資源簡介

9.1.1　變量的相關性
1.下列說法正確的是（　　）
A.圓的面積與半徑之間的關系是相關關系 B.體育鍛煉與身體健康指標之間的關系是函數關系
C.一定范圍內，學生的成績與學習時間正相關 D.人的體重與視力負相關
2.下列圖形中具有相關關系的兩個變量是（　　）
3.（2024·南通月考）已知四組不同數據的兩變量的樣本相關系數如下：數據組①：r1＝0；數據組②：r2＝－0.95；數據組③：｜r3｜＝0.89；數據組④：r4＝0.75.下列說法正確的是（　　）
A.數據組①對應的數據點都在同一直線上 B.數據組②中的兩變量線性相關性最強
C.數據組③中的兩變量線性相關性最強 D.數據組④中的兩變量線性相關性最弱
4.某商家今年上半年各月的人均銷售額（單位：千元）與利潤率統計表如下：
月份 1 2 3 4 5 6
人均銷售額 6 5 8 3 4 7
利潤率（%） 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3
根據表中數據，下列說法正確的是（　　）
A.利潤率與人均銷售額成正比例函數關系
B.利潤率與人均銷售額成反比例函數關系
C.利潤率與人均銷售額成正相關關系
D.利潤率與人均銷售額成負相關關系
5.（2024·蘇州月考）第一組樣本點為（－5，－8.9），（－4，－7.2），（－3，－4.8），（－2，－3.3），（－1，－0.9），第二組樣本點為（1，8.9），（2，7.2），（3，4.8），（4，3.3），（5，0.9），第一組變量的樣本相關系數為r1，第二組變量的樣本相關系數為r2，則（　　）
A.r1＞0＞r2 B.r2＞0＞r1
C.r1＜r2＜0 D.r2＞r1＞0
6.（多選）某校地理學興趣小組在某座山測得海拔高度、氣壓和沸點的六組數據繪制成散點圖如圖所示，則下列說法正確的是（　　）
A.沸點與海拔高度呈正相關
B.沸點與氣壓呈正相關
C.沸點與海拔高度呈負相關
D.沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關性都很強
7.以下是收集到的某物品的銷售價格y（萬元）和物品的大小x（m2）的數據：
物品大小/m2 11.5 110 80 135 105
銷售價格/萬元 4.8 21.6 18.4 29.2 22
則根據數據可以判斷x，y　　　　相關關系.（填“有”或“無”）
8.已知（yi－）2是（xi－）2的4倍，（xi－）·（yi－）是（xi－）2的1.5倍，則樣本相關系數r＝　　　　.
9.5名學生的數學和物理成績如下表：
　　　　　學生 成績　　 學科　　　　　 A B C D E
數學 80 75 70 65 60
物理 70 66 68 64 62
畫出散點圖，并判斷它們是否具有相關關系.
10.（2024·揚州月考）已知兩組數據a1，a2，…，a10和b1，b2，…，b10，其中1≤i≤10且i∈Z時，ai＝i；1≤i≤9且i∈Z時，bi＝ai，b10＝a，我們研究這兩組數據的相關性，在集合{8，11，12，13}中取一個元素作為a的值，使得相關性最強，則a＝（　　）
A.8　　 　B.11 C.12　　　D.13
11.（多選）已知變量x，y的樣本相關系數為r1，變量m，n的樣本相關系數為r2，下列說法中正確的有（　　）
A.若｜r1｜＝0.96，則說明變量x，y之間的線性相關性強
B.若r1＞r2，則說明變量x，y之間的線性相關性比變量m，n之間的線性相關性強
C.若0＜r1＜1，則說明變量x，y之間的相關性為正相關
D.若r1＝0，則說明變量x，y之間不相關
12.已知某個樣本點中的變量x，y線性相關，樣本相關系數r＜0，則在以（，）為坐標原點的坐標系下的散點圖中，大多數的點都落在第　　　　象限.
13.某生物小組為了研究溫度對某種酶的活性的影響進行了一組試驗，試驗數據經整理得到如圖所示的折線圖，由圖可以看出，這種酶的活性指標值y與溫度x具有較強的線性相關關系，請用樣本相關系數加以說明.
附：（xi－）（yi－）＝85，＝5.5，≈2.65.
14.（2024·南京月考）交通安全法有規定：機動車行經人行橫道時，應當減速行駛；遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行；機動車行經沒有交通信號燈的道路時，遇行人橫過馬路，應當避讓.我們將符合這條規定的行為稱為“禮讓斑馬線”，不符合這條規定的行為稱為“不禮讓斑馬線”.下表是某市某十字路口監控設備所抓拍的5個月內駕駛員“不禮讓斑馬線”行為的統計數據：
月份x 1 2 3 4 5
“不禮讓斑馬線”的駕駛員人數y 120 105 100 85 90
（1）根據表中所給的5個月的數據，請計算樣本相關系數r并加以說明；
（2）若從4，5月份“不禮讓斑馬線”的駕駛員中分別選取4人和2人，再從所選取的6人中任意抽取2人進行交通法規的調查，求抽取的2人分別來自兩個月份的概率.
參考公式：樣本相關系數
r＝.
9.1.1　變量的相關性
1.C　圓的面積與半徑之間的關系是確定的函數關系，所以A中說法錯誤；體育鍛煉與身體健康指標之間的關系不是函數關系，是相關關系，所以B中說法錯誤；人的體重與視力沒有關系，所以D中說法錯誤；易知C中說法正確.故選C.
