資源簡介

章末檢測（八）　概率
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.已知離散型隨機變量X的概率分布如下，則p＝（　　）
X 1 2 3 4
P p
A. B.
C. D.
2.已知隨機變量X服從正態分布N（3，σ2），且P（X＜1）＝0.1，則P（3≤X≤5）＝（　　）
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
3.設隨機變量X等可能地取值1，2，3，…，10.又設隨機變量Y＝2X－1，則P（Y＜6）＝（　　）
A.0.3 B.0.5
C.0.1 D.0.2
4.由1，2組成的有重復數字的三位數中，若用A表示事件“十位數字為1”，用B表示事件“百位數字為1”，則P（A｜B）＝（　　）
A.　　 　B. C.　　 　D.
5.學校要從10名候選人中選2名加入學生會，其中高二（1）班有4名候選人，假設每名候選人都有相同的機會被選到.若X表示選到高二（1）班的候選人的人數，則E（X）＝（　　）
A.　　 　B. C.　　 　D.
6.位于坐標原點的一個質點P按下述規則移動：質點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是.質點P移動5次后位于點（2，3）的概率為（　　）
A.（）5 B.（）5
C.（）5 D.（）5
7.某人投籃命中的概率為0.6，則投籃14次，最有可能命中的次數為（　　）
A.7 B.8
C.7或8 D.8或9
8.泊松分布的概率分布為P（X＝k）＝e－λ（k＝0，1，2，…），其中e為自然對數的底數，λ是泊松分布的均值.若隨機變量X服從二項分布，當n很大且p很小時，二項分布近似于泊松分布，其中λ＝np，即X～B（n，p），P（X＝i）＝（n∈N）.現已知某種元件的次品率為0.01，抽檢100個該種元件，則次品率小于3%的概率約為（參考數據：＝0.367 879…）（　　）
A.99% B.97%
C.92% D.74%
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.下列隨機變量中屬于離散型隨機變量的是（　　）
A.某電話亭內的一部電話1小時內使用的次數記為X
B.測量一個年級所有學生的體重，在60 kg～70 kg之間的體重記為X
C.測量全校所有同學的身高，在170 cm～175 cm之間的人數記為X
D.一個數軸上隨機運動的質點在數軸上的位置記為X
10.隨機變量X～N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＋P（X≥t）＝0.5，隨機變量Y～B（t，p），0＜p＜1，若E（X）＝E（Y），則（　　）
A.t＝4 B.p＝
C.P（2≤Y≤3）＝ D.D（2Y）＝2
11.有n（n∈N*，n≥10）個編號分別為1，2，3，…，n的盒子，1號盒子中有2個白球和1個黑球，其余盒子中均有1個白球和1個黑球.現從1號盒子任取一球放入2號盒子；再從2號盒子任取一球放入3號盒子；…；以此類推，記“從i號盒子取出的球是白球”為事件Ai（i＝1，2，3，…，n），則（　　）
A.P（A1A2）＝
B.P（A1｜A2）＝
C.P（A1＋A2）＝
D.P（A10）＝
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.從只有3張有獎的10張彩票中不放回地隨機逐張抽取，設X表示直至抽到中獎彩票時的次數，則P（X＝4）＝　　　　.
13.已知隨機事件A，B，P（A）＝，P（B）＝，P（A｜B）＝，則P（B｜A）＝　　　　.
14.假設某型號的每一架飛機的引擎在飛行中出現故障的概率為1－p（0＜p＜1），且各引擎是否有故障是獨立的，如有至少50%的引擎能正常運行，飛機就可成功飛行，若使4引擎飛機比2引擎飛機更為安全，則p的取值范圍是　　　　.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）在某次大型考試中，某班同學的成績服從正態分布N（80，52），現在已知該班同學中成績在80～85分的有17人，則該班成績在90分以上的同學有多少人？
16.（本小題滿分15分）某食品企業一個月內被消費者投訴的次數用X表示，據統計，隨機變量X的概率分布如下表：
X 0 1 2 3
P 0.1 0.3 2a a
（1）求a的值和X的均值；
（2）假設一月份與二月份被消費者投訴的次數互不影響，求該企業在這兩個月內共被消費者投訴2次的概率.
