資源簡介

章末檢測（九）　統(tǒng)計
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.下列說法中正確的是（　　）
A.相關(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系，回歸分析是對相關(guān)關(guān)系的分析，因此沒有實際意義
B.獨立性檢驗對分類變量關(guān)系的研究沒有100%的把握，所以獨立性檢驗研究的結(jié)果在實際中也沒有多大的實際意義
C.相關(guān)關(guān)系可以對變量的發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)報，這種預(yù)報可能會是錯誤的
D.獨立性檢驗如果得出的結(jié)論有99%的把握，就意味著這個結(jié)論一定是正確的
2.對某同學(xué)7次考試的數(shù)學(xué)成績x和物理成績y進(jìn)行分析，下面是該生7次考試的成績：
數(shù)學(xué) 88 83 117 92 108 100 112
物理 94 91 108 96 104 101 106
發(fā)現(xiàn)他的物理成績y與數(shù)學(xué)成績x是線性相關(guān)的，利用最小二乘法得到經(jīng)驗回歸方程為＝0.5x＋.若該生的數(shù)學(xué)成績達(dá)到130分，則估計他的物理成績是（　　）
A.114.5分　B.115分　C.115.5分　D.116分
3.已知相關(guān)變量x和y的散點圖如圖所示，若用y＝b1·ln （k1x）與y＝kx2＋b2擬合時的樣本相關(guān)系數(shù)分別為r1，r2，則比較r1，r2的大小結(jié)果為（　　）
A.r1＞r2 B.r1＝r2 C.r1＜r2 D.不確定
4.某科研機構(gòu)為了研究中年人脫發(fā)與心臟病是否有關(guān)，隨機調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表：
患心臟病 無心臟病 合計
中年人脫發(fā) 20 300 320
中年人不脫發(fā) 5 450 455
合計 25 750 775
根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2＝≈15.968，因為χ2＞10.828，則斷定中年人脫發(fā)與心臟病有關(guān)系.那么這種判斷出錯的可能性為（　　）
A.0.001 B.0.05 C.0.025 D.0.01
5.已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)＝3，＝3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程可能是（　　）
A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4
6.以模型y＝cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z＝ln y，其變換后得到的經(jīng)驗回歸方程為z＝0.5x＋3，則c＝（　　）
A.3 B.e3 C.0.5 D.e0.5
7.為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機構(gòu)用簡單隨機抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表：
非一線城市 一線城市 合計
愿意生 45 20 65
不愿意生 13 22 35
合計 58 42 100
附：
P（χ2≥x0） 0.100 0.050 0.010 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 10.828
χ2＝.
參照附表，得到的正確結(jié)論是（　　）
A.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”
B.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級別無關(guān)”
C.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”
D.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“生育意愿與城市級別無關(guān)”
8.“拃”是我國古代的一種長度單位，最早見于金文時代，“一拃”指張開大拇指和中指兩端間的距離.某數(shù)學(xué)興趣小組為了研究右手一拃長x（單位：cm）和身高y（單位：cm）的關(guān)系，從所在班級隨機抽取了15名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖發(fā)現(xiàn)x和y具有線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗回歸方程為＝6.5x＋，且xi＝270，yi＝2 550.已知小明的右手一拃長為20 cm，據(jù)此估計小明的身高為（　　）
A.175 cm B.179 cm C.183 cm D.187 cm
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.小明同學(xué)在做市場調(diào)查時得到如下樣本數(shù)據(jù)：
x 1 3 6 10
y 8 a 4 2
他由此得到經(jīng)驗回歸方程為＝－2.1x＋15.5，則下列說法正確的是（　　）
A.變量x與y線性負(fù)相關(guān) B.當(dāng)x＝2時可以估計y＝11.3
C.a＝6 D.變量x與y之間是函數(shù)關(guān)系
10.根據(jù)最小二乘法由一組樣本點（xi，yi）（其中i＝1，2，…，500），求得的回歸方程是＝x＋，下列說法中正確的有（　　）
A.樣本點可能全部不在經(jīng)驗回歸直線＝x＋上
B.若所有樣本點都在經(jīng)驗回歸直線＝x＋上，則變量間的樣本相關(guān)系數(shù)為1
C.若所有樣本點都在經(jīng)驗回歸直線＝x＋上，則xi＋的值與yi相等
D.若經(jīng)驗回歸直線＝x＋的斜率＜0，則變量x與y負(fù)相關(guān)
11.針對時下的“短視頻熱”，某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡短視頻和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（　　）
臨界值表：
P（χ2≥x0） 0.050 0.010
x0 3.841 6.635
附：χ2＝.