2.D　A和B符合函數關系；從C、D散點圖來看，D的散點都在某一條直線附近波動，因此兩變量具有相關關系.
3.B　數據組①中r1＝0，表明兩變量不具有線性相關性，故A錯誤；因為｜r2｜＞｜r3｜＞｜r4｜＞｜r1｜，所以數據組②中的兩變量線性相關性最強，故B正確，C錯誤；數據組①中r1＝0，則兩變量線性相關性最弱，故D錯誤.
4.C　根據題意，畫出利潤與人均銷售額的散點圖，如圖所示：
由散點圖知，利潤率與人均銷售額成正相關關系.故選C.
5.A　觀察第一組樣本點，y隨x的增大而增大，故r1＞0；觀察第二組樣本點，y隨x的增大而減小，故r2＜0.綜上：r1＞0＞r2.故選A.
6.BCD　由題左圖知氣壓隨海拔高度的增加而減小，由題右圖知沸點隨氣壓的升高而升高，所以沸點與氣壓呈正相關，沸點與海拔高度呈負相關，由于兩個散點圖中的點都成線性分布，所以沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關性都很強，故B、C、D正確，A錯誤.
7.有　解析：由數據表可以看出，兩個變量的變化趨勢為物品大小的值由小變大時，銷售價格也由小變大，因此兩個變量有相關關系.
8.　解析：由r＝
，得r＝.
9.解：把數學成績作為橫坐標，把相應的物理成績作為縱坐標，在直角坐標系中描點，作出散點圖如圖.
從圖中可以直觀地看出數學成績和物理成績具有相關關系，且當數學成績增大時，物理成績也在由小變大，即它們是正相關.
10.B　設點的坐標為（ai，bi），1≤i≤10且i∈Z，由題意得前9個點位于直線y＝x上，a10＝10，則要使相關性更強，b10應更接近10，四個選項中11更接近10，故選B.
11.ACD　｜r｜越接近于1，相關程度越大，故若｜r1｜＝0.96，則說明變量x，y之間線性相關性強，故A正確；只有｜r1｜＞｜r2｜，才能說明變量x，y之間的線性相關性比變量m，n之間的線性相關性強，故B錯誤；當r＞0時，表明兩個變量正相關；當r＜0時，表明兩個變量負相關，故若0＜r1＜1，則說明變量x，y之間的相關性為正相關，故C正確；｜r｜越接近于0，相關程度越小，故若r1＝0，則說明變量x，y之間不相關，故D正確.故選A、C、D.
12.二、四　解析：由r＝＜0，則（xi－）（yi－）＜0，所以大多數點xi－與yi－異號，又（，）為坐標原點，故大多數的點都落在第二、四象限.
13.解：由題意得＝×（8＋11＋14＋20＋23＋26）＝17，（xi－）2＝（8－17）2＋（11－17）2＋（14－17）2＋（20－17）2＋（23－17）2＋（26－17）2＝252，∴r＝＝＝≈0.97，
由此可得這種酶的活性指標值y與溫度x具有較強的線性相關關系.
14.解：（1）＝3，＝100，（xi－）（yi－）＝－80，（xi－）2＝10，（yi－）2＝750，
則r＝＝≈－0.924，故y與x的線性相關程度很高.
（2）從4月份選取的4人分別記為a1，a2，a3，a4，從5月份選取的2人分別記為B1，B2.從這6人中任意抽取2人進行交通法規調查包含的樣本點有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，B1），（a1，B2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，B1），（a2，B2），（a3，a4），（a3，B1），（a3，B2），（a4，B1），（a4，B2），（B1，B1），共15個，其中“抽取的2人分別來自兩個月份”包含的樣本點為（a1，B1），（a1，B2），（a2，B1），（a2，B2），（a3，B1），（a3，B2），（a4，B1），（a4，B2），共8個，故所求概率為.
2 / 39.1.1　變量的相關性
新課程標準解讀 核心素養
1.結合實例，體會兩個變量間的相關關系 數學抽象
2.掌握相關關系的判斷，能根據散點圖對線性相關關系進行判斷 直觀想象
3.了解兩個變量間的樣本相關系數r，能利用樣本相關系數r判斷兩個變量線性相關程度的大小 數據分析
　　有這樣一種說法：“如果你的數學成績好，那么你的物理成績就不會有什么大問題.”按照這種說法，似乎學生的物理成績與數學成績之間存在著某種關系.我們把數學成績和物理成績看成是兩個變量.
【問題】　這兩個變量之間的關系是函數關系嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　相關關系
　兩個變量之間具有一定的聯系，但又沒有確定性　　　　關系，這種關系稱為相關關系.
提醒　相關關系與函數關系的異同點：相同點：均是指兩個變量的關系；不同點：①函數關系是一種確定的關系，而相關關系是一種非確定的關系；②相關關系中兩個變量之間產生相關關系的原因受許多不確定的隨機因素的影響.
知識點二　散點圖與相關性
1.散點圖
為直觀地描述樣本數據中兩個變量間的關系，用橫坐標表示其中的一個變量，縱坐標表示另一個變量，則樣本數據都可以用平面直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成的統計圖稱為散點圖.
2.線性相關關系
在散點圖中，散點散布在　　　　　　　附近，說明這兩個變量具有相關關系.我們將具有這種特性的相關關系稱為線性相關關系.
