資源簡介

模塊綜合檢測
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.4×5×6×…×（n－1）×n＝（　　）
A. B.
C.n！－4！ D.
2.已知隨機變量X的概率分布如表（其中a為常數）.
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
則P（1≤X≤3）＝（　　）
A.0.4 B.0.5
C.0.6 D.0.7
3.已知隨機變量X，Y滿足Y＝aX＋b，且a，b為正實數.若D（X）＝2，D（Y）＝8，則（　　）
A.b＝2 B.a＝4
C.a＝2 D.b＝4
4.如圖，在棱長均相等的四面體O-ABC中，點D為AB的中點，CE＝ED，設＝a，＝b，＝c，則＝（　　）
A.a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a＋b－c D.a＋b＋c
5.對標有不同編號的6件正品和4件次品的產品進行檢測，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出正品的條件下，第二次也摸到正品的概率是（　　）
A. B.
C. D.
6.某學校高三年級總共有800名學生，學校對高三年級的學生進行一次體能測試.這次體能測試滿分為100分，已知測試成績X服從正態分布N（70，σ2）.若X在[60，70]內的概率為0.2，則該學校高三年級學生體能測試成績在80分以上的人數約為（　　）
A.160 B.200
C.240 D.320
7.當兩個變量呈非線性相關時，有些可以通過適當的轉換進行線性相關化，比如反比例關系y＝，可以設一個新的變量z＝，這樣y與z之間就是線性關系.下列表格中的數據可以用非線性方程＝0.14x2＋進行擬合，
x 1 2 3 4 5 6
y 2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5
用線性回歸的相關知識，可求得的值約為（　　）
A.2.98　　B.2.88 C.2.78　　D.2.68
8.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1與B1C相交于點O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，則線段AO的長度為（　　）
A. B. C. D.
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.下列說法中正確的是（　　）
A.將一組數據中的每個數據都加上或減去同一個常數后，方差恒不變
B.對于經驗回歸方程＝3－5x，變量x增加1個單位時，平均增加5個單位
C.隨機誤差的平方和越小，說明模型的擬合程度越好
D.在一個2×2列聯表中，若χ2＝13.079，則有99.9%的把握認為這兩個變量之間有關系
10.已知空間中三點A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1，3，1），則下列說法正確的是（　　）
A.與是共線向量
B.與同向的單位向量是（ ，，0）
C.和夾角的余弦值是
D.平面ABC的一個法向量是（1，－2，5）
11.已知（ 1＋）（ 2x－）6的展開式中各項系數的和為2，則下列結論正確的有（　　）
A.a＝1
B.展開式中常數項為160
C.展開式中各項系數的絕對值的和為1 458
D.若r為偶數，則展開式中xr和xr－1的系數相等
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.已知點B（1，0，0），C'（1，1，1），D'（0，1，1），若點E的坐標為（－2，1，m），且點B，C'，D'，E四點共面，則實數m的值為　　　　.
13.用數字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數字，且至多有一個數字是偶數的四位數，這樣的四位數一共有　　　　個.（用數字作答）
14.某地有一新開發的景區在各大媒體循環播放廣告，觀眾甲首次看到該景區的廣告后，不來此景區的概率為，從第二次看到廣告起，若前一次不來此景區，則這次來此景區的概率是，若前一次來此景區，則這次來此景區的概率是.記觀眾甲第n次看到廣告后不來此景區的概率為Pn，若當n≥2時，Pn≤M恒成立，則M的最小值為　　　　.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）若展開式中第二、三、四項的二項式系數成等差數列.
（1）求n的值；
（2）此展開式中是否有常數項，為什么？
16.（本小題滿分15分）隨著網絡的普及，網上購物的方式已經受到越來越多年輕人的青睞，某家網絡店鋪商品的成交量x（單位：件）與店鋪的瀏覽量y（單位：次）之間的對應數據如下表所示：
x/件 1 3 5 7 9
y/次 10 30 40 50 60
（1）根據表中數據畫出散點圖；
（2）根據表中的數據，求出y關于x的經驗回歸方程.