A.30人　　B.54人　　C.60人　　D.75人
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.已知某種商品的廣告費支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）之間有如下表對應(yīng)數(shù)據(jù)：
x 1 3 4 5 7
y 15 20 30 40 45
根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到y(tǒng)關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為＝5.5x＋，則當(dāng)x＝7時，殘差為　　　　.（殘差＝觀測值－預(yù)測值）
13.高三年級267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績、數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級的排名情況如圖所示，甲、乙、丙為該班學(xué)生.從這次考試成績看：
①在甲、乙兩人中，語文成績名次比總成績名次靠前的學(xué)生是　　　　；
②在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是　　　　.
14.在“數(shù)學(xué)文化大講堂”活動中，某老師對“學(xué)生性別和喜歡數(shù)學(xué)文化是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡數(shù)學(xué)文化的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡數(shù)學(xué)文化的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有99%的把握認(rèn)為是否喜歡數(shù)學(xué)文化和性別有關(guān)，則男生至少有　　　　人.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）冶煉某種金屬可以用舊設(shè)備或新設(shè)備，為了檢驗用這兩種設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中所含雜質(zhì)的關(guān)系，調(diào)查結(jié)果如表所示.
所含雜質(zhì)
雜質(zhì)高 雜質(zhì)低
舊設(shè)備 37 121
新設(shè)備 22 202
根據(jù)表中數(shù)據(jù)試判斷含雜質(zhì)的高低與設(shè)備新舊有無關(guān)系.
16.（本小題滿分15分）某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長，該地一銀行連續(xù)五年年底的儲蓄存款情況如下表所示.
年份x 2020 2021 2022 2023 2024
儲蓄存款 額y/千億元 5 6 7 8 10
為了計算方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，令t＝x－2 019，z＝y(tǒng)－5，得到下表.
t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
（1）求z關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程；
（2）通過（1）中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程.
17.（本小題滿分15分）為了研究晝夜溫差與引發(fā)感冒的關(guān)系，醫(yī)務(wù)人員對某高中在同一時間段相同溫差下的學(xué)生感冒情況進(jìn)行抽樣調(diào)研，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表①所示，并將男生感冒的人數(shù)與溫差情況統(tǒng)計如表②所示.
表①
性別 患感冒的情況 合計
患感冒人數(shù) 不患感冒人數(shù)
男生 30 70 100
女生 42 58 p
合計 m n 200
表②
溫差x 6 7 8 9 10
患感冒人數(shù)y 8 10 14 20 23
（1）求出m，n，p的值；
（2）判斷是否有95%的把握認(rèn)為在相同的溫差下“性別”與“患感冒的情況”有關(guān)系；
（3）根據(jù)表②數(shù)據(jù)，計算y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r，并說明y與x的線性相關(guān)性強弱（若0.75＜｜r｜≤1，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性很強；0.3＜｜r｜≤0.75，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性一般；｜r｜≤0.3，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性較弱）.
參考數(shù)據(jù)：（xi－）2＝10，（yi－）2＝164，≈20.248 5.
18.（本小題滿分17分）軟筆書法又稱中國書法，是我國的國粹之一，琴棋書畫中的“書”指的正是書法.作為我國的獨有藝術(shù)，軟筆書法不僅能夠陶冶情操，培養(yǎng)孩子對藝術(shù)的審美還能開發(fā)孩子的智力，拓展孩子的思維與手的靈活性，對孩子的身心健康發(fā)展起著重要的作用.近年來越來越多的家長開始注重孩子的書法教育.某書法培訓(xùn)機構(gòu)統(tǒng)計了該機構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書法的學(xué)生人數(shù)（每人只學(xué)習(xí)一種書體），得到相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：
書體 楷書 行書 草書 隸書 篆書
人數(shù) 24 16 10 20 10
（1）該培訓(xùn)機構(gòu)統(tǒng)計了某周學(xué)生軟筆書法作業(yè)完成情況，得到下表，其中a≤60.
是否認(rèn)真完成作業(yè)
認(rèn)真完成 不認(rèn)真完成 合計
性別 男生 a
女生
合計 60
若有90%的把握認(rèn)為該周學(xué)生是否認(rèn)真完成作業(yè)與性別有關(guān)，求該培訓(xùn)機構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書法的女生人數(shù)；
（2）現(xiàn)從學(xué)習(xí)楷書與行書的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機抽取4人，記4人中學(xué)習(xí)行書的人數(shù)為X，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù)：
χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.01
x0 2.706 3.841 6.635
19.（本小題滿分17分）某電視廠家準(zhǔn)備在“五一”期間舉行促銷活動，現(xiàn)在根據(jù)已有的廣告費與銷售量的數(shù)據(jù)確定此次廣告費支出.廣告費支出x（單位：萬元）和銷售量y（單位：萬臺）的數(shù)據(jù)如下：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
廣告費 支出x 1 2 4 6 11 13 19
銷售 量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4
（1）若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；
（2）若用模型y＝c＋d擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程為＝1.63＋0.99，經(jīng)計算，線性回歸模型和該模型的R2分別約為0.75和0.88，請用R2說明選擇哪個回歸模型更好；
（3）已知利潤z（單位：萬元）與x，y的關(guān)系為z＝200y－x.根據(jù)（2）的結(jié)果回答：當(dāng)廣告費x＝20時，銷售量及利潤的預(yù)測值是多少？（精確到0.01）
參考數(shù)據(jù)：xiyi＝279.4，＝708，≈2.236.
