資源簡介

9.2　獨立性檢驗
1.隨機調查某校110名學生是否喜歡跳舞，由公式χ2＝（其中n＝a＋b＋c＋d）計算出χ2的值，并由此得出結論：有99%的把握認為學生是否喜歡跳舞與性別有關，則χ2可以為（　　）
A.3.565 B.4.204
C.5.233 D.6.842
2.有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大于等于85分為優秀，85分以下為非優秀，得到2×2列聯表如下：
優秀 非優秀 合計
甲班 10 b
乙班 c 30
合計 105
已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優秀的概率為，則下列說法正確的是（　　）
A.列聯表中c的值為30，b的值為35
B.列聯表中c的值為15，b的值為50
C.列聯表中c的值為20，b的值為50
D.由列聯表可得出成績與班級有關系
3.（2024·無錫月考）某學校學生服務中心為了了解在校學生對學校后勤工作的滿意度，隨機調查了200名學生，其中男女生比例為3∶2，并對這些學生進行了問卷調查，學生對后勤工作給出了滿意或不滿意的總體評價，得到如下2×2列聯表：
滿意 不滿意 合計
男生 104
女生 24
合計 200
下列說法中正確的是（　　）
A.2×2列聯表中男生不滿意的人數為18
B.2×2列聯表中女生滿意的人數為54
C.沒有99.5%的把握認為“男生與女生對后勤工作的評價有差異”
D.有99.5%的把握認為“男生與女生對后勤工作的評價有差異”
4.兩個分類變量X和Y，值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數分別是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若有97.5%的把握認為X與Y有關系，則c＝（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
5.（多選）有兩個分類變量X，Y，其一組的調查數據如表所示，
Y
Y1 Y2
X X1 a 20－a
X2 15－a 30＋a
其中a，15－a均為大于5的整數，若有95%的把握認為X與Y有關系，則a的值可以為（　　）
A.6 B.7
C.8 D.9
6.為了探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關，用兩種不同劑量的電離輻射照射小白鼠.照射14天后的結果如下表所示：
小白鼠
死亡 存活 合計
劑量 第一種劑量 14 11 25
第二種劑量 6 19 25
合計 20 30 50
進行獨立性檢驗的原假設是　　　　　　　　，χ2≈　　　　.（結果保留兩位小數）
7.某校為了研究學生的性別和對待某一活動的態度（支持與不支持）的關系，運用2×2列聯表進行獨立性檢驗.整理所得數據后發現，若依據P（χ2≥x0）＝0.010的獨立性檢驗，則認為學生性別與是否支持該活動無關；若依據P（χ2≥x0）＝0.025的獨立性檢驗，則認為學生性別與是否支持該活動有關，則χ2可取的整數值為　　　　.
附表：
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
8.（2024·南京質檢）在2×2列聯表中，若每個數據變為原來的2倍，則χ2的值變為原來的　　　　倍.
9.（多選）（2024·蘇州月考）某校計劃在課外活動中新增攀巖項目，為了解學生喜歡攀巖和性別是否有關聯，面向學生開展了一次隨機調查，其中參加調查的男、女生人數相同，男生喜歡攀巖的占80%，女生不喜歡攀巖的占70%，則（　　）
A.參與調查的學生中喜歡攀巖的男生人數比喜歡攀巖的女生人數多
B.參與調查的女生中喜歡攀巖的人數比不喜歡攀巖的人數多
C.若參與調查的男、女生人數均為100，則依據獨立性檢驗的思想認為喜歡攀巖和性別有關聯
D.無論參與調查的男、女生人數為多少，都可以依據獨立性檢驗的思想認為喜歡攀巖和性別有關聯
10.針對“中學生追星問題”，某校團委對“學生性別和中學生追星是否有關”作了一次調查，調查樣本中女生人數是男生人數的，男生追星人數占男生人數的，女生追星的人數占女生人數的，若有95%的把握認為是否追星和性別有關，則調查樣本中男生至少有　　　　人.
參考數據及公式如下：
χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P（χ2≥x0） 0.05 0.01 0.001
x0 3.841 6.635 10.828
11.某校對有心理障礙的學生進行測試得到如下列聯表：
心理障礙
焦慮 說謊 懶惰 合計
性別 女生 5 10 15 30
男生 20 10 50 80
合計 25 20 65 110
試說明在這三種心理障礙中哪一種與性別關系最大？
12.某校的一個社會實踐調查小組在對該校學生的用眼習慣的調查中，隨機發放了120份問卷.對收回的100份有效問卷進行統計，得到如下2×2列聯表：
做不到科學用眼 能做到科學用眼 合計
男 45 x 45＋x
女 3x 15 3x＋15
合計 45＋3x 15＋x 100
（1）求表中的x；
（2）若在犯錯誤的概率不大于P的前提下認為用眼習慣與性別有關，那么根據臨界值表（附表），最精確的P的值應為多少？
附：
P（χ2≥x0） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
χ0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
χ2＝.
