資源簡介

9.1.2　一元線性回歸模型
第1課時　經驗回歸方程
1.在具有線性相關關系的兩個變量建立的經驗回歸方程＝＋x中，（　　）
A.不能小于0 B.不能大于0
C.不能等于0 D.只能小于0
2.已知某經驗回歸方程為＝2－3x，則當變量x增加1個單位時，變量y平均（　　）
A.增加3個單位 B.增加個單位
C.減少3個單位 D.減少個單位
3.（2024·鎮江月考）設兩個變量x和y之間具有線性相關關系，它們的樣本相關系數是r，y關于x的經驗回歸方程斜率是，縱軸上的截距是，那么必有（　　）
A.與r的符號相同 B.與r的符號相同
C.與r的符號相反 D.與r的符號相反
4.對具有線性相關關系的變量x，y，有一組觀測數據（xi，yi）（i＝1，2，3，…，8），其經驗回歸方程為＝x＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝6，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝9，則＝（　　）
A.－2　　 　B.2 C.－1　　 　D.1
5.（多選）已知變量x，y之間的經驗回歸方程為＝－0.7x＋10.3，且變量x，y之間的一組相關數據如下表所示，則下列說法正確的是（　　）
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A.變量x，y之間呈負相關關系
B.m＝4
C.可以預測，當x＝11時，y約為2.6
D.由表格數據知，該經驗回歸直線必過點（9，4）
6.（多選）（2024·鹽城月考）數據（x，y）的5組測量值（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5），已知＝90，xiyi＝112，xi＝20，yi＝25.若y對x的經驗回歸方程記作＝x＋，則（　　）
A.＝1.2
B.＝0.2
C.y與x正相關
D.x＝8時，y的估計值為9
7.如圖是一組數據（x，y）的散點圖，經最小二乘估計公式計算，y與x之間的經驗回歸方程為＝x＋1，則＝　　　　.
8.為了研究某班學生的腳長x（單位：cm）和身高y（單位：cm）的關系，從該班隨機抽取10名學生，根據測量數據的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系，設其經驗回歸方程為＝x＋，已知xi＝225，yi＝1 600，＝4.該班某學生的腳長為24 cm，據此估計其身高為　　　　cm.
9.某工廠生產某產品的成本x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）的幾組對應數據如下表所示：
成本x/萬元 10 20 30 40 50
銷售額y/萬元 40 70 110 130 150
（1）根據以往經驗可知，成本x與銷售額y之間具有線性相關關系，求銷售額y關于成本x的經驗回歸方程；
（2）根據（1）中經驗回歸方程，預測當銷售額為200萬元時，成本為多少萬元？（結果保留一位小數）
附：xiyi＝17 800，＝5 500，＝.
10.根據以下樣本數據得到經驗回歸方程為＝x＋.則（　　）
x 1 3 5 7
y 6 4.5 3.5 2.5
A.＜0，＜0 B.＞0，＞0
C.＜0，＞0 D.＞0，＜0
11.（2024·連云港月考）若某地財政收入x與支出y滿足線性回歸模型y＝bx＋a＋ε（單位：億元），其中b＝0.7，a＝3，｜ε｜≤0.5，如果今年該地區財政收入10億元，年支出預計不會超過（　　）
A.9億元 B.9.5億元
C.10億元 D.10.5億元
12.（多選）（2024·南京質檢）已知由樣本數據（xi，yi）（i＝1，2，3，…，8）組成的一個樣本，得到經驗回歸方程為＝1.5x－0.6且＝2，去除兩個異常數據（－2，7）和（2，－7）后，得到的新的經驗回歸直線的斜率為3，則（　　）
A.相關變量x，y具有正相關關系
B.去除異常數據后，新的平均數'＝2
C.去除異常數據后的經驗回歸方程為＝3x－4.8
D.去除異常數據后，隨x值增加，的值增加速度變小
13.某工廠為了對新研發的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：
單價x（元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
銷量y（件） 90 84 83 80 75 68
（1）求經驗回歸方程＝x＋，其中＝－20；
（2）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（1）中的關系，若該產品的成本是4元/件，則為使工廠獲得最大利潤，該產品的單價應定為多少元？（利潤＝銷售收入－成本）
14.一臺機器按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺點，每小時生產有缺點的零件的多少隨機器運轉速度的變化而變化，下表為抽樣試驗的結果：
轉速x（轉/秒） 16 14 12 8
每小時生產有缺點的零件數y（件） 11 9 8 5
（1）畫出散點圖；
（2）如果y與x有線性相關關系，請畫出一條直線近似地表示這種線性關系；
（3）在實際生產中，若y關于x的經驗回歸方程為＝x－，允許每小時生產的產品中有缺點的零件最多為10件，那么機器的運轉速度應控制在什么范圍內？
第1課時　經驗回歸方程
1.C　當＝0時，不具有線性相關關系，但能大于0，也能小于0.
2.C　依題意，經驗回歸方程為＝2－3x，所以當變量x增加1個單位時，變量y平均減少3個單位.故選C.
3.A　當＞0時，兩變量正相關，此時r＞0；當＜0時，兩變量負相關，此時r＜0，所以必有與r的符號相同.
