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3.3 軸對稱與坐標變化
北師大版 數學 八年級上冊 第三章 位置與坐標
探究　軸對稱與坐標之間的變化
[觀察發現]
在如圖3-3-1所示的平面直角坐標系中,第
一、二象限內各有一面小旗.
(1)兩面小旗之間有怎樣的位置關系 對應
點A與A1的坐標又有什么共同特點
解:兩面小旗關于y軸對稱,對應點A(2,6)與A1(-2,6)的橫坐標互為相反數,縱坐標相同.
圖3-3-1
(2)在這個坐標系里畫出小旗ABCD關于x軸的對稱圖形,它的各個“頂點”的坐標與原來的點的坐標有什么關系
圖3-3-1
解:圖略.它的各個“頂點”與原來的點的橫坐標相同,縱坐標互為相反數.
[概括新知]
關于坐標軸對稱的點的坐標特征:關于x軸對稱的兩個點的
坐標,橫坐標相同,縱坐標　　 　　　;關于y軸對稱的兩個
點的坐標,　　　　相同,　　　　互為相反數.
互為相反數
縱坐標
橫坐標
[操作發現]
(1)如圖3-3-2,在平面直角坐標系中依次連接下列各點:(0,0), (5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0),你得到了一個怎樣的圖案
圖3-3-2
解:如圖,得到的圖案像一條小魚.
(2)將(1)中所得圖案的各個“頂點”的縱坐標保持不變,橫坐標分別乘-1,依次連接這些點,你會得到怎樣的圖案 這個圖案與原圖案又有怎樣的位置關系呢
圖3-3-2
解:如圖,得到的圖案像一條小魚,這個圖案與原圖案關于y軸對稱.
(3)將(1)中所得圖案的各個“頂點”的橫坐標保持不變,縱坐標分別乘-1,依次連接這些點,你會得到怎樣的圖案 這個圖案與原圖案又有怎樣的位置關系
圖3-3-2
解:如圖,得到的圖案像一條小魚,這個圖案與原圖案關于x軸對稱.
[概括新知]
圖形的軸對稱與點的坐標之間的關系:(1)圖形中所有點的
橫坐標保持不變,縱坐標乘-1,所得圖形與原圖形關于
軸對稱;
(2)圖形中所有點的縱坐標保持不變,橫坐標乘-1,所得圖形
與原圖形關于　　　　軸對稱.
x
y
應用一　求關于坐標軸對稱的點的坐標
例1 點A(-1,-2)關于x軸對稱的點的坐標是　　　　,關于y軸對稱的點的坐標是　　　　,點(3,-1)與點(-3,-1)關于 軸對稱.
(-1,2)
(1,-2)
y
例2 已知點A(a-1,1)與點B(2,b+1)關于x軸對稱,求A,B兩點的坐標.
解:因為點A(a-1,1)和點B(2,b+1)關于x軸對稱,所以a-1=2,b+1=-1,
所以點A的坐標為(2,1),點B的坐標為(2,-1).
例3 若點P(a,b)關于y軸的對稱點是P1,而點P1關于x軸的對稱點是P2,已知點P2的坐標為(-3,4),求點P的坐標.
解:點P(a,b)關于y軸的對稱點是P1(-a,b),點P1(-a,b)關于x軸的對稱點是P2(-a,-b).
因為點P2的坐標為(-3,4),所以-a=-3,-b=4,所以a=3,b=-4,則點P的坐標是(3,-4).
作一個圖形關于坐標軸對稱的圖形,可依據軸對稱的性質作
圖,也可先確定圖形各頂點的對稱點的坐標,根據坐標描出
對稱點后再順次連接.
明 思路
應用二　作關于坐標軸對稱的圖形
例4 如圖3-3-3,在平面直角坐標系中,已知點A(-1,5),B(-3,0), C(-4,3).
(1)在圖中作出△ABC關于y軸對稱的
圖形△A1B1C1;
(2)寫出點C1的坐標.
圖3-3-3
解:(1)如圖所示.
(2)點C1的坐標為(4,3).
A1
B1
C1
利用關于坐標軸對稱的點的坐標特點解決最短距離問題
如圖3-3-4,在平面直角坐標系中,已知點A(0,2),B(4,2),P是x軸上任意一點,求當PA+PB有最小值時點P的坐標.
圖3-3-4
【延伸拓展】
解:如圖,作點A關于x軸的對稱點A',連接BA'與x軸交于點P,此時PA+PB有最小值,過點B作BC⊥x軸于點C.
因為A(0,2),所以A'(0,-2),所以OA'=2.
因為B(4,2),所以OC=4,BC=2,所以OA'=BC.
在△OA'P和△CBP中,
因為∠OPA'=∠CPB,∠A'OP=∠BCP=90°,OA'=CB,
所以△OA'P≌△CBP(AAS),所以OP=CP.
又因為OC=OP+CP=4,所以OP=2,所以點P的坐標為(2,0).
學 方法
根據軸對稱求線段和的最小值的方法
根據軸對稱求線段和的最小值,就是借助軸對稱的性質作對
稱點,將線段和的最小值問題轉化為兩點間的距離問題.
[本課時認知邏輯]
數學問題
軸對稱與
坐標變化
關于坐標軸對稱
的點的坐標特征
畫關于坐標軸
對稱的圖形
解決
觀察
操作
發現
[檢測]　
1.點A(3,4)關于x軸對稱的點的坐標為 (　　)
A.(3,-4)　 B.(-3,-4)　 C.(-3,4)　 D.(-4,3)
2.已知點A關于y軸的對稱點A1的坐標是(-2,-1),則點A的坐標是(　　)
A.(-1,-2)　 B.(2,1)　 C.(-2,1)　 D.(2,-1)
3.已知點A(x1,-5),B(2,y2),若點A,B關于x軸對稱,則x1=　　　, y2=　　 　;若點A,B關于y軸對稱,則x1=　　 　,y2=　　　　.
A
D
2
5
-2
-5
4.如圖3-3-5所示,已知點A(4,3),B(3,1),C(1,2).
(1)作出△ABC關于x軸對稱的△A'B'C'并寫出△A'B'C'各頂點的坐標;
(2)作出△ABC關于y軸對稱的△A″B″C″
并寫出△A″B″C″各頂點的坐標.
圖3-3-5
解:(1)如圖所示,△A'B'C'即為所求,三個頂點的坐標分別為A'(4,-3),B'(3,-1),C'(1,-2).
(2)如圖所示,△A″B″C″即為所求,三個頂點的坐標分別為A″(-4,3),B″(-3,1),C″(-1,2).
A'
B'
C'
A″
B″
C″
分層作業
教材第70,71頁習題3.3第1,2,3題.

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