9.2　獨立性檢驗
1.D　因為有99%的把握認為學生是否喜歡跳舞與性別有關，所以χ2＞6.635，故選D.
2.D　由題意得＝，解得c＝20，∵10＋c＋b＋30＝105，∴b＝45.又＝，＝，∵＜，∴成績與班級有關系.
3.D　由題意得男生共120人，女生共80人，補全2×2列聯表：
滿意 不滿意 合計
男生 104 16 120
女生 56 24 80
合計 160 40 200
提出假設H0：男生與女生對后勤工作的評價沒有差異.由列聯表中的數據可以求得χ2＝≈8.333＞7.879，所以有99.5%的把握認為，男生與女生對后勤工作的評價有差異.
4.A　列2×2列聯表如下：
Y
y1 y2 合計
X x1 10 21 31
x2 c d 35
合計 10＋c 21＋d 66
故χ2＝≥5.024.把選項A、B、C、D代入驗證可知選A.
5.CD　由列聯表中數據，得χ2＝＝＞3.841，由a，15－a均為大于5的整數，得5＜a＜10，a∈Z，解得a＝8或a＝9，A、B錯誤，C、D正確.故選C、D.
6.小白鼠的存活情況與電離輻射的劑量無關　5.33　解析：提出假設H0：小白鼠的存活情況與電離輻射的劑量無關，由列聯表中的數據得χ2＝≈5.33.
7.6　解析：由題知χ2∈[5.024，6.635），故χ2可取的整數值為6.
8.2　解析：由公式χ2＝
中所有值變為原來的2倍，得（χ2）'＝＝
＝2·＝2χ2，故χ2也變為原來的2倍.
9.AC　由題意設參與調查的男、女生人數均為m，則得到如下2×2列聯表：
喜歡攀巖 不喜歡攀巖 合計
男生 0.8m 0.2m m
女生 0.3m 0.7m m
合計 1.1m 0.9m 2m
所以參與調查的學生中喜歡攀巖的男生人數比喜歡攀巖的女生人數多，參與調查的女生中喜歡攀巖的人數比不喜歡攀巖的人數少，故A正確，B錯誤；由列聯表中的數據，計算得到χ2＝＝，當m＝100時，χ2＝＝≈50.505＞10.828，所以當參與調查的男、女生人數均為100時，依據獨立性檢驗，我們有99.9%的把握認為，喜歡攀巖和性別有關聯，故C正確，D錯誤，故選A、C.
10.12　解析：設男生人數為x，依題意可得2×2列聯表如下：
是否追星
追星 不追星 合計
性別 男生 x
女生
合計 x
若有95%的把握認為是否追星和性別有關，則χ2＞3.841，由χ2＝＝＞3.841，解得x＞10.24，因為，，均為整數，所以若有95%的把握認為是否追星和性別有關，則男生至少有12人.
11.解：對于題中三種心理障礙分別構造三個隨機變量，，.
由表中數據列出焦慮是否與性別有關的2×2列聯表：
是否焦慮
焦慮 不焦慮 合計
性別 女生 5 25 30
男生 20 60 80
合計 25 85 110
原假設為H0：焦慮與性別無關.
可得＝
≈0.863＜2.706，
所以根據目前的調查數據，不能否定假設H0，即不能做出焦慮與性別有關的結論.
同理列出說謊是否與性別有關的2×2列聯表：
是否說謊
說謊 不說謊 合計
性別 女生 10 20 30
男生 10 70 80
合計 20 90 110
＝≈6.366＞3.841，
所以我們有95%的把握認為，說謊與性別有關.
同理得＝≈1.410＜2.706.
所以根據目前的調查數據，不能否定假設H0，即不能做出懶惰與性別有關的結論.
綜上，三種心理障礙中說謊與性別關系最大.
12.解：（1）由表中數據， 列方程得
（45＋3x）＋（15＋x）＝100，解得x＝10.
（2）由（1）得2×2列聯表如下：
做不到 科學用眼 能做到 科學用眼 合計
男 45 10 55
女 30 15 45
合計 75 25 100
由表中數據，計算得
χ2＝≈3.030.
因為2.706＜3.030＜3.841，所以根據臨界值表可知最精確的P值應為0.1.
3 / 39.2　獨立性檢驗
新課程標準解讀 核心素養
1.通過實例，理解2×2列聯表的統計意義 數學建模
2.通過實例，了解2×2列聯表獨立性檢驗及其應用 數據分析
吸煙已成為全球范圍內嚴重危害健康、危害人類生存環境、降低人們的生活水平、縮短人類壽命的緊迫問題.為此，聯合國將每年5月31日定為全球戒煙日.