4.D　＝＝，＝，由于經驗回歸直線過樣本中心點，將代入經驗回歸方程，解得＝1.
5.ACD　由＝－0.7x＋10.3，得＝－0.7，故x，y呈負相關關系，則A正確；＝＝9，＝－0.7×9＋10.3＝4＝，解得m＝5，則B錯誤；當x＝11時，y的預測值為2.6，則C正確；＝9，＝4，故經驗回歸直線必經過點（9，4），則D正確.
6.ABC　由已知的數據可得＝xi＝4，＝yi＝5，＝＝＝＝1.2，＝－＝5－1.2×4＝0.2，所以經驗回歸方程為＝1.2x＋0.2.因為＝1.2＞0，所以y與x正相關.當x＝8時，＝1.2×8＋0.2＝9.8.故A、B、C選項正確，D選項錯誤.
7.0.8　解析：由題圖知＝＝2，＝＝2.6，將（2，2.6）代入＝x＋1中，解得＝0.8.
8.166　解析：由題意可知＝4x＋，又＝22.5，＝160，∴160＝22.5×4＋，得＝70，因此＝4x＋70.當x＝24時，＝4×24＋70＝96＋70＝166 cm.
9.解：（1）＝×（10＋20＋30＋40＋50）＝30，
＝×（40＋70＋110＋130＋150）＝100，
＝＝2.8，
＝100－2.8×30＝16，
所以經驗回歸方程為＝2.8x＋16.
（2）由（1）知＝2.8x＋16，令＝2.8x＋16＝200，得x≈65.7（萬元），即預測當銷售額為200萬元時，成本為65.7萬元.
10.D　由表中數據可得隨著x的增大，y越來越小，所以＜0，又因為當x＝1時，y＝6，所以當x＝0時，y＞6，所以＞0，故選D.
11.D　因為財政收入x與支出y滿足線性回歸模型y＝bx＋a＋ε，其中b＝0.7，a＝3，所以y＝0.7x＋3＋ε.當x＝10時，得y＝0.7×10＋3＋ε＝10＋ε，又｜ε｜≤0.5，即－0.5≤ε≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，所以年支出預計不會超過10.5億元.
12.AC　對于A，因為經驗回歸直線的斜率為正，所以相關變量x，y具有正相關關系，A正確；對于B，因為＝2，所以去除兩個異常數據（－2，7）和（2，－7）后，得到新的'＝＝，B錯誤；對于C，將＝2代入＝1.5x－0.6得＝2.4，故去除兩個異常數據（－2，7）和（2，－7）后，'＝＝3.2，因為得到的新的經驗回歸直線的斜率為3，所以'－3'＝3.2－3×＝－4.8，所以去除異常數據后的經驗回歸方程為＝3x－4.8，C正確；對于D，因為經驗回歸直線＝3x－4.8的斜率為正數，所以變量x，y具有正相關關系，且去除異常數據后，斜率由1.5增大到3，故值增加的速度變大，D錯誤.故選A、C.
13.解：（1）＝×（8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9）＝8.5，
＝×（90＋84＋83＋80＋75＋68）＝80，
所以＝－＝80＋20×8.5＝250，
從而經驗回歸方程為＝－20x＋250.
（2）設工廠獲得的利潤為L元，依題意得
L＝x（－20x＋250）－4（－20x＋250）
＝－20x2＋330x－1 000
＝－20（x－8.25）2＋361.25，
當且僅當x＝8.25時，L取得最大值，
故當單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤.
14.解：（1）散點圖如圖所示：
（2）近似直線如圖所示：
（3）由y≤10得x－≤10，
解得x≤14.9，
所以機器的運轉速度應控制在14轉/秒內.
3 / 39.1.2　一元線性回歸模型
新課程標準解讀 核心素養
1.結合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數的統計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘估計方法，會使用相關的統計軟件 數學抽象、數學建模、數據分析
2.針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測 數學建模、數學運算、數據分析
第1課時　經驗回歸方程
　　恩格爾系數（Engel’s Coefficient）是根據恩格爾定律得出的比例數，指居民家庭中食物支出占消費總支出的比重，是表示生活水平高低的一個指標.其計算公式：恩格爾系數＝食物支出金額÷總支出金額.
一個家庭收入越少，家庭收入中或者家庭總支出中用來購買食物的支出所占的比例就越大，隨著家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭總支出中用來購買食物的支出所占比例將會下降.
【問題】　恩格爾系數是預測生活水平高低的一個模型，那么當兩個變量線性相關時，我們如何對成對樣本數據建立一個模型進行預測？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　隨機誤差
1.定義：具有線性相關關系的兩個變量的取值x，y，y的值不能由x完全確定，可將x，y之間的關系表示為y＝a＋bx＋ ，其中　　　　是確定性函數，　　　稱為隨機誤差.
2.產生的原因
（1）所用的　　　　　　不恰當引起的誤差；
（2）忽略了　　　　　　　　；
（3）存在　　　　誤差.
知識點二　經驗回歸方程
1.線性回歸模型中a，b值的求法
y＝　　　　　　稱為一元線性回歸模型.
a，b的估計值為，，則
上述方法稱為“最小二乘法”.