17.（本小題滿分15分）攜號轉網，也稱作號碼攜帶、移機不改號，即無需改變自己的手機號碼就能轉換運營商，并享受其提供的各種服務.2019年11月27日，工信部宣布攜號轉網在全國范圍內正式啟動.某運營商為提質量保客戶，從運營系統中選出300名客戶，對業務水平和服務水平的評價進行統計，其中業務水平的滿意率為，服務水平的滿意率為，對業務水平和服務水平都滿意的客戶有180人.
（1）列出2×2列聯表，能否有97.5%的把握認為業務水平與服務水平有關聯？
（2）為進一步提高服務質量，在選出的對服務水平不滿意的客戶中，抽取2名征求改進意見，用X表示對業務水平不滿意的人數，求X的概率分布與均值.
附：χ2＝.
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18.（本小題滿分17分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一點，且CD⊥平面PAB.
（1）求證：AB⊥平面PCB；
（2）求異面直線AP與BC所成角的大小；
（3）求二面角C-PA-B的平面角的余弦值.
19.（本小題滿分17分）若ξ，η是樣本空間Ω上的兩個離散型隨機變量，則稱（ξ，η）是Ω上的二維離散型隨機變量或二維隨機變量.設（ξ，η）的一切可能取值為（ai，bj），i，j＝1，2，…，記pij表示（ai，bj）在Ω中出現的概率，其中pij＝P（ξ＝ai，η＝bj）＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）].
（1）將三個相同的小球等可能地放入編號為1，2，3的三個盒子中，記1號盒子中的小球個數為ξ，2號盒子中的小球個數為η，則（ξ，η）是一個二維隨機變量.
①寫出該二維離散型隨機變量（ξ，η）的所有可能取值；
②若（m，n）是①中的值，求P（ξ＝m，η＝n）（結果用m，n表示）；
（2）P（ξ＝ai）稱為二維離散型隨機變量（ξ，η）關于ξ的邊緣分布律或邊際分布律，求證：P（ξ＝ai）＝pij.
模塊綜合檢測
1.D　由題意知4×5×6×…×（n－1）×n＝n×（n－1）×…×6×5×4＝.
2.C　由概率之和等于1可知a＝0.2，所以P（1≤X≤3）＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6.
3.C　由方差的性質可得，D（Y）＝D（aX＋b）＝a2D（X）.因為D（X）＝2，D（Y）＝8，所以8＝2a2.又a為正實數，所以a＝2.故選C.
4.D　∵CE＝ED，∴＝＝（＋）＝（＋）＝＋，∴＝＋＝＋＋＝＋（－）＋（－）＝＋＋＝a＋b＋c.
5.C　設A＝“第一次摸出正品”，B＝“第二次摸出正品”，則P（A）＝＝，P（AB）＝＝，故P（B｜A）＝＝.
6.C　因為測試成績服從正態分布N（70，σ2），所以P（70≤X≤80）＝P（60≤X≤70）＝0.2，則P（X＞80）＝0.5－0.2＝0.3，即該學校高三年級學生體能測試成績在80分以上的人數約為0.3×800＝240.故選C.
7.B　設z＝x2，則＝0.14z＋，則
z 1 4 9 16 25 36
y 2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5
則＝＝，
＝＝5，則＝－0.14＝5－0.14×≈2.88.故選B.
8.A　∵四邊形BCC1B1是平行四邊形，∴＝＝（＋），∴＝＋＝＋＋＝＋＋，∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，∴｜｜2＝｜｜2＝4，｜｜2＝9，·＝0，·＝·＝3×2×cos 60°＝3，∴＝（＋＋）2＝（｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·）＝，∴｜｜＝，即AO＝，故選A.
9.ACD　數據的方差與加了什么樣的常數無關，故A正確；對于回歸方程＝3－5x，變量x增加1個單位時，平均減少5個單位，故B錯誤；易知C正確；若χ2＝13.079＞10.828，則有99.9%的把握認為這兩個變量之間有關系，故D正確.
10.BD　對于A，＝（2，1，0），＝（－1，2，1），可知≠λ，與不共線，A錯誤；對于B，∵＝（2，1，0），∴｜｜＝，∴＝（ ，，0），即與同向的單位向量是（ ，，0），B正確；對于C，∵＝（－3，1，1），∴cos＜，＞＝＝＝－，即和夾角的余弦值為－，C錯誤；對于D，設平面ABC的法向量n＝（x，y，z），則令x＝1，解得y＝－2，z＝5，∴n＝（1，－2，5），即平面ABC的一個法向量為（1，－2，5），D正確，故選B、D.