【問題】　你知道是如何判定吸煙有害健康的嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　2×2列聯表
一般地，對于兩個分類變量Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B；Ⅱ也有兩類取值，即類1和類2. 我們得到如下列聯表所示的抽樣數據：
Ⅱ
類1 類2 合計
Ⅰ 類A a b a＋b
類B c d c＋d
合計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
上述表格稱為2×2列聯表.
提醒　在2×2列聯表中，如果兩個分類變量沒有關聯，則應滿足≈，即ad－bc≈0.因此，｜ad－bc｜越小，說明兩個分類變量之間關聯性越弱；｜ad－bc｜越大，說明兩個分類變量之間關聯性越強.
知識點二　獨立性檢驗
1.定義：用χ2統計量研究兩個分類變量Ⅰ和Ⅱ是否有關的方法稱為獨立性檢驗.
統計量χ2的計算公式：
χ2＝.
2.步驟：要推斷“Ⅰ與Ⅱ有關系”，可按下面的步驟進行：
（1）提出假設H0：Ⅰ與Ⅱ沒有關系；
（2）根據2×2列聯表與公式計算χ2的值；
（3）根據臨界值，做出判斷.
3.臨界值如表所示：
P（χ2≥x0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10
x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706
P（χ2≥x0） 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
例如：
（1）若χ2＞10.828，則有99.9%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”；
（2）若χ2＞6.635，則有99%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”；
（3）若χ2＞2.706，則有90%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”；
（4）若χ2≤2.706，則認為沒有充分的證據顯示“Ⅰ與Ⅱ有關系”，但也不能作出結論“H0成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒有關系.
1.（多選）下列實際問題用獨立性檢驗可以解決的問題有（　　）
A.一種藥物對某種病的治愈率
B.兩種藥物治療同一種病是否有區別
C.吸煙人群是否與性別有關系
D.網吧與青少年的犯罪是否有關系
2.利用獨立性檢驗來考慮兩個分類變量X和Y是否有關系時，通過查閱臨界值表來確定推斷“X和Y有關系”的可信度，如果χ2＞6.635，那么就推斷“X和Y有關系”的把握約為（　　）
A.0.1%　　B.1% C.99%　　D.99.9%
3.某校為了檢驗高中數學新課程改革的成果，在兩個班進行教學方式的對比試驗，兩個月后進行了一次檢測，試驗班與對照班成績統計如2×2列聯表所示（單位：人），則其中m＝　　　　，n＝　　　　.
80分及80分以上 80分以下 合計
試驗班 32 18 50
對照班 24 m 50
合計 56 44 n
題型一 2×2列聯表
【例1】　在調查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，試作出性別與色盲的2×2列聯表.
通性通法
　　2×2列聯表是對兩個分類變量的匯總統計表，列表時關鍵是對涉及的變量分清類別.
制作2×2列聯表的基本步驟：
第一步：合理選取兩個變量，且每一個變量都可以取兩個值；
第二步：抽取樣本，整理數據；
第三步：畫出2×2列聯表.
【跟蹤訓練】
1.下面是一個2×2列聯表，則表中a，b的值分別為（　　）
y1 y2 合計
x1 a 21 73
x2 2 25 27
合計 b 46 100
A.94，96 B.52，50
C.52，54 D.54，52
2.（2024·徐州月考）假設有兩個分類變量X與Y，它們的可能取值分別為X＝和Y＝其2×2列聯表為：
Y＝0 Y＝1 合計
X＝0 10 18 28
X＝1 m 26 m＋26
合計 10＋m 44 m＋54
則當m取下面何值時，X與Y的關系最弱（　　）
A.8 B.9
C.14 D.19
題型二 獨立性檢驗
角度1　有關“相關的檢驗”
【例2】　（鏈接教科書第177頁例1）為了了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關，對本班45人進行了問卷調查得到了如下的2×2列聯表：
喜愛 不喜愛 合計
男 5
女 5
合計 45
已知在45人中隨機抽取1人，是男同學的概率為.
（1）請將上面的2×2列聯表補充完整；
（2）喜愛打籃球是否與性別有關？
角度2　有關“無關的檢驗”
【例3】　（鏈接教科書第178頁例2）某調查機構對196個接受心臟搭橋手術的病人和196個接受血管清障手術的病人進行了3年的跟蹤研究，調查他們是否又發作過心臟病，調查結果如下表所示：
又發作過 心臟病 未發作 心臟病 合計
心臟搭橋手術 39 157 196
血管清障手術 29 167 196
合計 68 324 392
試根據上述數據比較這兩種手術對病人又發作心臟病的影響有沒有差別.