2.經驗回歸直線和經驗回歸方程
直線＝＋x稱為經驗回歸直線，此直線方程稱為y關于x的經驗回歸方程，稱為　　　　　　，稱為　　　　　　，稱為　　　　.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）兩個變量之間產生隨機誤差的原因僅僅是因為測量工具產生的誤差.（　　）
（2）回歸方程最能代表觀測值x，y之間的線性關系，且經驗回歸直線過樣本點的中心（，）.（　　）
（3）求回歸方程前可以不進行相關性檢驗.（　　）
（4）利用回歸方程求出的值是準確值.（　　）
2.（多選）下列有關回歸方程＝x＋的敘述正確的是（　　）
A.反映與x之間的函數關系
B.反映y與x之間的函數關系
C.表示與x之間不確定關系
D.表示最接近y與x之間真實關系的一條直線
3.某地區近十年居民的年收入x與支出y之間的關系大致符合＝0.8x＋0.1（單位：億元），則預計今年該地區居民收入為15億元時，年支出y的估計值是（　　）
A.8.1　　　　　　　　 B.12.1
C.16.1 D.20.1
題型一 線性回歸模型的理解
【例1】　在線性回歸模型y＝bx＋a＋ε中，下列說法正確的是（　　）
A.y＝bx＋a＋ε是一次函數
B.因變量y是由自變量x唯一確定的
C.因變量y除了受自變量x的影響外，可能還受到其他因素的影響，這些因素會導致隨機誤差ε的產生
D.隨機誤差ε是由于計算不準確造成的，可通過精確計算避免隨機誤差ε的產生
通性通法
　　在線性回歸模型y＝bx＋a＋ε中，模型中的y也是隨機變量，其值雖然不能由變量x的值確定，但是卻能表示為bx＋a與ε的和（疊加），前一部分由x所確定，后一部分是隨機的.
【跟蹤訓練】
　關于線性回歸模型給出下列說法：
①表達式y＝bx＋a＋ε刻畫的是變量y與變量x之間的線性相關關系；②bx＋a反映了由于x的變化而引起的y的線性變化；③誤差項ε是一個期望值為0的隨機變量，即E（ε）＝0；④對于所有的x值，ε的方差σ2都相同.其中正確的是　　　　（填序號）.
題型二 求經驗回歸方程
【例2】　（鏈接教科書第164頁例3）某班5名學生的數學和物理成績如下表：
學生 A B C D E
數學成績x/分 88 76 73 66 63
物理成績y/分 78 65 71 64 61
（1）畫出散點圖；
（2）求物理成績y關于數學成績x的經驗回歸方程（結果保留三位小數）.
參考公式：
＝＝，＝－.
通性通法
求經驗回歸方程的基本步驟
（1）畫出散點圖，從直觀上分析數據間是否存在線性相關關系；
（2）計算，，xiyi，，xiyi；
（3）代入公式求出＝x＋中參數，的值；
（4）寫出經驗回歸方程.
提醒　只有在散點圖大致呈線性時，求出的經驗回歸方程才有實際意義，否則求出的回歸方程毫無意義.
【跟蹤訓練】
　入夏以來，天氣炎熱，某地區用電負荷連創新高，某用戶隨機統計了家里某4天用電量（kW·h）與當天氣溫（℃）的情況，數據如表：
氣溫x（℃） 30 32 34 36
用電量y（kW·h） 20 26 30 36
請根據提供的數據，計算，，并求出y關于x的經驗回歸方程.
參考公式：＝，＝－.
題型三 利用經驗回歸方程對總體進行估計
【例3】　（鏈接教科書第165頁例5）對具有線性相關關系的變量x，y，測得一組數據如下表，根據表中數據，利用最小二乘法得到經驗回歸方程＝10.5x＋，據此模型預測當x＝20時，y的估計值為（　　）
x 2 4 5 6 8
y 20 40 60 70 80
A.210　 B.210.5 C.211.5　D.212.5
通性通法
　　解題的關鍵是先確定兩個變量y與x是線性相關關系，求出經驗回歸方程進行估計和預測.