17.（本小題滿分15分）已知甲箱中有3個白球和2個黑球，乙箱中有1個白球和2個黑球，從甲箱中任意取兩球放入乙箱，然后再從乙箱中任意取出兩球，試求：
（1）從乙箱中取出的兩球是白球的概率；
（2）在乙箱中取出的兩球是白球的條件下，從甲箱中取出的兩球是白球的概率.
18.（本小題滿分17分）某周末李夢提出和父親、母親、弟弟進行羽毛球比賽，李夢與他們三人各進行一場比賽，共進行三場比賽，每場比賽都沒有平局，且三場比賽相互獨立.下表是李夢最近分別與父親、母親、弟弟比賽的情況：
父親 母親 弟弟
比賽次數 50 60 40
李夢獲勝次數 10 30 32
以上表中的頻率作為概率，解答下列問題：
（1）若李夢勝一場得1分，負一場得0分，設李夢的得分為X分，求X的概率分布、期望和方差；
（2）若李夢贏一場比賽能得到5元的獎勵金，求李夢所得獎勵金的期望和方差.
19.（本小題滿分17分）正態分布與指數分布均是用于描述連續型隨機變量的概率分布.對于一個給定的連續型隨機變量X，定義其累積分布函數為F（x）＝P（X≤x）.已知某系統由一個電源和并聯的A，B，C三個元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個元件正常工作才可保證系統正常運行，電源及各元件之間工作相互獨立.
（1）已知電源電壓X（單位：V）服從正態分布N（40，4），且X的累積分布函數為F（x），求F（44）－F（38）；
（2）在數理統計中，指數分布常用于描述事件發生的時間間隔或等待時間.已知隨機變量T（單位：天）表示某高穩定性元件的使用壽命，且服從指數分布，其累積分布函數為G（t）＝
①設t1＞t2＞0，證明：P（T＞t1｜T＞t2）＝P（T＞t1－t2）；
②若第n天元件A發生故障，求第n＋1天系統正常運行的概率.
附：若隨機變量Y服從正態分布N（μ，σ2），則P（｜Y－μ｜＜σ）＝0.683，P（｜Y－μ｜＜2σ）＝0.954，P（｜Y－μ｜＜3σ）＝0.997.
章末檢測（八）　概率
1.C　由＋＋＋p＝1得，p＝.故選C.
2.D　因為隨機變量X服從正態分布N（3，σ2），所以正態密度曲線關于直線x＝3對稱，又P（X＜1）＝0.1，所以P（X＞5）＝0.1，則P（3≤X≤5）＝＝＝0.4.
3.A　由Y＝2X－1＜6，得X＜3.5，∴P（Y＜6）＝P（X＜3.5）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.3.
4.C　∵P（B）＝＝，P（AB）＝＝，∴P（A｜B）＝＝.
5.D　由題意得隨機變量X服從超幾何分布，且N＝10，M＝4，n＝2，則E（X）＝＝＝.
6.B　依題意，質點在移動過程中向右移動2次，向上移動3次，因此質點P移動5次后位于點（2，3）的概率P＝×（）2×（1－）3＝（）5.
7.D　投籃命中次數X～B（14，0.6），P（X＝k）＝·0.6k·0.414－k，設最有可能命中m次，
則

8≤m≤9，∵m∈Z，∴m＝8或m＝9.∴最有可能命中8或9次.故選D.
8.C　依題意， n＝100，p＝0.01，泊松分布可作為二項分布的近似，此時λ＝100×0.01＝1，則P（X＝k）＝e－1，于是P（X＝0）＝e－1＝，P（X＝1）＝e－1＝，P（X＝2）＝e－1＝，所以次品率小于3%的概率約為P＝P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2）＝＋＋≈92%.故選C.
