資源簡介

第2課時　離散型隨機變量的方差與標準差
1.下列說法中正確的是（　　）
A.離散型隨機變量X的均值E（X）反映了X取值的概率的平均值
B.離散型隨機變量X的方差D（X）反映了X取值的平均水平
C.離散型隨機變量X的均值E（X）反映了X取值的平均水平
D.離散型隨機變量X的方差D（X）反映了X取值的概率的平均值
2.已知隨機變量ξ的概率分布為P（ξ＝k）＝，k＝1，2，3，則D（3ξ＋5）＝（　　）
A.6 B.9
C.3 D.4
3.（2024·蘇州月考）以往的統計資料表明，甲、乙兩運動員在比賽中的得分情況為
X1（甲得分） 0 1 2
P（X1＝xi） 0.2 0.5 0.3
X2（乙得分） 0 1 2
P（X2＝xi） 0.3 0.3 0.4
現有一場比賽，派哪位運動員參加較好（　　）
A.甲 B.乙
C.甲、乙均可 D.無法確定
4.在鄭州舉行的第七屆全球跨境電子商務大會期間，小鄭同學購買了幾件商品，這些商品的價格如果按美元計，則平均數為30，方差為60.如果按人民幣計（匯率按1美元等于7元人民幣），則平均數和方差分別為（　　）
A.30，60 B.30，420
C.210，420 D.210，2 940
5.（2024·南通月考）設隨機變量ξ的概率分布為P（ξ＝k）＝pk（1－p）1－k（k＝0，1），則E（ξ），D（ξ）的值分別是（　　）
A.0和1 B.p和p2
C.p和1－p D.p和p（1－p）
6.（多選）袋內有大小完全相同的2個黑球和3個白球，從中不放回地每次任取1個小球，直至取到白球后停止取球，則（　　）
A.抽取2次后停止取球的概率為
B.停止取球時，取出的白球個數不少于黑球的概率為
C.取球次數ξ的均值為2
D.取球次數ξ的方差為
7.設X，Y為隨機變量，且E（X）＝2，E（X2）＝6，Y＝2X－1，則D（Y）＝　　　　.
8.（2024·鎮江月考）隨機變量ξ的取值為0，1，2，若P（ξ＝0）＝，E（ξ）＝1，則D（ξ）＝　　　　.
9.已知盒子中裝有n（n＞1，n∈N*）個一等品和2個二等品，從中任取2個產品（取到每個產品都是等可能的），用隨機變量X表示取到一等品的個數，X的概率分布如下表所示，則D（X）＝　　　　.
X 0 1 2
P a b
10.已知η的概率分布為
η 0 10 20 50 60
P
（1）求η的方差及標準差；
（2）設Y＝2η－E（η），求D（Y）.
11.（2024·鹽城質檢）已知隨機變量ξi，滿足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜，則（　　）
A.E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
B.E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C.E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
D.E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
12.某畢業生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的.記X為該畢業生得到面試的公司個數，若P（X＝0）＝，則隨機變量X的方差為　　　　.
13.（2024·宿遷質檢）某投資公司在2024年年初準備將1 000萬元投資到“低碳”項目上，現有兩個項目供選擇：
項目一：新能源汽車.據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發生的概率分別為和；
項目二：通信設備.據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利50%，可能虧損30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發生的概率分別為，和.
針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.
14.某旅游公司為三個旅游團提供了a，b，c，d四條旅游線路，每個旅游團可任選其中一條線路，則選擇a線路的旅游團數X的方差D（X）＝　　　　.
15.某商場經銷某商品，根據以往資料統計，顧客采用的付款期數ξ的概率分布為
ξ 1 2 3 4 5
P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
商場經銷一件該商品，顧客采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為300元；分4期或5期付款，其利潤為400元，η表示經銷一件該商品的利潤.
（1）求事件A：“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
（2）求η的概率分布、期望和方差.
第2課時　離散型隨機變量的方差與標準差
1.C　E（X）反映了X取值的平均水平，D（X）反映了X取值的離散程度.
2.A　由題可得，E（ξ）＝×（1＋2＋3）＝2，∴D（ξ）＝[（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）2]＝，D（3ξ＋5）＝32×D（ξ）＝6，故選A.
3.A　E（X1）＝E（X2）＝1.1，D（X1）＝（0－1.1）2×0.2＋（1－1.1）2×0.5＋（2－1.1）2×0.3＝0.49，D（X2）＝（0－1.1）2×0.3＋（1－1.1）2×0.3＋（2－1.1）2×0.4＝0.69，∴D（X1）＜D（X2），即甲比乙得分穩定，選甲參加較好.
