資源簡介

8.3　正態(tài)分布
1.已知正態(tài)分布密度函數(shù)f（x）＝，x∈R，則μ，σ分別是（　　）
A.0和4 B.0和2
C.0和8 D.0和
2.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（a，4），且P（X＞1）＝0.5，則實數(shù)a＝（　　）
A.1 B.
C.2 D.4
3.（2024·南通月考）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），P（X＜4）＝0.84，則P（X≤0）＝（　　）
A.0.16　　　　　　　　 B.0.32
C.0.68 D.0.84
4.如果正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在[－3，－1]內(nèi)的概率和落在[3，5]內(nèi)的概率相等，那么這個正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望是（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
5.（多選）已知甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布N（μ1，），N（μ2，），其正態(tài)密度曲線如圖所示，則（　　）
A.乙類水果質(zhì)量的均值比甲類水果質(zhì)量的均值小
B.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量分布更集中
C.甲類水果質(zhì)量的均值比乙類水果質(zhì)量的均值小
D.乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量分布更集中
6.（多選）若隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則（　　）
A.X的密度曲線與y軸的交點為（0，）
B.X的密度曲線關(guān)于x＝σ對稱
C.2P（X＞μ＋3σ）＝P（｜X－μ｜＞3σ）
D.若Y＝，則E（Y）＝0，D（Y）＝1
7.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，9），若P（X＞c＋1）＝P（X＜c－1），則c＝　　　　.
8.某城市每年6月份的平均氣溫t近似服從N（28，σ2），若P（28≤t≤32）＝0.2，則可估計該城市6月份平均氣溫低于24 ℃的天數(shù)為　　　　.
9.（2024·淮安月考）已知隨機(jī)變量ξ～N（3，σ2），且＝，則P（3＜ξ＜5）＝　　　　.
10.已知隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），且正態(tài)密度函數(shù)在（－∞，80）上單調(diào)遞增，在（80，＋∞）上單調(diào)遞減，P（72＜X＜88）≈68.3%.
（1）求參數(shù)μ，σ的值；
（2）求P（X≤64）.
11.工廠質(zhì)量監(jiān)控小組從一批面粉中抽取n袋測量其重量，已知每袋面粉的重量X（單位：千克）服從正態(tài)分布N（20，），若P（19.95≤X≤20.05）≥0.997，則n的最小值為（　　）
參考數(shù)據(jù)：若X～N（μ，σ2），則P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997.
A.120 B.144
C.150 D.160
12.（2024·鹽城月考）已知隨機(jī)變量X～N（2，22），且aX＋b（a＞0）服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），則a＝　　　　，b＝　　　　.
13.已知某正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為f（x）＝·，x∈（－∞，＋∞），則函數(shù)f（x）的極值點為　　　　，X落在區(qū)間（2，3]內(nèi)的概率為　　　　.
14.已知某地農(nóng)民工年均收入X服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度曲線如圖所示.
（1）寫出此地農(nóng)民工年均收入的密度函數(shù)解析式；
（2）求此地農(nóng)民工年均收入在8 000～8 500元之間的人數(shù)所占的百分比.
15.（2024·泰州月考）已知從某批材料中任取一件，取得的這件材料的強(qiáng)度X服從正態(tài)分布N（200，182）.
（1）計算取得的這件材料的強(qiáng)度不低于182的概率；
（2）如果所用的材料需以95%的概率保證強(qiáng)度不低于164，問這批材料是否符合這個要求？
8.3　正態(tài)分布
1.B　f（x）＝＝，故μ＝0，σ＝2.
2.A　因為隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（a，4），所以P（X＞a）＝0.5.由P（X＞1）＝0.5，可知a＝1.
3.A　由X～N（2，σ2），可知其正態(tài)密度曲線如圖所示，對稱軸為直線x＝2，則P（X≤0）＝P（X≥4）＝1－P（X＜4）＝1－0.84＝0.16.
4.B　∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，X的取值落在區(qū)間[－3，－1]內(nèi)的概率和落在區(qū)間[3，5]內(nèi)的概率是相等的，∴函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝＝1對稱，∴隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為1.
5.BC　由圖象可知，甲類水果質(zhì)量的均值μ1＝0.4，乙類水果質(zhì)量的均值μ2＝0.8，且σ1＜σ2，則B、C正確，A、D不正確，故選B、C.
6.ACD　若X～N（μ，σ2），則其密度函數(shù)f（x）＝，因此X的密度曲線與y軸的交點為（0，），故A正確；X的密度曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，故B錯誤；P（｜X－μ｜＞3σ）＝P（X＜μ－3σ）＋P（X＞μ＋3σ）＝2P（X＞μ＋3σ），故C正確；E（Y）＝＝0，D（Y）＝D（X）＝1，故D正確.故選A、C、D.
7.2　解析：∵X～N（2，9），又P（X＞c＋1）＝P（X＜c－1），∴＝2，∴c＝2.