參考公式：經(jīng)驗回歸方程＝＋x中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為＝，＝－.
章末檢測（九）　統(tǒng)計
1.C　相關(guān)關(guān)系雖然是一種不確定關(guān)系，但是回歸分析可以在某種程度上對變量的發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)報，這種預(yù)報在盡量減小誤差的條件下可以對生產(chǎn)與生活起到一定的指導(dǎo)作用，獨立性檢驗對分類變量的檢驗也是不確定的，但是其結(jié)果也有一定的實際意義.故選C.
2.B　由題可知＝100，＝100，所以＝－0.5＝100－0.5×100＝50.當(dāng)x＝130時，＝0.5×130＋50＝115.故選B.
3.C　由散點圖可知，用y＝b1ln（k1x）擬合比用y＝k2x＋b2擬合的程度高，故｜r1｜＞｜r2｜；又因為此相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)，所以－r1＞－r2，r1＜r2，故選C.
4.A　因為P（χ2≥10.828）≈0.001，所以這種判斷出錯的可能性為0.001.
5.A　因為變量x和y正相關(guān)，則經(jīng)驗回歸直線的斜率為正，故可以排除選項C和D；因為樣本點的中心在經(jīng)驗回歸直線上，把點（3，3.5）的坐標(biāo)分別代入選項A和B中的直線方程進(jìn)行檢驗，可以排除B，故選A.
6.B　因為z＝0.5x＋3，z＝ln y，所以0.5x＋3＝ln y，所以y＝e0.5x＋3＝e3×e0.5x，故c＝e3.
7.C　因為χ2＝≈9.616＞6.635，所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”，故選C.
8.C　由題意知，＝×xi＝×270＝18，＝×yi＝×2 550＝170，又＝6.5＋，即170＝6.5×18＋，解得＝53，故經(jīng)驗回歸方程為＝6.5x＋53，當(dāng)x＝20時，＝6.5×20＋53＝183，即當(dāng)小明的右手一拃長為20 cm時，可估計小明的身高為183 cm.故選C.
9.ABC　由經(jīng)驗回歸方程為＝－2.1x＋15.5，可知變量x與y之間線性負(fù)相關(guān)，故A正確；當(dāng)x＝2時，＝－2.1×2＋15.5＝11.3，故B正確；∵＝5，＝，∴樣本點的中心坐標(biāo)為，代入＝－2.1x＋15.5，得＝－2.1×5＋15.5，解得a＝6，故C正確；變量x與y之間具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系，故D錯誤.故選A、B、C.
10.ACD　經(jīng)驗回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點，但是樣本點可能全部不在經(jīng)驗回歸直線上，所以A正確；所有樣本點都在經(jīng)驗回歸直線＝x＋上，則變量間的樣本相關(guān)系數(shù)為±1，所以B不正確；所有的樣本點都在經(jīng)驗回歸直線＝x＋上，則xi＋的值與yi相等，所以C正確；經(jīng)驗回歸直線＝x＋的斜率＜0，則r＜0，樣本點分布應(yīng)該從左到右是下降的，則變量x與y呈負(fù)相關(guān)，所以D正確.
11.BC　設(shè)男生的人數(shù)為6n（n∈N*），根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表如下表所示：
男生 女生 合計
喜歡短視頻 5n 4n 9n
不喜歡短視頻 n 2n 3n
合計 6n 6n 12n
則χ2＝＝，由于有95%的把握認(rèn)為是否喜歡短視頻和性別有關(guān)，則3.841≤χ2＜6.635，即3.841≤＜6.635，得8.642＜n＜14.929，因為n∈N*，則n的可能取值有9，10，11，12，13，14，因此，調(diào)查人數(shù)中男生人數(shù)的可能值為54，60，66，72，78，84.故選B、C.
12.－1.5　解析：＝×（1＋3＋4＋5＋7）＝4，＝×（15＋20＋30＋40＋45）＝30，因為經(jīng)驗回歸直線過點（4，30），代入＝5.5x＋，可得30＝5.5×4＋，＝8，當(dāng)x＝7時，＝5.5×7＋8＝38.5＋8＝46.5，所以殘差為45－46.5＝－1.5.