11.ACD　令x＝1，可得（ 1＋）（ 2x－）6的展開式中各項系數的和為（1＋a）×1＝2，∴a＝1，故選項A正確；∵（ 1＋）（ 2x－）6＝（ 1＋）·（64x6－192x4＋240x2－160＋60x－2－12x－4＋x－6），故展開式中常數項為－160，故選項B不正確；（ 1＋）（ 2x－）6的展開式中各項系數絕對值的和，即（ 1＋）（ 2x＋）6的展開式中各項系數和，為（1＋a）·36＝2×36＝1 458，故選項C正確；根據（ 1＋）（ 2x－）6＝（ 1＋）·（64x6－192x4＋240x2－160＋60x－2－12x－4＋x－6）＝64x6－192x4＋240x2－160＋60x－2－12x－4＋x－6＋64x5－192x3＋240x－＋60x－3－12x－5＋x－7可得，若r為偶數，則展開式中xr和xr－1的系數相等，故選項D正確，故選A、C、D.
12.1　解析：因為B（1，0，0），C'（1，1，1），D'（0，1，1），E（－2，1，m），所以＝（0，1，1），＝（－1，1，1），＝（－3，1，m），根據平面向量的基本定理，存在實數x，y，使得＝x＋y，則有解得m＝1.
13.1 080　解析：當組成四位數的數字中有一個偶數時，四位數的個數為··＝960.當組成四位數的數字中不含偶數時，四位數的個數為＝120.故符合題意的四位數一共有960＋120＝1 080（個）.
14.　解析：根據題意，Pn為觀眾甲第n次看到廣告后不來此景區的概率，則Pn＝Pn－1·＋（1－Pn－1）·＝Pn－1＋，n≥2，所以Pn－＝·（ Pn－1－），n≥2.又P1－＝－＝，故{Pn－}是首項為，公比為的等比數列，所以Pn－＝（ ）n－1，即Pn＝＋（ ）n－1.因為y＝（ ）x在R上為減函數，所以數列{Pn}單調遞減，所以當n≥2時，Pn≤P2＝＋＝，所以M≥，所以M的最小值為.
15.解：（1）Tk＋1＝·（）n－k·＝·，
由題意可知＋＝2，
即n2－9n＋14＝0，
解得n＝2（舍）或n＝7.所以n＝7.
（2）由（1）知Tk＋1＝·.
當＝0時，k＝，由于k N*，
所以此展開式中無常數項.
16.解：（1）散點圖如圖所示.
（2）根據散點圖可得，變量x與y之間具有線性相關關系.
根據數據可知，＝5，＝38，xiyi＝1 190，＝165，代入公式得＝＝＝6，
＝－＝38－6×5＝8.
故所求的經驗回歸方程是＝6x＋8.
17.解：（1）由題意知對業務水平滿意的有300×＝260（人），對服務水平不滿意的有300×（1－）＝100（人），得2×2列聯表如下所示：
對服務水平 滿意人數 對服務水平 不滿意人數 合計
對業務水平 滿意人數 180 80 260
對業務水平 不滿意人數 20 20 40
合計 200 100 300
提出假設H0：業務水平與服務水平無關聯.經計算得χ2＝＝≈5.77＞5.024，
因為當H0成立時，χ2≥5.024的概率約為0.025，所以有97.5%的把握認為業務水平滿意與服務水平滿意有關聯.
（2）X的可能值為0，1，2.
則P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝.
所以X的概率分布為
X 0 1 2
P
E（X）＝0×＋1×＋2×＝.
18.解：（1）證明：∵PC⊥平面ABC，AB 平面ABC，
∴PC⊥AB.
∵CD⊥平面PAB，AB 平面PAB，
∴CD⊥AB.
又PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCB，
∴AB⊥平面PCB.
（2）由（1）知AB⊥平面PCB，
∴AB⊥BC.
∵PC＝AC＝2，AB＝BC，
∴BC＝AB＝.
如圖，以B為坐標原點，建立空間直角坐標系，則B（0，0，0），A（0，，0），C（，0，0），P（，0，2），
∴＝（，－，2），
＝（，0，0），
則·＝×＋0＋0＝2，
∴cos＜，＞＝＝＝，
故異面直線AP與BC所成的角為.
