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第2課時(shí)　非線性回歸模型及擬合效果的判斷
1.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時(shí)，分別選擇了4種不同模型，計(jì)算可得它們的決定系數(shù)R2如下表：
甲 乙 丙 丁
R2 0.98 0.78 0.50 0.85
則回歸模型擬合效果最好的是（　　）
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
2.某樣本點(diǎn)（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.5x＋0.7，當(dāng)x＝8時(shí)，y的實(shí)際值為4.5，則當(dāng)x＝8時(shí)，預(yù)測值與實(shí)際值的差值為（　　）
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
3.（2024·泰州月考）已知變量y關(guān)于變量x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝bln x＋0.24，其一組數(shù)據(jù)如表所示：
x e e3 e4 e6 e7
y 1 2 3 4 5
若x＝e10，則y的值大約為（　　）
A.4.94 B.5.74
C.6.81 D.8.04
4.如圖是一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，擬合方程為y＝＋c（x＞0），令t＝，則y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸直線過點(diǎn)（2，5），（12，25），則當(dāng)y∈（1.01，1.02）時(shí)，x的取值范圍是（　　）
A.（0.01，0.02） B.（50，100）
C.（0.02，0.04） D.（100，200）
5.（多選）某研究小組采集了5組數(shù)據(jù)，作出如圖所示的散點(diǎn)圖.若去掉D（3，10）后，下列說法正確的是（　　）
A.樣本相關(guān)系數(shù)r變小 B.決定系數(shù)R2變大
C.殘差平方和變大 D.自變量x與因變量y的相關(guān)性變強(qiáng)
6.（多選）（2024·蘇州月考）某種商品的價(jià)格x（單位：元/kg）與日需求量y（單位：kg）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：
x 10 15 20 25 30
y 11 10 8 6 5
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝x＋14.4，則以下說法正確的是（　　）
A.樣本相關(guān)系數(shù)r＞0
B.＝－0.32
C.若該商品的價(jià)格為35元/kg，則日需求量大約為3.2 kg
D.第四個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的殘差為－0.4
7.在研究兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)集中于某一條指數(shù)曲線y＝ebx＋a的周圍，令z＝ln y，求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.25x－2.58，則該模型的回歸方程為　　　　.
8.（2024·南通月考）某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料y（噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集了對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.6x＋.據(jù)此計(jì)算出在樣本（4，3）處的殘差為－0.15，則表中m＝　　　　.
x 3 4 5 6
y 2 3 4 m
9.（2024·南京質(zhì)檢）“綠水青山就是金山銀山”的理念推動(dòng)了新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展.以下表格和散點(diǎn)圖反映了近幾年我國某新能源汽車的年銷售量情況.
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代碼x 1 2 3 4 5
某新能源汽車 年銷售量y/萬輛 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6
（1）請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝bx＋a與y＝cx2＋d中哪一個(gè)更適宜作為年銷售量y關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型.（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測2025年我國該新能源汽車的年銷售量.（精確到0.1）
參考數(shù)據(jù)：＝22.72，（wi－）2＝374，（wi－）（yi－）＝851.2（其中wi＝）.
10.假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測得5組數(shù)據(jù)如下：
x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4
y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2
若由最小二乘法計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝0.29x＋34.7.
（1）計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和；
（2）求R2，并說明回歸模型擬合效果的好壞.
11.某企業(yè)堅(jiān)持以市場需求為導(dǎo)向，合理配置生產(chǎn)資源，不斷改革、探索銷售模式.下表是該企業(yè)每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量x（單位：t）與相應(yīng)的生產(chǎn)總成本y（單位：萬元）的五組對(duì)照數(shù)據(jù).
產(chǎn)量x/t 1 2 3 4 5
生產(chǎn)總成本y/萬元 3 7 8 10 12
（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，若用最小二乘法進(jìn)行線性模擬，試求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝x＋.
（2）記第（1）問中所求y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝x＋為模型①，同時(shí)該企業(yè)科研人員利用計(jì)算機(jī)根據(jù)數(shù)據(jù)又建立了y與x的回歸模型②：＝x2＋1.其中模型②的殘差圖（殘差＝實(shí)際值－估計(jì)值）如圖所示.
請(qǐng)完成模型①的殘差表與殘差圖，并根據(jù)殘差圖，判斷哪一個(gè)模型更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程，并說明理由.
（3）根據(jù)模型①中y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，預(yù)測產(chǎn)量為6 t時(shí)生產(chǎn)總成本為多少萬元.
第2課時(shí)　非線性回歸模型及擬合效果的判斷
1.A　決定系數(shù)R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好.
2.B　當(dāng)x＝8時(shí)，y的預(yù)測值＝4.7，4.7－4.5＝0.2.故選B.
3.C　令t＝ln x，則＝bt＋0.24.由題意得，＝4.2，＝3，由線性經(jīng)驗(yàn)回歸直線過樣本的中心點(diǎn)，有b＝，所以＝ln x＋0.24，將x＝e10代入得≈6.81.故選C.
4.D　根據(jù)題意可得y＝bt＋c（t＞0），由y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸直線過點(diǎn)（2，5），（12，25）可得：解得所以y＝2t＋1，由y∈（1.01，1.02）可得1.01＜2t＋1＜1.02，所以0.005＜t＜0.01，所以0.005＜＜0.01，所以100＜x＜200，故選D.
