資源簡介

一、變量的相關性
　　變量的相關關系與樣本相關系數是學習線性回歸模型的前提和基礎，前者可借助散點圖從直觀上分析變量間的相關性，后者從數量上準確刻畫了兩個變量的相關程度.
【例1】　（2022·全國乙卷理19題·節選）某地經過多年的環境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到如下數據：
樣本號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總和
根部橫截面積xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材積量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并計算得＝0.038，＝1.615 8，xiyi＝0.247 4.
（1）估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
（2）求該林區這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數（精確到0.01）.
附：樣本相關系數
r＝，≈1.377.
反思感悟
判斷變量相關性的兩種方法
（1）散點圖法：直觀形象；
（2）公式法：可用公式精確計算，需注意特殊情形的樣本相關系數.如點在一條直線上，｜r｜＝1，且當r＝1時，正相關；r＝－1時，負相關.
【跟蹤訓練】
1.某次考試，班主任從全班同學中隨機抽取一個容量為8的樣本，他們的數學、物理成績對應如下表：
學生編號 1 2 3 4 5 6 7 8
數學成績x 60 65 70 75 80 85 90 95
物理成績y 72 77 80 84 88 90 93 95
繪出散點圖如下.
根據以上信息，判斷下列結論：
①根據此散點圖，可以判斷數學成績與物理成績具有線性相關關系；
②根據此散點圖，可以判斷數學成績與物理成績具有一次函數關系；
③甲同學數學考了80分，那么，他的物理成績一定比數學只考了60分的乙同學的物理成績要高.
其中正確的個數為（　　）
A.0　　　　　　　　　 B.3
C.2 D.1
2.相關變量x，y的散點圖如圖所示，現對這兩個變量進行線性相關分析，方案一：根據圖中所有數據，得到經驗回歸方程為＝x＋，樣本相關系數為r1；方案二：剔除點（10，21），根據剩下數據得到經驗回歸方程為＝x＋，樣本相關系數為r2.則（　　）
A.0＜r1＜r2＜1 B.0＜r2＜r1＜1
C.－1＜r1＜r2＜0 D.－1＜r2＜r1＜0
二、經驗回歸方程
　　主要考查兩個變量線性相關的判定，以及利用最小二乘法求經驗回歸方程，并應用于實際或對因變量進行預測.
【例2】　某項研究發現某地的PM10濃度與車流量之間有線性相關關系.現采集到該地一周內車流量x與PM10濃度y的數據如下表：
時間 車流量x（單位：萬輛） PM10濃度y（單位：μg/m3）
星期一 25.4 35.7
星期二 24.6 34.5
星期三 23.5 35.2
星期四 24.4 33.6
星期五 25.8 36.1
星期六 19.7 30.9
星期日 20.3 29.4
（1）在如圖所示的坐標系中作出表中數據的散點圖；
（2）根據表中的統計數據，求出經驗回歸方程＝x＋（精確到0.01）.
反思感悟
解決回歸分析問題的一般步驟
（1）畫散點圖.根據已知數據畫出散點圖；
（2）判斷變量的相關性并求經驗回歸方程.通過觀察散點圖，直觀感知兩個變量是否具有相關關系；在此基礎上，利用最小二乘法求回歸系數，然后寫出經驗回歸方程；
（3）實際應用.依據求得的經驗回歸方程解決實際問題.
【跟蹤訓練】
近年來我國外貿企業一手抓質量，一手抓生產，產銷形勢喜人.自2023年6月以來，我國外貿進出口連續實現正增長，出口國際市場占世界的份額不斷攀升，外貿發展韌性強勁.某個遠洋運輸公司出口營業額增長數據表如下：
月份 2023年6月 2023年7月 2023年8月 2023年9月
月份代碼x 1 2 3 4
新增出口營業額 y億元 2.4 2.8 3.6 5.1
月份 2023年10月 2023年11月 2023年12月 2024年1月
月份代碼x 5 6 7 8
新增出口營業額 y億元 7.1 9.1 11.7 14.2
某位同學分別用兩種模型：①＝x2＋，②＝x＋進行擬合，得到相應的回歸方程并進行殘差分析，殘差圖如下（注：殘差等于yi－）：
這位同學在進行擬合時，對數據作了初步處理，得到一些統計量的值：
（ti－）（yi－）＝686.8，（ti－）2＝3 570.其中ti＝，＝ti.