【跟蹤訓練】
1.某地區調查了2～9歲兒童的身高，由此建立的身高y（單位：cm）與年齡x（單位：歲）的經驗回歸方程為＝8.25x＋60.13，下列說法中正確的是（　　）
A.該地區一個10歲兒童的身高為142.63 cm
B.該地區2～9歲的兒童每年身高約增加8.25 cm
C.該地區9歲兒童的平均身高是134.38 cm
D.利用這個模型可以準確地預算該地區每個2～9歲兒童的身高
2.（2024·淮安月考）一個車間為了規定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了8次試驗，收集數據如下：
零件個數 10 20 30 40 50 60 70 80
加工時間 62 68 75 81 89 95 102 108
設經驗回歸方程為＝x＋，若＝，則點（，）在直線x－45y－20＝0的（　　）
A.右下方 B.右上方
C.左下方 D.左上方
1.在對兩個變量x，y進行線性回歸分析時一般有下列步驟：①對所求出的回歸方程作出解釋；②收集數據（xi，yi），i＝1，2，…，n；③求經驗回歸方程；④根據所搜集的數據繪制散點圖.若根據實際情況能夠判定變量x，y具有線性相關性，則在下列操作順序中正確的是（　　）
A.①②④③ B.③②④①
C.②③①④ D.②④③①
2.已知變量x，y之間具有線性相關關系，其散點圖如圖所示，則其經驗回歸方程可能為（　　）
A.＝1.5x＋2 B.＝－1.5x＋2
C.＝1.5x－2 D.＝－1.5x－2
3.已知x與y之間的一組數據：
x 0 1 2 3
y m 3 5.5 7
已求得y關于x的經驗回歸方程為＝2.2x＋0.7，則m＝（　　）
A.1 B.0.85
C.0.7 D.0.5
4.（2024·宿遷月考）某設備的使用年限x（單位：年）與所支出的維修總費用y（單位：萬元）的統計數據如下表所示：
使用年限x/年 2 3 4 5 6
維修總費用y/萬元 1.5 4.5 5.5 6.5 7.0
根據上表可得經驗回歸方程為＝1.3x＋.若使用年限為14年，估計維修總費用為　　　　萬元；若該設備維修總費用超過12萬元就報廢，據此模型預測該設備最多可使用　　　　年.
第1課時　經驗回歸方程
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.a＋bx　 　2.（1）確定性函數　（2）某些因素的影響　（3）觀測
知識點二
1.a＋bx＋ 　－　2.回歸截距　回歸系數　回歸值
自我診斷
1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）×
2.AD　＝x＋表示與x之間的函數關系，而不是y與x之間的函數關系，但它反映的關系最接近y與x之間的真實關系，故選A、D.
3.B　∵＝0.8x＋0.1，∴＝0.8×15＋0.1＝12.1（億元）.
【典型例題·精研析】
【例1】　C　對于A中，線性回歸模型y＝bx＋a＋ε中，方程表示的不是確定性關系，因此不是一次函數，所以A錯誤；對于B中，因變量y不是由自變量x唯一確定的，所以B錯誤；對于C中，因變量y除了受自變量x的影響外，可能還受到其他因素的影響，這些因素會導致隨機誤差ε的產生，所以C正確；對于D中，隨機誤差是不能避免的，只能將誤差縮小，所以D錯誤.故選C.
跟蹤訓練
　①②③④　解析：根據線性回歸模型的含義可知，以上說法均正確.
【例2】　解：（1）散點圖如圖所示.
（2）因為＝×（88＋76＋73＋66＋63）＝73.2，＝×（78＋65＋71＋64＋61）＝67.8，
xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054，
＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174，
所以＝≈0.625，
＝－≈67.8－0.625×73.2＝22.050.
因此y關于x的經驗回歸方程為＝22.050＋0.625x.
跟蹤訓練
　解：＝＝33，＝＝28，
＝
＝
＝2.6，
∴y關于x的經驗回歸方程為＝2.6x－57.8.
【例3】　C　由題意可知，＝＝5，＝＝54.∵經驗回歸直線經過樣本中心點，∴54＝10.5×5＋，＝1.5，經驗回歸方程為＝10.5x＋1.5，當x＝20時，y的估計值為10.5×20＋1.5＝211.5.故選C.
跟蹤訓練
1.B　∵身高與年齡的回歸模型為＝8.25x＋60.13，∴可以估計孩子在2～9歲之內，年齡每增加1歲，身高平均約增加8.25 cm，選項B正確；對于A，身高與年齡是相關關系，不是一次函數關系；對于C，這個模型可以估計孩子在2～9歲時可能的身高，而不是平均身高；對于D，可以估計孩子在2～9歲時可能的身高，這是一個預報值，不是確定的值.故選B.
2.A　由題意可得，
＝＝45，＝＝85，則＝－＝85－×45＝55，故點（，）為，在直線x－45y－20＝0的右下方.
隨堂檢測
1.D　根據實際情況能夠判定變量x，y具有線性相關性的順序為：收集數據（xi，yi），i＝1，2，…，n；根據所搜集的數據繪制散點圖；求經驗回歸方程；對所求出的回歸方程作出解釋.故選D.
2.B　結合散點圖可知，變量x，y之間是負相關，且縱截距大于0，故選B.
3.D　＝＝1.5，＝＝，將其代入＝2.2x＋0.7，可得m＝0.5，故選D.
4.18　9　解析：＝＝4，＝＝5，則中心點為（4，5），代入經驗回歸方程得＝5－1.3×4＝－0.2，所以＝1.3x－0.2.當x＝14時，＝1.3×14－0.2＝18（萬元），即估計使用14年時，維修總費用是18萬元.令＝1.3x－0.2＞12，解得x＞9.4，即據此模型預測該設備最多可使用9年.