8.9　解析：因為每年6月份的平均氣溫t近似服從N（28，σ2），所以μ＝28，因為P（28≤t≤32）＝0.2，所以P（24≤t≤28）＝0.2，所以P（t＜24）＝0.5－0.2＝0.3，所以估計該城市6月份平均氣溫低于24 ℃的天數(shù)為0.3×30＝9.
9.0.3　解析：由題意知μ＝3，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），又＝，所以＝.又P（ξ＜5）＋P（ξ＞5）＝1，所以P（ξ＞5）＝0.2，故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＞3）－P（ξ≥5）＝0.5－0.2＝0.3.
10.解：（1）由題意，得正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x＝80對稱，即參數(shù)μ＝80.
又P（72＜X＜88）≈68.3%，
結(jié)合P（μ－σ＜X＜μ＋σ）≈68.3%，
可知σ＝8.
（2）P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）
＝P（64＜X＜96）≈95.4%，
因為P（X≤64）＝P（X≥96），
所以P（X≤64）≈×（1－95.4%）＝0.023.
11.B　由題意知當(dāng)P（19.95≤X≤20.05）≥0.997時，[μ－3σ，μ＋3σ] [19.95，20.05]，又μ＝20，σ＝，所以0.05≥3，解得n≥144，所以n的最小值為144.故選B.
12.　－1　解析：∵隨機(jī)變量X～N（2，22），∴E（X）＝2，D（X）＝22＝4.∴E（aX＋b）＝aE（X）＋b＝2a＋b＝0，D（aX＋b）＝a2D（X）＝4a2＝1，又a＞0，∴a＝，b＝－1.
13.1　0.135 5　解析：由正態(tài)分布的概率密度函數(shù)知μ＝1，σ＝1，所以正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x＝1對稱，且在x＝1處取得最大值.根據(jù)正態(tài)密度曲線的特點可知1為f（x）的極大值點.由X～N（1，1），知P（2＜X≤3）＝[P（－1≤X≤3）－P（0≤X≤2）]＝[P（1－2×1≤X≤1＋2×1）－P（1－1≤X≤1＋1）]≈×（0.954－0.683）＝0.135 5.
14.解：設(shè)此地農(nóng)民工年均收入X～N（μ，σ2），結(jié)合題圖可知，μ＝8 000，σ＝500.
（1）此地農(nóng)民工年均收入的密度函數(shù)解析式為f（x）＝，x∈R.
（2）∵P（7 500≤X≤8 500）＝P（8 000－500≤X≤8 000＋500）≈0.683，
∴P（8 000≤X≤8 500）＝P（7 500≤X≤8 500）≈0.341 5＝34.15%.
故此地農(nóng)民工年均收入在8 000～8 500元之間的人數(shù)所占的百分比為34.15%.
15.解：（1）X～N（μ，σ2），其中μ＝200，σ＝18，
而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ，
∴P（182≤X≤218）≈0.683.
又∵1＝P（X＜182）＋P（182≤X≤218）＋P（X＞218），
由正態(tài)密度曲線的對稱性可知P（X＜182）＝P（X＞218），
∴P（X＜182）≈×（1－0.683）＝0.158 5.∴P（X≥182）＝1－P（X＜182）≈1－0.158 5＝0.841 5.
故所求的概率為0.841 5.
（2）由（1）知164＝μ－2σ，236＝μ＋2σ，
∴P（164≤X≤236）≈0.954.
又由正態(tài)密度曲線的對稱性可知P（X＜164）＝P（X＞236），且P（X＜164）＋P（164≤X≤236）＋P（X＞236）＝1，
∴P（X＜164）≈×（1－0.954）＝0.023，∴P（X≥164）≈1－P（X＜164）＝0.977＞0.95.
故這批材料符合這個要求.
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新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量 數(shù)學(xué)抽象
2.通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征 直觀想象
3.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義，并會用正態(tài)分布去解決實際問題 數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算
（1）一所學(xué)校同年級的同學(xué)，身高特別高的同學(xué)比較少，特別矮的同學(xué)也不多，大都集中在某個高度左右；（2）某種電子產(chǎn)品的使用壽命也都接近某一個數(shù)，使用期過長，或過短的產(chǎn)品相對較少.
【問題】　生活中像上述這樣的現(xiàn)象很多，那么如何用數(shù)學(xué)模型來刻畫呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　正態(tài)密度曲線及特征
1.概率密度曲線
對于某一隨機(jī)變量的頻率直方圖，如果數(shù)據(jù)無限　　　　且組距無限　　　　，那么頻率直方圖上的折線將趨于一條光滑的曲線，我們將此曲線稱為概率密度曲線.
2.正態(tài)密度曲線
定義 函數(shù)P（x）＝　　　　　　（x∈R）的圖象稱為正態(tài)密度曲線，這里有兩個參數(shù)μ和σ，其中σ＞0，μ∈R
特征 （1）當(dāng)x＜μ時，曲線　　　　；當(dāng)x＞μ時，曲線　　　　；當(dāng)曲線向左右兩邊無限延伸時，以　　　　為漸近線. （2）曲線關(guān)于直線　　　　對稱. （3）σ越　　　，曲線越扁平；σ越　　　，曲線越尖陡. （4）在曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為　　
知識點二　正態(tài)分布
設(shè)X是一個隨機(jī)變量，若對任給區(qū)間（a，b]，P（a＜X≤b）是正態(tài)密度曲線下方和x軸上（a，b]上方所圍成的圖形的　　　　，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布，簡記為X～　　　　　　.
