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4.3第1課時 正比例函數的圖象
北師大版 數學 八年級上冊 第四章 一次函數
學習目標
1.通過畫正比例函數圖像的過程，探索正比例函數的圖象與性質，總結作函數圖像的一般步驟．（重點）
2.會運用正比例函數的圖象和性質解決有關問題．（難點）
復習引入
把一個函數的自變量x與對應的因變量y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象.一次函數y=kx+b的圖象是怎樣的呢?我們先研究較為簡單的正比例函數的圖象!
此圖反映了摩天輪上一點的高度h（m）與旋轉時間（min）之間的關系.
探究一　正比例函數的圖象
[繪制圖象]
畫出正比例函數y=2x的圖象.
解:y=2x的圖象:
列表:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
-4
-2
0
2
4
…
描點:以表中各組對應值作為點的坐標,在直角坐標系內描出相應的點.
連線:把這些點依次連接起來,得到y=2x的圖象(如圖),它是一條直線.
[概括新知]
描點法畫函數圖象的一般步驟:(1)　　　　;(2)　　　　;
(3)　　　　.?
列表
描點
連線
[思考.交流]
(1)畫出正比例函數y=-3x的圖象
列表：
描點，連線.y=-3x的圖象如圖所示.
(2) 正比例函數y=2x與y=－3x有什么共同特點？正比例函數y=kx的圖象有何特點？與同伴進行交流.
共同點：正比例函數y=kx的圖象是一條經過原點（0，0）的直線.因此，畫正比例函數圖象時，只要再確定一個點，過這點與原點畫直線就可以了.
不同點：函數y=2x的比例系數k>0，圖象經過第一、三象限；函數y=－3x的比例系數k<0，圖象經過第二、四象限.
[概括新知]
正比例函數的圖象:正比例函數y=kx的圖象是一條經過????????
　　　的　　　　.?
原點
(0,0)
直線
畫正比例函數的圖象
由于兩點確定一條直線,畫正比例函數圖象時,只要再確定
一個點,過這點和原點畫直線就可以了.通常我們過點(0,0)和
點(1,k)連線.
巧 作圖
應用一　畫正比例函數的圖象
例1 在同一直角坐標系內畫出正比例函數y=x,y=3x,y=-12x和y=-4x的圖象.
?
圖4-3-1
解:正比例函數y=x的圖象經過(0,0),(1,1)兩點;
正比例函數y=3x的圖象經過(0,0),(1,3)兩點;
正比例函數y=-12x的圖象經過(0,0),(2,-1)
兩點;
?
正比例函數y=-4x的圖象經過(0,0),(1,-4)
兩點.
畫圖象如圖所示.
探究二　正比例函數圖象的性質
[觀察發現]
1.觀察例1中的四個函數圖象,思考隨著x值的增大,y的值分別如何變化?
解:在正比例函數y=x和y=3x中,y的值隨著x值的增大而增大;在正比例函數y=-12x和y=-4x中,y的值隨著x值的增大而減小.
?
2.正比例函數y=x和y=3x中,隨著x值的增大,y的值都增加了,其中哪一個增加得更快?你能解釋其中的道理嗎?
解:正比例函數y=3x增加得更快.解釋其中的道理:自變量每增加1,函數y=x的函數值增加1,而函數y=3x的函數值增加3.
3.正比例函數y=-12x和y=-4x中,隨著x值的增大,y的值都減小了,其中哪一個減小得更快?你是如何判斷的?
?
解:函數y=-4x減小得更快.判斷方法:根據圖象可知函數y=-4x的圖象比函數y=-12x的圖象陡一些,由此判定自變量增加相同的單位,函數y=-4x的函數值要比函數y=-12x的函數值減小得快(判斷方法不唯一).
?
尋 方法
比較正比例函數值的大小的方法
(1)已知函數關系式及相應自變量的值,直接代入自變量的值
求出函數值,最后再比較函數值即可;
(2)當自變量的值未知時,借助正比例函數y=kx的性質比較大
小,當k>0時,y的值隨x的值的增大而增大;當k<0時,y的值隨x
的值的增大而減小.
[概括新知]
正比例函數圖象的性質:對于正比例函數y=kx(k≠0),當k>0時,
y的值隨著x值的增大而　　　　;當k<0時,y的值隨著x值的
增大而　　　　.?
增大
減小
應用二　利用正比例函數圖象的性質解決問題
例2 (1)已知正比例函數y=kx(k是常數,k≠0)的圖象經過第
二、四象限,那么y的值隨著x值的增大而　　　　(填“增大”或“減小”).?
(2)已知正比例函數y=kx(k≠0)的函數值y隨著自變量x值的增大而減小,那么符合條件的正比例函數可以是????????? ?
　　　　(只需寫出一個).?
減小
y=-2x(答案
不唯一)
(3)已知點P1(1,y1),P2(2,y2)在正比例函數y=-14x的圖象上,則y1
　　　y2(填“>”“<”或“=”).?
?
>
例3 如圖4-3-2,三個正比例函數的圖象分別對應關系式:①y=ax,②y=bx,③y=cx,將a,b,c從小到大排列,并用“<”連接為　　　 　.?
圖4-3-2
a直線y=kx與x軸夾角的大小與k的關系
|k|越大,直線越陡,直線與x軸的夾角(銳角)就越大,直線越靠
近y軸.
覓 規律
根據正比例函數圖象的性質求函數表達式中字母的值
已知函數y=(m-1)????????2?3是正比例函數.
?
解:因為函數y=(m-1)????????2?3是正比例函數,
?
所以m-1≠0,m2-3=1,
解得m=-2或m=2.
【延伸拓展】
(1)若函數關系式中y隨x的增大而減小,求m的值;
(2)若函數的圖象過第一、三象限,求m的值.
解:(1)因為函數關系式中y隨x的增大而減小,
所以m-1<0,所以m=-2.
(2)因為函數的圖象過第一、三象限,
所以m-1>0,所以m=2.
[本課時認知邏輯]
繪制正比例
函數圖象
正比例函數
圖象的性質
正比例函數圖象的
形狀及位置
y隨x的變化而變化
的特點
觀察
歸納
[檢測]　
1.正比例函數y=13x的圖象大致是 (　　)
?
A
圖4-3-3
2.關于正比例函數y=-5x,下列結論正確的是 (　　)
A.圖象必經過點(-1,-5)
B.圖象經過第一、三象限
C.y隨x的增大而減小
D.不論x取何值,總有y<0
C
3.有下列函數:①y=0.3x;②y=-2x;③y=-3x;④y=-x.其中,y值隨x值的增大而增大的函數是　　　　(寫出序號),y值隨x值的增大而減小的函數是　　　　(寫出序號).?
4.對于正比例函數y=-3x,當x1=-3,x2=0,x3=2時,對應的y1,y2,y3之間的大小關系為　　　　(用“>”連接).?
①
②③④
y1>y2>y3

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