D. 某加工廠加工的某種鋼管的外徑與規定的外徑尺寸之差
解析： 　A項，只要取出一張，便有一個號碼，因此被取出的
卡片號數可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義；B項，從10
個產品中取3個產品，所得的結果有以下幾種：3個正品，2個正品
和1個次品，即其結果可以一一列出，符合離散型隨機變量的定
義；C項，林場樹木的高度是一個隨機變量，它可以取（0，30]內
的一切值，無法一一列舉，不是離散型隨機變量；D項，實際測量
值與規定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機變量.
2. 寫出下列隨機變量可能取的值，并說明這些值所表示的隨機試驗的
結果.
（1）袋中有大小相同的紅球10個，白球5個，從袋中每次任取1個
球，取后不放回，直到取出的球是白球為止，所需要的取球
次數；
解： 設所需的取球次數為X，
則X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前（i－1）次取
到的均是紅球，第i次取到白球，這里i＝1，2，3，4，…，
11.
（2）從分別標有數字1，2，3，4的4張卡片中任取2張，所取卡片
上的數字之和.
解： 設所取卡片上的數字之和為X，則X＝3，4，5，6，7.
{X＝3}表示“取出標有1，2的兩張卡片”；
{X＝4}表示“取出標有1，3的兩張卡片”；
{X＝5}表示“取出標有2，3或1，4的兩張卡片”；
{X＝6}表示“取出標有2，4的兩張卡片”；
{X＝7}表示“取出標有3，4的兩張卡片”.
題型二 離散型隨機變量的概率分布
【例2】　（鏈接教科書第113頁例2）一個箱子里裝有5個大小相同的
球，有3個白球，2個紅球，從中摸出2個球.
（1）求摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的概率；
（1）設摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的事件為A，
P（A）＝ ＝ ，
即摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的概率為 .
解：一個箱子里裝有5個大小相同的球，有3個白球，2個紅球，
從中摸出2個球，有 ＝10（種）情況.
（2）用X表示摸出的2個球中的白球個數，求X的概率分布.
解：用X表示摸出的2個球中的白球個數，則X的所有可能取值
為0，1，2.
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ .
故X的概率分布如表所示.
X 0 1 2
P
通性通法
求離散型隨機變量的概率分布的關鍵
（1）列出隨機變量的所有可能的取值，不重不漏；
（2）計算出每一個取值所對應的概率；
（3）用所有概率之和是否為1來檢驗.
【跟蹤訓練】
　某工廠生產一種航天儀器零件，每件零件生產成型后，得到合格零
件的概率為0.6，得到的不合格零件可以進行一次技術處理，技術處
理費用為100元/件，技術處理后得到合格零件的概率為0.5，得到的不
合格零件成為廢品.合格零件以1 500元/件的價格銷售，廢品以100元/
件的價格被回收.零件的生產成本為800元/件，假如每件產品是否合格
相互獨立，記X為生產一件零件獲得的利潤，求X的概率分布.
解：若一件零件生產成型即合格，則X＝1 500－800＝700，
若一件零件經過技術處理后合格，則X＝1 500－800－100＝600，
若一件零件成為廢品，則X＝－800－100＋100＝－800.
所以X可取700，600，－800，
則P（X＝700）＝0.6，
P（X＝600）＝（1－0.6）×0.5＝0.2，
P（X＝－800）＝（1－0.6）×（1－0.5）＝0.2.
所以隨機變量X的概率分布如表所示.
X 700 600 －800
P 0.6 0.2 0.2
題型三 0－1分布（兩點分布）
【例3】　（鏈接教科書第113頁例3）袋內有10個白球，5個紅球，從
中隨機摸出2個球，記X＝求X的概率分布.
解：由題設可知X服從兩點分布，P（X＝0）＝ ＝ ，
P（X＝1）＝1－P（X＝0）＝ .∴X的概率分布為
X 0 1
P
通性通法
　　兩步法判斷一個分布是否為兩點分布
（1）看取值：隨機變量只取兩個值0和1.
（2）驗概率：檢驗P（X＝0）＋P（X＝1）＝1是否成立.如果一個
分布滿足以上兩點，則該分布是兩點分布，否則不是兩點分布.
