資源簡(jiǎn)介

2.2平方根與立方根
第3課時(shí) 立方根
北師大版 數(shù)學(xué) 八年級(jí)上冊(cè) 第二章 實(shí)數(shù)
探究一　立方根的概念及性質(zhì)
[計(jì)算發(fā)現(xiàn)]
要做一個(gè)體積為27 cm3的正方體模型(如圖2-3-1).
(1)它的棱長(zhǎng)應(yīng)為多少?
(2)如果正方體的體積為64 cm3,正方體的棱長(zhǎng)
又該是多少?
解:(1)3 cm　(2)4 cm
圖2-3-1
[概括新知]
(1)立方根的定義:一般地,如果一個(gè)數(shù)x的　　　　等于a,即
　　　=a,那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根,也叫做三次方根.
(2)立方根的表示方法:a的立方根記作　　　　,讀作“三次
根號(hào)a”,其中a是　 　　　,3是　　　　.?
立方
3????
?
x3
被開(kāi)方數(shù)
根指數(shù)
[探索歸納]
1.(1)2的立方等于多少?是否有其他的數(shù),它的立方也是8?
(2)-3的立方等于多少?是否有其他的數(shù),它的立方也是-27?
解:(1)2的立方等于8.沒(méi)有其他的數(shù),它的立方也是8.
(2)-3的立方等于-27.沒(méi)有其他的數(shù),它的立方也是-27.
2.正數(shù)有幾個(gè)立方根?0有幾個(gè)立方根?負(fù)數(shù)有幾個(gè)立方根?
解:正數(shù)有一個(gè)立方根,0有一個(gè)立方根,負(fù)數(shù)有一個(gè)立方根.
[概括新知]
(1)立方根的性質(zhì):正數(shù)有　　　　個(gè)立方根,0有　　　　個(gè)
立方根,它的立方根是　　　　,負(fù)數(shù)有　　　　個(gè)立方根.?
(2)開(kāi)立方的概念:求一個(gè)數(shù)a的　　　　的運(yùn)算叫做開(kāi)立方,
其中a叫做　　 　　.求一個(gè)數(shù)的立方根就是求哪個(gè)數(shù)的
立方等于這個(gè)數(shù),開(kāi)立方與立方互為　　　　運(yùn)算.?
1
1
0
1
立方根
被開(kāi)方數(shù)
逆
立方根等于它本身的是　　　　;?
平方根等于它本身的是　　　　.?
巧 區(qū)別
±1和0
0
應(yīng)用一　求一個(gè)數(shù)的立方根
例1 (教材典題)求下列各數(shù)的立方根:
(1)-27;　　　　(2)8125;　　　　(3)0.216;　　　　(4)-5.
?
解:(1)因?yàn)?-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,即3?27=-3.
?
(2)因?yàn)?25)3=8125,所以8125的立方根是25,即38125=25.
?
(3)因?yàn)?.63=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即30.216=0.6.
?
(4)-5的立方根是3?5.
?
變式 求下列各數(shù)的立方根:
(1)-338; (2)10-3; (3)64.
?
解:(1)-32　 (2)110　 (3)2
?
探究二　????????????,(????????)3
?
[計(jì)算歸納]
1.求下列各式的值:
323=　　　　;303=　　　　;3(?2)3=　　　　;?
(32)3=　　　　;(30)3=　　　　;(3?2)3=　　　　.?
?
2
0
-2
2
0
-2
2.觀察第1題的計(jì)算結(jié)果,可得到什么規(guī)律(用含a的等式表
示)?你能解釋其中的道理嗎?
解:規(guī)律:3????3=a,(3????)3=a.理由:由立方根的定義知x3=a,那么x就是a的立方根,即x=3????,所以x3=(3????)3=a.同樣根據(jù)定義,a的立方是a3,所以a3的立方根就是a,即3????3=a.
?
[概括新知]
3????3=　　　　;(3????)3=　　　　.?
?
a
a
應(yīng)用二　利用????????????=a,(????????)3=a求值
?
例2 (教材典題)求下列各式的值:
(1)3?8; (2)30.064; (3)-38125; (4)(39)3.
?
解:(1)3?8=3(?2)3=-2.
?
(2)30.064=30.43=0.4.
?
(3)-38125=-3(25)?3=-25.
?
(4)(39)3=9.
?
變式　求下列各式的值:
(1)(3?27)3;　　　　 (2)3?0.125.
?
解:(1)(3?27)3=-27.
?
(2)3?0.125=3(?0.5)3=-0.5.
?
會(huì) 轉(zhuǎn)化
立方的立方根與立方根的立方
(1)一個(gè)數(shù)a的立方的立方根等于a,即3????3=a.
(2)一個(gè)數(shù)a的立方根的立方等于a,即(3????)3=a.
?
應(yīng)用三　由立方根求未知數(shù)的值
例3 求下列各式中x的值:
(1)3????=-4; 　 (2)(x+1)3=125.
?
解:(1)-64　 (2)4
應(yīng)用四　利用立方根解決實(shí)際問(wèn)題
例4 將體積為100 cm3和25 cm3的正方體鐵塊,熔成一個(gè)大正方體鐵塊,那么這個(gè)大正方體鐵塊的棱長(zhǎng)是多少?
解:設(shè)這個(gè)大正方體鐵塊的棱長(zhǎng)為a cm.
由題意,得a3=100+25,
即a3=125,所以a=3125=5.
?
故這個(gè)大正方體鐵塊的棱長(zhǎng)是5 cm.
平方根與立方根的綜合應(yīng)用
已知某正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2m-3和5-m,n-1的算術(shù)平方根為2,求3+m+n-7的立方根.
【延伸拓展】
解:因?yàn)槟痴龜?shù)的兩個(gè)平方根分別是2m-3和5-m,所以2m-3+5-m= 0,解得m=-2.
因?yàn)閚-1的算術(shù)平方根為2,
所以n-1=4,
解得n=5,
所以3+m+n-7=3-2+5-7=-1,
故它的立方根為-1.
[本課時(shí)認(rèn)知邏輯]
數(shù)學(xué)問(wèn)題
實(shí)際問(wèn)題
立方根
概念與表示
性質(zhì)與計(jì)算
應(yīng)用解決實(shí)際問(wèn)題
抽象
建模
解決
[檢測(cè)]　
1.-64的立方根是 (　　)
A.-4 B.8
C.-4和4 D.-8和8
2.立方根等于本身的數(shù)是　　　　.?
A
-1,0,1
3.求下列各數(shù)的立方根:
(1)-125;　 (2)2764;　 (3)-0.512;　 (4)113.
?
解:(1)因?yàn)?-5)3=-125,所以-125的立方根是-5.
(2)因?yàn)?34)3=2764,所以2764的立方根是34.
?
(3)因?yàn)?-0.8)3=-0.512,所以-0.512的立方根是-0.8.
(4)由立方根的概念可得113的立方根是11.
4.求下列各式的值:
(1)3?18; (2)30.125; (3)363; (4)(319)3.
?
解:(1)3?18=-12.
?
(2)30.125=0.5.
?
(3)363=6.
?
(4)(319)3=19.

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