資源簡介

4.4 一次函數的應用
北師大版 八年級 上冊
第4章 一次函數
第2課時借助單個一次函數圖象解決問題
學習目標
1.能通過函數圖象獲取信息，解決簡單的實際問題；（重點）
2.通過對函數圖象的觀察與分析，培養數形結合的意識，通過具體問題的解決，培養數學應用能力；
3.在解決問題過程中，初步體會方程與函數的關系，建立各種知識之間的聯系.（難點）
新課導入
1.確定正比例函數的表達式需要 個條件，確定一次函數的表達式需要知道 個條件.
兩
一
2.若一個正比例函數的圖象經過A (3,-6),B(m,-4)兩點,則m的值為( )
A.2 B.8 C.-2 D.-8
3.若直線y=kx+b 與直線y=-2x+1平行,且經過點(2,0),則b= .
A
4
復習回顧
新課導入
1.由一次函數的圖象可確定k 和 b 的符號；
2.由一次函數的圖象可估計函數的變化趨勢；
3.可直接觀察出:x與y 的對應值；
4.由一次函數的圖象與y 軸的交點的坐標可確定b值，用待定系數法可以確定一次函數的圖象的表達式.
思考：從一次函數圖象可獲得哪些信息?
O
情境引入
新課講授
例1.某種摩托車加滿油后，油箱中的剩余油量y(L)與摩托車行駛路程x(km)之間的關系如圖所示：
(1)油箱最多可儲油多少升？
根據圖象回答下列問題：
分析:當車未行駛時，油箱油量最多.
解:由圖象得：當 x=0時，y=10.
因此，油箱最多可儲油10L.
行駛路程
剩余油量
探究：一次函數圖象的應用
新課講授
(2)一箱汽油可供摩托車行駛多少千米？
解:當 y=0時, x=500,
因此一箱汽油可供摩托車行駛500km.
(3)摩托車每行駛100千米消耗多少升汽油?
解: x從100增加到200時, y從8減少到6,減少了2,因此摩托車每行駛100千米消耗2升汽油.
分析:當油箱油量為0時，即為摩托車行駛的最遠路程.
行駛路程
剩余油量
新課講授
(4)油箱中的剩余油量小于1升時將自動報警.行駛多少千米后,摩托車 將自動報警?
解:方法一：根據圖象得：當y=1時,x=450,
因此行駛了450千米后,摩托車將自動報警.
注意：當圖象不能準確讀出需要的數據時，可以用待定系數法求出函數的表達式，再求值.
行駛路程
剩余油量
方法二：可以先用待定系數法求出：
y=-0.02x+10
當y=1時，1=-0.02x+10
解得x=450
新課講授
知識歸納
利用一次函數圖象解決實際問題的方法：
1.先看橫軸、縱軸分別代表什么變量，從x軸或y軸的實際意義去理解函數圖象；再看圖象與兩坐標軸的交點的實際意義.
2.分析已知條件，通過作x軸或y軸的垂線，在圖象上找到對應的點，由點的橫坐標或者縱坐標的值讀出要求的值；
3.利用數形結合的思想：
將“數”轉化為“形” 由“形”定“數”.
新課講授
探究二：一次函數圖象的應用
蓄水量V(萬m3)與干旱持續時間 t(天) 的關系如圖所示.
例2.由于持續高溫和連日無雨,某水庫的蓄水量隨著時間的增加而減少.
蓄水量
干旱持續時間
新課講授
根據圖象回答下列問題:
(1)水庫干旱前的蓄水量是多少?
水庫干旱前，即t=0時，V=1200萬m?.
由圖象可知，當t=10時，V=1000萬m?.
問題(1)(2)由圖象可以準確讀出.
(2)干旱持續10天,蓄水量為多少?
新課講授
23
?
分析：由圖象較難準確讀出連續干旱23天的蓄水量.
可以先求出圖象的函數解析式再求解.