通性通法
用獨立性檢驗求解實際問題的基本步驟
（1）認真讀題，根據相關數據列出2×2列聯表；
（2）提出假設H0：X和Y相互獨立；
（3）計算：將2×2列聯表中的數據代入公式求出χ2的值；
（4）根據臨界值，做出判斷.
【跟蹤訓練】
1.（多選）為考察一種新型藥物預防疾病的效果，某科研小組進行動物實驗，收集整理數據后將所得結果填入相應的2×2列聯表中，由列聯表中的數據計算得χ2≈9.616.則下列結論正確的是（　　）
A.根據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，分析認為“藥物有效”
B.根據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”
C.根據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，分析認為“藥物有效”
D.根據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”
2.某省進行高中新課程改革已經四年了，為了解教師對新課程教學模式的使用情況，某教育機構對某學校的教師關于新課程教學模式的使用情況進行了問卷調查，共調查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人.老教師對新課程教學模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學模式贊同的有24人，不贊同的有6人.
（1）根據以上數據建立一個2×2列聯表；
（2）分析對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡是否有關聯.
1.下列不是分類變量的是（　　）
A.血型 B.性別
C.國籍 D.身高
2.如表，2×2列聯表中a，b的值分別為（　　）
Y
Y1 Y2 合計
X X1 c a e
X2 23 d 48
合計 b 78 121
A.54，43 B.53，43
C.53，42 D.54，42
3.利用獨立性檢驗對兩個分類變量是否有關系進行研究時，若有99.5%的把握認為事件A和B有關系，則具體計算出的數據應該是（　　）
A.χ2＞6.635 B.χ2＜6.635
C.χ2＞7.879 D.χ2＜7.879
4.考察棉花種子是否經過處理跟得病之間的關系，得如表所示的數據：
種子處理 種子未處理 合計
得病 32 101 133
不得病 61 213 274
合計 93 314 407
根據以上數據得χ2的值是　　　　.
9.2　獨立性檢驗
【基礎知識·重落實】
自我診斷
1.BCD　獨立性檢驗主要是對兩個分類變量是否有關系進行檢驗，因此可以解決的問題有B、C、D.
2.C　因為P（χ2＞6.635）≈0.01，故有99%的把握認為“X和Y有關系”.
3.26　100　解析：由題意得解得
【典型例題·精研析】
【例1】　解：根據題目所給的數據作出如下的2×2列聯表：
患色盲 不患色盲 合計
男 38 442 480
女 6 514 520
合計 44 956 1 000
跟蹤訓練
1.C　由a＋21＝73，得a＝52，由b＋46＝100，得b＝54.故選C.
2.C　若X與Y之間沒有影響，則有＝.解得m≈14.4，所以當m＝14時，X與Y的關系最弱.
【例2】　解：（1）依題意，男同學有45×＝25（人），
女同學有45－25＝20（人）.
補全2×2列聯表如下：
喜愛 不喜愛 合計
男 20 5 25
女 5 15 20
合計 25 20 45
（2）提出假設H0：喜愛打籃球與性別無關.
根據表中數據，計算
χ2＝＝≈13.613，
因為當H0成立時，P（χ2≥10.828）≈0.001，所以我們有99.9%的把握認為，喜愛打籃球與性別有關系.
【例3】　解：提出假設H0：這兩種手術對病人又發作心臟病的影響沒有差別，根據列聯表中數據可求得，
χ2＝≈1.779＜2.706，
所以根據目前的調查數據，不能否定假設H0，即不能做出這兩種手術對病人又發作心臟病的影響有差別的結論.
跟蹤訓練
1.BC　因為χ2≈9.616，所以7.879＜χ2＜10.828，所以根據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”；根據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，分析認為“藥物有效”.故選B、C.
2.解：（1）2×2列聯表如下：
贊同 不贊同 合計
老教師 10 10 20
青年教師 24 6 30
合計 34 16 50
（2）提出假設H0：對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡無關聯.
由公式得χ2＝≈4.963，
因為當H0成立時，χ2≥3.841的概率約為0.05，所以我們有95%的把握認為對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡有關聯.
隨堂檢測
1.D　身高的取值為實數，其大小與運算都有實際含義，不能區別不同的現象或性質，所以不是分類變量.
2.B　由2×2列聯表，可得b＋78＝121，則b＝43，又由解得a＝53.
3.C　有99.5%的把握認為事件A和B有關系，即犯錯誤的概率為0.5%，對應的臨界值為7.879，由獨立性檢驗的思想可知應為χ2＞7.879.
4.0.164　解析：由公式
χ2＝
得χ2＝≈0.164.
5 / 5(共63張PPT)
9.2　獨立性檢驗
新課程標準解讀 核心素養
1.通過實例，理解2×2列聯表的統計意義 數學建模
2.通過實例，了解2×2列聯表獨立性檢驗
及其應用 數據分析
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　吸煙已成為全球范圍內嚴重危害健康、危害人類生存環境、降低人們的生活水平、縮短人類壽命的緊迫問題.為此，聯合國將每年5月31日定為全球戒煙日.