4 / 4(共66張PPT)
9.1.2　
一元線性回歸模型
新課程標準解讀 核心素養
1.結合具體實例，了解一元線性回歸模型
的含義，了解模型參數的統計意義，了解
最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參
數的最小二乘估計方法，會使用相關的統
計軟件 數學抽象、數學建模、
數據分析
2.針對實際問題，會用一元線性回歸模型
進行預測 數學建模、數學運算、
數據分析
第1課時　經驗回歸方程
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　恩格爾系數（Engel’s Coefficient）是根據恩格爾定律得出的比
例數，指居民家庭中食物支出占消費總支出的比重，是表示生活水平
高低的一個指標.其計算公式：恩格爾系數＝食物支出金額÷總支出
金額.
一個家庭收入越少，家庭收入中或者家庭總支出中用來購買食物
的支出所占的比例就越大，隨著家庭收入的增加，家庭收入中或者家
庭總支出中用來購買食物的支出所占比例將會下降.
【問題】　恩格爾系數是預測生活水平高低的一個模型，那么當兩個
變量線性相關時，我們如何對成對樣本數據建立一個模型進行預測？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識點一　隨機誤差
1. 定義：具有線性相關關系的兩個變量的取值x，y，y的值不能由x
完全確定，可將x，y之間的關系表示為y＝a＋bx＋ ，其中
是確定性函數， 稱為隨機誤差.
a
＋bx　
　
（1）所用的 不恰當引起的誤差；
（2）忽略了 ；
（3）存在 誤差.
確定性函數　
某些因素的影響　
觀測　
2. 產生的原因
知識點二　經驗回歸方程
1. 線性回歸模型中a，b值的求法
y＝ 稱為一元線性回歸模型.
a，b的估計值為 ， ，則
a＋bx＋ 　
上述方法稱為“最小二乘法”.
2. 經驗回歸直線和經驗回歸方程
直線 ＝ ＋ x稱為經驗回歸直線，此直線方程稱為y關于x的經
驗回歸方程， 稱為 ， 稱為 ， 稱
為 .
回歸截距　
回歸系數　
回歸值　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）兩個變量之間產生隨機誤差的原因僅僅是因為測量工具產生
的誤差. （　×　）
（2）回歸方程最能代表觀測值x，y之間的線性關系，且經驗回歸
直線過樣本點的中心（ ， ）. （　√　）
（3）求回歸方程前可以不進行相關性檢驗. （　×　）
（4）利用回歸方程求出的值是準確值. （　×　）
×
√
×
×
2. （多選）下列有關回歸方程 ＝ x＋ 的敘述正確的是（　　）
B. 反映y與x之間的函數關系
D. 表示最接近y與x之間真實關系的一條直線
解析： 　 ＝ x＋ 表示 與x之間的函數關系，而不是y與x
之間的函數關系，但它反映的關系最接近y與x之間的真實關系，
故選A、D.
3. 某地區近十年居民的年收入x與支出y之間的關系大致符合 ＝
0.8x＋0.1（單位：億元），則預計今年該地區居民收入為15億元
時，年支出y的估計值是（　　）
A. 8.1 B. 12.1
C. 16.1 D. 20.1
解析： 　∵ ＝0.8x＋0.1，∴ ＝0.8×15＋0.1＝12.1（億
元）.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 線性回歸模型的理解
【例1】　在線性回歸模型y＝bx＋a＋ε中，下列說法正確的是
（　　）
A. y＝bx＋a＋ε是一次函數
B. 因變量y是由自變量x唯一確定的
C. 因變量y除了受自變量x的影響外，可能還受到其他因素的影響，
這些因素會導致隨機誤差ε的產生
D. 隨機誤差ε是由于計算不準確造成的，可通過精確計算避免隨機
誤差ε的產生
解析： 　對于A中，線性回歸模型y＝bx＋a＋ε中，方程表示的不
是確定性關系，因此不是一次函數，所以A錯誤；對于B中，因變量y
不是由自變量x唯一確定的，所以B錯誤；對于C中，因變量y除了受
自變量x的影響外，可能還受到其他因素的影響，這些因素會導致隨
機誤差ε的產生，所以C正確；對于D中，隨機誤差是不能避免的，
只能將誤差縮小，所以D錯誤.故選C.
通性通法
　　在線性回歸模型y＝bx＋a＋ε中，模型中的y也是隨機變量，
其值雖然不能由變量x的值確定，但是卻能表示為bx＋a與ε的和
（疊加），前一部分由x所確定，后一部分是隨機的.
【跟蹤訓練】
　關于線性回歸模型給出下列說法：
①表達式y＝bx＋a＋ε刻畫的是變量y與變量x之間的線性相關關
系；②bx＋a反映了由于x的變化而引起的y的線性變化；③誤差項
ε是一個期望值為0的隨機變量，即E（ε）＝0；④對于所有的x
值，ε的方差σ2都相同.其中正確的是 （填序號）.
解析：根據線性回歸模型的含義可知，以上說法均正確.
①②③④　
題型二 求經驗回歸方程
【例2】　（鏈接教科書第164頁例3）某班5名學生的數學和物理成績
如下表：
學生 A B C D E
數學成績
x/分 88 76 73 66 63
物理成績
y/分 78 65 71 64 61
（1）畫出散點圖；
解： 散點圖如圖所示.
（2）求物理成績y關于數學成績x的經驗回歸方程（結果保留三位小
數）.
參考公式： ＝ ＝ ， ＝ － .