(3)干旱持續23天,蓄水量為多少?
解：設 V=kt+b
∵圖象經過(0，1200)和(10，1000)
∴1200=b
1000=10k+b
解得k=-20，b=1200
∴解析式為 V=-20t+1200
∴當t=23時，V=-20×23+1200=740
∴干旱持續23天，蓄水量是740萬m?.
新課講授
（3）蓄水量小于400時,將發生嚴重的干旱警報.干旱多少天后將發出干旱警報?
方法二：
當V=400時，-20t+1200 =400
解得t=40
∴干旱持續40天后將發出嚴重干旱警報.
方法一：
由圖象可得當V=400時，t=40.
∴干旱持續40天后將發出嚴重干旱警報.
新課講授
嘗試.思考：
按照這個規律,預計持續干旱多少天水庫將干涸?
方法二：
水庫干涸，即V=0時，-20t+1200 =0
解得t=60
∴持續干旱60天后水庫將干涸.
M
A
B
方法一：
延長直線AB，交于橫軸于點M(60，0),
∴持續干旱60天水庫將干涸.
新課講授
思考.交流：一次函數與一元一次方程
.
結合例2想一想，一元一次方程-20x+1200=0與一次函數y=-20x+1200有什么聯系？一般地一元一次方程kx+b=0?與一次函數y=kx+b有什么聯系？
一元一次方程-20x+1200=0的解為x=60，一次函數y=-20x+1200包括許多點．因此-20x+1200=0是y=-20x+1200的特殊情況．當一次函數y=-20x+1200的函數值為0時，相應的自變量的值即為方程-20x+1200=0的解．函數y=-20x+1200與x軸交點的橫坐標即為方程-20x+1200=0的解．函數y=kx+b圖象與x軸交點的橫坐標就是方程kx+b=0的解.方程kx+b=0的解就是函數y=kx+b圖象與x軸交點的橫坐標.
新課講授
0
60
1200
x
y
1.從“數”的方面看，當一次函數y=-20x+1200的y的值為0時，相應的x的值即為方程-20x+1200=0的解.
2.從“形”的方面看，函數y=-20x+1200與x軸交點的橫坐標，即為方程-20x+1200=0的解.
新課講授
知識歸納
一次函數與一元一次方程的關系：
(1)一般地，當一次函數y=kx+b的函數值y為0時，相應的自變量x的值就是方程kx+b=0的解；
(2)從圖象上看，一次函數y=kx+b的圖象與x軸交點的橫坐標，就是方程kx+b=0的解.
新課講授
2.一次函數 y=kx+b 的圖象如圖所示,則關于 x 的方程 kx+b=-1的解為 ( )
A.x=0 B.x=1
C.x=???????? D.x=-2
?
C
典例分析
例1：近幾年來,由于經濟和社會發展迅速,用電量越來越多.為緩解用電緊張,某電力公司特制定了新的用電收費標準,每月用電量x(度)與應付電費y(元)的關系如圖所示.
25
50
75
100
25
50
70
100
O
y(元）
x(度）
75
⑴請你根據圖象所描述的信息，分別求出當0≤x≤50 和x>50時，y與x的函數表達式；
解:(1)當0≤x≤50 時，由圖象可設 y=k1x，
∵其經過（50，25），代入得25=50k1，
∴k1=0.5，∴y=0.5x ;
當x＞50時，由圖象可設 y=k2x+b，
∵其經過（50,25）、（100,70），
得k2=0.9,b=-20,∴y=0.9x-20.
⑵當每月用電量不超過50度時，收費標準是多少？當每月用電量超過50度時，收費標準是多少？
(2)不超過50度部分按0.5元/度計算，超過部分按0.9元/度計算.