13.①乙　②數(shù)學(xué)　解析：①在甲、乙兩人中，語文成績名次比總名次靠前的是乙.②觀察散點圖，發(fā)現(xiàn)丙的總成績在年級中的名次是倒數(shù)第5名，數(shù)學(xué)的名次是倒數(shù)第11名，顯然丙的語文成績名次拉低了丙的總成績排名，故丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是數(shù)學(xué).
14.18　解析：設(shè)男生至少有x人，根據(jù)題意，可列出如下2×2聯(lián)表：
喜歡數(shù)學(xué)文化 不喜歡數(shù)學(xué)文化 合計
男生 x x x
女生 x x x
合計 x x x
則χ2＝＝x，若有99%的把握認(rèn)為是否喜歡數(shù)學(xué)文化和性別有關(guān)，
則χ2＞6.635，即x＞6.635，解得x＞17.694，
由于表中人數(shù)都為整數(shù)，可知男生至少有18人.
15.解：由已知數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：
所含雜質(zhì)高 所含雜質(zhì)低 合計
舊設(shè)備 37 121 158
新設(shè)備 22 202 224
合計 59 323 382
提出假設(shè)H0：含雜質(zhì)的高低與設(shè)備新舊無關(guān).
由公式得χ2＝≈13.11，
由于13.11＞10.828，故有99.9%的把握認(rèn)為含雜質(zhì)的高低與設(shè)備新舊是有關(guān)的.
16.解：（1）＝3，＝2.2，tizi＝45，＝55，
則＝＝1.2，
＝－＝2.2－1.2×3＝－1.4.
所以z關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程為＝1.2t－1.4.
（2）把t＝x－2 019，z＝y(tǒng)－5，
代入＝1.2t－1.4，
得－5＝1.2（x－2 019）－1.4，
即＝1.2x－2 419.2.
故y關(guān)于x的回歸方程為＝1.2x－2 419.2.
17.解：（1）根據(jù)題表①中的數(shù)據(jù)可以得出m＝72，n＝128，p＝100.
（2）提出假設(shè)H0：性別與患感冒無關(guān).
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到
χ2＝＝3.125＜3.841，
所以沒有95%的把握認(rèn)為性別與患感冒情況有關(guān).
（3）由題意知，＝＝8，
＝＝15，
所以（xi－）（yi－）＝40，
則r＝＝≈≈0.987 7＞0.75，
所以y與x的線性相關(guān)性很強.
18.解：（1）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表如下：
是否認(rèn)真完成作業(yè)
認(rèn)真完成 不認(rèn)真完成 合計
性別 男生 a
女生 60－ 20－ 80－a
合計 60 20 80
由題意可得χ2＝＝≥2.706，得a＞57.38.
易知a為5的倍數(shù)，且a≤60，所以a＝60，
所以該培訓(xùn)機構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書法的女生有80－60＝20（人）.
（2）因為學(xué)習(xí)軟筆書法的學(xué)生中學(xué)習(xí)楷書與行書的人數(shù)之比為24∶16＝3∶2，
所以用分層抽樣的方法抽取的10人中，學(xué)習(xí)楷書的有10×＝6（人），學(xué)習(xí)行書的有10×＝4（人），
所以X的所有可能取值為0，1，2，3，4，
P（X＝0）＝＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝＝，
P（X＝3）＝＝＝，P（X＝4）＝＝.
X的概率分布為
X 0 1 2 3 4
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
19.解：（1）由題意得＝8，＝4.2，xiyi＝279.4，＝708，
所以＝＝＝0.17，＝－＝4.2－0.17×8＝2.84，
所以y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為＝0.17x＋2.84.
（2）因為R2越接近于1，模型的擬合效果越好，所以選用＝1.63＋0.99回歸模型更好.
（3）當(dāng)廣告費x＝20時，銷售量y的預(yù)測值＝1.63＋0.99≈6.057 28≈6.06（萬臺），
故利潤z的預(yù)測值＝200×（1.63＋0.99）－20≈1 191.456≈1 191.46（萬元）.
4 / 5(共50張PPT)
章末檢測（九）　統(tǒng)計
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 下列說法中正確的是（　　）
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A. 相關(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系，回歸分析是對相關(guān)關(guān)系的分析，因此沒有實際意義
B. 獨立性檢驗對分類變量關(guān)系的研究沒有100%的把握，所以獨立性檢驗研究的結(jié)果在實際中也沒有多大的實際意義
C. 相關(guān)關(guān)系可以對變量的發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)報，這種預(yù)報可能會是錯誤的
D. 獨立性檢驗如果得出的結(jié)論有99%的把握，就意味著這個結(jié)論一定是正確的
解析： 　相關(guān)關(guān)系雖然是一種不確定關(guān)系，但是回歸分析可以在
某種程度上對變量的發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)報，這種預(yù)報在盡量減小誤差
的條件下可以對生產(chǎn)與生活起到一定的指導(dǎo)作用，獨立性檢驗對分
類變量的檢驗也是不確定的，但是其結(jié)果也有一定的實際意義.故
選C.