提醒　（1）μ＝0，σ＝1的正態(tài)分布叫作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；（2）參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)（均值）；σ2是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)（方差）.
知識點三　3σ原則
　隨機(jī)變量X取值
（1）落在區(qū)間（μ－σ，μ＋σ）內(nèi)的概率約為　　　　；
（2）落在區(qū)間（μ－2σ，μ＋2σ）內(nèi)的概率約為　　　　；
（3）落在區(qū)間（μ－3σ，μ＋3σ）內(nèi)的概率約為　　　　.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）正態(tài)密度曲線中參數(shù)μ，σ的意義分別是隨機(jī)變量的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.（　　）
（2）正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的.（　　）
（3）若X～N（μ，σ2），則P（X＜μ）＝.（　　）
2.如圖是三個正態(tài)分布X～N（0，0.25），Y～N（0，1），Z～N（0，4）的密度曲線，則三個隨機(jī)變量X，Y，Z對應(yīng)的曲線分別是圖中的　 　　、　　　 、　　 　.
3.若隨機(jī)變量ξ～N（0，1），查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，則（1）P（0＜ξ＜1.90）＝　　　　；
（2）P（－1.83＜ξ＜0）＝　　　　.
題型一 正態(tài)密度曲線及其特點
【例1】　（1）（多選）已知三個正態(tài)密度函數(shù)φi（x）＝（x∈R，i＝1，2，3）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A.σ1＝σ2 B.μ1＞μ3
C.μ1＝μ2 D.σ2＜σ3
（2）已知正態(tài)密度曲線的函數(shù)解析式為f（x）＝（x∈R），則μ＝　　　　，σ＝　　　　.
通性通法
由正態(tài)密度曲線確定均值與方差的方法
　　正態(tài)分布的兩個重要參數(shù)是μ與σ2，μ刻畫了隨機(jī)變量取值的平均水平，σ2是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)，因此我們由正態(tài)密度曲線的形狀與位置可比較參數(shù)的大小，反之利用參數(shù)之間的大小關(guān)系，也可以確定正態(tài)密度曲線的形狀與位置.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.函數(shù)f（x）＝（其中μ＜0）的圖象可能為（　　）
2.某工廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一型號的機(jī)械零件，產(chǎn)品的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，X～N（μ1，），Y～N（μ2，），其正態(tài)密度曲線如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（　　）
A.甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性高于乙生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性 B.甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性低于乙生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性
C.甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值大于乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值 D.甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值小于乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值
題型二 利用正態(tài)分布求概率
【例2】　（鏈接教科書第136頁例1）設(shè)X～N（1，22），試求：
（1）P（－1＜X＜3）；
（2）P（X＞5）.
【母題探究】
　（變設(shè)問）若本例條件不變，求P（3＜X＜5）.
通性通法
利用正態(tài)分布求概率的兩個方法
（1）對稱法：由于正態(tài)密度曲線是關(guān)于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等.如：
①P（X＜a）＝1－P（X≥a）；
②P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）.
（2）“3σ”法：利用X落在區(qū)間（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）內(nèi)的概率分別是68.3%，95.4%，99.7%求解.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）＝（　　）
A.0.6　　　　　　　　　 B.0.4
C.0.3 D.0.2
題型三 正態(tài)分布的實際應(yīng)用
【例3】　（鏈接教科書第137頁例2）在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績ξ服從正態(tài)分布，即ξ～N（90，100）.
（1）試求考試成績ξ位于區(qū)間[70，110]上的概率是多少？
（2）若這次考試共有2 000名考生，試估計考試成績在區(qū)間[80，100]上的考生大約有多少人？
通性通法
正態(tài)密度曲線的應(yīng)用及求解策略
　　解答此類題目的關(guān)鍵在于將待求的問題向（μ－σ，μ＋σ）， （μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）這三個區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)的概率，在此過程中依然會用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想.
【跟蹤訓(xùn)練】
　某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X（單位：cm）服從正態(tài)分布N（4，0.52）.質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1 000件零件中隨機(jī)抽查1件，測得它的外直徑為5.7 cm，試問：該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？
1.（多選）下面給出的關(guān)于正態(tài)密度曲線的敘述中，正確的有（　　）
A.曲線可以關(guān)于y軸對稱
B.當(dāng)x＞μ時，隨著x的增大，曲線逐漸下降；當(dāng)x＜μ時，隨著x的增大，曲線逐漸上升
C.μ一定時，σ越小，總體分布越分散；σ越大，總體分布越集中
D.當(dāng)x＝μ時，曲線位于最高點
2.某種零件的尺寸X（單位：cm）服從正態(tài)分布N（3，1），則不屬于區(qū)間（1，5）這個尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)的　　　　.