3.相關關系的分類
具有相關關系的兩個變量的散點圖：
（1）如果散點呈從　　　　　向　　　　　方向發展的趨勢，稱這兩個變量之間正相關.
（2）如果散點呈從　　　　　向　　　　　方向發展的趨勢，則稱這兩個變量之間負相關.
知識點三　樣本相關系數
1.樣本相關系數
我們將　　　　　　　　　　稱為n對數據（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）的樣本相關系數，記為　　　，
即r＝
＝
＝ .
2.樣本相關系數的性質
（1）－1≤r≤1；
（2）r＞0時y與x呈　　　相關關系，r＜0時y與x呈　　　相關關系；
（3）｜r｜越接近　　　，y與x相關的程度就越強，｜r｜越接近　　　，y與x相關的程度就越弱.
提醒　通常情況下當｜r｜＞0.5時，認為線性相關關系顯著；當｜r｜＜0.3時，認為幾乎沒有線性相關關系；當｜r｜＝1時，說明成對樣本數據落在一條直線上.
【想一想】
能否說“r越大，兩個變量的相關性越強；r越小，兩個變量的相關性越弱”？
1.下列兩個變量之間的關系是相關關系的是（　　）
A.正方體的棱長與體積
B.土地單位面積的產量為常數時，土地面積與總產量
C.日照時間與水稻的畝產量
D.電壓一定時，電流與電阻
2.（多選）如圖是根據x，y的觀測數據（xi，yi）（i＝1，2，…，10）得到的散點圖，由這些散點圖可以判斷變量x，y具有線性相關關系的圖是（　　）
3.已知甲、乙、丙3組數據的線性相關系數分別為0.81，－0.98，0.63，其中　　　　（填“甲、乙、丙”中的一個）組數據的線性相關性最強.
題型一 變量間的相關關系的判斷
【例1】　（鏈接教科書第151頁例1）（多選）下列兩個變量存在相關關系的為（　　）
A.扇形的半徑與面積之間的關系 B.降雪量與交通事故的發生率之間的關系
C.人的身高與體重之間的關系 D.家庭的支出與收入之間的關系
通性通法
兩個變量之間相關關系的判斷方法
（1）根據生活、學習經驗進行判斷；
（2）根據兩個變量相應值的對應關系進行判斷.
【跟蹤訓練】
（多選）下列說法正確的是（　　）
A.闖紅燈與交通事故發生率的關系是相關關系 B.同一物體的加速度與作用力是函數關系
C.產品的成本與產量之間的關系是函數關系 D.廣告費用與銷售量之間的關系是相關關系
題型二 散點圖與相關性
【例2】　下面是水稻產量與施化肥量的一組觀測數據（單位：千克/畝）：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻產量 320 330 360 410 460 470 480
（1）將上述數據制成散點圖；
（2）你能從散點圖中發現施化肥量與水稻產量近似成什么關系嗎？水稻產量會一直隨施化肥量的增加而增加嗎？
通性通法
由散點圖判斷線性相關關系的方法
　　通過散點圖，觀察它們的分布是否存在一定的規律，直觀地進行判斷.如果發現點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量之間就是線性相關關系，注意不要受個別點的影響.
【跟蹤訓練】
（2024·無錫月考）對變量x，y有成對樣本數據（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散點圖（如圖①）；對變量u，v有成對樣本數據（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散點圖（如圖②）.由這兩個散點圖可以判斷（　　）
A.變量x與y正相關，u與v正相關 B.變量x與y正相關，u與v負相關
C.變量x與y負相關，u與v正相關 D.變量x與y負相關，u與v負相關
題型三 樣本相關系數及應用
角度1　樣本相關系數的性質
【例3】　（1）兩個變量x，y的樣本相關系數r＝－0.996 2，則下列說法中正確的是（　　）
A.x與y正相關
B.x與y具有較強的線性相關關系
C.x與y不具有線性相關關系
D.x與y的線性相關關系還需進一步確定
（2）如圖①②分別表示樣本容量均為7的A，B兩組成對數據的散點圖，已知A組成對數據的樣本相關系數為r1，B組成對數據的樣本相關系數為r2，則r1與r2的大小關系為（　　）
A.r1＝r2 B.r1＜r2
C.r1＞r2 D.無法判斷
通性通法
樣本相關系數r的性質
（1）r的絕對值越接近0，相關性越弱；
（2）r的絕對值越接近1，相關性越強；
（3）在散點圖中，散點分布越接近直線，相關性越強.
角度2　樣本相關系數的計算及應用
【例4】　（鏈接教科書第156頁例2）近年來，隨著互聯網的發展，網約車服務在我國各城市迅猛發展，為人們出行提供了便利，但也給城市交通管理帶來了一些困難.為掌握網約車在M省的發展情況，M省某調查機構從該省抽取了5個城市，分別收集和分析了網約車的A，B兩項指標數xi，yi（i＝1，2，3，4，5），數據如表所示：
城市1 城市2 城市3 城市4 城市5
A指標 數x 2 4 5 6 8
B指標 數y 3 4 4 4 5
經計算得＝2，＝.
（1）畫出（x，y）的散點圖；
（2）試求y與x之間的樣本相關系數r，并利用r說明y與x是否具有較強的線性相關關系.
附：樣本相關系數公式
r＝；
參考數據：≈0.95.
通性通法
樣本相關系數的計算步驟
（1）求出，的值；
（2）求出（xi－）（yi－），（xi－）2，（yi－）2的值；
（3）代入公式計算得結果.
