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4.1 函數

北師大版 數學 八年級上冊 第四章 一次函數
探究　函數的定義及表示方法
[觀察發現]
1.如果你坐在摩天輪上,隨著時間的變化,你離開地面的高度會發生變化.如圖4-1-1反映了摩
天輪上一點的高度h(m)與旋轉時
間t(min)之間的關系.
圖4-1-1
(1)根據圖4-1-1填寫下表:
t/min
0
1
2
3
4
5
…
h/m
?
?
?
?
?
?
…
圖4-1-1
(2)對于給定的時間t,相應的高度h
確定嗎?
3
14
36
47
36
14
解:對于給定的時間t,相應的高度h隨
之確定.
2.罐頭盒等圓柱形的物體常常如圖4-1-2所示堆放.
圖4-1-2
隨著層數的增加,物體的總數會發生變化,填寫下表:
層數n
1
2
3
4
5
…
物體總數y
?
?
?
?
?
…
1
3
6
10
15
3.一定質量的氣體在體積不變時,假若溫度降低到-273 ℃,則氣體的壓強為零.因此,物理學中把-273 ℃作為熱力學溫度的零度.熱力學溫度T(K)與攝氏溫度t(℃)之間有如下數量關系:T=t+273,T≥0.
(1)當t分別為-43 ℃,-27 ℃,0 ℃,18 ℃時,相應的熱力學溫度T是多少?
(2)給定一個大于-273 ℃的t值,你都能求出相應的T值嗎?
解:(1)T分別為230 K,246 K,273 K,291 K.
(2)能.
4.上述2,3題中,都有幾個變量,給定其中某一個變量的值,能確定另一個變量的值嗎?
解:都有兩個變量,給定其中某一個變量的值,能確定另一個變量的值.
函數不是數,它是指某一變化過程中兩個變量之間的關系.
而函數值是一個數,它是自變量確定時對應的因變量的值.
巧 辨別
[概括新知]
(1)函數的定義:一般地,如果在一個變化過程中有兩個變量x
和y,并且對于變量x的每一個值,變量y都有　　　　的值與
它對應,那么我們稱y是x的函數,其中x是自變量.?
(2)表示函數的方法一般有:　　　　、關系式法和　　　 .
(3)函數值:對于自變量在可取值范圍內的一個確定的值a,函
數有唯一確定的對應值,這個對應值稱為當自變量等于a時
的函數值.
唯一
列表法
圖象法
應用　判斷函數關系并解決問題
例 如圖4-1-3,線段AB=6,在垂直于AB的射線DE上有一個動點C(點C與點D不重合,點D在線段AB上),分別連接CA,CB,得到△ABC.
(1)指出△ABC的面積隨CD的長的變化而變化的過程中,變量是什么?誰是自變量?自變量的取值范圍是什么?
圖4-1-3
解:依題意,知變量是CD的長和△ABC的面積,其中CD的長是自變量,取值范圍是CD>0.
(2)當CD=3,4,5時,對應△ABC的面積分別是什么?
(3)設CD的長為h,△ABC的面積為S,S是不是h的函數?
圖4-1-3
解:(2)當CD=3,4,5時,對應△ABC的面積分別是9,12,15.
(3)對于h的每一個確定的值,S都有唯一的值與其對應,所以S是h的函數.
學 方法
判斷一個關系是不是函數關系的方法
一看是否存在一個變化過程;二看變化過程中是否存在兩個
變量;三看對于其中某一個變量每一個確定的值,另一個變
量是否都有唯一確定的值與之對應.三者必須同時滿足.
變式　已知兩個變量x,y滿足關系2x-3y+1=0,則y是x的函數嗎?若是,寫出y與x之間的關系式;若不是,請說明理由.
解:因為對于x的每一個取值,y都有唯一確定的值與之對應,
所以y是x的函數,y與x之間的關系式為y=2????+13.
?
由圖象判斷函數關系
如圖4-1-4,下列四個圖象中,請用函數的定義判斷哪些表示y是x的函數.
圖4-1-4
【延伸拓展】
解:觀察圖象可知,①②③中對于x在取值范圍的任意一個取值,y都有唯一的值與之對應,所以①②③表示y是x的函數.而④中對于x在取值范圍的任意一個取值,y與之對應的值不唯一,所以y不是x的函數.
畫豎線,若豎線與圖象只有一個交點則是函數,若有多個交
點則不是函數.
有 妙招
[本課時認知邏輯]
具體生
活問題
函數模型
函數的定義
函數的表示方法：列表法、
圖象法、關系式法
函數值
抽象
解決
[檢測]　
1.一棵樹苗栽種時的高度為80 cm,為研究它的生長情況,測得數據如下表:
則按照表中呈現的規律,樹苗的高度h與栽種年數n之間的關系式為　　　　　　,栽種　　　年后,樹苗能長到280 cm.?
h=25n+80
栽種以后的年數n/年
1
2
3
4
…
高度h/cm
105
130
155
180
…
8
2.根據數學家凱勒的“百米賽跑數學模型”,前30米稱為“加速期”,30米~80米為“中途期”,80米~
100米為“沖刺期”.市田徑隊把運動員小斌某次百米跑訓練時速度y(m/s)與路程x(m)之間的觀測
數據,繪制成曲線如圖4-1-5所示.
(1)y是關于x的函數嗎?為什么?
圖4-1-5
解:觀察可知,在自變量的取值范圍內,對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與之對應.因此,y是x的函數.
(2)“加速期”結束時,小斌的速度為多少?
(3)根據如圖4-1-5提供的信息,給小斌提一條訓練建議.
圖4-1-5
解:(2)“加速期”結束時,自變量的值為x=30,對應y的值為10.4.因此,“加速期”結束時,小斌的速度為10.4 m/s.
(3)答案不唯一.例如:根據圖象信息,小斌在80米左右時速度下降明顯,建議增加耐力訓練,提高成績.

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