3.（2024·常州月考）若隨機(jī)變量ξ～N（10，σ2），P（9≤ξ≤11）＝0.4，則P（ξ≥11）＝　　　　.
8.3　正態(tài)分布
【基礎(chǔ)知識·重落實】
知識點一
1.增多　縮小　2.　（1）上升　下降　x軸　（2）x＝μ　（3）大　小　（4）1
知識點二
面積　N（μ，σ2）
知識點三
（1）68.3%　（2）95.4%　（3）99.7%
自我診斷
1.（1）√　（2）×　（3）√
2.①　②　③　解析：在密度曲線中，σ越大，曲線越“矮胖”；σ越小，曲線越“瘦高”.
3.（1）0.471 3　（2）0.466 4
解析：（1）P（0＜ξ＜1.90）＝P（ξ＜1.9）－P（ξ≤0）＝0.971 3－0.500 0＝0.471 3.
（2）P（－1.83＜ξ＜0）＝P（0＜ξ＜1.83）＝P（ξ＜1.83）－P（ξ≤0）＝0.966 4－0.500 0＝0.466 4.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）AD　（2）2　3
解析：（1）根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，所以μ1＜μ2＝μ3，B、C錯誤；又σ越小數(shù)據(jù)越集中，圖象越“瘦高”，所以σ1＝σ2＜σ3，A、D正確.
（2）將所給的函數(shù)解析式與正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式對照可得μ＝2，σ＝3.
跟蹤訓(xùn)練
1.A　函數(shù)f（x）圖象的對稱軸為直線x＝μ，因為μ＜0，所以排除B、D；又正態(tài)密度曲線位于x軸上方，因此排除C.
2.A　由圖知甲、乙兩條生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值相等，甲的正態(tài)密度曲線較瘦高，所以甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性高于乙生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性.
【例2】　解：因為X～N（1，22），所以μ＝1，σ＝2，
（1）P（－1＜X＜3）＝P（1－2＜X＜1＋2）＝P（μ－σ＜X＜μ＋σ）≈0.683.
（2）P（X＞5）＝P（X＜－3）＝[1－P（－3≤X≤5）]＝[1－P（1－4≤X≤1＋4）]＝[1－P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）]≈（1－0.954）＝0.023.
母題探究
　解：∵P（3＜X＜5）＝P（－3＜X＜－1），
∴P（3＜X＜5）＝[P（－3＜X＜5）－P（－1＜X＜3）]
＝[P（1－4＜X＜1＋4）－P（1－2＜X＜1＋2）]
＝[P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）－P（μ－σ＜X＜μ＋σ）]
≈×（0.954－0.683）＝0.135 5.
跟蹤訓(xùn)練
　C　因為P（ξ＜4）＝0.8，所以P（ξ＞4）＝0.2.由題意知圖象（如圖）的對稱軸為直線x＝2，
P（ξ＜0）＝P（ξ＞4）＝0.2，所以P（0＜ξ＜4）＝1－P（ξ＜0）－P（ξ＞4）＝0.6.所以P（0＜ξ＜2）＝P（0＜ξ＜4）＝0.3.
【例3】　解：因為ξ～N（90，100），所以μ＝90，σ＝10.
（1）由于隨機(jī)變量在區(qū)間（μ－2σ，μ＋2σ）內(nèi)取值的概率是0.954，而該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考試成績ξ位于區(qū)間[70，110]內(nèi)的概率為0.954.
（2）由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于隨機(jī)變量在區(qū)間（μ－σ，μ＋σ）內(nèi)取值的概率是0.683，所以考試成績ξ位于區(qū)間[80，100]內(nèi)的概率為0.683，一共有2 000名考生，所以考試成績在區(qū)間[80，100]上的考生大約有2 000×0.683＝1 366（人）.
跟蹤訓(xùn)練
　解：由于外直徑X～N（4，0.52），
則X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之內(nèi)取值的概率為0.997，在[2.5，5.5]之外取值的概率為0.003，
而5.7 [2.5，5.5]，這說明在一次試驗中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此可以認(rèn)為這批零件是不合格的.
隨堂檢測
1.ABD　當(dāng)μ一定時，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體分布越分散.只有C錯誤，故選A、B、D.
2.4.6%　解析：屬于區(qū)間（μ－2σ，μ＋2σ），即區(qū)間（1，5）的取值概率為95.4%，故不屬于區(qū)間（1，5）這個尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)的1－95.4%＝4.6%.
3.0.3　解析：由P（9≤ξ≤11）＝0.4且正態(tài)密度曲線以x＝μ＝10為對稱軸知，P（9≤ξ≤11）＝2P（10≤ξ≤11）＝0.4，即P（10≤ξ≤11）＝0.2，又P（ξ≥10）＝0.5，所以P（ξ≥11）＝0.5－0.2＝0.3.