5.BD　根據(jù)散點(diǎn)圖可知，去掉點(diǎn)D（3，10）后，y與x的線性相關(guān)性加強(qiáng)，且為正相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)r變大，則A錯(cuò)，D對(duì)；去掉點(diǎn)D（3，10）后，殘差平方和變小，則R2變大，B對(duì)，C錯(cuò).故選B、D.
6.BCD　對(duì)于A、B，由題表中的數(shù)據(jù)，得＝＝20，＝＝8，將，代入＝x＋14.4得＝－0.32，所以A選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，B選項(xiàng)說法正確；對(duì)于C，將x＝35代入＝－0.32x＋14.4，得＝3.2，所以日需求量大約為3.2 kg，所以C選項(xiàng)說法正確；對(duì)于D，第四個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的殘差為y4－＝6－（－0.32×25＋14.4）＝－0.4，所以D選項(xiàng)說法正確.故選B、C、D.
7.＝e0.25x－2.58　解析：由z＝ln y，＝0.25x－2.58，得ln ＝0.25x－2.58，所以＝e0.25x－2.58.故該模型的回歸方程為＝e0.25x－2.58.
8.4.8　解析：∵樣本（4，3）處的殘差為－0.15，且y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.6x＋，∴3－（0.6×4＋）＝－0.15，解得＝0.75，故經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.6x＋0.75，∵＝＝4.5，＝＝，∴＝0.6×4.5＋0.75，解得m＝4.8.
9.解：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可知，y＝cx2＋d更適宜作為年銷售量y關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型.
（2）令w＝x2，則＝w＋.
易知＝11，＝＝≈2.28，
＝－≈22.72－2.28×11＝－2.36，
所以＝2.28w－2.36，
所以y關(guān)于x的回歸方程為＝2.28x2－2.36.
令x＝6，得＝79.72≈79.7.
故預(yù)測2025年我國該新能源汽車的年銷售量為79.7萬輛.
10.解：（1）由＝xi＋，可以算得＝y(tǒng)i－.
分別為＝0.35，＝0.718，＝－0.5，＝－2.214，＝1.624，
所以殘差平方和為（）2≈8.43.
（2）由表中數(shù)據(jù)得＝43.5，（yi－）2＝50.18，
故R2＝1－≈1－≈0.832.
所以回歸模型的擬合效果較好.
11.解：（1）計(jì)算＝（1＋2＋3＋4＋5）＝3，
＝（3＋7＋8＋10＋12）＝8，
＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
xiyi＝1×3＋2×7＋3×8＋4×10＋5×12＝141，
＝＝＝2.1，
＝－＝8－2.1×3＝1.7，
因此，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝2.1x＋1.7.
（2）模型①的殘差表為
x 1 2 3 4 5
y 3 7 8 10 12
3.8 5.9 8 10.1 12.2
－0.8 1.1 0 －0.1 －0.2
畫出殘差圖，如圖所示：
結(jié)論：模型①更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程，理由1：模型①的5個(gè)樣本點(diǎn)的殘差點(diǎn)落在的帶狀區(qū)域比模型②的帶狀區(qū)域更窄；
理由2：模型①的5個(gè)樣本點(diǎn)的殘差點(diǎn)比模型②的殘差點(diǎn)更貼近x軸.（寫出一個(gè)理由即可）
（3）根據(jù)模型①中y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，計(jì)算x＝6時(shí)，＝2.1×6＋1.7＝14.3，
所以預(yù)測產(chǎn)量為6噸時(shí)生產(chǎn)總成本為14.3萬元.
3 / 3第2課時(shí)　非線性回歸模型及擬合效果的判斷
　　設(shè)某幼苗從觀察之日起，第x天的高度為y cm，測得的一些數(shù)據(jù)如下表所示：
第x天 1 4 9 16 25 36 49
高度y/cm 0 4 7 9 11 12 13
　　作出這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖近似描述y與x的關(guān)系，很顯然，這些散點(diǎn)不在一條直線附近.
【問題】　你能求出這個(gè)函數(shù)模型嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)一　非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程
1.非線性回歸分析的思想
研究兩個(gè)變量的關(guān)系時(shí)，依據(jù)樣本點(diǎn)畫出散點(diǎn)圖，從整體上看，如果樣本點(diǎn)沒有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，就稱這兩個(gè)變量之間不具有線性相關(guān)關(guān)系，此時(shí)不能直接利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程來建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系.
2.非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程
當(dāng)回歸方程不是形如＝x＋（，∈R）時(shí)，稱之為非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程.當(dāng)兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，依據(jù)樣本點(diǎn)的分布選擇合適的曲線方程來擬合數(shù)據(jù)，可通過變量代換，利用線性回歸模型建立兩個(gè)變量間的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程.
3.求非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的一般步驟
知識(shí)點(diǎn)二　殘差分析
1.殘差：一般地，我們將　　　　與對(duì)應(yīng)的估計(jì)值　　　　稱為殘差.殘差是隨機(jī)誤差ε的估計(jì)結(jié)果.