9.AC　電話1小時內使用的次數是可以列舉的，是離散型隨機變量，選項A正確；體重無法一一列舉，選項B不正確；人數可以列舉，選項C正確；數軸上的點有無數個，點的位置是連續型隨機變量，選項D不正確.故選A、C.
10.AC　因為X～N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＋P（X≥t）＝0.5，所以t＝4，故A正確；因為E（X）＝2，所以E（Y）＝E（X）＝2.因為Y～B（4，p），所以E（Y）＝4p＝2，所以p＝，故B錯誤；因為Y～B（4，），所以P（2≤Y≤3）＝（）4＋（）4＝，故C正確；因為D（Y）＝4××（1－）＝1，所以D（2Y）＝4D（Y）＝4，故D錯誤.故選A、C.
11.BC　對A，P（A1A2）＝×＝，所以A錯誤；對B，P（A2）＝×＋×＝，故P（A1｜A2）＝＝，所以B正確；對C，P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）－P（A1A2）＝＋－＝，所以C正確；對D，由題意P（An）＝P（An－1）＋[1－P（An－1）]，所以P（An）－＝［P（An－1）－］，P（A1）＝，P（A1）－＝－＝，所以P（An）－＝×（）n－1＝×（）n，所以P（An）＝·（1＋），則P（A10）＝·（1＋），所以D錯誤.故選B、C.
12.　解析：P（X＝4）＝×××＝.
13.　解析：由條件概率可得P（A｜B）＝＝ P（AB）＝×＝，所以P（B｜A）＝＝＝.
14.（，1）　解析：由已知可得，飛機引擎正常運行的個數X～B（n，p），所以4引擎飛機正常飛行的概率為P1＝p2（1－p）2＋p3（1－p）＋p4＝3p4－8p3＋6p2；2引擎飛機正常飛行的概率為P2＝p（1－p）＋p2＝－p2＋2p.所以P1－P2＝3p4－8p3＋6p2－（－p2＋2p）＝p（p－1）2（3p－2）.因為4引擎飛機比2引擎飛機更為安全，所以P1－P2＞0，即p（p－1）2（3p－2）＞0.因為0＜p＜1，所以＜p＜1.
15.解：∵成績服從正態分布N（80，52），
∴μ＝80，σ＝5，則μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
∴成績在（75，85）內的同學約占全班同學的68.3%，成績在（80，85）內的同學約占全班同學的34.15%.
設該班有x名同學，
則x·34.15%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成績在（70，90）內的同學約占全班同學的95.4%，成績在90分以上的同學約占全班同學的×（1－95.4%）＝2.3%，
50×2.3%≈1（人）.
故成績在90分以上的僅有1人.
16.解：（1）由概率分布的性質得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，
解得a＝0.2，
∴X的概率分布為
X 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.4 0.2
∴E（X）＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
（2）設事件A表示“兩個月內共被投訴2次”；事件A1表示“兩個月內有一個月被投訴2次，另一個月被投訴0次”；事件A2表示“兩個月均被投訴1次”.
則由事件的獨立性得P（A1）＝·P（X＝2）·P（X＝0）＝2×0.4×0.1＝0.08，
P（A2）＝[P（X＝1）]2＝0.32＝0.09.
∴P（A）＝P（A1）＋P（A2）＝0.08＋0.09＝0.17.
故該企業在這兩個月內共被消費者投訴2次的概率為0.17.
17.解：（1）因為從甲箱中任意取兩球放入乙箱僅有3種可能：取得兩白球，取得一黑球和一白球，取得兩黑球，分別用A1，A2，A3表示.設B表示從乙箱中取出的兩球是白球，則有
P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，P（A3）＝＝，
P（B｜A1）＝＝，P（B｜A2）＝＝，P（B｜A3）＝0，
由全概率公式得到P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）＝×＋×＋×0＝.