4 / 4(共56張PPT)
8.3　正態(tài)分布
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變
量 數(shù)學(xué)抽象
2.通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直
觀，了解正態(tài)分布的特征 直觀想象
3.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義，并會
用正態(tài)分布去解決實際問題 數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算
目錄
基礎(chǔ)知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識·重落實
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識梳理
（1）一所學(xué)校同年級的同學(xué)，身高特別高的同學(xué)比較少，特別矮的
同學(xué)也不多，大都集中在某個高度左右；（2）某種電子產(chǎn)品的
使用壽命也都接近某一個數(shù)，使用期過長，或過短的產(chǎn)品相對
較少.
【問題】　生活中像上述這樣的現(xiàn)象很多，那么如何用數(shù)學(xué)模
型來刻畫呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識點一　正態(tài)密度曲線及特征
1. 概率密度曲線
對于某一隨機(jī)變量的頻率直方圖，如果數(shù)據(jù)無限 且組距無
限 ，那么頻率直方圖上的折線將趨于一條光滑的曲線，我
們將此曲線稱為概率密度曲線.
增多　
縮小　
2. 正態(tài)密度曲線
定義 函數(shù)P（x）＝ （x∈R）的圖象稱為正
態(tài)密度曲線，這里有兩個參數(shù)μ和σ，其中σ＞0，μ∈R
特征 （1）當(dāng)x＜μ時，曲線 ；當(dāng)x＞μ時，曲線
；當(dāng)曲線向左右兩邊無限延伸時，以 為漸近線.
（2）曲線關(guān)于直線 對稱.
（3）σ越 ，曲線越扁平；σ越 ，曲線越尖陡.
（4）在曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為
　
上升　
下
降　
x軸　
x＝μ　
大　
小　
1　
知識點二　正態(tài)分布
設(shè)X是一個隨機(jī)變量，若對任給區(qū)間（a，b]，P（a＜X≤b）是正
態(tài)密度曲線下方和x軸上（a，b]上方所圍成的圖形的 ，則
稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布，簡記為X～
.
面積　
N（μ，
σ2）　
提醒　（1）μ＝0，σ＝1的正態(tài)分布叫作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；（2）參數(shù)
μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)（均值）；σ2是衡量隨機(jī)
變量總體波動大小的特征數(shù)（方差）.
知識點三　3σ原則
　隨機(jī)變量X取值
（1）落在區(qū)間（μ－σ，μ＋σ）內(nèi)的概率約為 ；
（2）落在區(qū)間（μ－2σ，μ＋2σ）內(nèi)的概率約為 ；
（3）落在區(qū)間（μ－3σ，μ＋3σ）內(nèi)的概率約為 .
68.3%　
95.4%　
99.7%　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）正態(tài)密度曲線中參數(shù)μ，σ的意義分別是隨機(jī)變量的均值與標(biāo)
準(zhǔn)差. （　√　）
（2）正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變
化而變化的. （　×　）
（3）若X～N（μ，σ2），則P（X＜μ）＝ . （　√　）
√
×
√
2. 如圖是三個正態(tài)分布X～N（0，0.25），Y～N（0，1），Z～N
（0，4）的密度曲線，則三個隨機(jī)變量X，Y，Z對應(yīng)的曲線分別
是圖中的 、 、 .
解析：在密度曲線中，σ越大，曲線越“矮胖”；σ越小，曲線越
“瘦高”.
① 　
②　　
③　 　
3. 若隨機(jī)變量ξ～N（0，1），查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，則（1）P（0＜ξ
＜1.90）＝ ；
解析： P（0＜ξ＜1.90）＝P（ξ＜1.9）－P（ξ≤0）
＝0.971 3－0.500 0＝0.471 3.
（2）P（－1.83＜ξ＜0）＝ .
解析： P（－1.83＜ξ＜0）＝P（0＜ξ＜1.83）＝P（ξ
＜1.83）－P（ξ≤0）＝0.966 4－0.500 0＝0.466 4.
0.471 3　
0.466 4　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關(guān)鍵能力提升
題型一 正態(tài)密度曲線及其特點
【例1】　（1）（多選）已知三個正態(tài)密度函數(shù)φi（x）＝
（x∈R，i＝1，2，3）的圖象如圖所示，則下列結(jié)
論正確的是（　AD　）
A. σ1＝σ2 B. μ1＞μ3
C. μ1＝μ2 D. σ2＜σ3
AD
解析： 根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，所以μ1＜μ2＝μ3，B、C錯誤；又σ越小數(shù)據(jù)越集中，圖象越“瘦高”，所以σ1＝σ2＜σ3，A、D正確.
（2）已知正態(tài)密度曲線的函數(shù)解析式為f（x）＝
（x∈R），則μ＝ ，σ＝ .
解析： 將所給的函數(shù)解析式與正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式對照可得μ＝2，σ＝3.
2　
3　
通性通法
由正態(tài)密度曲線確定均值與方差的方法
　　正態(tài)分布的兩個重要參數(shù)是μ與σ2，μ刻畫了隨機(jī)變量取值的平
均水平，σ2是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)，因此我們由正態(tài)
密度曲線的形狀與位置可比較參數(shù)的大小，反之利用參數(shù)之間的大小
關(guān)系，也可以確定正態(tài)密度曲線的形狀與位置.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 函數(shù)f（x）＝ （其中μ＜0）的圖象可能為（　　）
解析： 　函數(shù)f（x）圖象的對稱軸為直線x＝μ，因為μ＜0，
所以排除B、D；又正態(tài)密度曲線位于x軸上方，因此排除C.