2.殘差圖：以觀測值為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)作點(diǎn)，可以畫出殘差圖.
3.殘差分析：通過對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.
知識(shí)點(diǎn)三　對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析
1.殘差圖法：在殘差圖中，如果殘差點(diǎn)比較均勻地分布在橫軸的兩邊，則說明回歸方程較好地刻畫了兩個(gè)變量的關(guān)系，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高.
2.殘差平方和法*：殘差平方和（yi－）2越小，模型的擬合效果越好.
3.決定系數(shù)R2法*：可以用R2＝1－來比較兩個(gè)模型的擬合效果，R2越大，模型的擬合效果越好，R2越小，模型的擬合效果越差.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）殘差平方和越接近0， 線性回歸模型的擬合效果越好.（　　）
（2）R2越小， 線性回歸模型的擬合效果越好.（　　）
（3）在殘差圖中，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào).（　　）
2.已知某成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的殘差圖如圖，則樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)中可能不準(zhǔn)確的是從左到右第幾個(gè)（　　）
A.5　　　　　　　 B.6
C.7 D.8
3.某校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的關(guān)系，由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到如圖所示的散點(diǎn)圖.由此散點(diǎn)圖，可以得出最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸模型的是（　　）
A.y＝a＋bx B.y＝a＋bln x
C.y＝a＋bex D.y＝a＋bx2
題型一 求非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程
【例1】　（2024·揚(yáng)州月考）某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，需了解年研發(fā)費(fèi)用x（單位：千萬元）對(duì)年銷售量y（單位：千萬件）的影響，統(tǒng)計(jì)了近10年投入的年研發(fā)費(fèi)用xi與年銷售量yi（i＝1，2，…，10）的數(shù)據(jù)，得到散點(diǎn)圖如圖所示.
（1）利用散點(diǎn)圖判斷y＝a＋bx和y＝c·xd（其中c，d均為大于0的常數(shù)）哪一個(gè)更適合作為年銷售量y和年研發(fā)費(fèi)用x的回歸方程類型（只要給出判斷即可，不必說明理由）；
（2）對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理，令ui＝ln xi，vi＝ln yi，得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：
vi ui （ui－）（vi－） （ui－）2
15 15 28.25 56.5
根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)， 求y關(guān)于x的回歸方程.
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其經(jīng)驗(yàn)回歸直線＝＋u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－.
通性通法
非線性回歸問題的處理方法
（1）指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a：兩邊取對(duì)數(shù)得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始數(shù)據(jù)（x，y）轉(zhuǎn)化為（x，z），再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b；
（2）對(duì)數(shù)函數(shù)型y＝bln x＋a：設(shè)x'＝ln x，原方程可化為y＝bx'＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b；
（3）y＝bx2＋a型：設(shè)x'＝x2，原方程可化為y＝bx'＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.若一函數(shù)模型為y＝ax2＋bx＋c（a≠0），將y轉(zhuǎn)化為t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則需做變換t＝（　　）
A.x2 B.（x＋a）2
C.（x＋）2 D.以上都不對(duì)
2.（2024·鎮(zhèn)江月考）已知變量y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝ebx－0.5，若對(duì)y＝ebx－0.5兩邊取自然對(duì)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)ln y與x線性相關(guān)，現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示，x＝5時(shí)，預(yù)測y值為　　　　.
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
題型二 殘差與殘差分析
【例2】　（2024·徐州月考）某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)x與成績y的數(shù)據(jù)如表：
次數(shù)x 30 33 35 37 39 44 46 50
成績y 30 34 37 39 42 46 48 51
（1）建立成績y關(guān)于次數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果精確到0.001）；
（2）用殘差分析的方法判斷用線性回歸模型是否合理.
參考數(shù)據(jù)：＝12 656，xiyi＝13 180.
通性通法
1.殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適.這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高.
2.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)值，＝y(tǒng)i－.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.對(duì)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是（　　）
2.已知一系列樣本點(diǎn)（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝2x＋，若樣本點(diǎn)（r，1）與（1，s）的殘差相同，則有（　　）
A.r＝s B.s＝2r
C.s＝－2r＋3 D.s＝2r＋1
題型三 殘差平方和法*與決定系數(shù)R2法*
【例3】　已知某種商品的價(jià)格x（單位：元）與需求量y（單位：件）之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
（1）求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
（2）借助殘差平方和與R2說明回歸模型擬合效果的好壞.
（參考公式及數(shù)據(jù)：＝，＝－，＝1 660，xiyi＝620，（yi－）2＝53.2）
通性通法
刻畫回歸效果的三種方法
（1）殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適；
（2）殘差平方和法：殘差平方和（yi－）2越小，模型的擬合效果越好；
（3）決定系數(shù)法：R2＝1－越接近1，表明模型的擬合效果越好.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.一組數(shù)據(jù)（xi，yi）經(jīng)過分析，提出了四種回歸模型①②③④，四種模型殘差平方和的值分別是1.23，0.80，0.12，1.36.則擬合效果最好的是（　　）
A.模型① B.模型②
C.模型③ D.模型④
2.在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時(shí)，若求得決定系數(shù)R2≈0.85，則表明氣溫解釋了　　　　的熱茶銷售杯數(shù)變化，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的　　　　，所以氣溫對(duì)熱茶銷售杯數(shù)的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多.