【跟蹤訓練】
1.（2024·徐州月考）由四組統計數據繪制的散點圖如下，關于其樣本相關系數的比較，正確的是（　　）
A.r2＜r4＜0＜r3＜r1 B.r4＜r2＜0＜r1＜r3
C.r4＜r2＜0＜r3＜r1 D.r2＜r4＜0＜r1＜r3
2.假設關于某種設備的使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）有如下統計資料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
已知＝90，＝140.78，xiyi＝112.3.
（1）求，；
（2）對x，y進行線性相關性檢驗.
1.下列兩個變量存在相關關系的是（　　）
A.利息與利率 B.居民收入與儲蓄存款
C.電視機產量與蘋果產量 D.某種商品的銷售數量一定時，銷售額與銷售價格
2.觀察下列關于兩個變量x和y的三個散點圖，它們從左到右的對應關系依次為（　　）
A.正相關、負相關、不相關 B.負相關、不相關、正相關
C.負相關、正相關、不相關 D.正相關、不相關、負相關
3.在一次試驗中，測得（x，y）的四組值分別為（1，2），（2，0），（4，－4），（－1，6），則y與x的樣本相關系數為　　　　.
9.1.1　變量的相關性
【基礎知識·重落實】
知識點一
函數
知識點二
2.一條直線　3.（1）左下　右上　（2）左上　右下
知識點三
1.　r
2.（2）正　負　（3）1　0
想一想
　提示：不能.｜r｜越大，兩個變量的相關性越強；｜r｜越小，兩個變量的相關性越弱.
自我診斷
1.C　對于A，由正方體的體積公式知，正方體的棱長與體積是函數關系，不是相關關系；對于B，單位面積的產量為常數時，土地面積與總產量是確定的關系，不是相關關系；對于C，日照時間會影響水稻的畝產量，但不是唯一因素，它們之間是相關關系；對于D，電壓一定時，電流與電阻是函數關系，不是相關關系.故選C.
2.AD　由題圖知，B、C的點呈片狀分布，沒有明顯的線性相關關系；A中y隨x的增大而減小，各點整體呈下降趨勢，x與y負相關；D中y隨x的增大而增大，各點整體呈上升趨勢，x與y正相關.
3.乙　解析：兩個變量y與x的樣本相關系數的絕對值越接近于1，它的線性相關性越強.在所給的數值中－0.98是絕對值最大的值，即乙的線性相關性最強.
【典型例題·精研析】
【例1】　BCD　扇形的半徑與面積之間的關系是函數關系，其余均為相關關系.
跟蹤訓練
　ABD　闖紅燈與發生交通事故之間不是因果關系，但具有相關性，是相關關系，A正確；物體的加速度與作用力的關系是函數關系，B正確；產品的成本與產量之間是相關關系，C錯誤；廣告費用與銷售量之間是相關關系，D正確.
【例2】　解：（1）散點圖如下：
（2）從圖中可以發現，當施化肥量由小到大變化時，水稻產量也由小變大，圖中的數據點大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產量近似成線性相關關系，但水稻產量只是在一定范圍內隨著化肥施用量的增加而增加，不會一直隨施化肥量的增加而增加.
跟蹤訓練
　C　由這兩個散點圖可以判斷，變量x與y負相關，u與v正相關.
【例3】　（1）B　（2）C　解析：（1）x與y負相關，又｜r｜非常接近1，所以x與y具有較強的線性相關關系，故選B.
（2）由題圖①可知，散點幾乎在一條直線上，且呈正相關，∴r1＞0，由題圖②可知，散點分布在一條直線附近，且呈正相關，∴r2＞0.又A組成對數據的線性相關程度比B組強，∴r1＞r2，故選C.
【例4】　解：（1）畫出（x，y）的散點圖，如圖所示：
（2）＝＝5，
＝＝4，
（xi－）（yi－）＝6，
故r＝＝＝≈0.95.
因為r≈0.95，所以可以推斷y與x呈正相關，且具有較強的線性相關關系.
跟蹤訓練
1.A　由樣本相關系數的定義以及散點圖可知r2＜r4＜0＜r3＜r1，故選A.
2.解：（1）＝＝4，
＝＝5.
（2）xiyi－5 ＝112.3－5×4×5＝12.3，
－5＝90－5×42＝10，
－5＝140.78－125＝15.78，
所以r＝≈0.979，
所以x與y之間具有很強的正相關關系.
隨堂檢測
1.B　選項A中的兩個變量具有函數關系；選項B中居民收入與儲蓄存款具有相關關系，一般來說，居民收入越高對應的儲蓄存款越多；選項C中的電視機產量與蘋果產量無任何關系；選項D中某種商品的銷售數量一定時，銷售額與銷售價格具有函數關系.
2.D　由散點圖與相關性的概念可知從左到右的第一個圖是正相關，第二個圖相關性不明確，所以不相關，第三個圖是負相關.故選D.
3.－1　解析：由題得＝1.5，＝1，＝22，＝56，xiyi＝－20，樣本相關系數r＝＝－1.
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9.1.1　變量的相關性
新課程標準解讀 核心素養
1.結合實例，體會兩個變量間的相關關系 數學抽象
2.掌握相關關系的判斷，能根據散點圖對線
性相關關系進行判斷 直觀想象
3.了解兩個變量間的樣本相關系數r，能利
用樣本相關系數r判斷兩個變量線性相關程
度的大小 數據分析
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　有這樣一種說法：“如果你的數學成績好，那么你的物理成績就
不會有什么大問題.”按照這種說法，似乎學生的物理成績與數學成
績之間存在著某種關系.我們把數學成績和物理成績看成是兩個變量.