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2. 對某同學(xué)7次考試的數(shù)學(xué)成績x和物理成績y進(jìn)行分析，下面是該生
7次考試的成績：
數(shù)學(xué) 88 83 117 92 108 100 112
物理 94 91 108 96 104 101 106
發(fā)現(xiàn)他的物理成績y與數(shù)學(xué)成績x是線性相關(guān)的，利用最小二乘法
得到經(jīng)驗回歸方程為 ＝0.5x＋ .若該生的數(shù)學(xué)成績達(dá)到130分，
則估計他的物理成績是（　　）
A. 114.5分 B. 115分
解析： 　由題可知 ＝100， ＝100，所以 ＝ －0.5 ＝100－
0.5×100＝50.當(dāng)x＝130時， ＝0.5×130＋50＝115.故選B.
C. 115.5分 D. 116分
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3. 已知相關(guān)變量x和y的散點圖如圖所示，若用y＝b1·ln （k1x）與y
＝kx2＋b2擬合時的樣本相關(guān)系數(shù)分別為r1，r2，則比較r1，r2的大
小結(jié)果為（　　）
A. r1＞r2 B. r1＝r2
C. r1＜r2 D. 不確定
解析： 　由散點圖可知，用y＝b1ln（k1x）
擬合比用y＝k2x＋b2擬合的程度高，故｜r1｜＞｜r2｜；又因為此相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)，所以－r1＞－r2，r1＜r2，故選C.
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4. 某科研機構(gòu)為了研究中年人脫發(fā)與心臟病是否有關(guān)，隨機調(diào)查了一
些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表：
患心臟病 無心臟病 合計
中年人脫發(fā) 20 300 320
中年人不脫發(fā) 5 450 455
合計 25 750 775
根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2＝ ≈15.968，因為χ2＞
10.828，則斷定中年人脫發(fā)與心臟病有關(guān)系.那么這種判斷出錯的
可能性為（　　）
A. 0.001 B. 0.05
C. 0.025 D. 0.01
解析： 　因為P（χ2≥10.828）≈0.001，所以這種判斷出錯的可
能性為0.001.
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5. 已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù) ＝3， ＝
3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程可能是（　　）
解析： 　因為變量x和y正相關(guān)，則經(jīng)驗回歸直線的斜率為正，
故可以排除選項C和D；因為樣本點的中心在經(jīng)驗回歸直線上，把
點（3，3.5）的坐標(biāo)分別代入選項A和B中的直線方程進(jìn)行檢驗，
可以排除B，故選A.
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6. 以模型y＝cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z＝ln
y，其變換后得到的經(jīng)驗回歸方程為z＝0.5x＋3，則c＝（　　）
A. 3 B. e3
C. 0.5 D. e0.5
解析： 　因為z＝0.5x＋3，z＝ln y，所以0.5x＋3＝ln y，所以y
＝e0.5x＋3＝e3×e0.5x，故c＝e3.
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7. 為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機構(gòu)用簡單隨
機抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表：
非一線城市 一線城市 合計
愿意生 45 20 65
不愿意生 13 22 35
合計 58 42 100
附：
P（χ2≥x0） 0.100 0.050 0.010 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 10.828
χ2＝ .
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參照附表，得到的正確結(jié)論是（　　）
A. 在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級
別有關(guān)”
B. 在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級
別無關(guān)”
C. 在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“生育意愿與城市級別
有關(guān)”
D. 在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“生育意愿與城市級別
無關(guān)”
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解析： 　因為χ2＝ ≈9.616＞6.635，所以在
犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“生育意愿與城市級別有
關(guān)”，故選C.
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8. “拃”是我國古代的一種長度單位，最早見于金文時代，“一拃”
指張開大拇指和中指兩端間的距離.某數(shù)學(xué)興趣小組為了研究右手
一拃長x（單位：cm）和身高y（單位：cm）的關(guān)系，從所在班級
隨機抽取了15名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖發(fā)現(xiàn)x和y具有線性
相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗回歸方程為 ＝6.5x＋ ，且 xi＝270， yi
＝2 550.已知小明的右手一拃長為20 cm，據(jù)此估計小明的身高為
（　　）
A. 175 cm B. 179 cm
C. 183 cm D. 187 cm
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解析： 　由題意知， ＝ × xi＝ ×270＝18， ＝ ×
yi＝ ×2 550＝170，又 ＝6.5 ＋ ，即170＝6.5×18＋ ，解
得 ＝53，故經(jīng)驗回歸方程為 ＝6.5x＋53，當(dāng)x＝20時， ＝
6.5×20＋53＝183，即當(dāng)小明的右手一拃長為20 cm時，可估計小
明的身高為183 cm.故選C.