【問題】　你知道是如何判定吸煙有害健康的嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識點一　2×2列聯表
一般地，對于兩個分類變量Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B；Ⅱ也
有兩類取值，即類1和類2. 我們得到如下列聯表所示的抽樣數據：
Ⅱ
類1 類2 合計
Ⅰ 類A a b a＋b
類B c d c＋d
合計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
上述表格稱為2×2列聯表.
提醒　在2×2列聯表中，如果兩個分類變量沒有關聯，則應滿足
≈ ，即ad－bc≈0.因此，｜ad－bc｜越小，說明兩個分類
變量之間關聯性越弱；｜ad－bc｜越大，說明兩個分類變量之間
關聯性越強.
知識點二　獨立性檢驗
1. 定義：用χ2統計量研究兩個分類變量Ⅰ和Ⅱ是否有關的方法稱為獨立
性檢驗.
統計量χ2的計算公式：
χ2＝ .
2. 步驟：要推斷“Ⅰ與Ⅱ有關系”，可按下面的步驟進行：
（1）提出假設H0：Ⅰ與Ⅱ沒有關系；
（2）根據2×2列聯表與公式計算χ2的值；
（3）根據臨界值，做出判斷.
3. 臨界值如表所示：
P（χ2≥x0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10
x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706
P（χ2≥x0） 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
例如：
（1）若χ2＞10.828，則有99.9%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”；
（2）若χ2＞6.635，則有99%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”；
（3）若χ2＞2.706，則有90%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”；
（4）若χ2≤2.706，則認為沒有充分的證據顯示“Ⅰ與Ⅱ有關系”，
但也不能作出結論“H0成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒有關系.
1. （多選）下列實際問題用獨立性檢驗可以解決的問題有（　　）
A. 一種藥物對某種病的治愈率
B. 兩種藥物治療同一種病是否有區別
C. 吸煙人群是否與性別有關系
D. 網吧與青少年的犯罪是否有關系
解析： 　獨立性檢驗主要是對兩個分類變量是否有關系進行檢
驗，因此可以解決的問題有B、C、D.
2. 利用獨立性檢驗來考慮兩個分類變量X和Y是否有關系時，通過查
閱臨界值表來確定推斷“X和Y有關系”的可信度，如果χ2＞
6.635，那么就推斷“X和Y有關系”的把握約為（　　）
A. 0.1% B. 1%
C. 99% D. 99.9%
解析： 　因為P（χ2＞6.635）≈0.01，故有99%的把握認為“X
和Y有關系”.
3. 某校為了檢驗高中數學新課程改革的成果，在兩個班進行教學方式
的對比試驗，兩個月后進行了一次檢測，試驗班與對照班成績統計
如2×2列聯表所示（單位：人），則其中m＝ ，n
＝ .
80分及80分以上 80分以下 合計
試驗班 32 18 50
對照班 24 m 50
合計 56 44 n
26　
100　
解析：由題意得解得
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 2×2列聯表
【例1】　在調查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名
患有色盲，試作出性別與色盲的2×2列聯表.
解：根據題目所給的數據作出如下的2×2列聯表：
患色盲 不患色盲 合計
男 38 442 480
女 6 514 520
合計 44 956 1 000
通性通法
　　2×2列聯表是對兩個分類變量的匯總統計表，列表時關鍵是對涉
及的變量分清類別.
制作2×2列聯表的基本步驟：
第一步：合理選取兩個變量，且每一個變量都可以取兩個值；
第二步：抽取樣本，整理數據；
第三步：畫出2×2列聯表.
【跟蹤訓練】
1. 下面是一個2×2列聯表，則表中a，b的值分別為（　　）
y1 y2 合計
x1 a 21 73
x2 2 25 27
合計 b 46 100
A. 94，96 B. 52，50
解析： 　由a＋21＝73，得a＝52，由b＋46＝100，得b＝54.故
選C.
C. 52，54 D. 54，52
2. （2024·徐州月考）假設有兩個分類變量X與Y，它們的可能取值分
別為X＝和Y＝其2×2列聯表為：
Y＝0 Y＝1 合計
X＝0 10 18 28
X＝1 m 26 m＋26
合計 10＋m 44 m＋54
則當m取下面何值時，X與Y的關系最弱（　　）
A. 8 B. 9
C. 14 D. 19
解析： 　若X與Y之間沒有影響，則有 ＝ .解得m≈14.4，
所以當m＝14時，X與Y的關系最弱.