（1）根據殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應該選擇哪個模型？并簡要說明理由；
（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程，并預測該遠洋運輸公司2024年3月新增出口營業額.（精確到0.01）
附：對于一組數據（u1，υ1），（u2，υ2），…，（un，υn），經驗回歸直線＝＋u的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為＝，＝－.
三、獨立性檢驗
　　獨立性檢驗研究的主要問題是討論兩個分類變量之間關聯性問題.為此需先列出2×2列聯表，從表格中可以直觀地得到兩個分類變量是否有關系.獨立性檢驗的思想是先假設二者無關系，求隨機變量χ2的值，若χ2大于臨界值，則拒絕假設，否則，接受假設.
【例3】　2023年12月28日，小米汽車舉行了技術發布會，首款產品SU7揭開神秘面紗，引起了廣大車迷愛好者的熱議，為了了解車迷們對該款汽車的購買意愿與性別是否具有相關性，某車迷協會隨機抽取了200名車迷朋友進行調查，所得數據統計如下表所示：
購車意愿
愿意購置 該款汽車 不愿購置 該款汽車 合計
性別 男性 100 20 120
女性 50 30 80
合計 150 50 200
判斷是否有99%把握認為車迷們對該款汽車的購買意愿與性別有關.
參考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P（χ2≥x0） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
反思感悟
解獨立性檢驗應用問題的關注點
（1）兩個明確：①明確兩類主體；②明確研究的兩個問題；
（2）兩個準確：①準確列出2×2列聯表；②準確理解χ2.
【跟蹤訓練】
隨著手機的發展，“微信”逐漸成為人們交流的一種形式，某機構對“使用微信交流”的態度進行調查，隨機抽取了50人，他們年齡的頻數分布及對“使用微信交流”贊成人數如下表：
年齡/歲 [15， 25） [25， 35） [35， 45） [45， 55） [55， 65） [65， 75]
頻數 5 10 15 10 5 5
贊成人數 5 10 12 7 2 1
（1）若以“年齡45歲為分界點”，由以上統計數據完成下面2×2列聯表，并判斷是否有99%的把握認為“使用微信交流”的態度與人的年齡有關；
年齡不低于 45歲的人數 年齡低于 45歲的人數 合計
贊成
不贊成
合計
（2）若從年齡在[55，65）的被調查人中隨機選取2人進行追蹤調查，求2人中至少有1人不贊成“使用微信交流”的概率.
附：χ2＝.
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
章末復習與總結
【例1】　解：（1）估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積＝＝＝0.06，
估計該林區這種樹木平均一棵的材積量＝＝＝0.39.
（2）（xi－）（yi－）＝xiyi－10＝0.013 4，
（xi－）2＝－10（）2＝0.002，
（yi－）2＝－10（）2＝0.094 8，
所以
＝＝≈0.01×1.377＝0.013 77，
所以樣本相關系數
r＝≈≈0.97.
跟蹤訓練
1.D　對于①②，根據此散點圖知，各點都分布在一條直線附近，可以判斷數學成績與物理成績具有較強的線性相關關系，不是一次函數關系，①正確，②錯誤；對于③，甲同學數學考了80分，他的物理成績可能比數學只考了60分的乙同學的物理成績要高，③錯誤.綜上，正確的命題是①，只有1個.
2.D　由散點圖得兩個變量呈負相關關系，所以r1＜0，r2＜0，因為剔除點（10，21）后，剩下點的數據的線性相關性更強，｜r｜更接近1，所以－1＜r2＜r1＜0.故選D.
【例2】　解：（1）如圖所示.
（2）由表中數據得≈23.4，≈33.6，＝≈≈0.97，
＝－＝33.6－0.97×23.4≈10.90.
所以y關于x的經驗回歸方程為＝0.97x＋10.90.