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二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選
對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 小明同學(xué)在做市場調(diào)查時得到如下樣本數(shù)據(jù)：
x 1 3 6 10
y 8 a 4 2
他由此得到經(jīng)驗回歸方程為 ＝－2.1x＋15.5，則下列說法正確的
是（　　）
A. 變量x與y線性負(fù)相關(guān) B. 當(dāng)x＝2時可以估計y＝11.3
C. a＝6 D. 變量x與y之間是函數(shù)關(guān)系
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解析： 　由經(jīng)驗回歸方程為 ＝－2.1x＋15.5，可知變量x與
y之間線性負(fù)相關(guān)，故A正確；當(dāng)x＝2時， ＝－2.1×2＋15.5＝
11.3，故B正確；∵ ＝5， ＝ ，∴樣本點的中心坐標(biāo)為 ，代入 ＝－2.1x＋15.5，得 ＝－2.1×5＋15.5，解得
a＝6，故C正確；變量x與y之間具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，不是函數(shù)
關(guān)系，故D錯誤.故選A、B、C.
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10. 根據(jù)最小二乘法由一組樣本點（xi，yi）（其中i＝1，2，…，
500），求得的回歸方程是 ＝ x＋ ，下列說法中正確的有
（　　）
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解析： 　經(jīng)驗回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點，但是樣本點可
能全部不在經(jīng)驗回歸直線上，所以A正確；所有樣本點都在經(jīng)驗
回歸直線 ＝ x＋ 上，則變量間的樣本相關(guān)系數(shù)為±1，所以B
不正確；所有的樣本點都在經(jīng)驗回歸直線 ＝ x＋ 上，則 xi
＋ 的值與yi相等，所以C正確；經(jīng)驗回歸直線 ＝ x＋ 的斜率
＜0，則r＜0，樣本點分布應(yīng)該從左到右是下降的，則變量x與
y呈負(fù)相關(guān)，所以D正確.
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11. 針對時下的“短視頻熱”，某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡短視頻
是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生
喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的 ，女生喜歡短視頻的人數(shù)占女
生人數(shù)的 ，若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡短視頻和性別有關(guān)，則
調(diào)查人數(shù)中男生可能有（　　）
臨界值表：
P（χ2≥x0） 0.050 0.010
x0 3.841 6.635
附：χ2＝ .
A. 30人 B. 54人
C. 60人 D. 75人
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解析： 　設(shè)男生的人數(shù)為6n（n∈N*），根據(jù)題意列出2×2列
聯(lián)表如下表所示：
男生 女生 合計
喜歡短視頻 5n 4n 9n
不喜歡短視頻 n 2n 3n
合計 6n 6n 12n
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則χ2＝ ＝ ，由于有95%的把握認(rèn)為是否喜
歡短視頻和性別有關(guān)，則3.841≤χ2＜6.635，即3.841≤ ＜
6.635，得8.642＜n＜14.929，因為n∈N*，則n的可能取值有
9，10，11，12，13，14，因此，調(diào)查人數(shù)中男生人數(shù)的可能值為
54，60，66，72，78，84.故選B、C.
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三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中
橫線上）
12. 已知某種商品的廣告費支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：
萬元）之間有如下表對應(yīng)數(shù)據(jù)：
x 1 3 4 5 7
y 15 20 30 40 45
根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到y(tǒng)關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為 ＝5.5x＋ ，則當(dāng)
x＝7時，殘差為 .（殘差＝觀測值－預(yù)測值）
－1.5　
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解析： ＝ ×（1＋3＋4＋5＋7）＝4， ＝ ×（15＋20＋30＋
40＋45）＝30，因為經(jīng)驗回歸直線過點（4，30），代入 ＝5.5x
＋ ，可得30＝5.5×4＋ ， ＝8，當(dāng)x＝7時， ＝5.5×7＋8＝
38.5＋8＝46.5，所以殘差為45－46.5＝－1.5.
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13. 高三年級267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績、數(shù)
學(xué)成績與總成績在全年級的排名情況如圖所示，甲、乙、丙為該
班學(xué)生.從這次考試成績看：
①在甲、乙兩人中，語文成績名次比總成績名次靠前的學(xué)生
是 ；
②在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目
是 .
乙　
數(shù)學(xué)　
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解析：①在甲、乙兩人中，語文成績名次比總名次靠前的是乙.②
觀察散點圖，發(fā)現(xiàn)丙的總成績在年級中的名次是倒數(shù)第5名，數(shù)學(xué)
的名次是倒數(shù)第11名，顯然丙的語文成績名次拉低了丙的總成績
排名，故丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是數(shù)學(xué).