2. 某工廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一型號的機(jī)械零件，產(chǎn)品的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，X～N（μ1， ），Y～N（μ2， ），其正態(tài)密度曲線如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（　　）
A. 甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性高于乙生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性
B. 甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性低于乙生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性
C. 甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值大于乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值
D. 甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值小于乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值
解析： 　由圖知甲、乙兩條生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值相等，甲的
正態(tài)密度曲線較瘦高，所以甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性高于乙生產(chǎn)線產(chǎn)
品的穩(wěn)定性.
題型二 利用正態(tài)分布求概率
【例2】　（鏈接教科書第136頁例1）設(shè)X～N（1，22），試求：
（1）P（－1＜X＜3）；
（1）P（－1＜X＜3）＝P（1－2＜X＜1＋2）＝P（μ－σ＜
X＜μ＋σ）≈0.683.
解：因為X～N（1，22），所以μ＝1，σ＝2，
（2）P（X＞5）.
解： P（X＞5）＝P（X＜－3）＝ [1－P（－3≤X≤5）]
＝ [1－P（1－4≤X≤1＋4）]＝ [1－P（μ－2σ≤X≤μ＋
2σ）]≈ （1－0.954）＝0.023.
【母題探究】
　（變設(shè)問）若本例條件不變，求P（3＜X＜5）.
解：∵P（3＜X＜5）＝P（－3＜X＜－1），
∴P（3＜X＜5）＝ [P（－3＜X＜5）－P（－1＜X＜3）]
＝ [P（1－4＜X＜1＋4）－P（1－2＜X＜1＋2）]
＝ [P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）－P（μ－σ＜X＜μ＋σ）]
≈ ×（0.954－0.683）＝0.135 5.
通性通法
利用正態(tài)分布求概率的兩個方法
（1）對稱法：由于正態(tài)密度曲線是關(guān)于直線x＝μ對稱的，且概率的
和為1，故關(guān)于直線x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等.如：
①P（X＜a）＝1－P（X≥a）；
②P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）.
（2）“3σ”法：利用X落在區(qū)間（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ
＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）內(nèi)的概率分別是68.3%，95.4%，
99.7%求解.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P
（0＜ξ＜2）＝（　　）
A. 0.6 B. 0.4
C. 0.3 D. 0.2
解析： 　因為P（ξ＜4）＝0.8，所以P（ξ＞4）＝0.2.由題意知圖象（如圖）的對稱軸為直線x＝2，
P（ξ＜0）＝P（ξ＞4）＝0.2，所以P（0＜ξ＜4）＝1－P（ξ＜0）
－P（ξ＞4）＝0.6.所以P（0＜ξ＜2）＝ P（0＜ξ＜4）＝0.3.
題型三 正態(tài)分布的實際應(yīng)用
【例3】　（鏈接教科書第137頁例2）在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成
績ξ服從正態(tài)分布，即ξ～N（90，100）.
（1）試求考試成績ξ位于區(qū)間[70，110]上的概率是多少？
（1）由于隨機(jī)變量在區(qū)間（μ－2σ，μ＋2σ）內(nèi)取值的概率是
0.954，而該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝
90＋2×10＝110，于是考試成績ξ位于區(qū)間[70，110]內(nèi)的概率
為0.954.
解：因為ξ～N（90，100），所以μ＝90，σ＝10.
（2）若這次考試共有2 000名考生，試估計考試成績在區(qū)間[80，100]
上的考生大約有多少人？
解：由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于隨機(jī)
變量在區(qū)間（μ－σ，μ＋σ）內(nèi)取值的概率是0.683，所以考試
成績ξ位于區(qū)間[80，100]內(nèi)的概率為0.683，一共有2 000名考
生，所以考試成績在區(qū)間[80，100]上的考生大約有2
000×0.683＝1 366（人）.
通性通法
正態(tài)密度曲線的應(yīng)用及求解策略
　　解答此類題目的關(guān)鍵在于將待求的問題向（μ－σ，μ＋σ），
（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）這三個區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然
后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)的概率，在此過程中依然會用到化歸
思想及數(shù)形結(jié)合思想.
【跟蹤訓(xùn)練】
　某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X（單位：cm）服從正態(tài)分布N
（4，0.52）.質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1 000件零件中隨機(jī)抽查1件，測
得它的外直徑為5.7 cm，試問：該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？
解：由于外直徑X～N（4，0.52），
則X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之內(nèi)取值的概率為0.997，在[2.5，
5.5]之外取值的概率為0.003，
而5.7 [2.5，5.5]，這說明在一次試驗中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的
小概率事件，據(jù)此可以認(rèn)為這批零件是不合格的.
