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4.2第2課時 一次函數(shù)與正比例函數(shù)
北師大版 數(shù)學 八年級上冊 第四章 一次函數(shù)
核心素養(yǎng)目標
1.理解一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念；
2.能根據(jù)所給條件寫出簡單的一次函數(shù)表達式.
3.經(jīng)歷一般規(guī)律的探索過程，發(fā)展學生的抽象思維能力；
4.經(jīng)歷從實際問題中得到函數(shù)關系式這一過程，發(fā)展學生的數(shù)學應用能力.
情境引入
通過上節(jié)課的學習我們已經(jīng)知道生活中充滿著許許多多的均勻變化現(xiàn)象，在這樣的變化過程中，它們能構成函數(shù)，它們分別是什么函數(shù)呢？讓我們一起來探究吧！
探究新知
探究一、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念
問題1.某彈簧的自然長度為3cm，在彈性限度內(nèi)，所掛物體的質(zhì)量x每增加1 kg，彈簧長度y增加0.5 cm.
（1）計算所掛物體的質(zhì)量分別為1 kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg時彈簧的長度，并填入下表：
探究新知
（2）你能寫出y與x之間的關系式嗎？
解：y與x之間的關系式為：y=3+0.5x.
問題2.某輛汽車油箱中原有汽油60 L，汽車每行駛50 km耗油6 L.
（1）完成下表：
探究新知
（2）你能寫出耗油量y（L）與汽車行駛路程x（km）之間的關系式嗎？
（3）你能寫出油箱剩余油量z（L）與汽車行駛路程x（km）之間的關系式嗎？
解：（2）y=0.12x；（3）z=60-0.12x.
研討以下兩個函數(shù)關系式:
(1)y=0.5x+3. (2)y=-0.12x+60.
它們的結構有什么特點？
探究新知
解析:1.都是含有兩個變量x，y的等式.
2.x和y的指數(shù)都是一次.
3.自變量x的系數(shù)都不為0.
若兩個變量x，y間的對應關系可以表示成y=kx+b (k, b為常數(shù)，k≠0）的形式，則稱 y是x的一次函數(shù).特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數(shù).
思考: 一次函數(shù)的結構特征有哪些？
答：一次函數(shù)的結構特征：（1）k≠0；（2）x的次數(shù)是1；（3）常數(shù)項b可以為一切實數(shù).
探究新知
考點1 一次函數(shù)與正比例函數(shù)的判斷
例1 .下列關系式中，哪些一定是一次函數(shù)，哪些一定是正比例函數(shù)？
探究新知
解：(1)（3）（4）（6）是一次函數(shù)，（3）（6）是正比例函數(shù).
方法點撥：
1.判斷一個函數(shù)是一次函數(shù)的條件：自變量是一次整式，一次項系數(shù)不為零；
2.判斷一個函數(shù)是正比例函數(shù)的條件：自變量是一次整式，一次項系數(shù)不為零，常數(shù)項為零．
探究新知
思考.交流
對于y=-x-4而言，自變量x每增加1，函數(shù)值怎樣變化，對于y=2πx呢？
對y=-x-4而言，自變量x每增加1，函數(shù)值就減少4，對y=2πx而言，自變量x每增加1，函數(shù)值就增加2π.
歸納：對一次函數(shù)而言，自變量每增加1，函數(shù)值就增加k,函數(shù)值的變化是均勻的.
探究新知
探究二、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的應用
例2.寫出下列各題中y與x之間的關系式，并判斷：y是否為x的一次函數(shù)？是否為正比例函數(shù)？
（1）汽車以60km/h的速度勻速行駛,行駛路程為y(km)與行駛時間x(h)之間的關系；
（2）圓的面積y (cm2 )與它的半徑x (cm)之間的關系.
（3）某水池有水15m3，現(xiàn)打開進水管進水，進水速度為5m3/h，x h后這個水池有水y m3.
探究新知
解：（1）由路程=速度×時間，得y=60x ,y是x的一次函數(shù),也是x的正比例函數(shù).
（2）由圓的面積公式，得y=πx2, y不是x的正比例函數(shù)，也不是x的一次函數(shù).
（3）這個水池每小時增加5m3水，x h增加5x m3水，因而y=15+5x,y是x的一次函數(shù)，但不是x的正比例函數(shù).
思考.交流
對于y=60x ,60的實際意義是什么？對于y=15+5x，5的實際意義是什么？
探究新知
60的實際意義是汽車的速度，對于y=15+5x，5的實際意義是水池中每小時增加的水量.
例3.在一次測試中，某汽車緊急剎車后，每過1s其速度減少35km/h.
（1）假設該汽車以120km/h的速度行駛，試寫出該汽車剎車后的速度y（單位：km/h）與剎車后經(jīng)過的時間t(單位：s)之間的關系式y(tǒng)=kx+b，并說明k和b的實際意義.
（2）求出（1）中汽車從剎車到停止所需的時間？
探究新知
解：（1）y=-35x+120.k=-35表示每s汽車的速度變化量，b=120表示剎車開始時汽車的速度為120km/h.
分析：某汽車緊急剎車后，每過1s其速度減少35km/h.經(jīng)過ts后速度變?yōu)槎嗌伲科囃Ｖ箷r速度變?yōu)?.
鞏固練習
D
C
鞏固練習
3.要使y=(m-2)xn-1+n是關于x的一次函數(shù),n,m應滿足 , .
m ≠2
1
4.已知y與x－3成正比例，當x＝4時，y＝3．
(1)寫出y與x之間的函數(shù)關系式，并指出它是什么函數(shù)；
(2)求x＝2.5時，y的值．
解：(1)設y＝k(x－3)，把 x＝4，y＝3代入上式，得3＝k(4－3)，解得k＝3，所以y＝3(x－3)，所以y＝3x－9，y是x的一次函數(shù)．
(2)當x＝2.5時，y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
課堂小結
分層作業(yè)
必做題：習題4.2：第1，2題
選做題：習題4.2：第5題

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