【問題】　這兩個變量之間的關系是函數關系嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識點一　相關關系
　兩個變量之間具有一定的聯系，但又沒有確定性 關系，這
種關系稱為相關關系.
提醒　相關關系與函數關系的異同點：相同點：均是指兩個變量的關
系；不同點：①函數關系是一種確定的關系，而相關關系是一種非確
定的關系；②相關關系中兩個變量之間產生相關關系的原因受許多不
確定的隨機因素的影響.
函數　
知識點二　散點圖與相關性
1. 散點圖
為直觀地描述樣本數據中兩個變量間的關系，用橫坐標表示其中的
一個變量，縱坐標表示另一個變量，則樣本數據都可以用平面直角
坐標系中的點表示出來，由這些點組成的統計圖稱為散點圖.
2. 線性相關關系
在散點圖中，散點散布在 附近，說明這兩個變量具有
相關關系.我們將具有這種特性的相關關系稱為線性相關關系.
一條直線　
3. 相關關系的分類
具有相關關系的兩個變量的散點圖：
（1）如果散點呈從 向 方向發展的趨勢，稱這兩
個變量之間正相關.
（2）如果散點呈從 向 方向發展的趨勢，則稱這
兩個變量之間負相關.
左下　
右上　
左上　
右下　
知識點三　樣本相關系數
1. 樣本相關系數
我們將 稱為n對數據（x1，y1），
（x2，y2），…，（xn，yn）的樣本相關系數，記為 ，
　
r　
即r＝
＝
＝ .
2. 樣本相關系數的性質
（1）－1≤r≤1；
（2）r＞0時y與x呈 相關關系，r＜0時y與x呈 相關
關系；
（3）｜r｜越接近 ，y與x相關的程度就越強，｜r｜越接
近 ，y與x相關的程度就越弱.
正　
負　
1　
0　
提醒　通常情況下當｜r｜＞0.5時，認為線性相關關系顯
著；當｜r｜＜0.3時，認為幾乎沒有線性相關關系；當｜
r｜＝1時，說明成對樣本數據落在一條直線上.
【想一想】
能否說“r越大，兩個變量的相關性越強；r越小，兩個變量
的相關性越弱”？
提示：不能.｜r｜越大，兩個變量的相關性越強；｜r｜越
小，兩個變量的相關性越弱.
1. 下列兩個變量之間的關系是相關關系的是（　　）
A. 正方體的棱長與體積
B. 土地單位面積的產量為常數時，土地面積與總產量
C. 日照時間與水稻的畝產量
D. 電壓一定時，電流與電阻
解析： 　對于A，由正方體的體積公式知，正方體的棱長與體積
是函數關系，不是相關關系；對于B，單位面積的產量為常數時，
土地面積與總產量是確定的關系，不是相關關系；對于C，日照時
間會影響水稻的畝產量，但不是唯一因素，它們之間是相關關系；
對于D，電壓一定時，電流與電阻是函數關系，不是相關關系.故
選C.
2. （多選）如圖是根據x，y的觀測數據（xi，yi）（i＝1，2，…，
10）得到的散點圖，由這些散點圖可以判斷變量x，y具有線性相
關關系的圖是（　　）
解析： 　由題圖知，B、C的點呈片狀分布，沒有明顯的線
性相關關系；A中y隨x的增大而減小，各點整體呈下降趨勢，x
與y負相關；D中y隨x的增大而增大，各點整體呈上升趨勢，x與
y正相關.
3. 已知甲、乙、丙3組數據的線性相關系數分別為0.81，－0.98，
0.63，其中 （填“甲、乙、丙”中的一個）組數據的線性相
關性最強.
解析：兩個變量y與x的樣本相關系數的絕對值越接近于1，它的線
性相關性越強.在所給的數值中－0.98是絕對值最大的值，即乙的
線性相關性最強.
乙　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 變量間的相關關系的判斷
【例1】　（鏈接教科書第151頁例1）（多選）下列兩個變量存在相
關關系的為（　　）
A. 扇形的半徑與面積之間的關系
B. 降雪量與交通事故的發生率之間的關系
C. 人的身高與體重之間的關系
D. 家庭的支出與收入之間的關系
解析：扇形的半徑與面積之間的關系是函數關系，其余均為相關關系.
通性通法
兩個變量之間相關關系的判斷方法
（1）根據生活、學習經驗進行判斷；
（2）根據兩個變量相應值的對應關系進行判斷.
【跟蹤訓練】
（多選）下列說法正確的是（　　）
A. 闖紅燈與交通事故發生率的關系是相關關系
B. 同一物體的加速度與作用力是函數關系
C. 產品的成本與產量之間的關系是函數關系
D. 廣告費用與銷售量之間的關系是相關關系
解析： 　闖紅燈與發生交通事故之間不是因果關系，但具有相關
性，是相關關系，A正確；物體的加速度與作用力的關系是函數關
系，B正確；產品的成本與產量之間是相關關系，C錯誤；廣告費用
與銷售量之間是相關關系，D正確.
