資源簡介

8.2.4　超幾何分布
1.下列關于超幾何分布的說法錯誤的是（　　）
A.超幾何分布的模型是不放回抽樣
B.超幾何分布的總體里可以只有一類物品
C.超幾何分布中的參數是N，M，n
D.超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成
2.設袋中有80個紅球，20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率為（　　）
A.　　　　　　　 B.
C. D.
3.有N件產品，其中有M件次品，從中不放回地抽n件產品，抽到的次品數的數學期望值是（　　）
A.N B.（n－1）
C.n D.（n＋1）
4.（2024·南京月考）已知某10件產品中含有次品，從這10件產品中抽取2件進行檢查，其次品數為ξ.若P（ξ＝1）＝，且該產品的次品率不超過40%，則這10件產品的次品率為（　　）
A.10% B.20%
C.30% D.40%
5.（多選）某人參加一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的5道.現從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試，規定至少答對2道題才算合格，則下列說法正確的是（　　）
A.答對0道題和答對3道題的概率相同，都為
B.答對1道題的概率為
C.答對2道題的概率為
D.合格的概率為
6.（多選）在一個袋中裝有質地大小一樣的6個黑球、4個白球，現從中任取4個小球，設取出的4個小球中白球的個數為X，則下列結論中正確的是（　　）
A.P（X＝1）＝
B.隨機變量X服從二項分布
C.隨機變量X服從超幾何分布
D.E（X）＝
7.學校要從12名候選人中選4名同學組成學生會，已知有4名候選人來自甲班.假設每名候選人都有相同的機會被選到，則甲班恰有2名同學被選到的概率為　　　　.
8.（2024·無錫月考）學校要從5名男教師和2名女教師中隨機選出3人去支教，設抽取的人中女教師的人數為X，則P（X≤1）＝　　　　.
9.某科研合作項目成員由11個美國人、4個法國人和5個中國人組成.現從中隨機選出兩位作為成果發布人，則此兩人不屬于同一國家的概率為　　　　.
10.從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動.
（1）求所選3人中恰有一名男生的概率；
（2）求所選3人中男生人數X的概率分布.
11.（2024·徐州月考）《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數之源，其中河圖排列結構是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數，黑點為陰數.若從這10個數中任取3個數，則這3個數中至多有1個陰數的概率為（　　）
A. B.
C. D.
12.（多選）2024年夏季奧運會在法國巴黎舉辦，為了弘揚奧林匹克精神，某市多所中小學開展了奧運會項目科普活動.為了調查學生對奧運會項目的了解情況，在該市中小學中隨機抽取了10所學校中的部分同學，10所學校中了解奧運會項目的人數如圖所示.
若從這10所學校中隨機選取3所學校進行奧運會項目的宣講活動，記X為被選中的學校中了解奧運會項目的人數在30以上的學校數，則下列說法中正確的是（　　）
A.X的可能取值為0，1，2，3
B.P（X＝0）＝
C.E（X）＝
D.D（X）＝
13.把半圓弧分成4等份，以這些分點（包括直徑的兩端點）為頂點，作出三角形，從中任取3個不同的三角形，則這3個不同的三角形中鈍角三角形的個數X不少于2的概率為　　　　.
14.（2024·蘇州月考）甲、乙去某公司應聘面試.該公司的面試方案為：應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照答對題目的個數為標準進行篩選.已知6道備選題中應聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響.
（1）分別求甲、乙兩人正確完成面試題數的概率分布，并計算其均值；
（2）請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性較大？
15.（2024·鎮江質檢）在袋子中裝有10個大小相同的小球，其中黑球有3個，白球有n（2≤n≤5，n∈N且n≠3）個，其余的球為紅球.
（1）若n＝5，從袋中任取1個球，記下顏色后放回，連續取三次，求三次取出的球中恰有2個紅球的概率；
（2）從袋中任取2個球，如果這2個球的顏色相同的概率是，求紅球的個數；
（3）在（2）的條件下，從袋中任取2個球.若取出1個白球記1分，取出1個黑球記2分，取出1個紅球記3分，用ξ表示取出的2個球所得分數的和，寫出ξ的概率分布，并求ξ的數學期望E（ξ）.
8.2.4　超幾何分布
1.B　由超幾何分布的定義，可知超幾何分布模型為不放回抽樣，故A正確；超幾何分布實質上就是有總數為N件的兩類物品，其中一類有M（M≤N）件，從所有物品中任取n（n≤N）件，這n件中所含這類物品的件數X是一個離散型隨機變量，它取值為r時的概率為P（X＝r）＝，故B錯誤，C、D正確.
2.D　若隨機變量X表示任取10個球中紅球的個數，則X服從參數為N＝100，M＝80，n＝10的超幾何分布.任取10個球中恰有6個紅球，即X＝6，P（X＝6）＝（注意袋中球的個數為80＋20＝100）.