4.D　由題意知這些商品的價格如果按人民幣計算，價格是按美元計算的價格的7倍，故按人民幣計，則平均數和方差分別為7×30＝210，72×60＝2 940.故選D.
5.D　由題可得，P（ξ＝0）＝1－p，P（ξ＝1）＝p，E（ξ）＝0×（1－p）＋1×p＝p，D（ξ）＝（1－p）2×p＋（0－p）2×（1－p）＝p（1－p），故選D.
6.BD　設取球次數為ξ，則ξ的可能取值為1，2，3，則P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝×＝，P（ξ＝3）＝×＝.對于A選項，抽取2次后停止取球的概率為P（ξ＝2）＝，A選項錯誤；對于B選項，停止取球時，取出的白球個數不少于黑球的概率為P（ξ＝1）＋P（ξ＝2）＝＋＝，B選項正確；對于C選項，取球次數ξ的均值為E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝，C選項錯誤；對于D選項，取球次數ξ的方差為D（ξ）＝（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝，D選項正確.
7.8　解析：由題意，D（X）＝E（X2）－（E（X））2＝6－4＝2，故D（Y）＝D（2X－1）＝22D（X）＝8.
8.　解析：設P（ξ＝1）＝p，則P（ξ＝2）＝－p，從而由E（ξ）＝0×＋1×p＋2×（－p）＝1，得p＝.故D（ξ）＝（0－1）2×＋（1－1）2×＋（2－1）2×＝.
9.　解析：由概率分布的性質可得a＋b＝ ，P（X＝1）＝＝，所以n＝2，又P（X＝0）＝＝＝a，所以b＝，進而可得E（X）＝＋2b＝1，故D（X）＝（0－1）2a＋（1－1）2×＋（2－1）2b＝a＋b＝.
10.解：（1）∵E（η）＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
∴D（η）＝（0－16）2×＋（10－16）2×＋（20－16）2×＋（50－16）2×＋（60－16）2×＝384.
∴η的標準差σ＝＝8.
（2）∵Y＝2η－E（η），
∴D（Y）＝D[2η－E（η）]＝22D（η）＝4×384＝1 536.
11.A　因為E（ξ1）＝p1，E（ξ2）＝p2，所以E（ξ1）＜E（ξ2）.又因為D（ξ1）＝p1（1－p1），D（ξ2）＝p2（1－p2），D（ξ1）－D（ξ2）＝（p1－p2）·（1－p1－p2）＜0，所以D（ξ1）＜D（ξ2），故選A.
12.　解析：由題意得P（X＝0）＝（1－p）（1－p）＝，解得p＝，所以P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故E（X）＝，所以D（X）＝02×＋12×＋22×＋32×－（）2＝.
13.解：若按“項目一”投資，設獲利X1萬元，
則X1的概率分布為
X1 300 －150
P
∴E（X1）＝300×＋（－150）×＝200（萬元）.
D（X1）＝（300－200）2×＋（－150－200）2×＝35 000，
若按“項目二”投資，設獲利X2萬元，則X2的概率分布為
X2 500 －300 0
P
∴E（X2）＝500×＋（－300）×＋0×＝200（萬元）.
D（X2）＝（500－200）2×＋（－300－200）2×＋（0－200）2×＝140 000，
∴E（X1）＝E（X2），D（X1）＜D（X2），
這說明雖然項目一、項目二獲利均值相等，但項目一更穩妥.
綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資.
14.　解析：由題意知X的可能取值有0，1，2，3，則P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.故E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝，D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝×＋×＋×＋×＝.
15.解：（1）∵A表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”，可知表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”，
∴P（）＝（1－0.2）3＝0.512，∴P（A）＝1－P（）＝1－0.512＝0.488.
（2）根據顧客采用的付款期數ξ的概率分布對應于η的可能取值為200元，300元，400元，得到η對應的事件的概率，
P（η＝200）＝P（ξ＝1）＝0.2，
P（η＝300）＝P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＝0.3＋0.3＝0.6，
P（η＝400）＝P（ξ＝4）＋P（ξ＝5）＝0.1＋0.1＝0.2，
故η的概率分布為
η 200 300 400
P 0.2 0.6 0.2
∴期望E（η）＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.
∴方差D（η）＝（200－300）2×0.2＋（300－300）2×0.6＋（400－300）2×0.2＝4 000.