跟蹤訓練
　解：（1）選擇模型①.
理由如下：根據殘差圖可以看出，模型①的估計值和真實值相對比較接近，模型②的殘差相對較大一些，所以模型①的擬合效果相對較好.
（2）由（1），可知y關于x的回歸方程為＝x2＋，令t＝x2，則＝t＋.
由所給數據可得＝ti＝×（1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64）＝25.5，
＝yi＝×（2.4＋2.8＋3.6＋5.1＋7.1＋9.1＋11.7＋14.2）＝7，
所以＝＝≈0.19，
＝－≈7－0.19×25.5≈2.16，
所以y關于x的回歸方程為＝0.19x2＋2.16.
預測該遠洋運輸公司2024年3月新增出口營業額為＝0.19×102＋2.16＝21.16（億元）.
【例3】　解：原假設為H0：車迷們對該款汽車的購買意愿與性別無關.
根據表中數據可得
χ2＝＝≈11.111＞10.828，
所以有99%的把握認為車迷們對該款汽車的購買意愿與性別有關.
跟蹤訓練
　解：（1）由題中統計數據填寫2×2列聯表，如下：
年齡不低于 45歲的人數 年齡低于 45歲的人數 合計
贊成 10 27 37
不贊成 10 3 13
合計 20 30 50
根據公式計算，得
χ2＝≈9.98＞6.635，
所以有99%的把握認為“使用微信交流”的態度與人的年齡有關.
（2）設年齡在[55，65）中不贊成“使用微信交流”的人分別為A，B，C，贊成“使用微信交流”的人分別為a，b，
則從5人中隨機選取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10個結果.
其中2人中至少有1人不贊成“使用微信交流”的有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，共9個結果，
所以2人中至少有1人不贊成“使用微信交流”的概率P＝.
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章末復習與總結
一、變量的相關性
　　變量的相關關系與樣本相關系數是學習線性回歸模型的前提和基
礎，前者可借助散點圖從直觀上分析變量間的相關性，后者從數量上
準確刻畫了兩個變量的相關程度.
【例1】　（2022·全國乙卷理19題·節選）某地經過多年的環境治理，
已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區某種樹木的總材積量，隨
機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和
材積量（單位：m3），得到如下數據：
樣本號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總和
根部橫截 面積xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材積量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并計算得 ＝0.038， ＝1.615 8， xiyi＝0.247 4.
（1）估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材
積量；
解： 估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積 ＝
＝ ＝0.06，
估計該林區這種樹木平均一棵的材積量 ＝ ＝ ＝0.39.
（2）求該林區這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數
（精確到0.01）.
附：樣本相關系數r＝ ，
≈1.377.
解： （xi－ ）（yi－ ）＝ xiyi－10 ＝0.013 4，
（xi－ ）2＝ －10（ ）2＝0.002，
（yi－ ）2＝ －10（ ）2＝0.094 8，
所以 ＝ ＝
≈0.01×1.377＝0.013 77，
所以樣本相關系數r＝ ≈ ≈0.97.
反思感悟
判斷變量相關性的兩種方法
（1）散點圖法：直觀形象；
（2）公式法：可用公式精確計算，需注意特殊情形的樣本相關系數.
如點在一條直線上，｜r｜＝1，且當r＝1時，正相關；r＝－1
時，負相關.
【跟蹤訓練】
1. 某次考試，班主任從全班同學中隨機抽取一個容量為8的樣本，他
們的數學、物理成績對應如下表：
學生
編號 1 2 3 4 5 6 7 8
數學
成績x 60 65 70 75 80 85 90 95
物理
成績y 72 77 80 84 88 90 93 95
繪出散點圖如下.
根據以上信息，判斷下列結論：
①根據此散點圖，可以判斷數學成績與物理成績具有線性相關
關系；
②根據此散點圖，可以判斷數學成績與物理成績具有一次函數
關系；
③甲同學數學考了80分，那么，他的物理成績一定比數學只考了60
分的乙同學的物理成績要高.