3.C　設抽到的次品數為X，則有N件產品，其中有M件次品，從中不放回地抽n件產品，抽到的次品數X服從超幾何分布，∴抽到的次品數的數學期望值E（X）＝，故選C.
4.B　設這10件產品中有n件次品，則P（ξ＝1）＝＝，即n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8.又該產品的次品率不超過40%，所以n≤4，所以n＝2，所以這10件產品的次品率為×100%＝20%.故選B.
5.CD　對于A，答對0道題的概率為P0＝＝，答對3道題的概率為P3＝＝，故A錯誤；對于B，答對1道題的概率為P1＝＝，故B錯誤；對于C，答對2道題的概率為P2＝＝，故C正確；對于D，合格的概率為P＝＋＝，故D正確.
6.ACD　由題意知隨機變量X服從超幾何分布，故B錯誤，C正確.X的取值分別為0，1，2，3，4，則P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝.
法一　E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
法二　X服從超幾何分布，且參數分別為N＝6＋4＝10，M＝4，n＝4，則E（X）＝＝.故A、D正確.故選A、C、D.
7.　解析：設甲班恰有X人被選到，則X～H（4，4，12），則P（X＝2）＝＝.
8.　解析：由題意知，X服從參數為N＝7，n＝3，M＝2的超幾何分布，因此P（X≤1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋＝.
9.　解析：成員有11＋4＋5＝20（人），從中任選2人的不同選法有種，其中不屬于同一國家的有＋＋種，根據等可能性事件發生的概率計算公式，可得所求概率為P＝＝.
10.解：（1）所選3人中恰有一名男生的概率P＝＝.
（2）X的可能取值為0，1，2，3.
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.
∴X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
11.A　由題意知，10個數中，1，3，5，7，9為陽數，2，4，6，8，10為陰數，若任取的3個數中有0個陰數，則概率為＝；若任取的3個數中有1個陰數，則概率為＝，故這3個數中至多有1個陰數的概率為P＝＋＝.故選A.
12.ACD　由題意可得X的可能取值為0，1，2，3，故A正確；分析可得X服從超幾何分布，其分布列為P（X＝k）＝（k＝0，1，2，3），則P（X＝0）＝＝，故B錯誤；E（X）＝＝，故C正確；D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝，故D正確.
13.　解析：如圖所示，設AB為半圓弧的直徑，C，D，E為半圓弧另外的三個四等分點，從A，B，C，D，E這5個點中任取3個點構成三角形，一共能組成三角形的個數為＝10.其中直角三角形有：△ABC、△ABD、△ABE，共3個，鈍角三角形的個數為10－3＝7，由題意可知X∈{0，1，2，3}，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，因此，所求概率為P＝＝.
14.解：（1）設X為甲正確完成面試題的數量，Y為乙正確完成面試題的數量，
由題意可得X服從超幾何分布，
且N＝6，M＝4，n＝3，X的可能取值為1，2，3，
∵P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
∴X的概率分布為
X 1 2 3
P
∴E（X）＝1×＋2×＋3×＝2.
由題意可得Y～B（3，），
∴P（Y＝0）＝×（）0×（）3＝，
P（Y＝1）＝×（）1×（）2＝＝，
P（Y＝2）＝×（）2×（）1＝＝，
P（Y＝3）＝×（）3×（）0＝，
∴Y的概率分布為
Y 0 1 2 3
P
∴E（Y）＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
（2）D（X）＝（1－2）2×＋（2－2）2×＋（3－2）2×＝，
D（Y）＝np（1－p）＝3××＝，
∵D（X）＜D（Y），E（X）＝E（Y），
∴甲發揮的穩定性更強，則甲通過面試的可能性較大.
15.解：（1）設“從袋中任取1個球為紅球”為事件A，則P（A）＝，所以三次取出的球中恰有2個紅球的概率為P＝×（）2×＝.
（2）設“從袋里任意取出2個球，球的顏色相同”為事件B，則
P（B）＝
＝＝，
整理得n2－7n＋12＝0，解得n＝3（舍）或n＝4，
所以紅球的個數為10－3－4＝3.
（3）ξ的可能取值為2，3，4，5，6，
P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝，
P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，
P（ξ＝6）＝＝，
所以ξ的概率分布為
ξ 2 3 4 5 6
P
所以E（ξ）＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.
2 / 38.2.4　超幾何分布
新課程標準解讀 核心素養
1.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值 數學抽象
2.能用超幾何分布解決簡單的實際問題 數學建模、數學運算
　　某學校實行自主招生，參加自主招生的學生從8個試題中隨機挑選4個進行作答，至少答對3個才能通過初試，已知在這8個試題中甲能答對6個.