1.（2024·淮安月考）某種產(chǎn)品的投入x（單位：萬元）與收入y（單位：萬元）之間的關(guān)系如下表所示：
x/萬元 2 4 5 6 8
y/萬元 30 40 60 50 70
若y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝6.5x＋17.5，則相應(yīng)于點(diǎn)（4，40）的殘差為（　　）
A.－4.5 B.4.5
C.－3.5 D.3.5
2.用模型y＝aebx＋1（a＞0）擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，令z＝ln y，將其變換后得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程z＝2x＋a，則＝（　　）
A.e B.
C. D.2
第2課時(shí)　非線性回歸模型及擬合效果的判斷
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)二
1.觀測值　之差
自我診斷
1.（1）√　（2）×　（3）√
2.B　原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)往往是殘差絕對(duì)值過大的那個(gè)數(shù)據(jù)，即偏離平衡位置過大.
3.B　由散點(diǎn)圖可知，數(shù)據(jù)分布成遞增趨勢(shì)，但是呈現(xiàn)上凸效果，即增加越來越緩慢.A中，y＝a＋bx是直線型，均勻增長，不符合要求；B中，y＝a＋bln x是對(duì)數(shù)型，增長越來越緩慢，符合要求；C中，y＝a＋bex是指數(shù)型，爆炸式增長，增長越來越快，不符合要求；D中，y＝a＋bx2是二次函數(shù)型，圖象既有上升，又有下降，不符合要求.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）由散點(diǎn)圖可知，選擇回歸方程類型y＝c·xd更適合.
（2）對(duì)y＝c·xd兩邊取對(duì)數(shù)，得ln y＝ln c＋dln x，即v＝ln c＋du.
由表中數(shù)據(jù)求得＝＝＝，
＝＝＝.
令ln c＝m，
則＝－＝－×＝，即c＝，
所以年銷售量y與年研發(fā)費(fèi)用x的回歸方程為＝.
跟蹤訓(xùn)練
1.C　y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋）2＋（a≠0），可令t＝（x＋）2，則y＝at＋為y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.
2.e7.5　解析：對(duì)y＝ebx－0.5兩邊取對(duì)數(shù)，得ln y＝bx－0.5，令z＝ln y則z＝bx－0.5，列表如下：
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
z 1 3 4 6
＝＝2.5，＝＝3.5 ，代入＝b－0.5得3.5＝b·2.5－0.5，故b＝1.6，故z＝1.6x－0.5，y＝e1.6x－0.5，當(dāng)x＝5時(shí)，y＝e1.6×5－0.5＝e7.5.
【例2】　解：（1）∵＝39.25，＝40.875，
∴＝
＝≈1.041，
＝－≈0.016.
∴經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝1.041x＋0.016.
（2）某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)與成績之間的數(shù)據(jù)及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)為
x 30 33 35 37
y 30 34 37 39
ε＝y(tǒng)－ －1.246 －0.369 0.549 0.467
x 39 44 46 50
y 42 46 48 51
ε＝y(tǒng)－ 1.385 0.18 0.098 －1.066
殘差圖如圖所示.
由圖可知，殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊，說明該線性回歸模型比較合理.
跟蹤訓(xùn)練
1.A　用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高.
2.C　樣本點(diǎn)（r，1）的殘差為1－2r－，樣本點(diǎn)（1，s）的殘差為s－－2，依題意得1－2r－＝s－－2，故s＝－2r＋3.
【例3】　解：（1）＝×（14＋16＋18＋20＋22）＝18，
＝×（12＋10＋7＋5＋3）＝7.4，
所以＝＝＝－1.15，
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程是＝－1.15x＋28.1.
（2）列出殘差表為
yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
所以（yi－）2＝0.3，且（yi－）2＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
所以回歸模型的擬合效果很好.
跟蹤訓(xùn)練
1.C　殘差平方和越小則擬合效果越好，而模型③的殘差平方和最小，所以C正確.故選C.
2.85%　15%　解析：由決定系數(shù)R2的意義可知，R2≈0.85表明氣溫解釋了85%，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的15%.
隨堂檢測
1.C　＝4×6.5＋17.5＝43.5，ε＝40－43.5＝－3.5.
2.D　對(duì)y＝aebx＋1（a＞0）兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得ln y＝ln（aebx＋1）＝ln a＋bx＋1，令z＝ln y，則z＝bx＋ln a＋1，所以解得所以＝2.故選D.
4 / 5(共70張PPT)
第2課時(shí)　
非線性回歸模型及擬合效果的判斷
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
　　設(shè)某幼苗從觀察之日起，第x天的高度為y cm，測得的一些數(shù)據(jù)
如下表所示：
第x天 1 4 9 16 25 36 49
高度
y/cm 0 4 7 9 11 12 13
　　作出這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖近似描述y與x的關(guān)系，很顯然，這
些散點(diǎn)不在一條直線附近.
【問題】　你能求出這個(gè)函數(shù)模型嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識(shí)點(diǎn)一　非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程
1. 非線性回歸分析的思想
研究兩個(gè)變量的關(guān)系時(shí)，依據(jù)樣本點(diǎn)畫出散點(diǎn)圖，從整體上看，如
果樣本點(diǎn)沒有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，就稱這兩個(gè)變量之間不具有
線性相關(guān)關(guān)系，此時(shí)不能直接利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程來建立兩個(gè)變量之
間的關(guān)系.
