資源簡介

新課標 北師大版
八年級上冊
5.3 第3課時幾何問題和數(shù)字問題
第五章
二元一次方程組
學習目標
1. 通過用二元一次方程組解決有趣場景中的數(shù)字問題和行程問題，歸納用方程組解決實際問題的一般步驟，提高學生解決問題的能力．
2．通過設置問題串，讓學生體會分析復雜問題的思考方法，進一步經(jīng)歷和體驗列方程組解決實際問題的過程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型．
新課引入
歷史名將周瑜在指揮“赤壁之戰(zhàn)”時羽扇綸巾、雄姿英發(fā)，可惜英年早逝，你能根據(jù)下面這首詩，計算出他的年齡嗎？
大江東去浪淘盡，千古風流人物；
而立之年督東吳；早逝英年兩位數(shù)；
十位恰小個位三，個位平方與壽符；
哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？
核心知識點一
探究學習
幾何問題
如圖，8塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？
（1）這個問題涉及到哪些量，這些量之間有怎樣的等量關系？
（2）你能列方程組來解決這個問題嗎？
分析：這個問題涉及到長方形的長和寬，由圖可知：
長+寬=40, 長=3×寬.
解：設小長方形的長為x，寬為y.
根據(jù)題意可得：????=3????,????+????=40.解得????=30,????=10.
?
答：該小長方形的長為30cm，寬為10cm.
提示：注意圖形內(nèi)部線段之間隱藏的數(shù)量關系．
多位數(shù)表示方法：
每個數(shù)位上的數(shù)字乘對應的數(shù)位單位再相加.
兩位數(shù)：十位數(shù)字×10+個位數(shù)字
三位數(shù)：百位數(shù)字×100+十位數(shù)字×10+個位數(shù)字
四位數(shù)：千位數(shù)字×1000+百位數(shù)字×100+十位數(shù)字×10+個位數(shù)字
探究學習
核心知識點二
利用二元一次方程組解決數(shù)字問題
（1）一個兩位數(shù)，個位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，則這個兩位數(shù)用代數(shù)式表示為 ，若交換個位和十位上的數(shù)字，得到一個新的兩位數(shù)用代數(shù)式表示為 。
10b+a
10a+b
（2）有兩個兩位數(shù)a和b ，如果將a放在b的左邊，就得到一個四位數(shù)，那么這個四位數(shù)用代數(shù)式表示為 ；如果將a放在b的右邊，將得到一個新的四位數(shù)，那么這個四位數(shù)用代數(shù)式可表示為 。
100a+b
100b+a
例：兩個兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個四位數(shù)．已知前一個四位數(shù)比后一個四位數(shù)大2718，求這兩個兩位數(shù)．
分析：（1）本題目中的兩個等量關系為：較大的兩位數(shù)+較小的兩位數(shù)=68；前一個四位數(shù)－后一個四位數(shù)=2178．
（2）設較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y，在較大的數(shù)的右邊接著寫較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為100x+y；在較大的數(shù)左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為100y+x．
解：設較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y，
所以這兩個兩位數(shù)分別是45和23.
化簡，得
解得
歸納小結: 在求兩位數(shù)或三位數(shù)時，一般是不能直接設這個兩位數(shù)或三位數(shù)的，而是把它各個數(shù)位上的數(shù)字設為未知數(shù)．解題的關鍵是弄清題意，根據(jù)題意找出合適的等量關系，列出方程組，再進行求解．
核心知識點三
利用二元一次方程組解決行程問題
火車以40m/s的速度經(jīng)過一個隧道,從車頭進入隧道到車尾駛出隧道，共用時30s，其中火車全身都在隧道里的時間為20秒，求隧道和火車的長度 ．
分析 ：本題涉及到哪些量，你能畫說明“火車從車頭進入隧道到車尾駛出隧道”的過程嗎？這種情況下火車行駛的路程與隧道的長度、火車的長度之間有什么關系？
本題涉及到的量有火車行駛的路程與隧道的長度、火車的長度，如圖說明“火車從車頭進入隧道到車尾駛出隧道”的過程中火車行駛的路程=隧道的長度+火車的長度.
分析 ：類似地，你能畫說明“火車全身都在隧道里”的過程嗎？這種情況下火車行駛的路程與隧道的長度、火車的長度之間又有什么關系呢？
如圖說明“火車全身都在隧道里”的過程中，
火車行駛的路程=隧道的長度-火車的長度.
解：設隧道長為x米，火車的長度為y米，根據(jù)題意得：
????+????=????????×????????，?????????=????????×????????.
?
解得????=????????????????，????=????????????.
?