【問題】　如何求出甲通過自主招生初試的概率？若記甲答對試題的個數為X，那么如何構建適當的概率模型刻畫其分布？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　超幾何分布
1.超幾何分布
（1）概念：一般地，若一個隨機變量X的分布列為P（X＝r）＝，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，r＝m，m＋1，m＋2，…，l，m＝max{0，n－N＋M}，l＝min{n，M}，則稱X服從超幾何分布；
（2）記法：X服從超幾何分布，記為　　　　　，并將P（X＝r）＝　　　　記為H（r；n，M，N）；
（3）在H（r；n，M，N）中，r，n，M，N的含義：
提醒　超幾何分布的特點：①不放回抽樣；②考察對象分兩類；③實質是古典概型.
2.超幾何分布的均值
當X～H（n，M，N）時，E（X）＝kPk＝　　　　（其中l＝min{n，M}）.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）超幾何分布是不放回抽樣.（　　）
（2）超幾何分布的總體只有兩類個體.（　　）
（3）超幾何分布與二項分布的均值相同.（　　）
（4）超幾何分布與二項分布沒有任何聯系.（　　）
2.在15個村莊中有7個村莊交通不方便，用X表示任選10個村莊中交通不方便的村莊數，則X服從超幾何分布，其參數為（　　）
A.N＝15，M＝7，n＝10 B.N＝15，M＝10，n＝7
C.N＝22，M＝10，n＝7 D.N＝22，M＝7，n＝10
3.袋中有10個球，其中7個是紅球，3個是白球，任意取出3個，這3個都是紅球的概率是（　　）
A. B.
C. D.
題型一 超幾何分布的辨析
【例1】　下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，并說明理由：
（1）拋擲三枚骰子，所得向上的數是6的骰子的個數記為X，求X的分布列；
（2）有一批種子的發芽率為70%，任取10顆種子做發芽實驗，把實驗中發芽的種子的個數記為X，求X的分布列；
（3）盒子中有紅球3只，黃球4只，藍球5只，任取3只球，把不是紅球的個數記為X，求X的分布列.
通性通法
判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布的方法
（1）總體是否分為兩類明確的對象；
（2）是否為不放回抽樣；
（3）隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數.
【跟蹤訓練】
　（多選）下列隨機變量中，服從超幾何分布的有（　　）
A.在10件產品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數為X
B.從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數
C.一名學生騎自行車上學，途中有6個交通崗，記此學生遇到紅燈的次數為隨機變量X
D.從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動，其中男生人數記為X
題型二 超幾何分布的概率
【例2】　（鏈接教科書第131頁例1）某校高三年級某班的數學課外活動小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數學競賽考試，用X表示其中男生的人數.求至少有2名男生參加數學競賽的概率.
通性通法
　　超幾何分布的概率計算公式給出了求解這類問題的方法，可以直接運用公式求解，但是不能機械地記憶公式，要在理解公式意義的前提下進行記憶.
【跟蹤訓練】
　在某年級的聯歡會上設計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同.一次從中摸出5個球，至少摸到3個紅球就中獎，求中獎的概率.
題型三 超幾何分布的概率分布
【例3】　（鏈接教科書第132頁練習1題）一個袋中裝有6個形狀、大小完全相同的小球，其中紅球有3個，編號為1，2，3；黑球有2個，編號為1，2；白球有1個，編號為1.現從袋中一次隨機抽取3個球，記取得1號球的個數為隨機變量X，求隨機變量X的概率分布.
【母題探究】
1.（變設問）在本例條件下，若記取到白球的個數為隨機變量η，求隨機變量η的概率分布.
2.（變條件）將本例的條件“一次隨機抽取3個球”改為“有放回地抽取3次，每次抽取1個球”，其他條件不變，結果又如何？
通性通法
1.求超幾何分布的概率分布的步驟
2.二項分布與超幾何分布的區別與聯系
區別 （1）二項分布不需要知道總體容量，超幾何分布需要； （2）二項分布是“有放回”抽取（獨立重復），超幾何分布是“不放回”抽取
聯系 在n次不放回試驗中，如果總體數量N很大，而試驗次數n很小，那么此時超幾何分布可以近似為二項分布
【跟蹤訓練】
　（2024·南通月考）端午節吃粽子是我國的傳統習俗，一盤中有8個粽子，其中豆沙粽2個，蜜棗粽6個，這兩種粽子的外觀完全相同，從中隨機取出3個.
（1）求既有豆沙粽又有蜜棗粽的概率；
（2）設X表示取到豆沙粽的個數，求隨機變量X的概率分布.
題型四 超幾何分布的均值與方差
【例4】　（鏈接教科書第131頁例2）某大學志愿者協會有6名男同學，4名女同學.在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院.現從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動（每位同學被選到的可能性相同）.
（1）求選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率；
（2）設X為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量X的概率分布及均值.