2 / 2第2課時　離散型隨機變量的方差與標準差
新課程標準解讀 核心素養
1.通過具體實例，理解離散型隨機變量的方差及標準差的概念 數學抽象
2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題 數學建模、數學運算
3.掌握方差的性質以及方差的求法，會利用公式求方差 數學運算
　　學校舉行踢毽子大賽，某班要在甲、乙兩名同學中選出一名同學參加學校的決賽.若甲、乙兩名同學每分鐘踢毽子個數X，Y的概率分布分別為
X 90 100 110
P 0.1 0.8 0.1
Y 95 100 105
P 0.3 0.4 0.3
【問題】　（1）如何評價這兩名同學的技術水平？
（2）你認為應選擇哪名同學去參加比賽？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　離散型隨機變量的方差與標準差
1.方差：一般地，若離散型隨機變量X的概率分布如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
其中，pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1，則（xi－μ）2（μ＝E（X））描述了xi（i＝1，2，…，n）相對于均值μ的偏離程度，故（x1－μ）2p1＋（x2－μ）2p2＋…＋（xn－μ）2pn（其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1）刻畫了隨機變量X與其均值μ的平均偏離程度，我們將其稱為離散型隨機變量X的方差，記為D（X）或σ2，有時也記為Var（X）.即D（X）＝σ2＝　　　　　　　　　　　　.
方差也可用公式D（X）＝pi－μ2計算.
2.標準差：隨機變量X的方差也稱為X的概率分布的方差，X的方差D（X）的　　　　　稱為X的標準差，即σ＝.
提醒　（1）方差與標準差都刻畫了隨機變量X與其均值μ的平均偏離程度.一般來說D（X）越小，X的取值越穩定；（2）方差的性質：①D（X＋b）＝D（X）；②D（aX）＝a2D（X）；③D（aX＋b）＝a2D（X）；④D（X）＝E（X2）－（E（X））2.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩定.（　　）
（2）離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離于期望的平均程度.（　　）
（3）若隨機變量X服從兩點分布，且成功的概率p＝0.5，則D（X）＝0.25.（　　）
2.已知隨機變量X的概率分布為
X －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
則D（X）＝（　　）
A.0.7　　 B.0.61 C.－0.3　　 D.0
3.已知隨機變量X，D（X）＝，則X的標準差σ＝　　　　.
題型一 離散型隨機變量的方差、標準差
【例1】　（鏈接教科書第121頁例3）袋中有除顏色外其他都相同的6個小球，其中紅球2個、黃球4個，規定取1個紅球得2分，1個黃球得1分.從袋中任取3個小球，記所取3個小球的分數之和為X，求隨機變量X的方差、標準差.
通性通法
求離散型隨機變量X的方差、標準差的步驟
（1）理解X的意義，寫出X的可能取值；
（2）寫出X的概率分布；
（3）由均值的定義求出E（X）；
（4）利用公式D（X）＝（xi－E（X））2pi求出D（X）；
（5）代入公式σ＝求出隨機變量的標準差.
【跟蹤訓練】
　甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續投籃，否則由對方投籃.第一次由甲投籃，已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.在前3次投籃中，乙投籃的次數為ξ，求ξ的概率分布、期望和方差.
題型二 離散型隨機變量方差的性質
【例2】　已知隨機變量X的概率分布為：
X 0 1 x
P p
且E（X）＝.
（1）求D（X）的值；
（2）若Y＝3X－2，求的值.
通性通法
求隨機變量Y＝aX＋b方差的方法
　　求隨機變量Y＝aX＋b的方差，一種方法是先求Y的概率分布，再求其均值，最后求方差；另一種方法是應用公式D（aX＋b）＝a2D（X）求解.
【跟蹤訓練】
　（2024·徐州月考）已知隨機變量X的概率分布為
X －1 0 1
P
（1）求X的方差；
（2）若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.
題型三 方差的簡單應用
【例3】　（鏈接教科書第122頁例4）有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強度如下：
ξA 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
ξB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中，ξA，ξB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩定程度（哪一個的穩定性較好）.
通性通法
利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟
（1）比較均值：離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，因此，在實際決策問題中，需先計算均值，看誰的平均水平高；
（2）在均值相等的情況下計算方差：方差反映了離散型隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差，分析誰發揮相對穩定；
（3）下結論：依據均值和方差的意義作出結論.
【跟蹤訓練】
　（2024·南京月考）為了備戰2024年法國巴黎奧運會（第33屆夏季奧林匹克運動會），中國射擊隊女子50米氣步槍（三姿）隊甲、乙兩名運動員展開隊內對抗賽，比賽得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ與η，且ξ，η的概率分布為：
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
（1）求a，b的值；
（2）計算ξ，η的期望與方差，并以此分析甲、乙技術狀況.
1.有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數據，計算出樣本均值相等，方差分別為D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4.由此可以估計（　　）
A.甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊
B.乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊
C.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同
D.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較
2.已知離散型隨機變量X的概率分布如下表所示，則隨機變量X的方差D（X）＝（　　）
X 0 1
P m 2m
A.　　　B. C.　　　D.
3.（2024·常州月考）已知隨機變量X，且D（10X）＝，則X的標準差為　　　　.