答：隧道長為1000米，火車的長度為200米.
提示：利用線段圖梳理題目的關鍵信息，也是一種常見的方法.
1．在很多實際問題中，都存在著一些等量關系，因此我們往往可以借助列方程或方程組的方法來處理這些問題．
　　　　　
2．要注意的是，處理實際問題的方法是多種多樣的，圖表分析是一種直觀簡潔的方法，利用線段圖梳理題目的關鍵信息，也是一種常見的方法.還可運用化歸等數(shù)學思想方法，應根據(jù)具體問題靈活選用．
隨堂練習
1.已知兩數(shù) x , y 之和是10, x 比 y 的3倍大2,則下面所列方程組正確的是
( )
?
C
A. &x+y=10,&y=3x+2 B. &x+y=10,&y=3x?2
C. &x+y=10,&x=3y+2 D. &x+y=10,&x=3y?2
?
2.甲,乙兩人練習跑步,如果讓乙先跑10米,甲跑5秒就追上乙;如果讓乙先
跑2秒,那么甲跑4秒就追上乙,若設甲、乙每秒分別跑 x 米、 y 米,下列方
程組正確的是( )
?
C
A. &5x+10=5y,&4x?4y=2 B. &5x=5y+10,&4x?2=4y
C. &5x?5y=10,&4x?y=2y D. &5x?y=10,&4x?2y=2x
?
3.甲數(shù)的2倍比乙數(shù)大3,甲數(shù)的3倍比乙數(shù)的2倍小1.若設甲數(shù)為 x ,乙數(shù)為
y ,則根據(jù)題意可列出的方程組為( )
?
C
A. &2x=y?3,&3x=2y?1 B. &2x+3=y,&3x?1=2y
C. &2x=y+3,&3x=2y?1 D. &2x?y=3,&3x?2y=1
?
4.甲、乙是兩個兩位數(shù)，若把甲數(shù)放在乙數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)是乙數(shù)的151倍；若把乙數(shù)放在甲數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)比上面的四位數(shù)小1 089.求這兩個兩位數(shù)．如果設甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，則可列方程組為(　　)
A
5.小凡出門前看了下智能手表上顯示的運動步數(shù)，發(fā)現(xiàn)步數(shù)是一個兩位數(shù)，步行下樓后發(fā)現(xiàn)十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字互換了，到小區(qū)門口時，發(fā)現(xiàn)步數(shù)比下樓后看到的兩位數(shù)中間多了個1，且從出門到小區(qū)門口共走了586步，則出門時看到的步數(shù)是________．
26
6．如圖，在一個長為25，寬為21的長方形中，有5個形狀、大小完全相同的小長方形，則圖中陰影部分的面積為________．
第2題圖
150
7．如圖，長方形空地的長為10 m，寬為8 m，沿平行于長方形邊的方向分割出三個形狀、大小完全相同的小長方形花圃(陰影部分)，求小長方形花圃的長與寬．
第4題圖
解：設小長方形花圃的長為 x m，寬為 y m.
答：小長方形花圃的長為 4 m，寬為 2 m.
7.某中學新建的塑膠操場跑道一圈長400米，甲、乙兩名運動員從同一起點同時出發(fā),相背而跑，40秒后首次相遇，若從同一起點同時同向而跑,200秒后甲首次追上乙,求這兩名運動員的速度.
解：設甲運動員的速度為 x ，乙運動員的速度為 y ，
由題意，得 &40x+40y=400,&200x?200y=400,
解得 &x=6,&y=4.
答：甲運動員的速度為6米/秒，乙運動員的速度為4米/秒．
?
8. 小華從家里到學校的路是一段平路和一段下坡路. 假設他始終保持平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，上坡路每分鐘走40m，則他從家里到學校需10min，從學校到家里需15min.
問小華家離學校多遠？
方法一：直接設元法
解：設小華家到學校平路長 x m，坡路長 y m.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
平路時間
坡路時間
總時間
上學
放學
平路：60m/min
下坡路：80m/min
上坡路：40m/min
10
15
解方程組，得
所以，小華家到學校的距離為700米.
根據(jù)題意，可列方程組：
方法二：間接設元法
解：設小華下坡路所花時間為x min，上坡路所花時間為y min.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
平路距離
坡路距離
上學
放學
平路：60m/min
下坡路：80m/min
上坡路：40m/min
60(10 - x)
60(15 - y)
解方程組，得
故平路距離：60×（10 - 5）= 300(米)
80x
40y
根據(jù)題意，可列方程組：
坡路距離：80×5 = 400（米）
所以，小華家到學校的距離為700米.
課堂小結
謝謝聆聽

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