通性通法
求超幾何分布的均值與方差的步驟
（1）先判斷隨機變量是否服從超幾何分布，若服從，則找出參數N，M，n的值；
（2）利用公式P（X＝r）＝，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，r＝m，m＋1，m＋2，…，l，m＝max{0，n－N＋M}，l＝min{n，M}求出分布列；
（3）利用均值與方差的定義求出均值E（X）和方差D（X），也可應用E（X）＝＝np求均值.
【跟蹤訓練】
　（2024·鹽城月考）在10件產品中有2件次品，連續抽3次，每次抽1件，求：
（1）不放回抽樣時，抽取次品數X的均值；
（2）放回抽樣時，抽取次品數Y的均值與方差.
1.（多選）一個袋中有3個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，還有2個同樣大小的白球，編號為4，5，現從中任取2個球，下列變量服從超幾何分布的是（　　）
A.X表示取出的最大號碼
B.X表示取出的兩個號碼的差的絕對值
C.取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的2個球的總得分
D.X表示取出的黑球個數
2.盒中有4個白球，5個紅球，從中任取3個球，則恰好取出2個紅球的概率是（　　）
A.　 　 B. C.　 　 D.
3.（2024·揚州月考）某12人的興趣小組中，有5名“三好學生”，現從中任意選6人參加競賽，用X表示這6人中“三好學生”的人數，則當X取　　　　時，對應的概率為.
4.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量X表示所選3人中女生的人數，求X的均值.
8.2.4　超幾何分布
【基礎知識·重落實】
知識點
1.（2）X～H（n，M，N）　　2.
自我診斷
1.（1）√　（2）√　（3）√　（4）×
2.A　由超幾何分布的概念可知A正確.
3.B　取出的紅球的個數服從超幾何分布，故P＝＝.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）（2）中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復試驗問題.
（3）符合超幾何分布的特征，樣本分為兩類，隨機變量X表示抽取n件樣本某類樣本被抽取的件數，是超幾何分布.
跟蹤訓練
　ABD　依據超幾何分布模型定義可知，A、B、D中隨機變量X服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個不放回抽樣問題，故隨機變量X不服從超幾何分布.
【例2】　解：依題意，得隨機變量X服從超幾何分布，且N＝10，M＝6，n＝4，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝，
∴P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋＋＝.
跟蹤訓練
　解：設摸出紅球的個數為X，
由題意得X～H（5，10，30），
則中獎的概率為P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝5）＝＋＋
≈0.159 99＋0.029 47＋0.001 77＝0.191 23.
【例3】　解：由題意知X＝0，1，2，3.
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.
所以X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
母題探究
1.解：由題意可知η＝0，1，服從兩點分布.又P（η＝1）＝＝，所以η的概率分布為
η 0 1
P
2.解：由題意知，X服從二項分布，
則X～B（3，），由P（X＝k）＝（1－）3－k·（）k求出各式概率，
所以X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
跟蹤訓練
　解：（1）依題意，既有豆沙粽又有蜜棗粽的概率為＝.
（2）X的可能取值為0，1，2，
則P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，
所以X的概率分布為
X 0 1 2
P
【例4】　解：（1）設“選出的3名同學是來自互不相同的學院”為事件A，則P（A）＝＝.
所以選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率為.
（2）依據條件，隨機變量X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且隨機變量X的可能取值為0，1，2，3.
P（X＝r）＝（r＝0，1，2，3），
所以X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
所以隨機變量X的均值E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝（或E（X）＝＝）.
跟蹤訓練
　解：（1）法一　由題意知X的可能取值為0，1，2.
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝.
∴隨機變量X的概率分布為
X 0 1 2
P
E（X）＝0×＋1×＋2×＝.
法二　由題意知P（X＝r）＝，r＝0，1，2，
∴隨機變量X服從超幾何分布，
n＝3，M＝2，N＝10，
∴E（X）＝＝＝.
（2）由題意知，抽取1次取到次品的概率為＝，
隨機變量Y服從二項分布Y～B（3，），
∴E（Y）＝3×＝，
D（Y）＝3××（1－）＝.
隨堂檢測
1.CD　A，B中的變量不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數學模型計算概率，即A，B中的變量不服從超幾何分布；C、D中的變量符合超幾何分布的定義，將黑球視作次品，白球視作正品，則可以用超幾何分布的數學模型計算概率，故選C、D.
2.C　設取出紅球的個數為X，易知X服從超幾何分布.∴P（X＝2）＝＝，故選C.
3.3　解析：由題意可知，X服從超幾何分布，由概率值中的可以看出“從5名三好學生中選取了3名”.
4.解：由題意，X的可能取值為0，1，2，
P（X＝r）＝，r＝0，1，2.
X的概率分布為
X 0 1 2
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＝1.
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8.2.4　超幾何分布
新課程標準解讀 核心素養
1.通過具體實例，了解超幾何分布及
其均值 數學抽象
2.能用超幾何分布解決簡單的實際問題 數學建模、數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　某學校實行自主招生，參加自主招生的學生從8個試題中隨機挑
選4個進行作答，至少答對3個才能通過初試，已知在這8個試題中甲
能答對6個.