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14. 在“數(shù)學(xué)文化大講堂”活動中，某老師對“學(xué)生性別和喜歡數(shù)學(xué)
文化是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人
數(shù)的 ，男生喜歡數(shù)學(xué)文化的人數(shù)占男生人數(shù)的 ，女生喜歡數(shù)學(xué)
文化的人數(shù)占女生人數(shù)的 ，若有99%的把握認(rèn)為是否喜歡數(shù)學(xué)文
化和性別有關(guān)，則男生至少有 人.
解析：設(shè)男生至少有x人，根據(jù)題意，可列出如下2×2聯(lián)表：
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喜歡數(shù)學(xué)文化 不喜歡數(shù)學(xué)文化 合計
男生 x
女生
合計 x
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則χ2＝ ＝ x，若有99%的把握認(rèn)為是否喜歡數(shù)學(xué)
文化和性別有關(guān)，
則χ2＞6.635，即 x＞6.635，解得x＞17.694，
由于表中人數(shù)都為整數(shù)，可知男生至少有18人.
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說
明、證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）冶煉某種金屬可以用舊設(shè)備或新設(shè)備，為了
檢驗用這兩種設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中所含雜質(zhì)的關(guān)系，調(diào)查結(jié)果如表
所示.
所含雜質(zhì) 雜質(zhì)高 雜質(zhì)低
舊設(shè)備 37 121
新設(shè)備 22 202
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根據(jù)表中數(shù)據(jù)試判斷含雜質(zhì)的高低與設(shè)備新舊有無關(guān)系.
解：由已知數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：
所含雜質(zhì)高 所含雜質(zhì)低 合計
舊設(shè)備 37 121 158
新設(shè)備 22 202 224
合計 59 323 382
提出假設(shè)H0：含雜質(zhì)的高低與設(shè)備新舊無關(guān).
由公式得χ2＝ ≈13.11，
由于13.11＞10.828，故有99.9%的把握認(rèn)為含雜質(zhì)的高低與設(shè)備
新舊是有關(guān)的.
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16. （本小題滿分15分）某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長，
該地一銀行連續(xù)五年年底的儲蓄存款情況如下表所示.
年份x 2020 2021 2022 2023 2024
儲蓄存款額y/千億元 5 6 7 8 10
為了計算方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，令t＝x－
2 019，z＝y(tǒng)－5，得到下表.
t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
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（1）求z關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程；
解： ＝3， ＝2.2， tizi＝45， ＝55，
則 ＝ ＝1.2，
＝ － ＝2.2－1.2×3＝－1.4.
所以z關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程為 ＝1.2t－1.4.
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（2）通過（1）中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程.
解： 把t＝x－2 019，z＝y(tǒng)－5，
代入 ＝1.2t－1.4，
得 －5＝1.2（x－2 019）－1.4，
即 ＝1.2x－2 419.2.
故y關(guān)于x的回歸方程為 ＝1.2x－2 419.2.
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17. （本小題滿分15分）為了研究晝夜溫差與引發(fā)感冒的關(guān)系，醫(yī)務(wù)
人員對某高中在同一時間段相同溫差下的學(xué)生感冒情況進(jìn)行抽樣
調(diào)研，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表①所示，并將男生感冒的人數(shù)與溫差情
況統(tǒng)計如表②所示.
表①
性別 患感冒的情況 合計
患感冒人數(shù) 不患感冒人數(shù) 男生 30 70 100
女生 42 58 p
合計 m n 200
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溫差x 6 7 8 9 10
患感冒人數(shù)y 8 10 14 20 23
（1）求出m，n，p的值；
解： 根據(jù)題表①中的數(shù)據(jù)可以得出m＝72，n＝128，
p＝100.
表②
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（2）判斷是否有95%的把握認(rèn)為在相同的溫差下“性別”與“患
感冒的情況”有關(guān)系；
解： 提出假設(shè)H0：性別與患感冒無關(guān).
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2＝
＝3.125＜3.841，
所以沒有95%的把握認(rèn)為性別與患感冒情況有關(guān).
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（3）根據(jù)表②數(shù)據(jù)，計算y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r，并說明y與x
的線性相關(guān)性強弱（若0.75＜｜r｜≤1，則認(rèn)為y與x線性
相關(guān)性很強；0.3＜｜r｜≤0.75，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性
一般；｜r｜≤0.3，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性較弱）.
參考數(shù)據(jù)： （xi－ ）2＝10， （yi－ ）2＝164，
≈20.248 5.