4.編號為1，2，3的三名學生隨意入座編號為1，2，3的三個座位，每名學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生的人數是ξ，求E（ξ）和D（ξ）.
第2課時　離散型隨機變量的方差與標準差
【基礎知識·重落實】
知識點
1.（x1－μ）2p1＋（x2－μ）2p2＋…＋（xn－μ）2pn　2.算術平方根
自我診斷
1.（1）×　（2）√　（3）√
2.B　E（X）＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，∴D（X）＝（－1＋0.3）2×0.5＋（0＋0.3）2×0.3＋（1＋0.3）2×0.2＝0.61.
3.　解析：X的標準差σ＝＝＝.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：由題意可知，X的所有可能取值為5，4，3，
則P（X＝5）＝＝，P（X＝4）＝＝，
P（X＝3）＝＝.
故X的概率分布為
X 5 4 3
P
∴E（X）＝5×＋4×＋3×＝4.
∴D（X）＝（5－4）2×＋（4－4）2×＋（3－4）2×＝.∴σ＝＝＝.
跟蹤訓練
　解：乙投籃的次數ξ的可能取值為0，1，2.
則P（ξ＝0）＝×＝，
P（ξ＝1）＝×＋×＝，
P（ξ＝2）＝×＝.
故ξ的概率分布為
ξ 0 1 2
P
故E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝，
D（ξ）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＝.
【例2】　解：由概率分布的性質，得＋＋p＝1，解得p＝.
∵E（X）＝0×＋1×＋x＝，
∴x＝2.
（1）D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＝＝.
（2）∵Y＝3X－2，
∴D（Y）＝D（3X－2）＝9D（X）＝5，
∴＝.
跟蹤訓練
　解：（1）E（X）＝－1×＋0×＋1×＝－.
故D（X）＝（－1＋）2×＋（0＋）2×＋（1＋）2×＝.
（2）由（1）知E（X）＝－，D（X）＝，
所以E（Y）＝4E（X）＋3＝4×（－）＋3＝2，
D（Y）＝16D（X）＝11.
【例3】　解：E（ξA）＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.
E（ξB）＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.
D（ξA）＝0.1×（110－125）2＋0.2×（120－125）2＋0.4×（125－125）2＋0.1×（130－125）2＋0.2×（135－125）2＝50.
D（ξB）＝0.1×（100－125）2＋0.2×（115－125）2＋0.4×（125－125）2＋0.1×（130－125）2＋0.2×（145－125）2＝165.
由此可見E（ξA）＝E（ξB），D（ξA）＜D（ξB），
故兩種材料的抗拉強度的均值相等，其穩定程度材料乙明顯不如材料甲，即甲的穩定性較好.
跟蹤訓練
　解：（1）由離散型隨機變量概率分布的性質可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.
（2）E（ξ）＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E（η）＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D（ξ）＝（1－2.3）2×0.3＋（2－2.3）2×0.1＋（3－2.3）2×0.6＝0.81，
D（η）＝（1－2）2×0.3＋（2－2）2×0.4＋（3－2）2×0.3＝0.6.
由于E（ξ）＞E（η），說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但D（ξ）＞D（η），說明甲得分的穩定性不如乙，因此甲、乙兩人技術水平都不夠全面，各有優勢與劣勢.
隨堂檢測
1.B　∵D（X甲）＞D（X乙），∴乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊.
2.B　由題意可知m＋2m＝1，所以m＝，所以E（X）＝0×＋1×＝，所以D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＝.
3.　解析：由題意可知D（10X）＝，即100D（X）＝，∴D（X）＝，∴＝，即X的標準差為.
4.解：ξ的所有可能取值為0，1，3，
則P（ξ＝0）＝＝，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝.
所以ξ的概率分布為
ξ 0 1 3
P
E（ξ）＝0×＋1×＋3×＝1，
D（ξ）＝×（0－1）2＋×（1－1）2＋×（3－1）2＝1.
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第2課時　
離散型隨機變量的方差與標準差
新課程標準解讀 核心素養
1.通過具體實例，理解離散型隨機變量的方差
及標準差的概念 數學抽象
2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解
決一些實際問題 數學建模、數學運算
3.掌握方差的性質以及方差的求法，會利用公
式求方差 數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　學校舉行踢毽子大賽，某班要在甲、乙兩名同學中選出一名同學
參加學校的決賽.若甲、乙兩名同學每分鐘踢毽子個數X，Y的概率分
布分別為
X 90 100 110
P 0.1 0.8 0.1
Y 95 100 105
P 0.3 0.4 0.3
【問題】　（1）如何評價這兩名同學的技術水平？
（2）你認為應選擇哪名同學去參加比賽？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識點　離散型隨機變量的方差與標準差
1. 方差：一般地，若離散型隨機變量X的概率分布如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
其中，pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1，則（xi－
μ）2（μ＝E（X））描述了xi（i＝1，2，…，n）相對于均值
μ的偏離程度，故（x1－μ）2p1＋（x2－μ）2p2＋…＋（xn－
μ）2pn（其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1）刻
畫了隨機變量X與其均值μ的平均偏離程度，我們將其稱為離散型
隨機變量X的方差，記為D（X）或σ2，有時也記為Var（X）.即
D（X）＝σ2＝
.