（2）P（A1｜B）＝＝＝.
18.解：（1）由題表得，李夢與父親比賽獲勝的頻率為，與母親比賽獲勝的頻率為，與弟弟比賽獲勝的頻率為.
X的可能取值為0，1，2，3.
P（X＝0）＝（1－）×（1－）×（1－）＝，
P（X＝1）＝（1－）×（1－）×＋（1－）××（1－）＋×（1－）×（1－）＝，
P（X＝2）＝（1－）××＋×（1－）×＋××（1－）＝，
P（X＝3）＝××＝.
故X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
所以D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝.
（2）易知李夢所得獎勵金為5X元，則E（5X）＝5E（X）＝，D（5X）＝52D（X）＝.
19.解：（1）由題設得P（38＜X＜42）＝0.683，P（36＜X＜44）＝0.954，
所以F（44）－F（38）＝P（X≤44）－P（X≤38）＝P（40≤X≤44）＋P（38≤X≤40）
＝×（0.683＋0.954）＝0.818 5.
（2）①證明：由題設得：
P（T＞t1｜T＞t2）＝＝＝＝＝＝＝，
P（T＞t1－t2）＝1－P（T≤t1－t2）＝1－G（t1－t2）＝，
所以P（T＞t1｜T＞t2）＝P（T＞t1－t2）.
②由①得P（T＞n＋1｜T＞n）＝P（T＞1）＝1－P（T≤1）＝1－G（1）＝，
所以第n＋1天元件B，C正常工作的概率均為.
為使第n＋1天系統仍正常工作，元件B，C必須至少有一個正常工作，
因此所求概率為1－（1－）2＝.
3 / 3(共40張PPT)
章末檢測（八）　概率
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 已知離散型隨機變量X的概率分布如下，則p＝（　　）
X 1 2 3 4
P p
解析： 　由 ＋ ＋ ＋p＝1得，p＝ .故選C.
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2. 已知隨機變量X服從正態分布N（3，σ2），且P（X＜1）＝0.1，
則P（3≤X≤5）＝（　　）
A. 0.1 B. 0.2
C. 0.3 D. 0.4
解析： 　因為隨機變量X服從正態分布N（3，σ2），所以正態密
度曲線關于直線x＝3對稱，又P（X＜1）＝0.1，所以P（X＞
5）＝0.1，則P（3≤X≤5）＝ ＝ ＝0.4.
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3. 設隨機變量X等可能地取值1，2，3，…，10.又設隨機變量Y＝2X
－1，則P（Y＜6）＝（　　）
A. 0.3 B. 0.5
C. 0.1 D. 0.2
解析： 　由Y＝2X－1＜6，得X＜3.5，∴P（Y＜6）＝P（X
＜3.5）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.3.
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4. 由1，2組成的有重復數字的三位數中，若用A表示事件“十位數字
為1”，用B表示事件“百位數字為1”，則P（A｜B）＝
（　　）
解析： 　∵P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ ，∴P
（A｜B）＝ ＝ .
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5. 學校要從10名候選人中選2名加入學生會，其中高二（1）班有4名
候選人，假設每名候選人都有相同的機會被選到.若X表示選到高
二（1）班的候選人的人數，則E（X）＝（　　）
解析： 　由題意得隨機變量X服從超幾何分布，且N＝10，M＝
4，n＝2，則E（X）＝ ＝ ＝ .
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6. 位于坐標原點的一個質點P按下述規則移動：質點每次移動一個單
位，移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是
.質點P移動5次后位于點（2，3）的概率為（　　）
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解析： 依題意，質點在移動過程中向右移動2次，向上移動3
次，因此質點P移動5次后位于點（2，3）的概率P＝ ×（ ）
2×（1－ ）3＝ （ ）5.