1. （多選）下面給出的關(guān)于正態(tài)密度曲線的敘述中，正確的有
（　　）
A. 曲線可以關(guān)于y軸對稱
B. 當(dāng)x＞μ時，隨著x的增大，曲線逐漸下降；當(dāng)x＜μ時，隨著x的增大，曲線逐漸上升
C. μ一定時，σ越小，總體分布越分散；σ越大，總體分布越集中
D. 當(dāng)x＝μ時，曲線位于最高點
解析： 　當(dāng)μ一定時，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體分
布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體分布越分散.只有C
錯誤，故選A、B、D.
2. 某種零件的尺寸X（單位：cm）服從正態(tài)分布N（3，1），則不屬
于區(qū)間（1，5）這個尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)的 .
解析：屬于區(qū)間（μ－2σ，μ＋2σ），即區(qū)間（1，5）的取值概率
為95.4%，故不屬于區(qū)間（1，5）這個尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)
的1－95.4%＝4.6%.
4.6%　
3. （2024·常州月考）若隨機(jī)變量ξ～N（10，σ2），P（9≤ξ≤11）
＝0.4，則P（ξ≥11）＝ .
解析：由P（9≤ξ≤11）＝0.4且正態(tài)密度曲線以x＝μ＝10為對稱
軸知，P（9≤ξ≤11）＝2P（10≤ξ≤11）＝0.4，即P
（10≤ξ≤11）＝0.2，又P（ξ≥10）＝0.5，所以P（ξ≥11）＝
0.5－0.2＝0.3.
0.3　
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 已知正態(tài)分布密度函數(shù)f（x）＝ ，x∈R，則μ，σ分別是
（　　）
A. 0和4 B. 0和2
C. 0和8
解析： 　f（x）＝ ＝ ，故μ＝0，σ＝2.
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2. 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（a，4），且P（X＞1）＝0.5，
則實數(shù)a＝（　　）
A. 1
C. 2 D. 4
解析： 　因為隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（a，4），所以P（X
＞a）＝0.5.由P（X＞1）＝0.5，可知a＝1.
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3. （2024·南通月考）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），P
（X＜4）＝0.84，則P（X≤0）＝（　　）
A. 0.16 B. 0.32
C. 0.68 D. 0.84
解析： 　由X～N（2，σ2），可知其正態(tài)密度曲
線如圖所示，對稱軸為直線x＝2，則P（X≤0）＝
P（X≥4）＝1－P（X＜4）＝1－0.84＝0.16.
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4. 如果正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在[－3，－1]內(nèi)的概率和落在[3，5]內(nèi)的概
率相等，那么這個正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 　∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，X的取值落在區(qū)間[－3，
－1]內(nèi)的概率和落在區(qū)間[3，5]內(nèi)的概率是相等的，∴函數(shù)圖象關(guān)
于直線x＝ ＝1對稱，∴隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為1.
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5. （多選）已知甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布N（μ1， ），N（μ2， ），其正態(tài)密度曲線如圖所示，則（　　）
A. 乙類水果質(zhì)量的均值比甲類水果質(zhì)量的均值小
B. 甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量分布更集中
C. 甲類水果質(zhì)量的均值比乙類水果質(zhì)量的均值小
D. 乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量分布更集中
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解析： 　由圖象可知，甲類水果質(zhì)量的均值μ1＝0.4，乙類水
果質(zhì)量的均值μ2＝0.8，且σ1＜σ2，則B、C正確，A、D不正確，
故選B、C.
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6. （多選）若隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則（　　）
B. X的密度曲線關(guān)于x＝σ對稱
C. 2P（X＞μ＋3σ）＝P（｜X－μ｜＞3σ）
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解析： 　若X～N（μ，σ2），則其密度函數(shù)f（x）＝
，因此X的密度曲線與y軸的交點為（0，
），故A正確；X的密度曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，故B
錯誤；P（｜X－μ｜＞3σ）＝P（X＜μ－3σ）＋P（X＞μ＋
3σ）＝2P（X＞μ＋3σ），故C正確；E（Y）＝ ＝0，D
（Y）＝ D（X）＝1，故D正確.故選A、C、D.
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7. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，9），若P（X＞c＋1）＝P
（X＜c－1），則c＝ .
解析：∵X～N（2，9），又P（X＞c＋1）＝P（X＜c－1），
∴ ＝2，∴c＝2.
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8. 某城市每年6月份的平均氣溫t近似服從N（28，σ2），若P
（28≤t≤32）＝0.2，則可估計該城市6月份平均氣溫低于24 ℃的
天數(shù)為 .
解析：因為每年6月份的平均氣溫t近似服從N（28，σ2），所以μ
＝28，因為P（28≤t≤32）＝0.2，所以P（24≤t≤28）＝0.2，
所以P（t＜24）＝0.5－0.2＝0.3，所以估計該城市6月份平均氣
溫低于24 ℃的天數(shù)為0.3×30＝9.
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9. （2024·淮安月考）已知隨機(jī)變量ξ～N（3，σ2），且 ＝
，則P（3＜ξ＜5）＝ .
解析：由題意知μ＝3，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），又
＝ ，所以 ＝ .又P（ξ＜5）＋P（ξ＞5）＝1，所以P
（ξ＞5）＝0.2，故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＞3）－P（ξ≥5）＝0.5
－0.2＝0.3.