典例分析
例2：一次函數y＝kx＋b(k，b為常數，且k≠0)的圖象如圖所示，根據圖象信息可求得關于x的方程kx＋b＝0的解為(　　)
A．x＝－1 B．x＝2
C．x＝0 D．x＝3
解析:由函數經過點(0，1)可得b＝1，再將點(2，3)代入y＝kx＋1，可求出k的值為1，故一次函數的表達式為y＝x＋1，再求出方程x＋1＝0的解為x＝－1.
A
學以致用
1.某公司市場營銷部的個人收入與其每月的銷售量成一次函數關系,如圖所示,由圖中給出的信息可知, 營銷人員沒有銷售量時的收入(最低工資)是 ( )
A.3100 元 B.3000 元 C.2900 元 D.2800 元
B
2.右圖是某種蠟燭在燃燒過程中剩余高度 y(cm)與燃燒時間 t(h)之間函數關系的圖象, 此蠟燭經過 h燃燒完( )
A.2 B. ???????????? C. ???????????? D.????????
?
C
學以致用
3.方程2x+12=0的解是直線y=2x+12( )
A.與y軸交點的橫坐標 B.與y軸交點的縱坐標
C.與x軸交點的橫坐標 D.與x軸交點的縱坐標
C
4.直線y=2x+b與x軸的交點坐標是(4,0),則關于x的方程2x+b=0的解是( )
A.x=-2 B.x=4 C.x=8 D.x=10
B
5.如圖所示,購買一種蘋果所付款金額 y(元)與購買量 x(千克)之間的函數圖象由線段 OA 和射線 AB 組成, 則一次購買 3 千克這種蘋果比分三次每次購買 1 千克這種蘋果可節省 ( )
A.3 元 B.4 元 C.5 元 D.6 元
B
學以致用
8.小明放學后步行回家，如果他離家的路程s(米)與步行時間t(分鐘)的函數圖象如圖，他步行回家的平均速度是 米/分鐘.
6.直線y=3x+6與x軸的交點的橫坐標x的值是方程2x+a=0的解，則a的值是 .
7.一元一次方程3x+2=1的解就是直線 與x軸的交點的橫坐標.
4
y=3x+1
80
學以致用
9.某廠欲購買某種無紡布生產口罩,A,B 兩家無紡布公司各自給出了該種無紡布的銷售方案.
A 公司方案:每噸無紡布的價格 y(萬元)與其質量 x(噸)之間的函數關系如圖所示.
B 公司方案:無紡布不超過 30 噸時,每噸收費 2 萬元;超過 30 噸時,超過的部分每噸收費 1.9 萬元.
(1)求右圖所反映的 y 與 x 之間的函數表達式;
(2)如果該廠所需購買的無紡布是 40 噸,試通過計算說明選擇哪家公司費用較少.
解：（1）設一次函數的解析式為y＝kx+b，
∵函數圖象經過點(0，0.8)、(10，20.3)，
∴0.8=b，20.3=10k+b
解得，k=1.95，b=0.8
∴這個一次函數的解析式為y＝1.95x+0.8．
（2）如果在A公司購買，所需的費用為：y＝1.95×40+0.8＝78.8萬元；
如果在B公司購買，所需的費用為：2×30+1.9×(40﹣30)＝79萬元；
∵78.8＜79，
∴在A公司購買費用較少．
課堂小結
一次函數與一元一次方程的關系
單個一次函數圖象的應用
1.先看橫軸、縱軸分別代表什么變量，從x軸或y軸的實際意義去理解函數圖象；再看圖象與兩坐標軸的交點的實際意義.
2.分析已知條件，通過作x軸或y軸的垂線，在圖象上找到對應的點，由點的橫坐標或者縱坐標的值讀出要求的值.
(1)一般地，當一次函數y=kx+b的函數值為0時，相應的自變量的值就是方程kx+b=0的解；
(2)從圖象上看，一次函數y=kx+b的圖象與x軸交點的橫坐標，就是方程kx+b=0的解.
思想方法
數形結合
一次函數的應用2
作業布置
教材第101,102頁習題4.4第3,5題.
感謝聆聽

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