方差也可用公式D（X）＝ pi－μ2計算.
（x1－μ）2p1＋（x2－μ）2p2＋…＋（xn－μ）
2pn　
2. 標準差：隨機變量X的方差也稱為X的概率分布的方差，X的方差
D（X）的 稱為X的標準差，即σ＝ .
提醒　（1）方差與標準差都刻畫了隨機變量X與其均值μ的平均
偏離程度.一般來說D（X）越小，X的取值越穩定；（2）方差的
性質：①D（X＋b）＝D（X）；②D（aX）＝a2D（X）；③
D（aX＋b）＝a2D（X）；④D（X）＝E（X2）－（E
（X））2.
算術平方根　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩定. （　×　）
（2）離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離于期望的平均程
度. （　√　）
（3）若隨機變量X服從兩點分布，且成功的概率p＝0.5，則D
（X）＝0.25. （　√　）
×
√
√
2. 已知隨機變量X的概率分布為
X －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
則D（X）＝（　　）
A. 0.7 B. 0.61
解析： 　E（X）＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，∴D
（X）＝（－1＋0.3）2×0.5＋（0＋0.3）2×0.3＋（1＋0.3）
2×0.2＝0.61.
C. －0.3 D. 0
3. 已知隨機變量X，D（X）＝ ，則X的標準差σ＝ 　 　.
解析：X的標準差σ＝ ＝ ＝ .
　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 離散型隨機變量的方差、標準差
【例1】　（鏈接教科書第121頁例3）袋中有除顏色外其他都相同的6
個小球，其中紅球2個、黃球4個，規定取1個紅球得2分，1個黃球得1
分.從袋中任取3個小球，記所取3個小球的分數之和為X，求隨機變
量X的方差、標準差.
解：由題意可知，X的所有可能取值為5，4，3，
則P（X＝5）＝ ＝ ，P（X＝4）＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ .
故X的概率分布為
X 5 4 3
P
∴E（X）＝5× ＋4× ＋3× ＝4.
∴D（X）＝（5－4）2× ＋（4－4）2× ＋（3－4）2× ＝ .∴σ
＝ ＝ ＝ .
通性通法
求離散型隨機變量X的方差、標準差的步驟
（1）理解X的意義，寫出X的可能取值；
（2）寫出X的概率分布；
（3）由均值的定義求出E（X）；
（4）利用公式D（X）＝ （xi－E（X））2pi求出D（X）；
（5）代入公式σ＝ 求出隨機變量的標準差.
【跟蹤訓練】
　甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續投籃，否則
由對方投籃.第一次由甲投籃，已知每次投籃甲、乙命中的概率分別
為 ， .在前3次投籃中，乙投籃的次數為ξ，求ξ的概率分布、期望和
方差.
解：乙投籃的次數ξ的可能取值為0，1，2.
則P（ξ＝0）＝ × ＝ ，
P（ξ＝1）＝ × ＋ × ＝ ，
P（ξ＝2）＝ × ＝ .
故ξ的概率分布為
ξ 0 1 2
P
故E（ξ）＝0× ＋1× ＋2× ＝ ，
D（ξ）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＝ .
題型二 離散型隨機變量方差的性質
【例2】　已知隨機變量X的概率分布為：
X 0 1 x
P p
且E（X）＝ .
（1）求D（X）的值；
（1）D（X）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－ ）2×
＝ ＝ .
解：由概率分布的性質，得 ＋ ＋p＝1，解得p＝ .
∵E（X）＝0× ＋1× ＋ x＝ ，
∴x＝2.
（2）若Y＝3X－2，求 的值.
解： ∵Y＝3X－2，
∴D（Y）＝D（3X－2）＝9D（X）＝5，
∴ ＝ .
通性通法
求隨機變量Y＝aX＋b方差的方法
　　求隨機變量Y＝aX＋b的方差，一種方法是先求Y的概率分布，
再求其均值，最后求方差；另一種方法是應用公式D（aX＋b）＝
a2D（X）求解.