解： 因為 ＝ ×（88＋76＋73＋66＋63）＝73.2， ＝
×（78＋65＋71＋64＋61）＝67.8，
xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054，
＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174，
所以 ＝ ≈0.625，
＝ － ≈67.8－0.625×73.2＝22.050.
因此y關于x的經驗回歸方程為 ＝22.050＋0.625x.
通性通法
求經驗回歸方程的基本步驟
（1）畫出散點圖，從直觀上分析數據間是否存在線性相關關系；
（2）計算 ， ， xiyi， ， xiyi；
（3）代入公式求出 ＝ x＋ 中參數 ， 的值；
（4）寫出經驗回歸方程.
提醒　只有在散點圖大致呈線性時，求出的經驗回歸方程才有
實際意義，否則求出的回歸方程毫無意義.
【跟蹤訓練】
　入夏以來，天氣炎熱，某地區用電負荷連創新高，某用戶隨機統計
了家里某4天用電量（kW·h）與當天氣溫（℃）的情況，數據如表：
氣溫x（℃） 30 32 34 36
用電量y
（kW·h） 20 26 30 36
請根據提供的數據，計算 ， ，并求出y關于x的經驗回歸方程.
參考公式： ＝ ， ＝ － .
解： ＝ ＝33， ＝ ＝28，
＝
＝ ＝2.6， ＝ － ＝28－
2.6×33＝－57.8，
∴y關于x的經驗回歸方程為 ＝2.6x－57.8.
題型三 利用經驗回歸方程對總體進行估計
【例3】　（鏈接教科書第165頁例5）對具有線性相關關系的變量
x，y，測得一組數據如下表，根據表中數據，利用最小二乘法得到經
驗回歸方程 ＝10.5x＋ ，據此模型預測當x＝20時，y的估計值為
（　　）
x 2 4 5 6 8
y 20 40 60 70 80
A. 210 B. 210.5
C. 211.5 D. 212.5
解析： 由題意可知， ＝ ＝5， ＝ ＝
54.∵經驗回歸直線經過樣本中心點，∴54＝10.5×5＋ ， ＝1.5，
經驗回歸方程為 ＝10.5x＋1.5，當x＝20時，y的估計值為
10.5×20＋1.5＝211.5.故選C.
通性通法
　　解題的關鍵是先確定兩個變量y與x是線性相關關系，求出經驗
回歸方程進行估計和預測.
【跟蹤訓練】
1. 某地區調查了2～9歲兒童的身高，由此建立的身高y（單位：cm）
與年齡x（單位：歲）的經驗回歸方程為 ＝8.25x＋60.13，下列
說法中正確的是（　　）
A. 該地區一個10歲兒童的身高為142.63 cm
B. 該地區2～9歲的兒童每年身高約增加8.25 cm
C. 該地區9歲兒童的平均身高是134.38 cm
D. 利用這個模型可以準確地預算該地區每個2～9歲兒童的身高
解析： 　∵身高與年齡的回歸模型為 ＝8.25x＋60.13，∴可以
估計孩子在2～9歲之內，年齡每增加1歲，身高平均約增加8.25
cm，選項B正確；對于A，身高與年齡是相關關系，不是一次函數
關系；對于C，這個模型可以估計孩子在2～9歲時可能的身高，而
不是平均身高；對于D，可以估計孩子在2～9歲時可能的身高，這
是一個預報值，不是確定的值.故選B.
2. （2024·淮安月考）一個車間為了規定工時定額，需要確定加工零
件所花費的時間，為此進行了8次試驗，收集數據如下：
零件
個數 10 20 30 40 50 60 70 80
加工
時間 62 68 75 81 89 95 102 108
設經驗回歸方程為 ＝ x＋ ，若 ＝ ，則點（ ， ）在直線x
－45y－20＝0的（　　）
A. 右下方 B. 右上方
C. 左下方 D. 左上方
解析： 由題意可得， ＝ ＝45， ＝
＝85，則 ＝ － ＝85－ ×45＝
55，故點（ ， ）為 ，在直線x－45y－20＝0的右下方.
1. 在對兩個變量x，y進行線性回歸分析時一般有下列步驟：①對所
求出的回歸方程作出解釋；②收集數據（xi，yi），i＝1，
2，…，n；③求經驗回歸方程；④根據所搜集的數據繪制散點圖.
若根據實際情況能夠判定變量x，y具有線性相關性，則在下列操
作順序中正確的是（　　）
A. ①②④③ B. ③②④①
C. ②③①④ D. ②④③①
解析： 　根據實際情況能夠判定變量x，y具有線性相關性的順
序為：收集數據（xi，yi），i＝1，2，…，n；根據所搜集的數據
繪制散點圖；求經驗回歸方程；對所求出的回歸方程作出解釋.故
選D.
2. 已知變量x，y之間具有線性相關關系，其散點圖如圖所示，則其
經驗回歸方程可能為（　　）
解析： 　結合散點圖可知，變量x，y之間是負相關，且縱截距
大于0，故選B.