題型二 獨立性檢驗
角度1　有關“相關的檢驗”
【例2】　（鏈接教科書第177頁例1）為了了解某班學生喜愛打籃
球是否與性別有關，對本班45人進行了問卷調查得到了如下的
2×2列聯表：
喜愛 不喜愛 合計
男 5
女 5
合計 45
已知在45人中隨機抽取1人，是男同學的概率為 .
（1）請將上面的2×2列聯表補充完整；
解： 依題意，男同學有45× ＝25（人），
女同學有45－25＝20（人）.
補全2×2列聯表如下：
喜愛 不喜愛 合計
男 20 5 25
女 5 15 20
合計 25 20 45
（2）喜愛打籃球是否與性別有關？
解： 提出假設H0：喜愛打籃球與性別無關.
根據表中數據，計算χ2＝ ＝ ≈13.613，
因為當H0成立時，P（χ2≥10.828）≈0.001，所以我們有99.9%
的把握認為，喜愛打籃球與性別有關系.
角度2　有關“無關的檢驗”
【例3】　（鏈接教科書第178頁例2）某調查機構對196個接受心臟搭
橋手術的病人和196個接受血管清障手術的病人進行了3年的跟蹤研
究，調查他們是否又發作過心臟病，調查結果如下表所示：
又發作過心臟病 未發作心臟病 合計
心臟搭橋手術 39 157 196
血管清障手術 29 167 196
合計 68 324 392
試根據上述數據比較這兩種手術對病人又發作心臟病的影響有沒
有差別.
解：提出假設H0：這兩種手術對病人又發作心臟病的影響沒有差別，
根據列聯表中數據可求得，
χ2＝ ≈1.779＜2.706，
所以根據目前的調查數據，不能否定假設H0，即不能做出這兩種手術
對病人又發作心臟病的影響有差別的結論.
通性通法
用獨立性檢驗求解實際問題的基本步驟
（1）認真讀題，根據相關數據列出2×2列聯表；
（2）提出假設H0：X和Y相互獨立；
（3）計算：將2×2列聯表中的數據代入公式求出χ2的值；
（4）根據臨界值，做出判斷.
【跟蹤訓練】
1. （多選）為考察一種新型藥物預防疾病的效果，某科研小組進行動
物實驗，收集整理數據后將所得結果填入相應的2×2列聯表中，由
列聯表中的數據計算得χ2≈9.616.則下列結論正確的是（　　）
A. 根據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，分析認為“藥物有效”
B. 根據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”
C. 根據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，分析認為“藥物有效”
D. 根據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”
解析： 　因為χ2≈9.616，所以7.879＜χ2＜10.828，所以根
據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”；
根據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，分析認為“藥物有
效”.故選B、C.
2. 某省進行高中新課程改革已經四年了，為了解教師對新課程教學模
式的使用情況，某教育機構對某學校的教師關于新課程教學模式的
使用情況進行了問卷調查，共調查了50人，其中有老教師20人，青
年教師30人.老教師對新課程教學模式贊同的有10人，不贊同的有
10人；青年教師對新課程教學模式贊同的有24人，不贊同的有6人.
（1）根據以上數據建立一個2×2列聯表；
解： 2×2列聯表如下：
贊同 不贊同 合計
老教師 10 10 20
青年教師 24 6 30
合計 34 16 50
（2）分析對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡是否有關聯.
解： 提出假設H0：對新課程教學模式的贊同情況與教
師年齡無關聯.
由公式得χ2＝ ≈4.963，
因為當H0成立時，χ2≥3.841的概率約為0.05，所以我們有
95%的把握認為對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡有
關聯.
1. 下列不是分類變量的是（　　）
A. 血型 B. 性別
C. 國籍 D. 身高
解析： 　身高的取值為實數，其大小與運算都有實際含義，不能
區別不同的現象或性質，所以不是分類變量.
2. 如表，2×2列聯表中a，b的值分別為（　　）
Y
Y1 Y2 合計
X X1 c a e
X2 23 d 48
合計 b 78 121
A. 54，43 B. 53，43
C. 53，42 D. 54，42
解析： 由2×2列聯表，可得b＋78＝121，則b＝43，又由
解得a＝53.
3. 利用獨立性檢驗對兩個分類變量是否有關系進行研究時，若有
99.5%的把握認為事件A和B有關系，則具體計算出的數據應該是
（　　）
A. χ2＞6.635 B. χ2＜6.635
C. χ2＞7.879 D. χ2＜7.879
解析： 　有99.5%的把握認為事件A和B有關系，即犯錯誤的概
率為0.5%，對應的臨界值為7.879，由獨立性檢驗的思想可知應為
χ2＞7.879.
4. 考察棉花種子是否經過處理跟得病之間的關系，得如表所示的
數據：
種子處理 種子未處理 合計
得病 32 101 133
不得病 61 213 274
合計 93 314 407
根據以上數據得χ2的值是 .