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7. 某人投籃命中的概率為0.6，則投籃14次，最有可能命中的次數為
（　　）
A. 7 B. 8
C. 7或8 D. 8或9
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解析： 　投籃命中次數X～B（14，0.6），P（X＝k）＝
·0.6k·0.414－k，設最有可能命中m次，則

8≤m≤9，∵m∈Z，∴m＝8或m＝9.∴最有可能命中8或9次.
故選D.
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8. 泊松分布的概率分布為P（X＝k）＝ e－λ（k＝0，1，
2，…），其中e為自然對數的底數，λ是泊松分布的均值.若隨機
變量X服從二項分布，當n很大且p很小時，二項分布近似于泊松
分布，其中λ＝np，即X～B（n，p），P（X＝i）＝
（n∈N）.現已知某種元件的次品率為0.01，抽檢100
個該種元件，則次品率小于3%的概率約為（參考數據： ＝0.367
879…）（　　）
A. 99% B. 97%
C. 92% D. 74%
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解析： 　依題意， n＝100，p＝0.01，泊松分布可作為二項分布
的近似，此時λ＝100×0.01＝1，則P（X＝k）＝ e－1，于是P
（X＝0）＝ e－1＝ ，P（X＝1）＝ e－1＝ ，P（X＝2）＝
e－1＝ ，所以次品率小于3%的概率約為P＝P（X＝0）＋P（X
＝1）＋P（X＝2）＝ ＋ ＋ ≈92%.故選C.
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二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選
對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 下列隨機變量中屬于離散型隨機變量的是（　　）
A. 某電話亭內的一部電話1小時內使用的次數記為X
B. 測量一個年級所有學生的體重，在60 kg～70 kg之間的體重記為X
C. 測量全校所有同學的身高，在170 cm～175 cm之間的人數記為X
D. 一個數軸上隨機運動的質點在數軸上的位置記為X
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解析： 　電話1小時內使用的次數是可以列舉的，是離散型隨機
變量，選項A正確；體重無法一一列舉，選項B不正確；人數可以
列舉，選項C正確；數軸上的點有無數個，點的位置是連續型隨機
變量，選項D不正確.故選A、C.
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10. 隨機變量X～N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＋P（X≥t）＝
0.5，隨機變量Y～B（t，p），0＜p＜1，若E（X）＝E
（Y），則（　　）
A. t＝4
D. D（2Y）＝2
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解析： 　因為X～N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＋P
（X≥t）＝0.5，所以t＝4，故A正確；因為E（X）＝2，所以
E（Y）＝E（X）＝2.因為Y～B（4，p），所以E（Y）＝4p
＝2，所以p＝ ，故B錯誤；因為Y～B（4， ），所以P
（2≤Y≤3）＝ （ ）4＋ （ ）4＝ ，故C正確；因為D
（Y）＝4× ×（1－ ）＝1，所以D（2Y）＝4D（Y）＝4，
故D錯誤.故選A、C.
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11. 有n（n∈N*，n≥10）個編號分別為1，2，3，…，n的盒子，1
號盒子中有2個白球和1個黑球，其余盒子中均有1個白球和1個黑
球.現從1號盒子任取一球放入2號盒子；再從2號盒子任取一球放
入3號盒子；…；以此類推，記“從i號盒子取出的球是白球”為
事件Ai（i＝1，2，3，…，n），則（　　）
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解析： 　對A，P（A1A2）＝ × ＝ ，所以A錯誤；對B，
P（A2）＝ × ＋ × ＝ ，故P（A1｜A2）＝ ＝
，所以B正確；對C，P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）－P
（A1A2）＝ ＋ － ＝ ，所以C正確；對D，由題意P（An）＝ P（An－1）＋ [1－P（An－1）]，所以P（An）－ ＝ ［P（An－1）－ ］，P（A1）＝ ，P（A1）－ ＝ － ＝ ，所以P（An）－ ＝ ×（ ）n－1＝ ×（ ）n，所以P（An）＝ ·（1＋ ），則P（A10）＝ ·（1＋ ），所以D錯誤.故選B、C.