2. 非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程
當(dāng)回歸方程不是形如 ＝ x＋ （ ， ∈R）時(shí)，稱之為非線性
經(jīng)驗(yàn)回歸方程.當(dāng)兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，依據(jù)樣本點(diǎn)的分
布選擇合適的曲線方程來擬合數(shù)據(jù)，可通過變量代換，利用線性回
歸模型建立兩個(gè)變量間的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程.
3. 求非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的一般步驟
知識(shí)點(diǎn)二　殘差分析
1. 殘差：一般地，我們將 與對(duì)應(yīng)的估計(jì)值 稱為殘
差.殘差是隨機(jī)誤差ε的估計(jì)結(jié)果.
2. 殘差圖：以觀測值為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)作點(diǎn)，可以畫出殘
差圖.
3. 殘差分析：通過對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及
判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.
觀測值　
之差　
知識(shí)點(diǎn)三　對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析
1. 殘差圖法：在殘差圖中，如果殘差點(diǎn)比較均勻地分布在橫軸的兩
邊，則說明回歸方程較好地刻畫了兩個(gè)變量的關(guān)系，這樣的帶狀區(qū)
域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高.
2. 殘差平方和法*：殘差平方和 （yi－ ）2越小，模型的擬合效果
越好.
3. 決定系數(shù)R2法*：可以用R2＝1－ 來比較兩個(gè)模型的擬
合效果，R2越大，模型的擬合效果越好，R2越小，模型的擬合效
果越差.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）殘差平方和越接近0， 線性回歸模型的擬合效果越好.
（　√　）
（2）R2越小， 線性回歸模型的擬合效果越好. （　×　）
（3）在殘差圖中，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào).
（　√　）
√
×
√
2. 已知某成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的殘差圖如圖，則樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)中可能不準(zhǔn)確的
是從左到右第幾個(gè)（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： 　原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)往往是殘差絕對(duì)值過大的那個(gè)數(shù)
據(jù)，即偏離平衡位置過大.
3. 某校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單
位：℃）的關(guān)系，由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到如圖所示的散點(diǎn)圖.由此散點(diǎn)
圖，可以得出最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸模型的是
（　　）
A. y＝a＋bx B. y＝a＋bln x
C. y＝a＋bex D. y＝a＋bx2
解析： 　由散點(diǎn)圖可知，數(shù)據(jù)分布成遞增趨勢(shì)，但是呈現(xiàn)上凸效
果，即增加越來越緩慢.A中，y＝a＋bx是直線型，均勻增長，不
符合要求；B中，y＝a＋bln x是對(duì)數(shù)型，增長越來越緩慢，符合
要求；C中，y＝a＋bex是指數(shù)型，爆炸式增長，增長越來越快，
不符合要求；D中，y＝a＋bx2是二次函數(shù)型，圖象既有上升，又
有下降，不符合要求.
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 求非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程
【例1】　（2024·揚(yáng)州月考）某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研
發(fā)費(fèi)用，需了解年研發(fā)費(fèi)用x（單位：千萬元）對(duì)年銷售量y（單
位：千萬件）的影響，統(tǒng)計(jì)了近10年投入的年研發(fā)費(fèi)用xi與年銷售量
yi（i＝1，2，…，10）的數(shù)據(jù)，得到散點(diǎn)圖如圖所示.
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），
其經(jīng)驗(yàn)回歸直線 ＝ ＋ u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別
為 ＝ ， ＝ － .
（1）利用散點(diǎn)圖判斷y＝a＋bx和y＝c·xd（其中c，d均為大于0的
常數(shù)）哪一個(gè)更適合作為年銷售量y和年研發(fā)費(fèi)用x的回歸方程
類型（只要給出判斷即可，不必說明理由）；
解： 由散點(diǎn)圖可知，選擇回歸方程類型y＝c·xd更適合.
（2）對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理，令ui＝ln xi，vi＝ln yi，得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量
的值如下表：
15 15 28.25 56.5
根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)， 求y關(guān)于x的回歸方程.
解：對(duì)y＝c·xd兩邊取對(duì)數(shù)，得ln y＝ln c＋dln x，即v＝ln c＋du.
由表中數(shù)據(jù)求得 ＝ ＝ ＝ ，
＝ ＝ ＝ .
令ln c＝m，
則 ＝ － ＝ － × ＝ ，即c＝ ，
所以年銷售量y與年研發(fā)費(fèi)用x的回歸方程為 ＝ .
通性通法
非線性回歸問題的處理方法
（1）指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a：兩邊取對(duì)數(shù)得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx
＋a.令z＝ln y，把原始數(shù)據(jù)（x，y）轉(zhuǎn)化為（x，z），再根
據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b；
（2）對(duì)數(shù)函數(shù)型y＝bln x＋a：設(shè)x'＝ln x，原方程可化為y＝bx'＋
a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b；
（3）y＝bx2＋a型：設(shè)x'＝x2，原方程可化為y＝bx'＋a，再根據(jù)線
性回歸模型的方法求出a，b.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 若一函數(shù)模型為y＝ax2＋bx＋c（a≠0），將y轉(zhuǎn)化為t的經(jīng)驗(yàn)回
歸方程，則需做變換t＝（　　）
A. x2 B. （x＋a）2
D. 以上都不對(duì)
解析： 　y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋ ）2＋ （a≠0），可
令t＝（x＋ ）2，則y＝at＋ 為y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.