【問題】　如何求出甲通過自主招生初試的概率？若記甲答對試題的
個數為X，那么如何構建適當的概率模型刻畫其分布？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識點　超幾何分布
1. 超幾何分布
（1）概念：一般地，若一個隨機變量X的分布列為P（X＝r）＝
，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，r＝m，m
＋1，m＋2，…，l，m＝max{0，n－N＋M}，l＝
min{n，M}，則稱X服從超幾何分布；
（2）記法：X服從超幾何分布，記為 ，
并將P（X＝r）＝ 記為H（r；n，M，N）；
X～H（n，M，N）　
　
（3）在H（r；n，M，N）中，r，n，M，N的含義：
提醒　超幾何分布的特點：①不放回抽樣；②考察對象分兩
類；③實質是古典概型.
2. 超幾何分布的均值
當X～H（n，M，N）時，E（X）＝ kPk＝ （其中l
＝min{n，M}）.
　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）超幾何分布是不放回抽樣. （　√　）
（2）超幾何分布的總體只有兩類個體. （　√　）
（3）超幾何分布與二項分布的均值相同. （　√　）
（4）超幾何分布與二項分布沒有任何聯系. （　×　）
√
√
√
×
2. 在15個村莊中有7個村莊交通不方便，用X表示任選10個村莊中交
通不方便的村莊數，則X服從超幾何分布，其參數為（　　）
A. N＝15，M＝7，n＝10 B. N＝15，M＝10，n＝7
C. N＝22，M＝10，n＝7 D. N＝22，M＝7，n＝10
解析： 　由超幾何分布的概念可知A正確.
3. 袋中有10個球，其中7個是紅球，3個是白球，任意取出3個，這3個
都是紅球的概率是（　　）
解析： 　取出的紅球的個數服從超幾何分布，故P＝ ＝ .
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 超幾何分布的辨析
【例1】　下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，并說明理由：
（1）拋擲三枚骰子，所得向上的數是6的骰子的個數記為X，求X的
分布列；
解： （1） （2）中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復試驗問題.
（2）有一批種子的發芽率為70%，任取10顆種子做發芽實驗，把實
驗中發芽的種子的個數記為X，求X的分布列；
（3）盒子中有紅球3只，黃球4只，藍球5只，任取3只球，把不是紅
球的個數記為X，求X的分布列.
解： 符合超幾何分布的特征，樣本分為兩類，隨機變量X
表示抽取n件樣本某類樣本被抽取的件數，是超幾何分布.
通性通法
判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布的方法
（1）總體是否分為兩類明確的對象；
（2）是否為不放回抽樣；
（3）隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數.
【跟蹤訓練】
　（多選）下列隨機變量中，服從超幾何分布的有（　　）
A. 在10件產品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數為X
B. 從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數
C. 一名學生騎自行車上學，途中有6個交通崗，記此學生遇到紅燈的次數為隨機變量X
D. 從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動，其中男生人數記為X
解析： 　依據超幾何分布模型定義可知，A、B、D中隨機變量X
服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個不放回抽樣問題，故隨機變
量X不服從超幾何分布.
題型二 超幾何分布的概率
【例2】　（鏈接教科書第131頁例1）某校高三年級某班的數學課外
活動小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數學競賽考試，
用X表示其中男生的人數.求至少有2名男生參加數學競賽的概率.
解：依題意，得隨機變量X服從超幾何分布，且N＝10，M＝6，n
＝4，
P（X＝2）＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ ，
P（X＝4）＝ ＝ ，
∴P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝ ＋ ＋
＝ .
通性通法
　　超幾何分布的概率計算公式給出了求解這類問題的方法，可以直
接運用公式求解，但是不能機械地記憶公式，要在理解公式意義的前
提下進行記憶.
【跟蹤訓練】
　在某年級的聯歡會上設計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個
紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同.一次從中摸出5個球，至
少摸到3個紅球就中獎，求中獎的概率.
解：設摸出紅球的個數為X，
由題意得X～H（5，10，30），
則中獎的概率為P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝
5）＝ ＋ ＋
≈0.159 99＋0.029 47＋0.001 77＝0.191 23.
題型三 超幾何分布的概率分布
【例3】　（鏈接教科書第132頁練習1題）一個袋中裝有6個形狀、大
小完全相同的小球，其中紅球有3個，編號為1，2，3；黑球有2個，
編號為1，2；白球有1個，編號為1.現從袋中一次隨機抽取3個球，記
取得1號球的個數為隨機變量X，求隨機變量X的概率分布.
解：由題意知X＝0，1，2，3.
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ .
所以X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
【母題探究】
1. （變設問）在本例條件下，若記取到白球的個數為隨機變量η，求
隨機變量η的概率分布.