（3）結合（2）中建立的空間直角坐標系，設平面PAB的法向量為m＝（x1，y1，z1）.
易知＝（0，－，0），＝（，－，2）.
由得令z1＝－1，得x1＝，y1＝0，
∴平面PAB的一個法向量為m＝（，0，－1）.
設平面PAC的法向量為n＝（x2，y2，z2）.
易知＝（0，0，－2），＝（，－，0）.
由得令x2＝1，
得y2＝1，z2＝0，
∴平面PAC的一個法向量為n＝（1，1，0）.
∴cos＜m，n＞＝＝＝.
由圖知，二面角C-PA-B的平面角為鈍角，
∴二面角C-PA-B的平面角的余弦值為－.
19.解：（1）①該二維離散型隨機變量（ξ，η）的所有可能取值為：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（3，0）.
②依題意，0≤m＋n≤3，P（ξ＝m，η＝n）＝P（ξ＝m｜η＝n）·P（η＝n），
顯然P（η＝n）＝（）n（）3－n，則P（ξ＝m｜η＝n）＝（）m（）3－n－m＝（）3－n，
所以P（ξ＝m，η＝n）＝（）3－n·（）n·（）3－n＝＝.
（2）證明：由定義及全概率公式知，
P（ξ＝ai）＝P{（ξ＝ai）∩[（η＝b1）∪（η＝b2）∪…∪（η＝bj）∪…]}
＝P{[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]∪[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]∪…∪[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]∪…}
＝P[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]＋P[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]＋…＋P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＋…
＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＝P（ξ＝ai，η＝bj）＝pij.
4 / 4(共43張PPT)
模塊綜合檢測
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 4×5×6×…×（n－1）×n＝（　　）
C. n！－4！
解析： 　由題意知4×5×6×…×（n－1）×n＝n×（n－1）
×…×6×5×4＝ .
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2. 已知隨機變量X的概率分布如表（其中a為常數）.
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
則P（1≤X≤3）＝（　　）
A. 0.4 B. 0.5
C. 0.6 D. 0.7
解析： 　由概率之和等于1可知a＝0.2，所以P（1≤X≤3）＝
0.1＋0.2＋0.3＝0.6.
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3. 已知隨機變量X，Y滿足Y＝aX＋b，且a，b為正實數.若D
（X）＝2，D（Y）＝8，則（　　）
A. b＝2 B. a＝4
C. a＝2 D. b＝4
解析： 　由方差的性質可得，D（Y）＝D（aX＋b）＝a2D
（X）.因為D（X）＝2，D（Y）＝8，所以8＝2a2.又a為正實
數，所以a＝2.故選C.
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4. 如圖，在棱長均相等的四面體O-ABC中，點D為AB的中點，CE
＝ ED，設 ＝a， ＝b， ＝c，則 ＝（　　）
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解析： 　∵CE＝ ED，∴ ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （
＋ ）＝ ＋ ，∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝
＋ （ － ）＋ （ － ）＝ ＋ ＋ ＝ a
＋ b＋ c.
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5. 對標有不同編號的6件正品和4件次品的產品進行檢測，不放回地依
次摸出2件.在第一次摸出正品的條件下，第二次也摸到正品的概率
是（　　）
解析： 　設A＝“第一次摸出正品”，B＝“第二次摸出正
品”，則P（A）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ ，故P（B｜
A）＝ ＝ .
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6. 某學校高三年級總共有800名學生，學校對高三年級的學生進行一
次體能測試.這次體能測試滿分為100分，已知測試成績X服從正態
分布N（70，σ2）.若X在[60，70]內的概率為0.2，則該學校高三
年級學生體能測試成績在80分以上的人數約為（　　）
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C. 240 D. 320
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解析： 　因為測試成績服從正態分布N（70，σ2），所以P
（70≤X≤80）＝P（60≤X≤70）＝0.2，則P（X＞80）＝0.5
－0.2＝0.3，即該學校高三年級學生體能測試成績在80分以上的人
數約為0.3×800＝240.故選C.