2. （2024·鎮(zhèn)江月考）已知變量y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝
ebx－0.5，若對(duì)y＝ebx－0.5兩邊取自然對(duì)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)ln y與x線性相
關(guān)，現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示，x＝5時(shí)，預(yù)測y值為 .
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
e7.5　
解析：對(duì)y＝ebx－0.5兩邊取對(duì)數(shù)，得ln y＝bx－0.5，令z＝ln y則z
＝bx－0.5，列表如下：
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
z 1 3 4 6
＝ ＝2.5， ＝ ＝3.5 ，代入 ＝b －0.5得3.5＝
b·2.5－0.5，故b＝1.6，故z＝1.6x－0.5，y＝e1.6x－0.5，當(dāng)x＝5
時(shí)，y＝e1.6×5－0.5＝e7.5.
題型二 殘差與殘差分析
【例2】　（2024·徐州月考）某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)x與成績y的數(shù)據(jù)
如表：
次數(shù)x 30 33 35 37 39 44 46 50
成績y 30 34 37 39 42 46 48 51
（1）建立成績y關(guān)于次數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果精確到0.001）；
解： ∵ ＝39.25， ＝40.875，
∴ ＝ ＝ ≈1.041，
＝ － ≈0.016.
∴經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 ＝1.041x＋0.016.
（2）用殘差分析的方法判斷用線性回歸模型是否合理.
參考數(shù)據(jù)： ＝12 656， xiyi＝13 180.
解： 某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)與成績之間的數(shù)據(jù)及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)為
x 30 33 35 37 39 44 46 50
y 30 34 37 39 42 46 48 51
－
1.246 －
0.369 0.549 0.467 1.385 0.18 0.098 －
1.066
殘差圖如圖所示.
由圖可知，殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊，說明該線性回歸
模型比較合理.
通性通法
1. 殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合
適.這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方
程的預(yù)報(bào)精度越高.
2. 殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)值， ＝y(tǒng)i－ .
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 對(duì)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫出
殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是（　　）
解析： 　用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在
水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越
窄，說明模型的擬合精度越高.
2. 已知一系列樣本點(diǎn)（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的經(jīng)驗(yàn)回歸
方程為 ＝2x＋ ，若樣本點(diǎn)（r，1）與（1，s）的殘差相同，
則有（　　）
A. r＝s B. s＝2r
C. s＝－2r＋3 D. s＝2r＋1
解析： 樣本點(diǎn)（r，1）的殘差為1－2r－ ，樣本點(diǎn)（1，s）
的殘差為s－ －2，依題意得1－2r－ ＝s－ －2，故s＝－2r
＋3.
題型三 殘差平方和法*與決定系數(shù)R2法*
【例3】　已知某種商品的價(jià)格x（單位：元）與需求量y（單位：
件）之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
（1）求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
解： ＝ ×（14＋16＋18＋20＋22）＝18，
＝ ×（12＋10＋7＋5＋3）＝7.4，
所以 ＝ ＝ ＝－1.15，
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程是 ＝－1.15x＋28.1.
（2）借助殘差平方和與R2說明回歸模型擬合效果的好壞.
（參考公式及數(shù)據(jù)： ＝ ， ＝ － ， ＝1
660， xiyi＝620， （yi－ ）2＝53.2）
解： 列出殘差表為
0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
所以 （yi－ ）2＝0.3，且 （yi－ ）2＝53.2，
R2＝1－ ≈0.994，所以回歸模型的擬合效果很好.
通性通法
刻畫回歸效果的三種方法
（1）殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用
的模型比較合適；
（2）殘差平方和法：殘差平方和 （yi－ ）2越小，模型的擬合效
果越好；
（3）決定系數(shù)法：R2＝1－ 越接近1，表明模型的擬合效
果越好.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 一組數(shù)據(jù)（xi，yi）經(jīng)過分析，提出了四種回歸模型①②③④，四
種模型殘差平方和 的值分別是1.23，0.80，0.12，
1.36.則擬合效果最好的是（　　）
A. 模型① B. 模型②
C. 模型③ D. 模型④
解析： 　殘差平方和越小則擬合效果越好，而模型③的殘差平方
和最小，所以C正確.故選C.
2. 在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時(shí)，若求得決定系數(shù)R2≈0.85，
則表明氣溫解釋了 的熱茶銷售杯數(shù)變化，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)
了剩余的 ，所以氣溫對(duì)熱茶銷售杯數(shù)的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的
效應(yīng)大得多.
解析：由決定系數(shù)R2的意義可知，R2≈0.85表明氣溫解釋了85%，
而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的15%.