題型二 散點圖與相關性
【例2】　下面是水稻產量與施化肥量的一組觀測數據（單位：千克/
畝）：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻產量 320 330 360 410 460 470 480
（1）將上述數據制成散點圖；
解： 散點圖如圖：
（2）你能從散點圖中發現施化肥量與水稻產量近似成什么關系嗎？
水稻產量會一直隨施化肥量的增加而增加嗎？
解： 從圖中可以發現，當施化肥量由小到大變化時，水稻
產量也由小變大，圖中的數據點大致分布在一條直線的附近，
因此施化肥量和水稻產量近似成線性相關關系，但水稻產量只
是在一定范圍內隨著化肥施用量的增加而增加，不會一直隨施
化肥量的增加而增加.
通性通法
由散點圖判斷線性相關關系的方法
　　通過散點圖，觀察它們的分布是否存在一定的規律，直觀地進行
判斷.如果發現點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩
個變量之間就是線性相關關系，注意不要受個別點的影響.
【跟蹤訓練】
（2024·無錫月考）對變量x，y有成對樣本數據（xi，yi）（i＝1，
2，…，10），得散點圖（如圖①）；對變量u，v有成對樣本數據
（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散點圖（如圖②）.由這兩個散
點圖可以判斷（　　）
A. 變量x與y正相關，u與v正相關
B. 變量x與y正相關，u與v負相關
C. 變量x與y負相關，u與v正相關
D. 變量x與y負相關，u與v負相關
解析：由這兩個散點圖可以判斷，變量x與y負相關，u與v正相關.
題型三 樣本相關系數及應用
角度1　樣本相關系數的性質
【例3】　（1）兩個變量x，y的樣本相關系數r＝－0.996 2，則下列
說法中正確的是（　B　）
A. x與y正相關
B. x與y具有較強的線性相關關系
C. x與y不具有線性相關關系
D. x與y的線性相關關系還需進一步確定
B
解析： x與y負相關，又｜r｜非常接近1，所以x與y具有
較強的線性相關關系，故選B.
（2）如圖①②分別表示樣本容量均為7的A，B兩組成對數據的散點
圖，已知A組成對數據的樣本相關系數為r1，B組成對數據的樣
本相關系數為r2，則r1與r2的大小關系為（　C　）
A. r1＝r2 B. r1＜r2
C. r1＞r2 D. 無法判斷
C
解析：由題圖①可知，散點幾乎在一條直線上，且呈正相關，
∴r1＞0，由題圖②可知，散點分布在一條直線附近，且呈正相
關，∴r2＞0.又A組成對數據的線性相關程度比B組強，∴r1＞
r2，故選C.
通性通法
樣本相關系數r的性質
（1）r的絕對值越接近0，相關性越弱；
（2）r的絕對值越接近1，相關性越強；
（3）在散點圖中，散點分布越接近直線，相關性越強.
角度2　樣本相關系數的計算及應用
【例4】　（鏈接教科書第156頁例2）近年來，隨著互聯網的發展，
網約車服務在我國各城市迅猛發展，為人們出行提供了便利，但也給
城市交通管理帶來了一些困難.為掌握網約車在M省的發展情況，M
省某調查機構從該省抽取了5個城市，分別收集和分析了網約車的
A，B兩項指標數xi，yi（i＝1，2，3，4，5），數據如表所示：
城市1 城市2 城市3 城市4 城市5
A指標數x 2 4 5 6 8
B指標數y 3 4 4 4 5
經計算得 ＝2 ， ＝ .
（1）畫出（x，y）的散點圖；
解： 畫出（x，y）的散點圖，如圖所示：
（2）試求y與x之間的樣本相關系數r，并利用r說明y與x是否具有
較強的線性相關關系.
附：樣本相關系數公式
r＝ ；
參考數據： ≈0.95.
解： ＝ ＝5，
＝ ＝4，
（xi－ ）（yi－ ）＝6，
故r＝ ＝ ＝ ≈0.95.
因為r≈0.95，所以可以推斷y與x呈正相關，且具有較強的線性相關
關系.
通性通法
樣本相關系數的計算步驟
（1）求出 ， 的值；
（2）求出 （xi－ ）（yi－ ）， （xi－ ）2， （yi－ ）2
的值；
（3）代入公式計算得結果.
【跟蹤訓練】
1. （2024·徐州月考）由四組統計數據繪制的散點圖如下，關于其樣
本相關系數的比較，正確的是（　　）
A. r2＜r4＜0＜r3＜r1 B. r4＜r2＜0＜r1＜r3
C. r4＜r2＜0＜r3＜r1 D. r2＜r4＜0＜r1＜r3
解析： 由樣本相關系數的定義以及散點圖可知r2＜r4＜0＜r3＜
r1，故選A.
2. 假設關于某種設備的使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬
元）有如下統計資料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
已知 ＝90， ＝140.78， xiyi＝112.3.
（1）求 ， ；
解： ＝ ＝4， ＝ ＝5.
（2）對x，y進行線性相關性檢驗.
解： xiyi－5 ＝112.3－5×4×5＝12.3，
－5 ＝90－5×42＝10，
－5 ＝140.78－125＝15.78，
所以r＝ ≈0.979，
所以x與y之間具有很強的正相關關系.