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7. 當兩個變量呈非線性相關時，有些可以通過適當的轉換進行線性相
關化，比如反比例關系y＝ ，可以設一個新的變量z＝ ，這樣y
與z之間就是線性關系.下列表格中的數據可以用非線性方程 ＝
0.14x2＋ 進行擬合，
x 1 2 3 4 5 6
y 2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5
用線性回歸的相關知識，可求得 的值約為（　　）
A. 2.98 B. 2.88 C. 2.78 D. 2.68
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解析： 　設z＝x2，則 ＝0.14z＋ ，則
z 1 4 9 16 25 36
y 2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5
則 ＝ ＝ ， ＝ ＝5，則 ＝
－0.14 ＝5－0.14× ≈2.88.故選B.
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8. 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1與B1C相交于點O，∠A1AB
＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，則線
段AO的長度為（　　）
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解析： 　∵四邊形BCC1B1是平行四邊形，∴ ＝ ＝
（ ＋ ），∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋
＋ ，∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A
＝3，AB＝AC＝2，∴｜ ｜2＝｜ ｜2＝4，｜ ｜2＝9，
· ＝0， · ＝ · ＝3×2× cos 60°＝3，∴ ＝
（ ＋ ＋ ）2＝ （｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋
2 · ＋2 · ＋2 · ）＝ ，∴｜ ｜＝ ，即
AO＝ ，故選A.
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二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選
對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 下列說法中正確的是（　　）
A. 將一組數據中的每個數據都加上或減去同一個常數后，方差恒不變
C. 隨機誤差的平方和越小，說明模型的擬合程度越好
D. 在一個2×2列聯表中，若χ2＝13.079，則有99.9%的把握認為這兩個變量之間有關系
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解析： 數據的方差與加了什么樣的常數無關，故A正確；對
于回歸方程 ＝3－5x，變量x增加1個單位時， 平均減少5個單
位，故B錯誤；易知C正確；若χ2＝13.079＞10.828，則有99.9%的
把握認為這兩個變量之間有關系，故D正確.
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10. 已知空間中三點A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1，3，
1），則下列說法正確的是（　　）
D. 平面ABC的一個法向量是（1，－2，5）
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解析： 　對于A， ＝（2，1，0）， ＝（－1，2，1），可知 ≠λ ， 與 不共線，A錯誤；對于B，∵ ＝（2，1，0），∴
｜ ｜＝ ，∴ ＝（ ， ，0），即與 同向的單位向量是（ ， ，0），B正確；對于C，∵ ＝（－3，1，1），∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ ，即 和 夾角的余弦值為－ ，C錯誤；對于D，設平面ABC的法向量n＝（x，y，z），則令x＝1，解得y＝－2，z＝5，∴n＝
（1，－2，5），即平面ABC的一個法向量為（1，－2，5），D
正確，故選B、D.
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11. 已知（ 1＋ ）（ 2x－ ）6的展開式中各項系數的和為2，則下列
結論正確的有（　　）
A. a＝1
B. 展開式中常數項為160
C. 展開式中各項系數的絕對值的和為1 458
D. 若r為偶數，則展開式中xr和xr－1的系數相等
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解析： 　令x＝1，可得（ 1＋ ）（ 2x－ ）6的展開式中各
項系數的和為（1＋a）×1＝2，∴a＝1，故選項A正確；∵（ 1
＋ ）（ 2x－ ）6＝（ 1＋ ）·（64x6－192x4＋240x2－160＋
60x－2－12x－4＋x－6），故展開式中常數項為－160，故選項B不
正確；（ 1＋ ）（ 2x－ ）6的展開式中各項系數絕對值的和，
即（ 1＋ ）（ 2x＋ ）6的展開式中各項系數和，為（1＋a）·36
＝2×36＝1 458，故選項C正確；
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根據（ 1＋ ）（ 2x－ ）6＝（ 1＋ ）·（64x6－192x4＋240x2－160
＋60x－2－12x－4＋x－6）＝64x6－192x4＋240x2－160＋60x－2－12x－4
＋x－6＋64x5－192x3＋240x－ ＋60x－3－12x－5＋x－7可得，若r為
偶數，則展開式中xr和xr－1的系數相等，故選項D正確，故選A、C、
D.
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三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中
橫線上）
12. 已知點B（1，0，0），C'（1，1，1），D'（0，1，1），若點E
的坐標為（－2，1，m），且點B，C'，D'，E四點共面，則實
數m的值為 .