其中正確的個數為（　　）
A. 0 B. 3
C. 2 D. 1
解析： 　對于①②，根據此散點圖知，各點都分布在一條直線附
近，可以判斷數學成績與物理成績具有較強的線性相關關系，不是
一次函數關系，①正確，②錯誤；對于③，甲同學數學考了80分，
他的物理成績可能比數學只考了60分的乙同學的物理成績要高，③
錯誤.綜上，正確的命題是①，只有1個.
2. 相關變量x，y的散點圖如圖所示，現對這兩個變量進行線性相關
分析，方案一：根據圖中所有數據，得到經驗回歸方程為 ＝ x
＋ ，樣本相關系數為r1；方案二：剔除點（10，21），根據剩
下數據得到經驗回歸方程為 ＝ x＋ ，樣本相關系數為r2.則
（　　）
A. 0＜r1＜r2＜1 B. 0＜r2＜r1＜1
C. －1＜r1＜r2＜0 D. －1＜r2＜r1＜0
解析： 　由散點圖得兩個變量呈負相關關系，所以r1＜0，r2＜
0，因為剔除點（10，21）后，剩下點的數據的線性相關性更
強，｜r｜更接近1，所以－1＜r2＜r1＜0.故選D.
二、經驗回歸方程
　　主要考查兩個變量線性相關的判定，以及利用最小二乘法求經驗
回歸方程，并應用于實際或對因變量進行預測.
【例2】　某項研究發現某地的PM10濃度與車流量之間有線性相關關
系.現采集到該地一周內車流量x與PM10濃度y的數據如下表：
時間 車流量x（單位：萬輛） PM10濃度y（單位：μg/m3）
星期一 25.4 35.7
星期二 24.6 34.5
星期三 23.5 35.2
星期四 24.4 33.6
星期五 25.8 36.1
星期六 19.7 30.9
星期日 20.3 29.4
（1）在如圖所示的坐標系中作出表中數據的散點圖；
解： 如圖所示.
（2）根據表中的統計數據，求出經驗回歸方程 ＝ x＋ （精確到
0.01）.
解： 由表中數據得 ≈23.4， ≈33.6， ＝ ≈ ≈0.97， ＝ － ＝33.6－0.97×23.4≈10.90.
所以y關于x的經驗回歸方程為 ＝0.97x＋10.90.
反思感悟
解決回歸分析問題的一般步驟
（1）畫散點圖.根據已知數據畫出散點圖；
（2）判斷變量的相關性并求經驗回歸方程.通過觀察散點圖，直觀感
知兩個變量是否具有相關關系；在此基礎上，利用最小二乘法
求回歸系數，然后寫出經驗回歸方程；
（3）實際應用.依據求得的經驗回歸方程解決實際問題.
【跟蹤訓練】
近年來我國外貿企業一手抓質量，一手抓生產，產銷形勢喜人.自
2023年6月以來，我國外貿進出口連續實現正增長，出口國際市場占
世界的份額不斷攀升，外貿發展韌性強勁.某個遠洋運輸公司出口營
業額增長數據表如下：
月份 2023年6月 2023年7月 2023年8月 2023年9月
月份代碼x 1 2 3 4
新增出口營
業額y億元 2.4 2.8 3.6 5.1
月份代碼x 5 6 7 8
新增出口營
業額y億元 7.1 9.1 11.7 14.2
某位同學分別用兩種模型：① ＝ x2＋ ，② ＝ x＋ 進行擬合，
得到相應的回歸方程并進行殘差分析，殘差圖如下（注：殘差等于yi
－ ）：
這位同學在進行擬合時，對數據作了初步處理，得到一些統計量
的值：
（ti－ ）（yi－ ）＝686.8， （ti－ ）2＝3 570.其中ti＝
， ＝ ti.
（1）根據殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應該選擇哪個模
型？并簡要說明理由；
解： 選擇模型①.
理由如下：根據殘差圖可以看出，模型①的估計值和真實值相
對比較接近，模型②的殘差相對較大一些，所以模型①的擬合
效果相對較好.