【跟蹤訓練】
　（2024·徐州月考）已知隨機變量X的概率分布為
X －1 0 1
P
（1）求X的方差；
解： E（X）＝－1× ＋0× ＋1× ＝－ .
故D（X）＝（－1＋ ）2× ＋（0＋ ）2× ＋（1＋ ）2×
＝ .
（2）若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.
解： 由（1）知E（X）＝－ ，D（X）＝ ，
所以E（Y）＝4E（X）＋3＝4×（－ ）＋3＝2，
D（Y）＝16D（X）＝11.
題型三 方差的簡單應用
【例3】　（鏈接教科書第122頁例4）有甲、乙兩種建筑材料，從中
各取等量樣品檢查它們的抗拉強度如下：
ξA 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
ξB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中，ξA，ξB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強度，在使用時要求抗
拉強度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩定程度（哪一個
的穩定性較好）.
解：E（ξA）＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋
135×0.2＝125.
E（ξB）＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝
125.
D（ξA）＝0.1×（110－125）2＋0.2×（120－125）2＋0.4×（125
－125）2＋0.1×（130－125）2＋0.2×（135－125）2＝50.
D（ξB）＝0.1×（100－125）2＋0.2×（115－125）2＋0.4×（125
－125）2＋0.1×（130－125）2＋0.2×（145－125）2＝165.
由此可見E（ξA）＝E（ξB），D（ξA）＜D（ξB），
故兩種材料的抗拉強度的均值相等，其穩定程度材料乙明顯不如材料
甲，即甲的穩定性較好.
通性通法
利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟
（1）比較均值：離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值
的平均水平，因此，在實際決策問題中，需先計算均值，看誰
的平均水平高；
（2）在均值相等的情況下計算方差：方差反映了離散型隨機變量取
值的穩定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差，分析誰發
揮相對穩定；
（3）下結論：依據均值和方差的意義作出結論.
【跟蹤訓練】
　（2024·南京月考）為了備戰2024年法國巴黎奧運會（第33屆夏季
奧林匹克運動會），中國射擊隊女子50米氣步槍（三姿）隊甲、乙兩
名運動員展開隊內對抗賽，比賽得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ與
η，且ξ，η的概率分布為：
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
（1）求a，b的值；
解： 由離散型隨機變量概率分布的性質可知a＋0.1＋0.6
＝1，∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.
（2）計算ξ，η的期望與方差，并以此分析甲、乙技術狀況.
解： E（ξ）＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E（η）＝
1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D（ξ）＝（1－2.3）2×0.3＋（2－2.3）2×0.1＋（3－2.3）
2×0.6＝0.81，
D（η）＝（1－2）2×0.3＋（2－2）2×0.4＋（3－2）2×0.3
＝0.6.
由于E（ξ）＞E（η），說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙
高，但D（ξ）＞D（η），說明甲得分的穩定性不如乙，因此
甲、乙兩人技術水平都不夠全面，各有優勢與劣勢.
1. 有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數據，計算出樣本
均值相等，方差分別為D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4.由此可以
估計（　　）
A. 甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊
B. 乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊
C. 甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同
D. 甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較
解析： 　∵D（X甲）＞D（X乙），∴乙種水稻比甲種水稻分蘗
整齊.
2. 已知離散型隨機變量X的概率分布如下表所示，則隨機變量X的方
差D（X）＝（　　）
X 0 1
P m 2m
解析：由題意可知m＋2m＝1，所以m＝ ，所以E（X）＝0× ＋1× ＝ ，所以D（X）＝ × ＋ × ＝ .
3. （2024·常州月考）已知隨機變量X，且D（10X）＝ ，則X的
標準差為 .
解析：由題意可知D（10X）＝ ，即100D（X）＝ ，∴D
（X）＝ ，∴ ＝ ，即X的標準差為 .
　
解：ξ的所有可能取值為0，1，3，則P（ξ＝0）＝ ＝ ，
P（ξ＝1）＝ ＝ ，P（ξ＝3）＝ ＝ .
所以ξ的概率分布為
ξ 0 1 3
P
4. 編號為1，2，3的三名學生隨意入座編號為1，2，3的三個座位，每
名學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生的人數是ξ，求E
（ξ）和D（ξ）.
E（ξ）＝0× ＋1× ＋3× ＝1，
D（ξ）＝ ×（0－1）2＋ ×（1－1）2＋ ×（3－1）2＝1.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 下列說法中正確的是（　　）
A. 離散型隨機變量X的均值E（X）反映了X取值的概率的平均值
B. 離散型隨機變量X的方差D（X）反映了X取值的平均水平
C. 離散型隨機變量X的均值E（X）反映了X取值的平均水平
D. 離散型隨機變量X的方差D（X）反映了X取值的概率的平均值
解析： 　E（X）反映了X取值的平均水平，D（X）反映了X取
值的離散程度.