1　
解析：因為B（1，0，0），C'（1，1，1），D'（0，1，1），E
（－2，1，m），所以 ＝（0，1，1）， ＝（－1，1，
1）， ＝（－3，1，m），根據平面向量的基本定理，存在實
數x，y，使得 ＝x ＋y ，則有解得m
＝1.
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13. 用數字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數字，且至多有
一個數字是偶數的四位數，這樣的四位數一共有 個.
（用數字作答）
解析：當組成四位數的數字中有一個偶數時，四位數的個數為
· · ＝960.當組成四位數的數字中不含偶數時，四位數的個
數為 ＝120.故符合題意的四位數一共有960＋120＝1 080
（個）.
1 080　
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14. 某地有一新開發的景區在各大媒體循環播放廣告，觀眾甲首次看
到該景區的廣告后，不來此景區的概率為 ，從第二次看到廣告
起，若前一次不來此景區，則這次來此景區的概率是 ，若前一
次來此景區，則這次來此景區的概率是 .記觀眾甲第n次看到廣
告后不來此景區的概率為Pn，若當n≥2時，Pn≤M恒成立，則
M的最小值為 .
　
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解析：根據題意，Pn為觀眾甲第n次看到廣告后不來此景區的概
率，則Pn＝Pn－1· ＋（1－Pn－1）· ＝ Pn－1＋ ，n≥2，所以
Pn－ ＝ ·（ Pn－1－ ），n≥2.又P1－ ＝ － ＝ ，故{Pn－
}是首項為 ，公比為 的等比數列，所以Pn－ ＝ （ ）n－
1，即Pn＝ ＋ （ ）n－1.因為y＝（ ）x在R上為減函數，所
以數列{Pn}單調遞減，所以當n≥2時，Pn≤P2＝ ＋ ＝ ，所
以M≥ ，所以M的最小值為 .
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說
明、證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）若 展開式中第二、三、四項的二
項式系數成等差數列.
（1）求n的值；
解： Tk＋1＝ ·（ ）n－k· ＝ · ，
由題意可知 ＋ ＝2 ，即n2－9n＋14＝0，解得n＝2
（舍）或n＝7.所以n＝7.
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（2）此展開式中是否有常數項，為什么？
解： 由（1）知Tk＋1＝ · .
當 ＝0時，k＝ ，由于k N*，
所以此展開式中無常數項.
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16. （本小題滿分15分）隨著網絡的普及，網上購物的方式已經
受到越來越多年輕人的青睞，某家網絡店鋪商品的成交量x
（單位：件）與店鋪的瀏覽量y（單位：次）之間的對應數據
如下表所示：
x/件 1 3 5 7 9
y/次 10 30 40 50 60
（1）根據表中數據畫
出散點圖；
解： 散點圖如圖所示.
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（2）根據表中的數據，求出y關于x的經驗回歸方程.
解：根據散點圖可得，變量x與y之間具有線性相關關系.
根據數據可知， ＝5， ＝38， xiyi＝1 190， ＝
165，代入公式得 ＝ ＝ ＝6，
＝ － ＝38－6×5＝8.
故所求的經驗回歸方程是 ＝6x＋8.
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17. （本小題滿分15分）攜號轉網，也稱作號碼攜帶、移機不改號，
即無需改變自己的手機號碼就能轉換運營商，并享受其提供的各
種服務.2019年11月27日，工信部宣布攜號轉網在全國范圍內正式
啟動.某運營商為提質量保客戶，從運營系統中選出300名客戶，
對業務水平和服務水平的評價進行統計，其中業務水平的滿意率
為 ，服務水平的滿意率為 ，對業務水平和服務水平都滿意的
客戶有180人.
（1）列出2×2列聯表，能否有97.5%的把握認為業務水平與服務
水平有關聯？
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解： 由題意知對業務水平滿意的有300× ＝260（人），對服務水平不滿意的有300×（1－ ）＝100（人），得2×2列聯表如下所示：
對服務水平滿意人數 對服務水平不滿
意人數 合計
對業務水平滿意人數 180 80 260
對業務水平不滿意人數 20 20 40
合計 200 100 300
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提出假設H0：業務水平與服務水平無關聯.經計算得χ2＝
＝ ≈5.77＞5.024，
因為當H0成立時，χ2≥5.024的概率約為0.025，所以有
97.5%的把握認為業務水平滿意與服務水平滿意有關聯.