解析：由公式χ2＝
得χ2＝ ≈0.164.
0.164　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
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1. 隨機調查某校110名學生是否喜歡跳舞，由公式χ2＝
（其中n＝a＋b＋c＋d）計算出χ2的
值，并由此得出結論：有99%的把握認為學生是否喜歡跳舞與性別
有關，則χ2可以為（　　）
A. 3.565 B. 4.204
C. 5.233 D. 6.842
解析： 　因為有99%的把握認為學生是否喜歡跳舞與性別有關，
所以χ2＞6.635，故選D.
2. 有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大于等于85分為優秀，85分
以下為非優秀，得到2×2列聯表如下：
優秀 非優秀 合計
甲班 10 b
乙班 c 30
合計 105
已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優秀的概率為 ，則下列說法正確的是（　　）
A. 列聯表中c的值為30，b的值為35
B. 列聯表中c的值為15，b的值為50
C. 列聯表中c的值為20，b的值為50
D. 由列聯表可得出成績與班級有關系
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解析： 　由題意得 ＝ ，解得c＝20，∵10＋c＋b＋30＝
105，∴b＝45.又 ＝ ， ＝ ，∵ ＜ ，∴成績與班
級有關系.
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3. （2024·無錫月考）某學校學生服務中心為了了解在校學生對學校
后勤工作的滿意度，隨機調查了200名學生，其中男女生比例為
3∶2，并對這些學生進行了問卷調查，學生對后勤工作給出了滿意
或不滿意的總體評價，得到如下2×2列聯表：
滿意 不滿意 合計
男生 104
女生 24
合計 200
下列說法中正確的是（　　）
A. 2×2列聯表中男生不滿意的
人數為18
B. 2×2列聯表中女生滿意的人
數為54
C. 沒有99.5%的把握認為“男生與女生對后勤工作的評價有差異”
D. 有99.5%的把握認為“男生與女生對后勤工作的評價有差異”
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解析：由題意得男生共120人，女生共80人，補全2×2列聯表：
滿意 不滿意 合計
男生 104 16 120
女生 56 24 80
合計 160 40 200
提出假設H0：男生與女生對后勤工作的評價沒有差異.由列聯表中
的數據可以求得χ2＝ ≈8.333＞7.879，所以
有99.5%的把握認為，男生與女生對后勤工作的評價有差異.
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4. 兩個分類變量X和Y，值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻
數分別是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若有97.5%的把握認為X與Y
有關系，則c＝（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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解析： 　列2×2列聯表如下：
Y
y1 y2 合計
X x1 10 21 31
x2 c d 35
合計 10＋c 21＋d 66
故χ2＝ ≥5.024.把選項A、B、C、D代入驗證
可知選A.
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5. （多選）有兩個分類變量X，Y，其一組的調查數據如表所示，
Y Y1 Y2
X X1 a 20－a
X2 15－a 30＋a
其中a，15－a均為大于5的整數，若有95%的把握認為X與Y有關
系，則a的值可以為（　　）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
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解析： 　由列聯表中數據，得χ2＝
＝ ＞3.841，由a，15
－a均為大于5的整數，得5＜a＜10，a∈Z，解得a＝8或a＝9，
A、B錯誤，C、D正確.故選C、D.
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6. 為了探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關，用兩種不同
劑量的電離輻射照射小白鼠.照射14天后的結果如下表所示：
小白鼠
死亡 存活 合計
劑
量 第一種劑量 14 11 25
第二種劑量 6 19 25
合計 20 30 50
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進行獨立性檢驗的原假設是
，χ2≈ .（結果保留兩位小數）
解析：提出假設H0：小白鼠的存活情況與電離輻射的劑量無關，
由列聯表中的數據得χ2＝ ≈5.33.
小白鼠的存活情況與電離輻射的劑量
無關　
5.33　
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7. 某校為了研究學生的性別和對待某一活動的態度（支持與不支持）
的關系，運用2×2列聯表進行獨立性檢驗.整理所得數據后發現，
若依據P（χ2≥x0）＝0.010的獨立性檢驗，則認為學生性別與是否
支持該活動無關；若依據P（χ2≥x0）＝0.025的獨立性檢驗，則認
為學生性別與是否支持該活動有關，則χ2可取的整數值為 .
附表：
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解析：由題知χ2∈[5.024，6.635），故χ2可取的整數值為6.
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8. （2024·南京質檢）在2×2列聯表中，若每個數據變為原來的2倍，
則χ2的值變為原來的 倍.
解析：由公式χ2＝ 中所有值變為原來的2
倍，得（χ2）'＝ ＝
＝2· ＝2χ2，故χ2也變為原來的2倍.