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解： 由題意知， ＝ ＝8， ＝
＝15，所以 （xi－ ）（yi－ ）＝40，
則r＝ ＝ ≈ ≈0.987 7＞0.75，
所以y與x的線性相關(guān)性很強.
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18. （本小題滿分17分）軟筆書法又稱中國書法，是我國的國粹之
一，琴棋書畫中的“書”指的正是書法.作為我國的獨有藝術(shù)，軟
筆書法不僅能夠陶冶情操，培養(yǎng)孩子對藝術(shù)的審美還能開發(fā)孩子
的智力，拓展孩子的思維與手的靈活性，對孩子的身心健康發(fā)展
起著重要的作用.近年來越來越多的家長開始注重孩子的書法教
育.某書法培訓(xùn)機構(gòu)統(tǒng)計了該機構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書法的學(xué)生人數(shù)（每人
只學(xué)習(xí)一種書體），得到相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：
書體 楷書 行書 草書 隸書 篆書
人數(shù) 24 16 10 20 10
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（1）該培訓(xùn)機構(gòu)統(tǒng)計了某周學(xué)生軟筆書法作業(yè)完成情況，得到下
表，其中a≤60.
是否認(rèn)真完成作業(yè)
認(rèn)真完成 不認(rèn)真完成 合計
性
別 男生 a
女生
合計 60
若有90%的把握認(rèn)為該周學(xué)生是否認(rèn)真完成作業(yè)與性別有
關(guān)，求該培訓(xùn)機構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書法的女生人數(shù)；
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解： 根據(jù)題意，完成列聯(lián)表如下：
是否認(rèn)真完成作業(yè)
認(rèn)真完成 不認(rèn)真完成 合計
性
別 男生 a
女生 80－a
合計 60 20 80
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由題意可得χ2＝ ＝
≥2.706，得a＞57.38.
易知a為5的倍數(shù)，且a≤60，所以a＝60，
所以該培訓(xùn)機構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書法的女生有80－60＝20（人）.
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（2）現(xiàn)從學(xué)習(xí)楷書與行書的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取10人，
再從這10人中隨機抽取4人，記4人中學(xué)習(xí)行書的人數(shù)為X，
求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù)：χ2＝ ，n＝a＋
b＋c＋d.
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.01
x0 2.706 3.841 6.635
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解： 因為學(xué)習(xí)軟筆書法的學(xué)生中學(xué)習(xí)楷書與行書的人
數(shù)之比為24∶16＝3∶2，
所以用分層抽樣的方法抽取的10人中，學(xué)習(xí)楷書的有
10× ＝6（人），學(xué)習(xí)行書的有10× ＝4（人），
所以X的所有可能取值為0，1，2，3，4，
P（X＝0）＝ ＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ＝
，P（X＝2）＝ ＝ ＝ ，
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P（X＝3）＝ ＝ ＝ ，P（X＝4）＝ ＝ .
X的概率分布為
X 0 1 2 3 4
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ .
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19. （本小題滿分17分）某電視廠家準(zhǔn)備在“五一”期間舉行促
銷活動，現(xiàn)在根據(jù)已有的廣告費與銷售量的數(shù)據(jù)確定此次廣告
費支出.廣告費支出x（單位：萬元）和銷售量y（單位：萬
臺）的數(shù)據(jù)如下：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
廣告費支出x 1 2 4 6 11 13 19
銷售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4
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參考數(shù)據(jù)： xiyi＝279.4， ＝708， ≈2.236.
參考公式：經(jīng)驗回歸方程 ＝ ＋ x中的斜率和截距的最小
二乘估計公式分別為 ＝ ， ＝ － .
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（1）若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回
歸方程；
解：由題意得 ＝8， ＝4.2， xiyi＝279.4， ＝708，
所以 ＝ ＝ ＝0.17， ＝ － ＝
4.2－0.17×8＝2.84，
所以y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為 ＝0.17x＋2.84.
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（2）若用模型y＝c＋d 擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程為
＝1.63＋0.99 ，經(jīng)計算，線性回歸模型和該模型的R2分
別約為0.75和0.88，請用R2說明選擇哪個回歸模型更好；
解： 因為R2越接近于1，模型的擬合效果越好，所以
選用 ＝1.63＋0.99 回歸模型更好.
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（3）已知利潤z（單位：萬元）與x，y的關(guān)系為z＝200y－x.
根據(jù)（2）的結(jié)果回答：當(dāng)廣告費x＝20時，銷售量及利潤
的預(yù)測值是多少？（精確到0.01）
解： 當(dāng)廣告費x＝20時，銷售量y的預(yù)測值 ＝1.63＋
0.99 ≈6.057 28≈6.06（萬臺），
故利潤z的預(yù)測值 ＝200×（1.63＋0.99 ）－20≈1
191.456≈1 191.46（萬元）.
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