1. 下列兩個變量存在相關關系的是（　　）
A. 利息與利率
B. 居民收入與儲蓄存款
C. 電視機產量與蘋果產量
D. 某種商品的銷售數量一定時，銷售額與銷售價格
解析： 　選項A中的兩個變量具有函數關系；選項B中居民收入與
儲蓄存款具有相關關系，一般來說，居民收入越高對應的儲蓄存款
越多；選項C中的電視機產量與蘋果產量無任何關系；選項D中某
種商品的銷售數量一定時，銷售額與銷售價格具有函數關系.
2. 觀察下列關于兩個變量x和y的三個散點圖，它們從左到右的對應
關系依次為（　　）
A. 正相關、負相關、不相關
B. 負相關、不相關、正相關
C. 負相關、正相關、不相關
D. 正相關、不相關、負相關
解析： 　由散點圖與相關性的概念可知從左到右的第一個圖是正
相關，第二個圖相關性不明確，所以不相關，第三個圖是負相關.
故選D.
3. 在一次試驗中，測得（x，y）的四組值分別為（1，2），（2，
0），（4，－4），（－1，6），則y與x的樣本相關系數為
.
解析：由題得 ＝1.5， ＝1， ＝22， ＝56， xiyi＝
－20，樣本相關系數r＝ ＝－1.
－
1　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
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1. 下列說法正確的是（　　）
A. 圓的面積與半徑之間的關系是相關關系
B. 體育鍛煉與身體健康指標之間的關系是函數關系
C. 一定范圍內，學生的成績與學習時間正相關
D. 人的體重與視力負相關
解析： 　圓的面積與半徑之間的關系是確定的函數關系，所以A
中說法錯誤；體育鍛煉與身體健康指標之間的關系不是函數關系，
是相關關系，所以B中說法錯誤；人的體重與視力沒有關系，所以
D中說法錯誤；易知C中說法正確.故選C.
2. 下列圖形中具有相關關系的兩個變量是（　　）
解析： 　A和B符合函數關系；從C、D散點圖來看，D的散點都
在某一條直線附近波動，因此兩變量具有相關關系.
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3. （2024·南通月考）已知四組不同數據的兩變量的樣本相關系數如
下：數據組①：r1＝0；數據組②：r2＝－0.95；數據組③：｜r3｜
＝0.89；數據組④：r4＝0.75.下列說法正確的是（　　）
A. 數據組①對應的數據點都在同一直線上
B. 數據組②中的兩變量線性相關性最強
C. 數據組③中的兩變量線性相關性最強
D. 數據組④中的兩變量線性相關性最弱
解析： 　數據組①中r1＝0，表明兩變量不具有線性相關性，故A
錯誤；因為｜r2｜＞｜r3｜＞｜r4｜＞｜r1｜，所以數據組②中的
兩變量線性相關性最強，故B正確，C錯誤；數據組①中r1＝0，則
兩變量線性相關性最弱，故D錯誤.
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4. 某商家今年上半年各月的人均銷售額（單位：千元）與利潤率統計
表如下：
月份 1 2 3 4 5 6
人均銷售額 6 5 8 3 4 7
利潤率（%） 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3
根據表中數據，下列說法正確的是（　　）
A. 利潤率與人均銷售額成正比例函數關系
B. 利潤率與人均銷售額成反比例函數關系
C. 利潤率與人均銷售額成正相關關系
D. 利潤率與人均銷售額成負相關關系
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解析： 　根據題意，畫出利潤
與人均銷售額的散點圖，如圖
所示：
由散點圖知，利潤率與人均銷
售額成正相關關系.故選C.
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5. （2024·蘇州月考）第一組樣本點為（－5，－8.9），（－4，－
7.2），（－3，－4.8），（－2，－3.3），（－1，－0.9），第
二組樣本點為（1，8.9），（2，7.2），（3，4.8），（4，
3.3），（5，0.9），第一組變量的樣本相關系數為r1，第二組變
量的樣本相關系數為r2，則（　　）
A. r1＞0＞r2 B. r2＞0＞r1
C. r1＜r2＜0 D. r2＞r1＞0
解析： 觀察第一組樣本點，y隨x的增大而增大，故r1＞0；觀
察第二組樣本點，y隨x的增大而減小，故r2＜0.綜上：r1＞0＞r2.
故選A.
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6. （多選）某校地理學興趣小組在某座山測得海拔高度、氣壓和沸點
的六組數據繪制成散點圖如圖所示，則下列說法正確的是（　　）
A. 沸點與海拔高度呈正相關
B. 沸點與氣壓呈正相關
C. 沸點與海拔高度呈負相關
D. 沸點與海拔高度、沸點與
氣壓的相關性都很強
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解析： 　由題左圖知氣壓隨海拔高度的增加而減小，由題
右圖知沸點隨氣壓的升高而升高，所以沸點與氣壓呈正相關，
沸點與海拔高度呈負相關，由于兩個散點圖中的點都成線性分
布，所以沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關性都很強，故
B、C、D正確，A錯誤.
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7. 以下是收集到的某物品的銷售價格y（萬元）和物品的大小x
（m2）的數據：
物品大小
/m2 11.5 110 80 135 105
銷售價格/
萬元 4.8 21.6 18.4 29.2 22
則根據數據可以判斷x，y 相關關系.（填“有”或“無”）
解析：由數據表可以看出，兩個變量的變化趨勢為物品大小的值由
小變大時，銷售價格也由小變大，因此兩個變量有相關關系.
有　
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8. 已知 （yi－ ）2是 （xi－ ）2的4倍， （xi－ ）·（yi－
）是 （xi－ ）2的1.5倍，則樣本相關系數r＝ .