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2. 已知隨機變量ξ的概率分布為P（ξ＝k）＝ ，k＝1，2，3，則D
（3ξ＋5）＝（　　）
A. 6 B. 9
C. 3 D. 4
解析： 　由題可得，E（ξ）＝ ×（1＋2＋3）＝2，∴D（ξ）
＝ [（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）2]＝ ，D（3ξ＋5）＝
32×D（ξ）＝6，故選A.
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3. （2024·蘇州月考）以往的統計資料表明，甲、乙兩運動員在比賽
中的得分情況為
X1（甲得分） 0 1 2
P（X1＝xi） 0.2 0.5 0.3
X2（乙得分） 0 1 2
P（X2＝xi） 0.3 0.3 0.4
現有一場比賽，派哪位運動員參加較好（　　）
A. 甲 B. 乙
C. 甲、乙均可 D. 無法確定
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解析： 　E（X1）＝E（X2）＝1.1，D（X1）＝（0－1.1）
2×0.2＋（1－1.1）2×0.5＋（2－1.1）2×0.3＝0.49，D
（X2）＝（0－1.1）2×0.3＋（1－1.1）2×0.3＋（2－1.1）
2×0.4＝0.69，∴D（X1）＜D（X2），即甲比乙得分穩定，選
甲參加較好.
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4. 在鄭州舉行的第七屆全球跨境電子商務大會期間，小鄭同學購買了
幾件商品，這些商品的價格如果按美元計，則平均數為30，方差為
60.如果按人民幣計（匯率按1美元等于7元人民幣），則平均數和
方差分別為（　　）
A. 30，60 B. 30，420
C. 210，420 D. 210，2 940
解析： 　由題意知這些商品的價格如果按人民幣計算，價格是按
美元計算的價格的7倍，故按人民幣計，則平均數和方差分別為
7×30＝210，72×60＝2 940.故選D.
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5. （2024·南通月考）設隨機變量ξ的概率分布為P（ξ＝k）＝pk（1
－p）1－k（k＝0，1），則E（ξ），D（ξ）的值分別是（　　）
A. 0和1 B. p和p2
C. p和1－p D. p和p（1－p）
解析： 　由題可得，P（ξ＝0）＝1－p，P（ξ＝1）＝p，E
（ξ）＝0×（1－p）＋1×p＝p，D（ξ）＝（1－p）2×p＋（0
－p）2×（1－p）＝p（1－p），故選D.
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6. （多選）袋內有大小完全相同的2個黑球和3個白球，從中不放回地
每次任取1個小球，直至取到白球后停止取球，則（　　）
C. 取球次數ξ的均值為2
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解析： 　設取球次數為ξ，則ξ的可能取值為1，2，3，則P（ξ＝
1）＝ ，P（ξ＝2）＝ × ＝ ，P（ξ＝3）＝ × ＝ .對于A
選項，抽取2次后停止取球的概率為P（ξ＝2）＝ ，A選項錯
誤；對于B選項，停止取球時，取出的白球個數不少于黑球的概率
為P（ξ＝1）＋P（ξ＝2）＝ ＋ ＝ ，B選項正確；對于C選
項，取球次數ξ的均值為E（ξ）＝1× ＋2× ＋3× ＝ ，C選
項錯誤；對于D選項，取球次數ξ的方差為D（ξ）＝（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＋（3－ ）2× ＝ ，D選項正確.
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7. 設X，Y為隨機變量，且E（X）＝2，E（X2）＝6，Y＝2X－1，
則D（Y）＝ .
解析：由題意，D（X）＝E（X2）－（E（X））2＝6－4＝2，
故D（Y）＝D（2X－1）＝22D（X）＝8.
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8. （2024·鎮江月考）隨機變量ξ的取值為0，1，2，若P（ξ＝0）＝
，E（ξ）＝1，則D（ξ）＝ 　 　.
解析：設P（ξ＝1）＝p，則P（ξ＝2）＝ －p，從而由E（ξ）＝
0× ＋1×p＋2×（ －p）＝1，得p＝ .故D（ξ）＝（0－1）
2× ＋（1－1）2× ＋（2－1）2× ＝ .
　
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X 0 1 2
P a b
　
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解析：由概率分布的性質可得a＋b＝ ，P（X＝1）＝ ＝
，所以n＝2，又P（X＝0）＝ ＝ ＝a，所以b＝ ，進而可
得E（X）＝ ＋2b＝1，故D（X）＝（0－1）2a＋（1－1）2×
＋（2－1）2b＝a＋b＝ .