85%　
15%　
1. （2024·淮安月考）某種產(chǎn)品的投入x（單位：萬元）與收入y（單
位：萬元）之間的關(guān)系如下表所示：
x/萬元 2 4 5 6 8
y/萬元 30 40 60 50 70
若y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 ＝6.5x＋17.5，則相應(yīng)于點(diǎn)（4，40）
的殘差為（　　）
A. －4.5 B. 4.5
解析： 　 ＝4×6.5＋17.5＝43.5，ε＝40－43.5＝－3.5.
C. －3.5 D. 3.5
2. 用模型y＝aebx＋1（a＞0）擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，令z＝ln y，將其變換
后得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程z＝2x＋a，則 ＝（　　）
A. e
解析： 　對(duì)y＝aebx＋1（a＞0）兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得ln y＝ln
（aebx＋1）＝ln a＋bx＋1，令z＝ln y，則z＝bx＋ln a＋1，所以
解得所以 ＝2.故選D.
D. 2
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時(shí)，分別選
擇了4種不同模型，計(jì)算可得它們的決定系數(shù)R2如下表：
甲 乙 丙 丁
R2 0.98 0.78 0.50 0.85
則回歸模型擬合效果最好的是（　　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
解析： 　決定系數(shù)R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2. 某樣本點(diǎn)（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 ＝
0.5x＋0.7，當(dāng)x＝8時(shí)，y的實(shí)際值為4.5，則當(dāng)x＝8時(shí)，預(yù)測值
與實(shí)際值的差值為（　　）
A. 0.1 B. 0.2
C. 0.3 D. 0.4
解析： 　當(dāng)x＝8時(shí)，y的預(yù)測值 ＝4.7，4.7－4.5＝0.2.故選B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. （2024·泰州月考）已知變量y關(guān)于變量x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 ＝
bln x＋0.24，其一組數(shù)據(jù)如表所示：
x e e3 e4 e6 e7
y 1 2 3 4 5
若x＝e10，則y的值大約為（　　）
A. 4.94 B. 5.74
C. 6.81 D. 8.04
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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解析： 　令t＝ln x，則 ＝bt＋0.24.由題意得， ＝4.2， ＝
3，由線性經(jīng)驗(yàn)回歸直線過樣本的中心點(diǎn)，有b＝ ，所以 ＝ ln
x＋0.24，將x＝e10代入得 ≈6.81.故選C.
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4. 如圖是一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，擬合方程為y＝ ＋c（x＞0），
令t＝ ，則y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸直線過點(diǎn)（2，5），（12，25），
則當(dāng)y∈（1.01，1.02）時(shí)，x的取值范圍是（　　）
A. （0.01，0.02） B. （50，100）
C. （0.02，0.04） D. （100，200）
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解析： 　根據(jù)題意可得y＝bt＋c（t＞0），由y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回
歸直線過點(diǎn)（2，5），（12，25）可得：解得
所以y＝2t＋1，由y∈（1.01，1.02）可得1.01＜2t＋1
＜1.02，所以0.005＜t＜0.01，所以0.005＜ ＜0.01，所以100＜
x＜200，故選D.
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5. （多選）某研究小組采集了5組數(shù)據(jù)，作出如圖所示的散點(diǎn)圖.若去
掉D（3，10）后，下列說法正確的是（　　）
A. 樣本相關(guān)系數(shù)r變小
B. 決定系數(shù)R2變大
C. 殘差平方和變大
D. 自變量x與因變量y的相關(guān)性變強(qiáng)
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解析： 根據(jù)散點(diǎn)圖可知，去掉點(diǎn)D（3，10）后，y與x的線
性相關(guān)性加強(qiáng)，且為正相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)r變大，則A錯(cuò)，D
對(duì)；去掉點(diǎn)D（3，10）后，殘差平方和變小，則R2變大，B對(duì)，C
錯(cuò).故選B、D.
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6. （多選）（2024·蘇州月考）某種商品的價(jià)格x（單位：元/kg）與
日需求量y（單位：kg）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：
x 10 15 20 25 30
y 11 10 8 6 5
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程 ＝ x＋14.4，則以下說法正
確的是（　　）
A. 樣本相關(guān)系數(shù)r＞0
C. 若該商品的價(jià)格為35元/kg，則日需求量大約為3.2 kg
D. 第四個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的殘差為－0.4
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解析： 　對(duì)于A、B，由題表中的數(shù)據(jù)，得 ＝
＝20， ＝ ＝8，將 ， 代入 ＝ x＋14.4得 ＝－
0.32，所以A選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，B選項(xiàng)說法正確；對(duì)于C，將x＝35代
入 ＝－0.32x＋14.4，得 ＝3.2，所以日需求量大約為3.2 kg，
所以C選項(xiàng)說法正確；對(duì)于D，第四個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的殘差為y4－
＝6－（－0.32×25＋14.4）＝－0.4，所以D選項(xiàng)說法正確.故選
B、C、D.
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7. 在研究兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)集中于某一
條指數(shù)曲線y＝ebx＋a的周圍，令z＝ln y，求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 ＝
0.25x－2.58，則該模型的回歸方程為 .
解析：由z＝ln y， ＝0.25x－2.58，得ln ＝0.25x－2.58，所以
＝e0.25x－2.58.故該模型的回歸方程為 ＝e0.25x－2.58.