解：由題意可知η＝0，1，服從兩點分布.又P（η＝1）＝ ＝ ，
所以η的概率分布為
η 0 1
P
2. （變條件）將本例的條件“一次隨機抽取3個球”改為“有放回地
抽取3次，每次抽取1個球”，其他條件不變，結果又如何？
解：由題意知，X服從二項分布，
則X～B（3， ），由P（X＝k）＝ （1－ ）3－k·（ ）k求出
各式概率，
所以X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
通性通法
1. 求超幾何分布的概率分布的步驟
2. 二項分布與超幾何分布的區別與聯系
區別 （1）二項分布不需要知道總體容量，超幾何分布需要；
（2）二項分布是“有放回”抽取（獨立重復），超幾何
分布是“不放回”抽取
聯系 在n次不放回試驗中，如果總體數量N很大，而試驗次數
n很小，那么此時超幾何分布可以近似為二項分布
【跟蹤訓練】
　（2024·南通月考）端午節吃粽子是我國的傳統習俗，一盤中有8個
粽子，其中豆沙粽2個，蜜棗粽6個，這兩種粽子的外觀完全相同，從
中隨機取出3個.
（1）求既有豆沙粽又有蜜棗粽的概率；
解： 依題意，既有豆沙粽又有蜜棗粽的概率為
＝ .
（2）設X表示取到豆沙粽的個數，求隨機變量X的概率分布.
解： X的可能取值為0，1，2，
則P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝
2）＝ ＝ ，
所以X的概率分布為
X 0 1 2
P
題型四 超幾何分布的均值與方差
【例4】　（鏈接教科書第131頁例2）某大學志愿者協會有6名男同
學，4名女同學.在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同
學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院.現從這10名同學中隨
機選取3名同學，到希望小學進行支教活動（每位同學被選到的可能
性相同）.
（1）求選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率；
解： 設“選出的3名同學是來自互不相同的學院”為事件
A，則P（A）＝ ＝ .
所以選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率為 .
（2）設X為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量X的概率分
布及均值.
解： 依據條件，隨機變量X服從超幾何分布，其中N＝
10，M＝4，n＝3，且隨機變量X的可能取值為0，1，2，3.
P（X＝r）＝ （r＝0，1，2，3），
所以X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
所以隨機變量X的均值E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3×
＝ （或E（X）＝ ＝ ）.
通性通法
求超幾何分布的均值與方差的步驟
（1）先判斷隨機變量是否服從超幾何分布，若服從，則找出參數
N，M，n的值；
（2）利用公式P（X＝r）＝ ，n，N，M∈N*，M≤N，
n≤N，r＝m，m＋1，m＋2，…，l，m＝max{0，n－N＋
M}，l＝min{n，M}求出分布列；
（3）利用均值與方差的定義求出均值E（X）和方差D（X），也可
應用E（X）＝ ＝np求均值.
【跟蹤訓練】
　（2024·鹽城月考）在10件產品中有2件次品，連續抽3次，每次抽1
件，求：
（1）不放回抽樣時，抽取次品數X的均值；
解： 法一　由題意知X的可能取值為0，1，2.
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ .∴隨機變量X的概率分布為
X 0 1 2
P
E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
法二　由題意知P（X＝r）＝ ，r＝0，1，2，
∴隨機變量X服從超幾何分布，
n＝3，M＝2，N＝10，
∴E（X）＝ ＝ ＝ .
（2）放回抽樣時，抽取次品數Y的均值與方差.
解：由題意知，抽取1次取到次品的概率為 ＝ ，
隨機變量Y服從二項分布Y～B（3， ），
∴E（Y）＝3× ＝ ，
D（Y）＝3× ×（1－ ）＝ .
1. （多選）一個袋中有3個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，還有2
個同樣大小的白球，編號為4，5，現從中任取2個球，下列變量服
從超幾何分布的是（　　）
A. X表示取出的最大號碼
B. X表示取出的兩個號碼的差的絕對值
C. 取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的2個球的
總得分
D. X表示取出的黑球個數
解析： 　A，B中的變量不符合超幾何分布的定義，無法用
超幾何分布的數學模型計算概率，即A，B中的變量不服從超幾
何分布；C、D中的變量符合超幾何分布的定義，將黑球視作次
品，白球視作正品，則可以用超幾何分布的數學模型計算概
率，故選C、D.
2. 盒中有4個白球，5個紅球，從中任取3個球，則恰好取出2個紅球的
概率是（　　）
解析： 　設取出紅球的個數為X，易知X服從超幾何分布.∴P
（X＝2）＝ ＝ ，故選C.
3. （2024·揚州月考）某12人的興趣小組中，有5名“三好學生”，現
從中任意選6人參加競賽，用X表示這6人中“三好學生”的人數，
則當X取 時，對應的概率為 .