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解析：P（X＝4）＝ × × × ＝ .
　
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13. 已知隨機事件A，B，P（A）＝ ，P（B）＝ ，P（A｜B）
＝ ，則P（B｜A）＝ 　 　.
解析：由條件概率可得P（A｜B）＝ ＝ P（AB）＝
× ＝ ，所以P（B｜A）＝ ＝ ＝ .
　
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（ ，1）　
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解析：由已知可得，飛機引擎正常運行的個數X～B（n，p），
所以4引擎飛機正常飛行的概率為P1＝ p2（1－p）2＋ p3（1
－p）＋ p4＝3p4－8p3＋6p2；2引擎飛機正常飛行的概率為P2
＝ p（1－p）＋ p2＝－p2＋2p.所以P1－P2＝3p4－8p3＋
6p2－（－p2＋2p）＝p（p－1）2（3p－2）.因為4引擎飛機比2
引擎飛機更為安全，所以P1－P2＞0，即p（p－1）2（3p－2）
＞0.因為0＜p＜1，所以 ＜p＜1.
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說
明、證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）在某次大型考試中，某班同學的成績服從正
態分布N（80，52），現在已知該班同學中成績在80～85分的有
17人，則該班成績在90分以上的同學有多少人？
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解：∵成績服從正態分布N（80，52），
∴μ＝80，σ＝5，則μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
∴成績在（75，85）內的同學約占全班同學的68.3%，成績在
（80，85）內的同學約占全班同學的34.15%.
設該班有x名同學，
則x·34.15%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成績在（70，90）內的同學約占全班同學的95.4%，成績在90
分以上的同學約占全班同學的 ×（1－95.4%）＝2.3%，
50×2.3%≈1（人）.
故成績在90分以上的僅有1人.
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16. （本小題滿分15分）某食品企業一個月內被消費者投訴的次數用
X表示，據統計，隨機變量X的概率分布如下表：
X 0 1 2 3
P 0.1 0.3 2a a
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（1）求a的值和X的均值；
解： 由概率分布的性質得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，
解得a＝0.2，
∴X的概率分布為
X 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.4 0.2
∴E（X）＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
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（2）假設一月份與二月份被消費者投訴的次數互不影響，求該企
業在這兩個月內共被消費者投訴2次的概率.
解： 設事件A表示“兩個月內共被投訴2次”；事件A1
表示“兩個月內有一個月被投訴2次，另一個月被投訴0
次”；事件A2表示“兩個月均被投訴1次”.
則由事件的獨立性得P（A1）＝ ·P（X＝2）·P（X＝
0）＝2×0.4×0.1＝0.08，
P（A2）＝[P（X＝1）]2＝0.32＝0.09.
∴P（A）＝P（A1）＋P（A2）＝0.08＋0.09＝0.17.
故該企業在這兩個月內共被消費者投訴2次的概率為0.17.
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17. （本小題滿分15分）已知甲箱中有3個白球和2個黑球，乙箱中有1
個白球和2個黑球，從甲箱中任意取兩球放入乙箱，然后再從乙箱
中任意取出兩球，試求：
（1）從乙箱中取出的兩球是白球的概率；
解： 因為從甲箱中任意取兩球放入乙箱僅有3種可能：取得兩白球，取得一黑球和一白球，取得兩黑球，分別用A1，A2，A3表示.設B表示從乙箱中取出的兩球是白球，則有
P（A1）＝ ＝ ，P（A2）＝ ＝ ，P（A3）＝ ＝ ，
P（B｜A1）＝ ＝ ，P（B｜A2）＝ ＝ ，P（B｜A3）＝0，
由全概率公式得到P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai）＝ × ＋
× ＋ ×0＝ .