解析：由r＝ ，得r＝ .
　
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9.5名學生的數學和物理成績如下表：
　　　　　學生 成績 學科　　　　　 A B C D E
數學 80 75 70 65 60
物理 70 66 68 64 62
畫出散點圖，并判斷它們是否具有相關關系.
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解：把數學成績作為橫坐標，把相應的
物理成績作為縱坐標，在直角坐標系中
描點，作出散點圖如圖.
從圖中可以直觀地看出數學成績和物理
成績具有相關關系，且當數學成績增大
時，物理成績也在由小變大，即它們是正相關.
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10. （2024·揚州月考）已知兩組數據a1，a2，…，a10和b1，
b2，…，b10，其中1≤i≤10且i∈Z時，ai＝i；1≤i≤9且i∈Z
時，bi＝ai，b10＝a，我們研究這兩組數據的相關性，在集合
{8，11，12，13}中取一個元素作為a的值，使得相關性最強，則
a＝（　　）
A. 8 B. 11
C. 12 D. 13
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解析： 　設點的坐標為（ai，bi），1≤i≤10且i∈Z，由題意
得前9個點位于直線y＝x上，a10＝10，則要使相關性更強，b10應
更接近10，四個選項中11更接近10，故選B.
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11. （多選）已知變量x，y的樣本相關系數為r1，變量m，n的樣本
相關系數為r2，下列說法中正確的有（　　）
A. 若｜r1｜＝0.96，則說明變量x，y之間的線性相關性強
B. 若r1＞r2，則說明變量x，y之間的線性相關性比變量m，n之間的線性相關性強
C. 若0＜r1＜1，則說明變量x，y之間的相關性為正相關
D. 若r1＝0，則說明變量x，y之間不相關
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解析： 　｜r｜越接近于1，相關程度越大，故若｜r1｜＝
0.96，則說明變量x，y之間線性相關性強，故A正確；只有｜
r1｜＞｜r2｜，才能說明變量x，y之間的線性相關性比變量m，
n之間的線性相關性強，故B錯誤；當r＞0時，表明兩個變量正相
關；當r＜0時，表明兩個變量負相關，故若0＜r1＜1，則說明變
量x，y之間的相關性為正相關，故C正確；｜r｜越接近于0，相
關程度越小，故若r1＝0，則說明變量x，y之間不相關，故D正
確.故選A、C、D.
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12. 已知某個樣本點中的變量x，y線性相關，樣本相關系數r＜0，則
在以（ ， ）為坐標原點的坐標系下的散點圖中，大多數的點
都落在第 象限.
解析：由r＝ ＜0，則 （xi－ ）
（yi－ ）＜0，所以大多數點xi－ 與yi－ 異號，又（ ， ）
為坐標原點，故大多數的點都落在第二、四象限.
二、四　
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13. 某生物小組為了研究溫度對某種酶的活性的影響進行了一組試
驗，試驗數據經整理得到如圖所示的折線圖，由圖可以看出，這
種酶的活性指標值y與溫度x具有較強的線性相關關系，請用樣本
相關系數加以說明.
附： （xi－ ）（yi－ ）＝85， ＝5.5， ≈2.65.
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解：由題意得 ＝ ×（8＋11＋14＋20＋23＋26）＝17，
（xi－ ）2＝（8－17）2＋（11－17）2＋（14－17）2＋（20
－17）2＋（23－17）2＋（26－17）2＝252，∴r＝
＝ ＝ ≈0.97，
由此可得這種酶的活性指標值y與溫度x具有較強的線性相關關系.
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14. （2024·南京月考）交通安全法有規定：機動車行經人行橫道時，
應當減速行駛；遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行；機動
車行經沒有交通信號燈的道路時，遇行人橫過馬路，應當避讓.我
們將符合這條規定的行為稱為“禮讓斑馬線”，不符合這條規定
的行為稱為“不禮讓斑馬線”.下表是某市某十字路口監控設備所
抓拍的5個月內駕駛員“不禮讓斑馬線”行為的統計數據：
月份x 1 2 3 4 5
“不禮讓斑馬
線”的駕駛員
人數y 120 105 100 85 90
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（1）根據表中所給的5個月的數據，請計算樣本相關系數r并加
以說明；
解： ＝3， ＝100， （xi－ ）（yi－ ）＝－
80， （xi－ ）2＝10， （yi－ ）2＝750，
則r＝ ＝ ≈－0.924，故y與
x的線性相關程度很高.
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（2）若從4，5月份“不禮讓斑馬線”的駕駛員中分別選取4人和2
人，再從所選取的6人中任意抽取2人進行交通法規的調查，
求抽取的2人分別來自兩個月份的概率.
參考公式：樣本相關系數r＝ .
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解： 從4月份選取的4人分別記為a1，a2，a3，a4，從5
月份選取的2人分別記為B1，B2.從這6人中任意抽取2人進
行交通法規調查包含的樣本點有（a1，a2），（a1，a3），
（a1，a4），（a1，B1），（a1，B2），（a2，a3），
（a2，a4），（a2，B1），（a2，B2），（a3，a4），
（a3，B1），（a3，B2），（a4，B1），（a4，B2），
（B1，B1），共15個，其中“抽取的2人分別來自兩個月
份”包含的樣本點為（a1，B1），（a1，B2），（a2，
B1），（a2，B2），（a3，B1），（a3，B2），（a4，
B1），（a4，B2），共8個，故所求概率為 .
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