【跟蹤訓練】
　已知一批200件的待出廠產品中，有1件不合格品，現從中任意抽取
2件進行檢查，若用隨機變量X表示抽取的2件產品中的次品數，求X
的概率分布.
解：由題意知，X服從兩點分布，P（X＝0）＝ ＝ ，
所以P（X＝1）＝1－ ＝ .所以隨機變量X的概率分布為
X 0 1
P
題型四 離散型隨機變量概率分布的性質
【例4】　（鏈接教科書第114頁例4）設隨機變量X的概率分布為P
（X＝i）＝ （i＝1，2，3，4），求：
（1）P（X＝1或X＝2）；
解： ∵ ＋ ＋ ＋ ＝1，∴a＝10，
則P（X＝1或X＝2）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝ ＋ ＝
.
（2）P（ ＜X＜ ）.
解： 由a＝10，
得P（ ＜X＜ ）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）
＝ ＋ ＋ ＝ .
通性通法
概率分布的性質及其應用
（1）利用概率分布表中各概率之和為1可求參數的值，此時要注意檢
驗，以保證每個概率值均為非負數；
（2）求隨機變量在某個范圍內的概率時，根據概率分布表，將所求
范圍內各隨機變量對應的概率相加即可，其依據是互斥事件的
概率加法公式.
【跟蹤訓練】
1. 設隨機變量X的概率分布為
X －1 0 1
P 1－3q q2

解析：由 ＋1－3q＋q2＝1，解得q＝ 或q＝ .由
得0≤q≤ ，所以q＝ .
　
2. （2024·連云港月考）設離散型隨機變量X的概率分布為
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：（1）2X＋1的概率分布；
解：由概率分布的性質知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表為
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
｜X－1｜ 1 0 1 2 3
從而由上表得：
（1）2X＋1的概率分布為
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2）｜X－1｜的概率分布.
解： ｜X－1｜的概率分布為
｜X－1｜ 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
1. 某人進行射擊，共有5發子彈，擊中目標或子彈打完就停止射擊，
記射擊次數為X，則“X＝5”表示的試驗結果是（　　）
A. 第5次擊中目標 B. 第5次未擊中目標
C. 前4次均未擊中目標 D. 第4次擊中目標
解析： 　擊中目標或子彈打完就停止射擊，射擊次數X＝5，說明
前4次均未擊中目標.
2. （多選）下列是隨機變量的是（　　）
A. 股票交易所下一個交易日的收盤指數
B. 在標準大氣壓下，冰水混合物的溫度
C. 拋兩枚骰子，出現的點數和
D. 某個人的屬相隨年齡的變化
解析： 　在標準大氣壓下，冰水混合物的溫度是0 ℃，是一個
確定的值，不是隨機變量；一個人的屬相在他出生時就確定了，不
隨年齡的變化而變化，也不是隨機變量；而選項A、C中的“收盤
指數”與“點數和”都是隨機變量，故選A、C.
3. 某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X描述1次試驗的成
功次數，則P（X＝1）＝（　　）
A. 0
解析： 　設失敗率為p，則成功率為2p，概率分布如下，
X 0 1
P p 2p
由p＋2p＝1，得p＝ ，所以P（X＝1）＝2p＝ .
4. （2024·無錫月考）一批產品分為一、二、三級，其中一級品是二
級品的兩倍，三級品為二級品的一半，從這批產品中隨機抽取一個
檢驗，其級別為隨機變量X，則P（ ≤X≤ ）＝ 　 　.
解析：設二級品有k個，則一級品有2k個，三級品有 個，總數為
個，∴X的概率分布如下，
X 1 2 3
P
　
∴P（ ≤X≤ ）＝P（X＝1）＝ .
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
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1. 下列敘述中，隨機變量X不是離散型隨機變量的是（　　）
A. 某座大橋一天經過的車輛數X
B. 某無線電尋呼臺一天內收到的尋呼次數X
C. 一天之內的溫度X
D. 一位射擊手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0
分，用X表示該射擊手在一次射擊中的得分
解析： 　A、B、D中的X的可能取值可以一一列舉出來，而C中
的X可以取某一區間內的一切值，是連續型隨機變量.
2. （2024·常州月考）下列表格可以作為ξ的概率分布的是（　　）
A.