＝e0.25x－2.58　
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8. （2024·南通月考）某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與所需某
種原材料y（噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集了對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表
所示，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 ＝0.6x＋
.據(jù)此計(jì)算出在樣本（4，3）處的殘差為－0.15，則表中m
＝ .
x 3 4 5 6
y 2 3 4 m
4.8　
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解析：∵樣本（4，3）處的殘差為－0.15，且y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸
方程為 ＝0.6x＋ ，∴3－（0.6×4＋ ）＝－0.15，解得 ＝
0.75，故經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 ＝0.6x＋0.75，∵ ＝ ＝4.5，
＝ ＝ ，∴ ＝0.6×4.5＋0.75，解得m＝4.8.
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9. （2024·南京質(zhì)檢）“綠水青山就是金山銀山”的理念推動(dòng)了新能
源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展.以下表格和散點(diǎn)圖反映了近幾年我國某新
能源汽車的年銷售量情況.
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代碼x 1 2 3 4 5
某新能源汽車 年銷售量y/萬輛 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6
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（1）請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝bx＋a與y＝cx2＋d中哪一個(gè)更適宜
作為年銷售量y關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型.（給出判斷
即可，不必說明理由）
解： 根據(jù)散點(diǎn)圖可知，y＝cx2＋d更適宜作為年銷售量
y關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型.
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（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方
程，并預(yù)測2025年我國該新能源汽車的年銷售量.（精確到
0.1）
參考數(shù)據(jù)： ＝22.72， （wi－ ）2＝374， （wi－
）（yi－ ）＝851.2（其中wi＝ ）.
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解： 令w＝x2，則 ＝ w＋ .
易知 ＝11， ＝ ＝≈2.28，
＝ － ≈22.72－2.28×11＝－2.36，
所以 ＝2.28w－2.36，
所以y關(guān)于x的回歸方程為 ＝2.28x2－2.36.
令x＝6，得 ＝79.72≈79.7.
故預(yù)測2025年我國該新能源汽車的年銷售量為79.7萬輛.
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10. 假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測得
5組數(shù)據(jù)如下：
x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4
y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2
若由最小二乘法計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程 ＝0.29x＋34.7.
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（1）計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和；
解： 由 ＝ xi＋ ，可以算得 ＝y(tǒng)i－ .
分別為 ＝0.35， ＝0.718， ＝－0.5， ＝－
2.214， ＝1.624，
所以殘差平方和為 （ ）2≈8.43.
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解： 由表中數(shù)據(jù)得 ＝43.5， （yi－ ）2＝50.18，
故R2＝1－ ≈1－ ≈0.832.
所以回歸模型的擬合效果較好.
（2）求R2，并說明回歸模型擬合效果的好壞.
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11. 某企業(yè)堅(jiān)持以市場需求為導(dǎo)向，合理配置生產(chǎn)資源，不斷改
革、探索銷售模式.下表是該企業(yè)每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的
產(chǎn)量x（單位：t）與相應(yīng)的生產(chǎn)總成本y（單位：萬元）的五
組對(duì)照數(shù)據(jù).
產(chǎn)量x/t 1 2 3 4 5
生產(chǎn)總成
本y/萬元 3 7 8 10 12
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（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，若用最小二乘法進(jìn)行線性模擬，試求y關(guān)于
x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程 ＝ x＋ .
解： 計(jì)算 ＝ （1＋2＋3＋4＋5）＝3，
＝ （3＋7＋8＋10＋12）＝8，
＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
xiyi＝1×3＋2×7＋3×8＋4×10＋5×12＝141，
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＝ ＝ ＝2.1，
＝ － ＝8－2.1×3＝1.7，
因此，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 ＝2.1x＋1.7.
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（2）記第（1）問中所求y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程 ＝ x＋ 為模型①，同時(shí)該企業(yè)科研人員利用計(jì)算機(jī)根據(jù)數(shù)據(jù)又建立了y與x的回歸模型②： ＝ x2＋1.其中模型②的殘差圖（殘差＝實(shí)際值－估計(jì)值）如圖所示.
請(qǐng)完成模型①的殘差表與殘差圖，并根據(jù)殘差圖，判斷哪一
個(gè)模型更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程，并說明理由.
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解： 模型①的殘差表為
x 1 2 3 4 5
y 3 7 8 10 12
3.8 5.9 8 10.1 12.2
－0.8 1.1 0 －0.1 －0.2
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畫出殘差圖，如圖所示：
結(jié)論：模型①更適宜作為y
關(guān)于x的回歸方程，理由1：
模型①的5個(gè)樣本點(diǎn)的殘差
點(diǎn)落在的帶狀區(qū)域比模型②
的帶狀區(qū)域更窄；
理由2：模型①的5個(gè)樣本點(diǎn)的殘差點(diǎn)比模型②的殘差點(diǎn)更貼近x軸.（寫出一個(gè)理由即可）
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（3）根據(jù)模型①中y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，預(yù)測產(chǎn)量為6 t時(shí)生產(chǎn)
總成本為多少萬元.
解： 根據(jù)模型①中y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，計(jì)算x＝6
時(shí)， ＝2.1×6＋1.7＝14.3，
所以預(yù)測產(chǎn)量為6噸時(shí)生產(chǎn)總成本為14.3萬元.
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