0.3　
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10. 已知隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），且正態(tài)密度函數(shù)在（－∞，
80）上單調(diào)遞增，在（80，＋∞）上單調(diào)遞減，P（72＜X＜
88）≈68.3%.
（1）求參數(shù)μ，σ的值；
解： 由題意，得正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x＝80對稱，
即參數(shù)μ＝80.
又P（72＜X＜88）≈68.3%，
結(jié)合P（μ－σ＜X＜μ＋σ）≈68.3%，
可知σ＝8.
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（2）求P（X≤64）.
解： P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）
＝P（64＜X＜96）≈95.4%，
因為P（X≤64）＝P（X≥96），
所以P（X≤64）≈ ×（1－95.4%）＝0.023.
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11. 工廠質(zhì)量監(jiān)控小組從一批面粉中抽取n袋測量其重量，已知每袋
面粉的重量X（單位：千克）服從正態(tài)分布N（20， ），若P
（19.95≤X≤20.05）≥0.997，則n的最小值為（　　）
參考數(shù)據(jù)：若X～N（μ，σ2），則P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）
≈0.997.
A. 120 B. 144 C. 150 D. 160
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解析： 　由題意知當(dāng)P（19.95≤X≤20.05）≥0.997時，[μ－
3σ，μ＋3σ] [19.95，20.05]，又μ＝20，σ＝ ，所以
0.05≥3 ，解得n≥144，所以n的最小值為144.故選B.
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12. （2024·鹽城月考）已知隨機(jī)變量X～N（2，22），且aX＋b（a
＞0）服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），則a＝ ，b＝
.
解析：∵隨機(jī)變量X～N（2，22），∴E（X）＝2，D（X）＝
22＝4.∴E（aX＋b）＝aE（X）＋b＝2a＋b＝0，D（aX＋
b）＝a2D（X）＝4a2＝1，又a＞0，∴a＝ ，b＝－1.
　
－
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解析：由正態(tài)分布的概率密度函數(shù)知μ＝1，σ＝1，所以正態(tài)密度
曲線關(guān)于直線x＝1對稱，且在x＝1處取得最大值.根據(jù)正態(tài)密度
曲線的特點可知1為f（x）的極大值點.由X～N（1，1），知P
（2＜X≤3）＝ [P（－1≤X≤3）－P（0≤X≤2）]＝ [P（1
－2×1≤X≤1＋2×1）－P（1－1≤X≤1＋1）]≈ ×（0.954－
0.683）＝0.135 5.
13. 已知某正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為f（x）＝ · ，
x∈（－∞，＋∞），則函數(shù)f（x）的極值點為 ，X落在區(qū)
間（2，3]內(nèi)的概率為 .
1　
0.135 5　
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14. 已知某地農(nóng)民工年均收入X服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度曲線如圖
所示.
（1）寫出此地農(nóng)民工年均收入的密度函數(shù)解析式；
（1）此地農(nóng)民工年均收入的密度函
數(shù)解析式為f（x）＝
，x∈R.
解：設(shè)此地農(nóng)民工年均收入X～N（μ，σ2），結(jié)合題圖可
知，μ＝8 000，σ＝500.
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（2）求此地農(nóng)民工年均收入在8 000～8 500元之間的人數(shù)所占的
百分比.
解： ∵P（7 500≤X≤8 500）＝P
（8 000－500≤X≤8 000＋500）
≈0.683，
∴P（8 000≤X≤8 500）＝ P
（7 500≤X≤8 500）≈0.341 5＝34.15%.
故此地農(nóng)民工年均收入在8 000～8 500元之間的人數(shù)所占的百分比為34.15%.
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15. （2024·泰州月考）已知從某批材料中任取一件，取得的這件材料
的強(qiáng)度X服從正態(tài)分布N（200，182）.
（1）計算取得的這件材料的強(qiáng)度不低于182的概率；
解： X～N（μ，σ2），其中μ＝200，σ＝18，
而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ，
∴P（182≤X≤218）≈0.683.
又∵1＝P（X＜182）＋P（182≤X≤218）＋P（X＞218），
由正態(tài)密度曲線的對稱性可知P（X＜182）＝P（X＞218），
∴P（X＜182）≈ ×（1－0.683）＝0.158 5.∴P
（X≥182）＝1－P（X＜182）≈1－0.158 5＝0.841 5.
故所求的概率為0.841 5.
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解： 由（1）知164＝μ－2σ，236＝μ＋2σ，
∴P（164≤X≤236）≈0.954.
又由正態(tài)密度曲線的對稱性可知P（X＜164）＝P（X＞
236），且P（X＜164）＋P（164≤X≤236）＋P（X＞
236）＝1，
∴P（X＜164）≈ ×（1－0.954）＝0.023，
∴P（X≥164）≈1－P（X＜164）＝0.977＞0.95.
故這批材料符合這個要求.
（2）如果所用的材料需以95%的概率保證強(qiáng)度不低于164，問這
批材料是否符合這個要求？
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