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（2）為進一步提高服務質量，在選出的對服務水平不滿意的客戶
中，抽取2名征求改進意見，用X表示對業務水平不滿意的
人數，求X的概率分布與均值.
附：χ2＝ .
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
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解： X的可能值為0，1，2.
則P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ .所以X的概率分布為
X 0 1 2
P
E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
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18. （本小題滿分17分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面
ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一點，且CD⊥平面
PAB.
（1）求證：AB⊥平面PCB；
解： 證明：∵PC⊥平面ABC，AB 平面ABC，
∴PC⊥AB.
∵CD⊥平面PAB，AB 平面PAB，∴CD⊥AB.
又PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCB，
∴AB⊥平面PCB.
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（2）求異面直線AP與BC所成角的大小；
解： 由（1）知AB⊥平面PCB，
∴AB⊥BC.
∵PC＝AC＝2，AB＝BC，
∴BC＝AB＝ .
如圖，以B為坐標原點，建立空間直角坐標系，
則B（0，0，0），A（0， ，0），C
（ ，0，0），P（ ，0，2），
∴ ＝（ ，－ ，2），
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＝（ ，0，0），
則 · ＝ × ＋0＋0＝2，
∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，
故異面直線AP與BC所成的角為 .
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（3）求二面角C-PA-B的平面角的余弦值.
解： 結合（2）中建立的空間直角坐標系，設平面PAB的法向量為m＝（x1，y1，z1）.
易知 ＝（0，－ ，0）， ＝（ ，－ ，2）.
由得令z1
＝－1，得x1＝ ，y1＝0，
∴平面PAB的一個法向量為m＝（ ，0，－1）.
設平面PAC的法向量為n＝（x2，y2，z2）.
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易知 ＝（0，0，－2）， ＝（ ，－ ，0）.
由得令x2＝1，
得y2＝1，z2＝0，
∴平面PAC的一個法向量為n＝（1，1，0）.
∴ cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝ .
由圖知，二面角C-PA-B的平面角為鈍角，
∴二面角C-PA-B的平面角的余弦值為－ .
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19. （本小題滿分17分）若ξ，η是樣本空間Ω上的兩個離散型隨機變
量，則稱（ξ，η）是Ω上的二維離散型隨機變量或二維隨機變量.
設（ξ，η）的一切可能取值為（ai，bj），i，j＝1，2，…，記
pij表示（ai，bj）在Ω中出現的概率，其中pij＝P（ξ＝ai，η＝
bj）＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）].
（1）將三個相同的小球等可能地放入編號為1，2，3的三個盒子
中，記1號盒子中的小球個數為ξ，2號盒子中的小球個數為
η，則（ξ，η）是一個二維隨機變量.
①寫出該二維離散型隨機變量（ξ，η）的所有可能取值；
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②若（m，n）是①中的值，求P（ξ＝m，η＝n）（結果
用m，n表示）；
解： ①該二維離散型隨機變量（ξ，η）的所有可能取
值為：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，
0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（3，
0）.
②依題意，0≤m＋n≤3，P（ξ＝m，η＝n）＝P（ξ＝
m｜η＝n）·P（η＝n），
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顯然P（η＝n）＝ （ ）n（ ）3－n，則P（ξ＝m｜η＝
n）＝ （ ）m（ ）3－n－m＝ （ ）3－n，
所以P（ξ＝m，η＝n）＝ （ ）3－n· （ ）n·（ ）
3－n＝ ＝ .
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（2）P（ξ＝ai）稱為二維離散型隨機變量（ξ，η）關于ξ的邊緣分布律或邊際分布律，求證：P（ξ＝ai）＝ pij.
解： 證明：由定義及全概率公式知，
P（ξ＝ai）＝P{（ξ＝ai）∩[（η＝b1）∪（η＝b2）
∪…∪（η＝bj）∪…]}
＝P{[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]∪[（ξ＝ai）∩（η＝
b2）]∪…∪[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]∪…}
＝P[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]＋P[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]
＋…＋P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＋…
＝ P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＝ P（ξ＝ai，η＝bj）＝ pij.
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