3. 已知x與y之間的一組數據：
x 0 1 2 3
y m 3 5.5 7
已求得y關于x的經驗回歸方程為 ＝2.2x＋0.7，則m＝（　　）
A. 1 B. 0.85 C. 0.7 D. 0.5
解析： 　 ＝ ＝1.5， ＝ ＝ ，將其代入
＝2.2x＋0.7，可得m＝0.5，故選D.
4. （2024·宿遷月考）某設備的使用年限x（單位：年）與所支出的維
修總費用y（單位：萬元）的統計數據如下表所示：
使用年限
x/年 2 3 4 5 6
維修總費
用y/萬元 1.5 4.5 5.5 6.5 7.0
根據上表可得經驗回歸方程為 ＝1.3x＋ .若使用年限為14年，
估計維修總費用為 萬元；若該設備維修總費用超過12萬元就
報廢，據此模型預測該設備最多可使用 年.
18　
9　
解析： ＝ ＝4， ＝ ＝5，則中心點為
（4，5），代入經驗回歸方程得 ＝5－1.3×4＝－0.2，所以 ＝
1.3x－0.2.當x＝14時， ＝1.3×14－0.2＝18（萬元），即估計
使用14年時，維修總費用是18萬元.令 ＝1.3x－0.2＞12，解得x
＞9.4，即據此模型預測該設備最多可使用9年.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 在具有線性相關關系的兩個變量建立的經驗回歸方程 ＝ ＋ x
中， （　　）
A. 不能小于0 B. 不能大于0
C. 不能等于0 D. 只能小于0
解析： 當 ＝0時，不具有線性相關關系，但 能大于0，也能
小于0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 已知某經驗回歸方程為 ＝2－3x，則當變量x增加1個單位時，變
量y平均（　　）
A. 增加3個單位
C. 減少3個單位
解析： 　依題意，經驗回歸方程為 ＝2－3x，所以當變量x增加
1個單位時，變量y平均減少3個單位.故選C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. （2024·鎮江月考）設兩個變量x和y之間具有線性相關關系，它們
的樣本相關系數是r，y關于x的經驗回歸方程斜率是 ，縱軸上的
截距是 ，那么必有（　　）
解析： 　當 ＞0時，兩變量正相關，此時r＞0；當 ＜0時，兩
變量負相關，此時r＜0，所以必有 與r的符號相同.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 對具有線性相關關系的變量x，y，有一組觀測數據（xi，yi）（i
＝1，2，3，…，8），其經驗回歸方程為 ＝ x＋ ，且x1＋x2＋
x3＋…＋x8＝6，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝9，則 ＝（　　）
A. －2 B. 2
C. －1 D. 1
解析： 　 ＝ ＝ ， ＝ ，由于經驗回歸直線過樣本中心點，
將 代入經驗回歸方程，解得 ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. （多選）已知變量x，y之間的經驗回歸方程為 ＝－0.7x＋
10.3，且變量x，y之間的一組相關數據如下表所示，則下列說法
正確的是（　　）
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A. 變量x，y之間呈負相關關系
B. m＝4
C. 可以預測，當x＝11時，y約為2.6
D. 由表格數據知，該經驗回歸直線必過點（9，4）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 　由 ＝－0.7x＋10.3，得 ＝－0.7，故x，y呈負相
關關系，則A正確； ＝ ＝9， ＝－0.7×9＋10.3＝4＝
，解得m＝5，則B錯誤；當x＝11時，y的預測值為2.6，
則C正確； ＝9， ＝4，故經驗回歸直線必經過點（9，4），則D
正確.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. （多選）（2024·鹽城月考）數據（x，y）的5組測量值（xi，yi）
（i＝1，2，3，4，5），已知 ＝90， xiyi＝112， xi＝
20， yi＝25.若y對x的經驗回歸方程記作 ＝ x＋ ，則（　）
C. y與x正相關
D. x＝8時，y的估計值為9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 　由已知的數據可得 ＝ xi＝4， ＝ yi＝5，
＝ ＝ ＝ ＝1.2， ＝ － ＝
5－1.2×4＝0.2，所以經驗回歸方程為 ＝1.2x＋0.2.因為 ＝
1.2＞0，所以y與x正相關.當x＝8時， ＝1.2×8＋0.2＝9.8.故
A、B、C選項正確，D選項錯誤.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. 如圖是一組數據（x，y）的散點圖，經最小二乘估計公式計算，
y與x之間的經驗回歸方程為 ＝ x＋1，則 ＝ .
解析：由題圖知 ＝ ＝2， ＝ ＝2.6，將
（2，2.6）代入 ＝ x＋1中，解得 ＝0.8.
0.8　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. 為了研究某班學生的腳長x（單位：cm）和身高y（單位：cm）的
關系，從該班隨機抽取10名學生，根據測量數據的散點圖可以看
出y與x之間有線性相關關系，設其經驗回歸方程為 ＝ x＋ ，
已知 xi＝225， yi＝1 600， ＝4.該班某學生的腳長為24
cm，據此估計其身高為 cm.
解析：由題意可知 ＝4x＋ ，又 ＝22.5， ＝160，∴160＝
22.5×4＋ ，得 ＝70，因此 ＝4x＋70.當x＝24時， ＝4×24
＋70＝96＋70＝166 cm.