解析：由題意可知，X服從超幾何分布，由概率值中的 可以看
出“從5名三好學生中選取了3名”.
3　
4. 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量X表示
所選3人中女生的人數，求X的均值.
解：由題意，X的可能取值為0，1，2，
P（X＝r）＝ ，r＝0，1，2.
X的概率分布為
X 0 1 2
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝1.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 下列關于超幾何分布的說法錯誤的是（　　）
A. 超幾何分布的模型是不放回抽樣
B. 超幾何分布的總體里可以只有一類物品
C. 超幾何分布中的參數是N，M，n
D. 超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成
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解析： 由超幾何分布的定義，可知超幾何分布模型為不放回抽
樣，故A正確；超幾何分布實質上就是有總數為N件的兩類物品，
其中一類有M（M≤N）件，從所有物品中任取n（n≤N）件，
這n件中所含這類物品的件數X是一個離散型隨機變量，它取值為
r時的概率為P（X＝r）＝ ，故B錯誤，C、D正確.
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2. 設袋中有80個紅球，20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有
6個紅球的概率為（　　）
解析： 若隨機變量X表示任取10個球中紅球的個數，則X服從
參數為N＝100，M＝80，n＝10的超幾何分布.任取10個球中恰有
6個紅球，即X＝6，P（X＝6）＝ （注意袋中球的個數為80
＋20＝100）.
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3. 有N件產品，其中有M件次品，從中不放回地抽n件產品，抽到的
次品數的數學期望值是（　　）
A. N
解析： 設抽到的次品數為X，則有N件產品，其中有M件次
品，從中不放回地抽n件產品，抽到的次品數X服從超幾何分布，
∴抽到的次品數的數學期望值E（X）＝ ，故選C.
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4. （2024·南京月考）已知某10件產品中含有次品，從這10件產品中
抽取2件進行檢查，其次品數為ξ.若P（ξ＝1）＝ ，且該產品的
次品率不超過40%，則這10件產品的次品率為（　　）
A. 10% B. 20%
C. 30% D. 40%
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解析： 　設這10件產品中有n件次品，則P（ξ＝1）＝ ＝
，即n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8.又該產品的次品率不
超過40%，所以n≤4，所以n＝2，所以這10件產品的次品率為
×100%＝20%.故選B.
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5. （多選）某人參加一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的
5道.現從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試，規定至少答對2
道題才算合格，則下列說法正確的是（　　）
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解析： 　對于A，答對0道題的概率為P0＝ ＝ ，答對3道
題的概率為P3＝ ＝ ，故A錯誤；對于B，答對1道題的概率
為P1＝ ＝ ，故B錯誤；對于C，答對2道題的概率為P2＝
＝ ，故C正確；對于D，合格的概率為P＝ ＋ ＝
，故D正確.
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6. （多選）在一個袋中裝有質地大小一樣的6個黑球、4個白球，現從
中任取4個小球，設取出的4個小球中白球的個數為X，則下列結論
中正確的是（　　）
B. 隨機變量X服從二項分布
C. 隨機變量X服從超幾何分布
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解析： 　由題意知隨機變量X服從超幾何分布，故B錯誤，C
正確.X的取值分別為0，1，2，3，4，則P（X＝0）＝ ＝ ，
P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝
＝ ，P（X＝4）＝ ＝ .
法一　E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ .
法二　X服從超幾何分布，且參數分別為N＝6＋4＝10，M＝4，n＝
4，則E（X）＝ ＝ .故A、D正確.故選A、C、D.
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7. 學校要從12名候選人中選4名同學組成學生會，已知有4名候選人來
自甲班.假設每名候選人都有相同的機會被選到，則甲班恰有2名同
學被選到的概率為 .
解析：設甲班恰有X人被選到，則X～H（4，4，12），則P（X
＝2）＝ ＝ .
　
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解析：由題意知，X服從參數為N＝7，n＝3，M＝2的超幾何分
布，因此P（X≤1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝ ＋ ＝
.
　
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解析：成員有11＋4＋5＝20（人），從中任選2人的不同選法有
種，其中不屬于同一國家的有 ＋ ＋ 種，根據等可
能性事件發生的概率計算公式，可得所求概率為P＝
＝ .
　
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10. 從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動.
（1）求所選3人中恰有一名男生的概率；
解： 所選3人中恰有一名男生的概率P＝ ＝ .
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（2）求所選3人中男生人數X的概率分布.
解： X的可能取值為0，1，2，3.
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ .
∴X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
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11. （2024·徐州月考）《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，
河圖、洛書是中華文化，陰陽術數之源，其中河圖排列結構是
一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背
中.如圖，白圈為陽數，黑點為陰數.若從這10個數中任取3個數，
則這3個數中至多有1個陰數的概率為（　　）
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解析： 由題意知，10個數中，1，3，5，7，9為陽數，2，4，
6，8，10為陰數，若任取的3個數中有0個陰數，則概率為 ＝
；若任取的3個數中有1個陰數，則概率為 ＝ ，故這3個
數中至多有1個陰數的概率為P＝ ＋ ＝ .故選A.