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10. 已知η的概率分布為
η 0 10 20 50 60
P
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（1）求η的方差及標準差；
解： ∵E（η）＝0× ＋10× ＋20× ＋50× ＋
60× ＝16，
∴D（η）＝（0－16）2× ＋（10－16）2× ＋（20－16）
2× ＋（50－16）2× ＋（60－16）2× ＝384.
∴η的標準差σ＝ ＝8 .
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（2）設Y＝2η－E（η），求D（Y）.
解： ∵Y＝2η－E（η），
∴D（Y）＝D[2η－E（η）]＝22D（η）＝4×384＝
1 536.
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11. （2024·鹽城質檢）已知隨機變量ξi，滿足P（ξi＝1）＝pi，P
（ξi＝0）＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜ ，則（　　）
A. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
B. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
D. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
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解析： 　因為E（ξ1）＝p1，E（ξ2）＝p2，所以E（ξ1）＜E
（ξ2）.又因為D（ξ1）＝p1（1－p1），D（ξ2）＝p2（1－
p2），D（ξ1）－D（ξ2）＝（p1－p2）·（1－p1－p2）＜0，所以
D（ξ1）＜D（ξ2），故選A.
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12. 某畢業生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個
人簡歷，假定該畢業生得到甲公司面試的概率為 ，得到乙、丙
公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的.
記X為該畢業生得到面試的公司個數，若P（X＝0）＝ ，則隨
機變量X的方差為 .
　
解析：由題意得P（X＝0）＝ （1－p）（1－p）＝ ，解得p
＝ ，所以P（X＝1）＝ ，P（X＝2）＝ ，P（X＝3）＝
，故E（X）＝ ，所以D（X）＝02× ＋12× ＋22× ＋
32× －（ ）2＝ .
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13. （2024·宿遷質檢）某投資公司在2024年年初準備將1 000萬元投
資到“低碳”項目上，現有兩個項目供選擇：
項目一：新能源汽車.據市場調研，投資到該項目上，到年底可能
獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發生的概率分別為 和
；
項目二：通信設備.據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲
利50%，可能虧損30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發生的
概率分別為 ， 和 .
針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，
并說明理由.
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解：若按“項目一”投資，設獲利X1萬元，則X1的概率分布為
X1 300 －150
P
∴E（X1）＝300× ＋（－150）× ＝200（萬元）.
D（X1）＝（300－200）2× ＋（－150－200）2× ＝35 000，
若按“項目二”投資，設獲利X2萬元，則X2的概率分布為
X2 500 －300 0
P
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∴E（X2）＝500× ＋（－300）× ＋0× ＝200（萬元）.
D（X2）＝（500－200）2× ＋（－300－200）2× ＋（0－
200）2× ＝140 000，
∴E（X1）＝E（X2），D（X1）＜D（X2），
這說明雖然項目一、項目二獲利均值相等，但項目一更穩妥.
綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資.
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14. 某旅游公司為三個旅游團提供了a，b，c，d四條旅游線路，每
個旅游團可任選其中一條線路，則選擇a線路的旅游團數X的方
差D（X）＝ .
　
解析：由題意知X的可能取值有0，1，2，3，則P（X＝0）＝
＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ，P
（X＝3）＝ ＝ .故E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3×
＝ ，D（X）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－ ）
2× ＋（3－ ）2× ＝ × ＋ × ＋ × ＋ × ＝
.
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15. 某商場經銷某商品，根據以往資料統計，顧客采用的付款期數ξ的
概率分布為
ξ 1 2 3 4 5
P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
商場經銷一件該商品，顧客采用1期付款，其利潤為200元；分2期
或3期付款，其利潤為300元；分4期或5期付款，其利潤為400元，
η表示經銷一件該商品的利潤.
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（1）求事件A：“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付
款”的概率P（A）；
解： ∵A表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1
位采用1期付款”，可知 表示事件“購買該商品的3位顧客
中無人采用1期付款”，
∴P（ ）＝（1－0.2）3＝0.512，∴P（A）＝1－P
（ ）＝1－0.512＝0.488.
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（2）求η的概率分布、期望和方差.
解： 根據顧客采用的付款期數ξ的概率分布對應于η
的可能取值為200元，300元，400元，得到η對應的事件
的概率，
P（η＝200）＝P（ξ＝1）＝0.2，
P（η＝300）＝P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＝0.3＋0.3＝
0.6，
P（η＝400）＝P（ξ＝4）＋P（ξ＝5）＝0.1＋0.1＝
0.2，
故η的概率分布為
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η 200 300 400
P 0.2 0.6 0.2
∴期望E（η）＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.
∴方差D（η）＝（200－300）2×0.2＋（300－300）
2×0.6＋（400－300）2×0.2＝4 000.
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