（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程，
并預測該遠洋運輸公司2024年3月新增出口營業額.（精確到
0.01）
附：對于一組數據（u1，υ1），（u2，υ2），…，（un，υn），
經驗回歸直線 ＝ ＋ u的斜率和截距的最小二乘估計公式分
別為 ＝ ， ＝ － .
解： 由（1），可知y關于x的回歸方程為 ＝ x2＋ ，令
t＝x2，則 ＝ t＋ .
由所給數據可得 ＝ ti＝ ×（1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋
64）＝25.5，
＝ yi＝ ×（2.4＋2.8＋3.6＋5.1＋7.1＋9.1＋11.7＋
14.2）＝7，
所以 ＝ ＝ ≈0.19，
＝ － ≈7－0.19×25.5≈2.16，
所以y關于x的回歸方程為 ＝0.19x2＋2.16.
預測該遠洋運輸公司2024年3月新增出口營業額為 ＝0.19×102
＋2.16＝21.16（億元）.
三、獨立性檢驗
　　獨立性檢驗研究的主要問題是討論兩個分類變量之間關聯性問
題.為此需先列出2×2列聯表，從表格中可以直觀地得到兩個分類變
量是否有關系.獨立性檢驗的思想是先假設二者無關系，求隨機變量χ2
的值，若χ2大于臨界值，則拒絕假設，否則，接受假設.
【例3】　2023年12月28日，小米汽車舉行了技術發布會，首款產品
SU7揭開神秘面紗，引起了廣大車迷愛好者的熱議，為了了解車迷們
對該款汽車的購買意愿與性別是否具有相關性，某車迷協會隨機抽取
了200名車迷朋友進行調查，所得數據統計如下表所示：
購車意愿
愿意購置 該款汽車 不愿購置 該款汽車 合計
性
別 男性 100 20 120
女性 50 30 80
合計 150 50 200
判斷是否有99%把握認為車迷們對該款汽車的購買意愿與性別有關.
參考公式：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d.
P
（χ2≥x0） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：原假設為H0：車迷們對該款汽車的購買意愿與性別無關.
根據表中數據可得χ2＝ ＝ ≈11.111＞
10.828，
所以有99%的把握認為車迷們對該款汽車的購買意愿與性別有關.
反思感悟
解獨立性檢驗應用問題的關注點
（1）兩個明確：①明確兩類主體；②明確研究的兩個問題；
（2）兩個準確：①準確列出2×2列聯表；②準確理解χ2.
【跟蹤訓練】
隨著手機的發展，“微信”逐漸成為人們交流的一種形式，某機構對
“使用微信交流”的態度進行調查，隨機抽取了50人，他們年齡的頻
數分布及對“使用微信交流”贊成人數如下表：
年齡/歲 [15，
25） [25，
35） [35，
45） [45，
55） [55，
65） [65，75]
頻數 5 10 15 10 5 5
贊成人數 5 10 12 7 2 1
（1）若以“年齡45歲為分界點”，由以上統計數據完成下面2×2列
聯表，并判斷是否有99%的把握認為“使用微信交流”的態度
與人的年齡有關；
年齡不低于 45歲的人數 年齡低于 45歲的人數 合計
贊成
不贊成
合計
解： 由題中統計數據填寫2×2列聯表，如下：
年齡不低于 45歲的人數 年齡低于 45歲的人數 合計
贊成 10 27 37
不贊成 10 3 13
合計 20 30 50
根據公式計算，得χ2＝ ≈9.98＞6.635，
所以有99%的把握認為“使用微信交流”的態度與人的年齡
有關.
（2）若從年齡在[55，65）的被調查人中隨機選取2人進行追蹤調
查，求2人中至少有1人不贊成“使用微信交流”的概率.
附：χ2＝ .
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解： 設年齡在[55，65）中不贊成“使用微信交流”的人
分別為A，B，C，贊成“使用微信交流”的人分別為a，b，
則從5人中隨機選取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，
Bb，Ca，Cb，ab，共10個結果.
其中2人中至少有1人不贊成“使用微信交流”的有AB，AC，
Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，共9個結果，
所以2人中至少有1人不贊成“使用微信交流”的概率P＝ .
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