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12. （多選）2024年夏季奧運會在法國巴黎舉辦，為了弘揚奧林匹克
精神，某市多所中小學開展了奧運會項目科普活動.為了調查學生
對奧運會項目的了解情況，在該市中小學中隨機抽取了10所學校
中的部分同學，10所學校中了解奧運會項目的人數如圖所示.
若從這10所學校中隨機選取3所學校進行奧運會項目的宣講活動，
記X為被選中的學校中了解奧運會項目的人數在30以上的學校
數，則下列說法中正確的是（　　）
A. X的可能取值為0，1，2，3
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解析： 　由題意可得X的可能取值為0，1，2，3，故A正
確；分析可得X服從超幾何分布，其分布列為P（X＝k）＝
（k＝0，1，2，3），則P（X＝0）＝ ＝ ，故B錯
誤；E（X）＝ ＝ ，故C正確；D（X）＝（0－ ）2× ＋
（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＋（3－ ）2× ＝ ，
故D正確.
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解析：如圖所示，設AB為半圓弧的直徑，C，
D，E為半圓弧另外的三個四等分點，從A，
B，C，D，E這5個點中任取3個點構成三角
形，一共能組成三角形的個數為 ＝10.其中直角三角形有：△ABC、△ABD、△ABE，共3個，鈍角三角形的個數為10－3＝7，由題意可知X∈{0，1，2，3}，P（X＝2）＝ ＝
，P（X＝3）＝ ＝ ，因此，所求概率為P＝ ＝ .
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14. （2024·蘇州月考）甲、乙去某公司應聘面試.該公司的面試方案
為：應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照答對題目
的個數為標準進行篩選.已知6道備選題中應聘者甲有4道題能正確
完成，2道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是 ，且
每題正確完成與否互不影響.
（1）分別求甲、乙兩人正確完成面試題數的概率分布，并計算其
均值；
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解： 設X為甲正確完成面試題的數量，Y為乙正確完
成面試題的數量，
由題意可得X服從超幾何分布，
且N＝6，M＝4，n＝3，X的可能取值為1，2，3，
∵P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ ，∴X的概率分布為
X 1 2 3
P
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∴E（X）＝1× ＋2× ＋3× ＝2.
由題意可得Y～B（3， ），
∴P（Y＝0）＝ ×（ ）0×（ ）3＝ ，
P（Y＝1）＝ ×（ ）1×（ ）2＝ ＝ ，
P（Y＝2）＝ ×（ ）2×（ ）1＝ ＝ ，
P（Y＝3）＝ ×（ ）3×（ ）0＝ ，
∴Y的概率分布為
Y 0 1 2 3
P
∴E（Y）＝0× ＋1× ＋
2× ＋3× ＝2.
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（2）請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性較大？
解： D（X）＝（1－2）2× ＋（2－2）2× ＋（3－
2）2× ＝ ，
D（Y）＝np（1－p）＝3× × ＝ ，
∵D（X）＜D（Y），E（X）＝E（Y），
∴甲發揮的穩定性更強，則甲通過面試的可能性較大.
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15. （2024·鎮江質檢）在袋子中裝有10個大小相同的小球，其中
黑球有3個，白球有n（2≤n≤5，n∈N且n≠3）個，其余的球
為紅球.
（1）若n＝5，從袋中任取1個球，記下顏色后放回，連續取三
次，求三次取出的球中恰有2個紅球的概率；
解： 設“從袋中任取1個球為紅球”為事件A，則P
（A）＝ ，所以三次取出的球中恰有2個紅球的概率為P＝
×（ ）2× ＝ .
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（2）從袋中任取2個球，如果這2個球的顏色相同的概率是 ，
求紅球的個數；
解： 設“從袋里任意取出2個球，球的顏色相同”為事
件B，則P（B）＝
＝ ＝ ，
整理得n2－7n＋12＝0，解得n＝3（舍）或n＝4，
所以紅球的個數為10－3－4＝3.
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（3）在（2）的條件下，從袋中任取2個球.若取出1個白球記1
分，取出1個黑球記2分，取出1個紅球記3分，用ξ表示取出
的2個球所得分數的和，寫出ξ的概率分布，并求ξ的數學期
望E（ξ）.
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解： ξ的可能取值為2，3，4，5，6，
P（ξ＝2）＝ ＝ ，P（ξ＝3）＝ ＝ ，
P（ξ＝4）＝ ＝ ，P（ξ＝5）＝ ＝ ，
P（ξ＝6）＝ ＝ ，
所以ξ的概率分布為
ξ 2 3 4 5 6
P
所以E（ξ）＝2× ＋3× ＋4× ＋5× ＋6× ＝ .
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