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9. （多選）（2024·蘇州月考）某校計劃在課外活動中新增攀巖項
目，為了解學生喜歡攀巖和性別是否有關聯，面向學生開展了一次
隨機調查，其中參加調查的男、女生人數相同，男生喜歡攀巖的占
80%，女生不喜歡攀巖的占70%，則（　　）
A. 參與調查的學生中喜歡攀巖的男生人數比喜歡攀巖的女生人數多
B. 參與調查的女生中喜歡攀巖的人數比不喜歡攀巖的人數多
C. 若參與調查的男、女生人數均為100，則依據獨立性檢驗的思想認
為喜歡攀巖和性別有關聯
D. 無論參與調查的男、女生人數為多少，都可以依據獨立性檢驗的
思想認為喜歡攀巖和性別有關聯
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解析： 由題意設參與調查的男、女生人數均為m，則得到如
下2×2列聯表：
喜歡攀巖 不喜歡攀巖 合計
男生 0.8m 0.2m m
女生 0.3m 0.7m m
合計 1.1m 0.9m 2m
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所以參與調查的學生中喜歡攀巖的男生人數比喜歡攀巖的女生人數
多，參與調查的女生中喜歡攀巖的人數比不喜歡攀巖的人數少，故
A正確，B錯誤；由列聯表中的數據，計算得到χ2＝
＝ ，當m＝100時，χ2＝ ＝
≈50.505＞10.828，所以當參與調查的男、女生人數均為100時，依
據獨立性檢驗，我們有99.9%的把握認為，喜歡攀巖和性別有關
聯，故C正確，D錯誤，故選A、C.
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10. 針對“中學生追星問題”，某校團委對“學生性別和中學生追星
是否有關”作了一次調查，調查樣本中女生人數是男生人數的
，男生追星人數占男生人數的 ，女生追星的人數占女生人數的
，若有95%的把握認為是否追星和性別有關，則調查樣本中男生
至少有 人.
參考數據及公式如下：χ2＝ ，n＝a＋
b＋c＋d.
12　
P（χ2≥x0） 0.05 0.01 0.001
x0 3.841 6.635 10.828
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解析：設男生人數為x，依題意可得2×2列聯表如下：
是否追星
追星 不追星 合計
性
別 男生 x
女生
合計 x
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若有95%的把握認為是否追星和性別有關，則χ2＞3.841，由χ2＝
＝ ＞3.841，解得x＞10.24，因為 ， ， 均為
整數，所以若有95%的把握認為是否追星和性別有關，則男生至
少有12人.
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11. 某校對有心理障礙的學生進行測試得到如下列聯表：
心理障礙
焦慮 說謊 懶惰 合計
性
別 女生 5 10 15 30
男生 20 10 50 80
合計 25 20 65 110
試說明在這三種心理障礙中哪一種與性別關系最大？
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解：對于題中三種心理障礙分別構造三個隨機變量 ， ， .
由表中數據列出焦慮是否與性別有關的2×2列聯表：
是否焦慮
焦慮 不焦慮 合計
性
別 女生 5 25 30
男生 20 60 80
合計 25 85 110
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原假設為H0：焦慮與性別無關.
可得 ＝ ≈0.863＜2.706，
所以根據目前的調查數據，不能否定假設H0，即不能做出焦慮與
性別有關的結論.
同理列出說謊是否與性別有關的2×2列聯表：
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是否說謊
說謊 不說謊 合計
性
別 女生 10 20 30
男生 10 70 80
合計 20 90 110
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＝ ≈6.366＞3.841，
所以我們有95%的把握認為，說謊與性別有關.
同理得 ＝ ≈1.410＜2.706.
所以根據目前的調查數據，不能否定假設H0，即不能做出懶惰與
性別有關的結論.
綜上，三種心理障礙中說謊與性別關系最大.
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12. 某校的一個社會實踐調查小組在對該校學生的用眼習慣的調查
中，隨機發放了120份問卷.對收回的100份有效問卷進行統計，得
到如下2×2列聯表：
做不到科學用眼 能做到科學用眼 合計
男 45 x 45＋x
女 3x 15 3x＋15
合計 45＋3x 15＋x 100
（1）求表中的x；
解： 由表中數據， 列方程得
（45＋3x）＋（15＋x）＝100，解得x＝10.
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（2）若在犯錯誤的概率不大于P的前提下認為用眼習慣與性別
有關，那么根據臨界值表（附表），最精確的P的值應為
多少？
附：
P（χ2≥x0） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
χ0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
χ2＝ .
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解： 由（1）得2×2列聯表如下：
做不到科學用眼 能做到科學用眼 合計
男 45 10 55
女 30 15 45
合計 75 25 100
由表中數據，計算得χ2＝ ≈3.030.
因為2.706＜3.030＜3.841，所以根據臨界值表可知最精確
的P值應為0.1.
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謝 謝 觀 看！

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