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（2）在乙箱中取出的兩球是白球的條件下，從甲箱中取出的兩球
是白球的概率.
解： P（A1｜B）＝ ＝ ＝ .
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18. （本小題滿分17分）某周末李夢提出和父親、母親、弟弟進行羽
毛球比賽，李夢與他們三人各進行一場比賽，共進行三場比賽，
每場比賽都沒有平局，且三場比賽相互獨立.下表是李夢最近分別
與父親、母親、弟弟比賽的情況：
父親 母親 弟弟
比賽次數 50 60 40
李夢獲勝次數 10 30 32
以上表中的頻率作為概率，解答下列問題：
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（1）若李夢勝一場得1分，負一場得0分，設李夢的得分為X分，
求X的概率分布、期望和方差；
解： 由題表得，李夢與父親比賽獲勝的頻率為 ，與
母親比賽獲勝的頻率為 ，與弟弟比賽獲勝的頻率為 .
X的可能取值為0，1，2，3.
P（X＝0）＝（1－ ）×（1－ ）×（1－ ）＝ ，
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P（X＝1）＝（1－ ）×（1－ ）× ＋（1－ ）× ×
（1－ ）＋ ×（1－ ）×（1－ ）＝ ，
P（X＝2）＝（1－ ）× × ＋ ×（1－ ）× ＋ ×
×（1－ ）＝ ，
P（X＝3）＝ × × ＝ .
故X的概率分布為
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X 0 1 2 3
P
E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ ，
所以D（X）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－
）2× ＋（3－ ）2× ＝ .
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（2）若李夢贏一場比賽能得到5元的獎勵金，求李夢所得獎勵金
的期望和方差.
解： 易知李夢所得獎勵金為5X元，則E（5X）＝5E
（X）＝ ，D（5X）＝52D（X）＝ .
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19. （本小題滿分17分）正態分布與指數分布均是用于描述連續型隨
機變量的概率分布.對于一個給定的連續型隨機變量X，定義其累
積分布函數為F（x）＝P（X≤x）.已知某系統由一個電源和并
聯的A，B，C三個元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少
一個元件正常工作才可保證系統正常運行，電源及各元件之間工
作相互獨立.
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（1）已知電源電壓X（單位：V）服從正態分布N（40，4），
且X的累積分布函數為F（x），求F（44）－F（38）；
解： 由題設得P（38＜X＜42）＝0.683，P（36＜X
＜44）＝0.954，
所以F（44）－F（38）＝P（X≤44）－P（X≤38）＝P
（40≤X≤44）＋P（38≤X≤40）
＝ ×（0.683＋0.954）＝0.818 5.
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（2）在數理統計中，指數分布常用于描述事件發生的時間間隔或
等待時間.已知隨機變量T（單位：天）表示某高穩定性元
件的使用壽命，且服從指數分布，其累積分布函數為G
（t）＝
①設t1＞t2＞0，證明：P（T＞t1｜T＞t2）＝P（T＞t1－t2）；
②若第n天元件A發生故障，求第n＋1天系統正常運行的
概率.
附：若隨機變量Y服從正態分布N（μ，σ2），則P（｜Y
－μ｜＜σ）＝0.683，P（｜Y－μ｜＜2σ）＝0.954，P
（｜Y－μ｜＜3σ）＝0.997.
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解： ①證明：由題設得：
P（T＞t1｜T＞t2）＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝ ＝ ，
P（T＞t1－t2）＝1－P（T≤t1－t2）＝1－G（t1－t2）＝
，
所以P（T＞t1｜T＞t2）＝P（T＞t1－t2）.
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②由①得P（T＞n＋1｜T＞n）＝P（T＞1）＝1－P
（T≤1）＝1－G（1）＝ ，
所以第n＋1天元件B，C正常工作的概率均為 .
為使第n＋1天系統仍正常工作，元件B，C必須至少有一個
正常工作，
因此所求概率為1－（1－ ）2＝ .
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