ξ 0 1 3
P a 1－a
B.
ξ 1 2 3
P 1
C.
ξ 4 5
P 0 1
D.
ξ －1 1 2
P 2a a2＋2
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解析： 　在A中，各概率之和為 ＞1，故A錯誤；在B中，P（ξ
＝2）＝－ ＜0，故B錯誤；在C中，滿足0≤P≤1以及各概率之和
等于1，故C正確；在D中， ＋2a＋a2＋2＝（a＋1）2＋ ＞1，故
D錯誤，故選C.
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3. 設離散型隨機變量X的概率分布為
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若隨機變量Y＝X－2，則P（Y＝2）＝（　　）
A. 0.3 B. 0.4
C. 0.6 D. 0.7
解析： 　由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.P（Y＝
2）＝P（X＝4）＝0.3.
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4. （2024·徐州月考）已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且P（X
＝0）＝3－4P（X＝1）＝a，則a＝（　　）
解析： 　因為X服從兩點分布，所以P（X＝0）＋P（X＝1）＝
1.因為P（X＝0）＝3－4P（X＝1）＝a，所以P（X＝0）＝3－
4[1－P（X＝0）]，所以P（X＝0）＝ ，所以a＝ .
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5. （多選）拋擲兩顆骰子各一次，記第一顆骰子擲出的點數與第二顆
骰子擲出的點數的差為X，則“X＞3”表示的試驗的結果有
（　　）
A. 第一顆為5點，第二顆為1點
B. 第一顆大于4點，第二顆也大于4點
C. 第一顆為6點，第二顆為1點
D. 第一顆為6點，第二顆為2點
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解析： 　因為5－1＝4＞3，6－1＝5＞3，6－2＝4＞3，所以
選項A、C、D符合題意；對于B：第一顆大于4點，可以是5點，6
點，第二顆也大于4點，可以是5點，6點，因為5－5＝0＜3，5－6
＝－1＜3，6－5＝1＜3，6－6＝0＜3，所以不符合題意.故選A、
C、D.
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6. （多選）已知離散型隨機變量X的概率分布為
X 1 2 4 6
P 0.2 m n 0.1
則下列選項正確的是（　　）
A. m＋n＝0.7
B. 若m＝0.3，則P（X＞3）＝0.5
C. 若m＝0.9，則n＝－0.2
D. P（X＝1）＝2P（X＝6）
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解析： 　對于A中，由概率分布的性質，可得0.2＋m＋n＋
0.1＝1，解得m＋n＝0.7，所以A正確；對于B中，若m＝0.3，
可得n＝0.4，則P（X＞3）＝P（X＝4）＋P（X＝6）＝0.5，
所以B正確；對于C中，由概率的定義知m≥0，n≥0，所以C不正
確；對于D中，由P（X＝1）＝0.2，P（X＝6）＝0.1，則P（X
＝1）＝2P（X＝6），所以D正確.故選A、B、D.
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7. 在某次考試中，需回答三個問題，每題回答正確得100分，回答不
正確得－100分，則某名同學回答這三個問題的總得分ξ的所有可能
取值是 .
解析：答對0個問題得－300分；答對1個問題得－100分；答對2個
問題得100分；問題全答對得300分.
－300，－100，100，300　
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8. 已知離散型隨機變量X的概率分布為
X 0 1 2
P 1－2q
則P（ ∈Z）＝ 　 　.
解析：由概率分布的性質得1－2q≥0， q≥0，且 ＋1－2q＋ q
＝1，解得q＝ ，∴P（ ∈Z）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝
＋1－2× ＝ .
　
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9. 離散型隨機變量X的概率分布如下，x，y∈N，且x，y≤10.
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.1x 0.05 0.10 0.01y 0.40
則x＝ ，y＝ ，P（ ＜X＜ ）＝ .
解析：根據概率分布的性質知，0.20＋0.1x＋0.05＋0.10＋0.01y
＋0.40＝1，即10x＋y＝25.由x，y∈N且x，y≤10可解得x＝
2，y＝5，故P（ ＜X＜ ）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝
0.25.
2　
5　
0.25　
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10. （2024·鹽城月考）一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號分別為
1，2，3，4，5，6，現從中隨機取出3個球，以X表示取出的3個
球中的最大編號數.