166　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9. 某工廠生產某產品的成本x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬
元）的幾組對應數據如下表所示：
成本x/萬
元 10 20 30 40 50
銷售額y/
萬元 40 70 110 130 150
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（1）根據以往經驗可知，成本x與銷售額y之間具有線性相關關
系，求銷售額y關于成本x的經驗回歸方程；
解： ＝ ×（10＋20＋30＋40＋50）＝30，
＝ ×（40＋70＋110＋130＋150）＝100，
＝ ＝2.8，
＝100－2.8×30＝16，
所以經驗回歸方程為 ＝2.8x＋16.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2）根據（1）中經驗回歸方程，預測當銷售額為200萬元時，成
本為多少萬元？（結果保留一位小數）
附： xiyi＝17 800， ＝5 500， ＝ .
解： 由（1）知 ＝2.8x＋16，令 ＝2.8x＋16＝200，
得x≈65.7（萬元），即預測當銷售額為200萬元時，成本為
65.7萬元.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. 根據以下樣本數據得到經驗回歸方程為 ＝ x＋ .則（　　）
x 1 3 5 7
y 6 4.5 3.5 2.5
解析： 由表中數據可得隨著x的增大，y越來越小，所以 ＜
0，又因為當x＝1時，y＝6，所以當x＝0時，y＞6，所以 ＞
0，故選D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11. （2024·連云港月考）若某地財政收入x與支出y滿足線性回歸模
型y＝bx＋a＋ε（單位：億元），其中b＝0.7，a＝3，｜ε｜
≤0.5，如果今年該地區財政收入10億元，年支出預計不會超過
（　　）
A. 9億元 B. 9.5億元
C. 10億元 D. 10.5億元
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 　因為財政收入x與支出y滿足線性回歸模型y＝bx＋a
＋ε，其中b＝0.7，a＝3，所以y＝0.7x＋3＋ε.當x＝10時，
得y＝0.7×10＋3＋ε＝10＋ε，又｜ε｜≤0.5，即－
0.5≤ε≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，所以年支出預計不會超過
10.5億元.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12. （多選）（2024·南京質檢）已知由樣本數據（xi，yi）（i＝1，
2，3，…，8）組成的一個樣本，得到經驗回歸方程為 ＝1.5x－
0.6且 ＝2，去除兩個異常數據（－2，7）和（2，－7）后，得
到的新的經驗回歸直線的斜率為3，則（　　）
A. 相關變量x，y具有正相關關系
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 　對于A，因為經驗回歸直線的斜率為正，所以相關變
量x，y具有正相關關系，A正確；對于B，因為 ＝2，所以去除
兩個異常數據（－2，7）和（2，－7）后，得到新的 '＝
＝ ，B錯誤；對于C，將 ＝2代入 ＝1.5x－0.6得 ＝2.4，故
去除兩個異常數據（－2，7）和（2，－7）后， '＝ ＝
3.2，因為得到的新的經驗回歸直線的斜率為3，所以 '－3 '＝
3.2－3× ＝－4.8，所以去除異常數據后的經驗回歸方程為 ＝
3x－4.8，C正確；對于D，因為經驗回歸直線 ＝3x－4.8的斜率為正數，所以變量x，y具有正相關關系，且去除異常數據后，斜率由1.5增大到3，故 值增加的速度變大，D錯誤.故選A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. 某工廠為了對新研發的一種產品進行合理定價，將該產品按事先
擬定的價格進行試銷，得到如下數據：
單價x
（元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
銷量y
（件） 90 84 83 80 75 68
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（1）求經驗回歸方程 ＝ x＋ ，其中 ＝－20；
解： ＝ ×（8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9）＝8.5，
＝ ×（90＋84＋83＋80＋75＋68）＝80，
所以 ＝ － ＝80＋20×8.5＝250，
從而經驗回歸方程為 ＝－20x＋250.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（1）中的關
系，若該產品的成本是4元/件，則為使工廠獲得最大利潤，
該產品的單價應定為多少元？（利潤＝銷售收入－成本）
解： 設工廠獲得的利潤為L元，依題意得
L＝x（－20x＋250）－4（－20x＋250）
＝－20x2＋330x－1 000
＝－20（x－8.25）2＋361.25，
當且僅當x＝8.25時，L取得最大值，
故當單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. 一臺機器按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺點，
每小時生產有缺點的零件的多少隨機器運轉速度的變化而變化，
下表為抽樣試驗的結果：
轉速x（轉/秒） 16 14 12 8
每小時生產有缺點的零件數y（件） 11 9 8 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（1）畫出散點圖；
解： 散點圖如圖所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2）如果y與x有線性相關關系，請畫出一條直線近似地表示這
種線性關系；
解： 近似直線如圖所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（3）在實際生產中，若y關于x的經驗回歸方程為 ＝ x－ ，
允許每小時生產的產品中有缺點的零件最多為10件，那么機
器的運轉速度應控制在什么范圍內？
解： 由y≤10得 x－ ≤10，
解得x≤14.9，
所以機器的運轉速度應控制在14轉/秒內.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
謝 謝 觀 看！

展開更多......

收起↑