（1）求X的概率分布；
解： 隨機變量X的可能取值為3，4，5，6，
P（X＝3）＝ ＝ ，P（X＝4）＝ ＝ ，
P（X＝5）＝ ＝ ，P（X＝6）＝ ＝ ，
所以隨機變量X的概率分布為
X 3 4 5 6
P
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（2）求X的取值不小于4的概率.
解： X的取值不小于4的概率P（X≥4）＝P（X＝
4）＋P（X＝5）＋P（X＝6）＝ ＋ ＋ ＝ .
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11. （2024·揚州質檢）隨機變量X的概率分布的規律為P（X＝n）
＝ （n＝1，2，3，4），其中a為常數，則P（X
＝ ）＝（　　）
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解析： 　由P（X＝n）＝ ＝ （ －
），可知P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝
4）＝1，即 （1－ ＋ － ＋ － ＋ － ）＝1，得a＝ .∴P
（X＝ ）＝P（X＝2）＝ ×（ － ）＝ .
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12. （多選）口袋中有大小、形狀都相同的4個紅球和n個白球，每次
從中摸1個球，然后放回口袋中.摸到紅球記2分，摸到白球記1分.
共摸球3次，設所得分數為隨機變量ξ.若P（ξ＝3）＝ ，則摸
球3次，隨機變量ξ的取值可能為（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
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解析： 　由題意知，摸到紅球的概率是P1＝ ，摸到白球
的概率是P2＝ ，而ξ＝3表示得3分，即表示3次摸到的都是白
球，所以（ ）3＝ ，解得n＝3，所以ξ的可能取值為3，4，
5，6，故選B、C、D.
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3
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解析：記“籠中還剩下k只果蠅”為事件Ak（k＝0，1，2，
3，…，6），當事件Ak發生時，共飛出（8－k）只蠅子，第8－k
只飛出的是蒼蠅，且在前7－k只飛出的蠅子中有1只是蒼蠅，所
以P（Ak）＝ ＝ ，故P（ξ≥2）＝1－P（ξ＝0）－P（ξ
＝1）＝1－P（A0）－P（A1）＝1－ － ＝ .
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14. 某大型水果超市每天以10元/千克的價格從水果基地購進若干
千克A水果，然后以15元/千克的價格出售，若有剩余，則將剩
余的水果以8元/千克的價格退回水果基地，為了確定進貨數
量，該超市記錄了A水果最近50天的日需求量（單位：千
克），整理如表所示：
日需求量 140 150 160 170 180 190 200
頻數 5 10 8 8 7 7 5
以50天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率.
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（1）求該超市A水果日需求量n（單位：千克）的概率分布；
解： n的概率分布為：
n 140 150 160 170 180 190 200
P 0.1 0.2 0.16 0.16 0.14 0.14 0.1
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（2）若該超市一天購進A水果150千克，記超市當天A水果獲得
的利潤為X（單位：元），求X的概率分布.
解： 若A水果日需求量為140千克，則X＝140×（15
－10）－（150－140）×（10－8）＝680（元），所以P
（X＝680）＝ ＝0.1.
若A水果日需求量不小于150千克，則X＝150×（15－10）
＝750（元），所以P（X＝750）＝1－0.1＝0.9.
則X的所有可能取值為680，750，
故X的概率分布為：
X 680 750
P 0.1 0.9
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15. （2024·鎮江月考）在一次購物抽獎活動中，假設某10張獎券中有
1張一等獎，可獲價值50元的獎品；有3張二等獎，每張可獲價值
10元的獎品；其余6張沒有獎.某顧客從這10張中任抽2張.求：
（1）該顧客中獎的概率；
解： 記顧客中獎為事件A，則P（A）＝ ＝
＝ ，即該顧客中獎的概率為 .
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（2）該顧客獲得的獎品總價值X（元）的概率分布.
解： X所有可能的取值為0，10，20，50，60，
且P（X＝0）＝ ＝ ，
P（X＝10）＝ ＝ ，
P（X＝20）＝ ＝ ，
P（X＝50）＝ ＝ ，
P（X＝60）＝ ＝ ，
故X的概率分布為：
X 0 10 20 50 60
P
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謝 謝 觀 看！

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