資源簡介

?5.5 三元一次方程組
主講：
北師大版 八年級 上冊
第5章 二元一次方程組
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解三元一次方程(組)的定義，會判斷一個(gè)方程組是不是三元一次方程組；
2.會用代入消元法和加減消元法解三元一次方程組，進(jìn)一步體會消元思想.（重難點(diǎn)）
新課導(dǎo)入
復(fù)習(xí)回顧
1.解二元一次方程組有哪幾種方法？
2.解二元一次方程組的基本思路是什么？
二元一次方程組
代入
加減
消元
一元一次方程
化二元為一元
化歸轉(zhuǎn)化思想
消元法：代入消元法和加減消元法.
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情境引入
問題：問題1.今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；今有上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗．問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？（選自《九章算術(shù)》）
題目大意：“有上禾3束，中禾2束，下禾1束，得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，得米26斗．問上、中、下每一束得實(shí)各是多少斗？”
我們知道當(dāng)問題中有兩個(gè)未知數(shù)，兩個(gè)等量關(guān)系時(shí),可以列二元一次方程組解決.
但上述問題中有幾個(gè)未知數(shù)，幾個(gè)等量關(guān)系，該如何設(shè)未知數(shù)呢？
有三個(gè)未知數(shù)，三個(gè)等量關(guān)系，因此可以設(shè)三個(gè)未知數(shù).
探究一：三元一次方程（組）的概念
在這個(gè)問題中設(shè)每束上禾得米x斗、每束中禾得米y斗、每束下禾得米z斗，根據(jù)題意可列方程組：
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探究一：三元一次方程（組）的概念
問題：觀察列出的三個(gè)方程，你有什么發(fā)現(xiàn)？
????????+????????+????=????????,
?
????????+????????+????=????????,
?
????+????????+????????=????????.
?
三個(gè)方程中都含有三個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1.
如何命名呢？
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知識歸納
像這樣，共含有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做三元一次方程組.
在這個(gè)方程組中，????+????+????=????????和????????+?????????=????????都含有三個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做三元一次方程.
?
三元一次方程:
三元一次方程組:
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1.下列方程組中，是三元一次方程的是（ ）
A.????????+????=???? B.????+????????+????????=????
C.????????+????+????=???? D.????????????+?????????????=????
?
2.下列方程組中，是三元一次方程組的是（ ）
A.????+????+????=????????+????+????????=????????+????+????=???? B.????+????+????=????????+????????????=?????????????????????=????????
C. ????+????+????=?????????????+????=????????=????+???? D.????+????=????????+????????=????????+????=????
?
D
C
新課講授
探究二：求解三元一次方程組
類似二元一次方程組的解，三元一次方程組中各個(gè)方程的的公共解，叫做這個(gè)三元一次方程組的解.
思考：怎樣解三元一次方程組呢？
我們會解二元一次方程組，能不能像以前一樣“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
用代入消元法試一試！
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解方程組：
解:由方程①得 z=39-3x-2y, ④
把④分別代入①③，得 x-y=5, ⑤
8x+4y=91. ⑥
解由⑤⑥組成的二元一次方程組，得????=????????????，????=????????????.
?
所以原方程組的解是????=????????????，????=????????????，????=????????????.
?
消去了未知數(shù)x，變成二元一次方程組了！
檢驗(yàn)可以口算或在草稿紙上演算，以后可以不必寫出.
把????=????????????,y=????????????，代入④，得z=114.
?
新課講授
做一做：（1）解上面的方程組時(shí)，你能用代入消元法先消去未知數(shù)x（或y），從而得到方程組的解嗎？
（2）你還有其他方法嗎？與同伴進(jìn)行交流.
解:（1）由方程③可變形為x=26-2y-3z ,代入①和②中，可以先消去x.
議一議:上述不同的解法有什么共同之處？與二元一次方程組的解法有什么聯(lián)系？解三元一次方程組的思路是什么？
（2）可以先利用加減消元，由方程①-②可消去z，得x-y=5,⑤
再由①×3-③,得8x+4y=91,⑥
⑤與⑥聯(lián)立,即可求出x，y的值，進(jìn)而求出z的值.
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知識歸納
解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或“加減”進(jìn)行 ，把 轉(zhuǎn)化為 ，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解 ，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解 .
三元一次方程組
二元一次方程組
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程組
一元一次方程
新課講授
3.解方程組?????????????+????=????,①????????+?????????????=????????,②????+????+????=????,③ 時(shí),第一次消去未知數(shù)的最佳方法是( )
A.加減法消去x，①-③×2與②-③×2
B.加減法消去y，①+③與①×3+②
C.加減法消去z，①+②與③+②
D.代入法消去x，y，z中的任何一個(gè)
?
C
典例分析
例1：解方程組：????+?????????=?????, ①????+?????????=?????, ②????+?????????=????????, ③
?
解:由①+②,得 2y=-6,解得 y =-3，
②+③,得2x= 14，解得x=7，
把x=7,y=-3代入①,得-3+z-7=-5，解得z=5，
∴原方程組的解為????=????,????=?????,????=????.
?
典例分析
例2：一個(gè)三位數(shù)，各位數(shù)字之和是14，個(gè)位數(shù)字、百位數(shù)字的和等于十位數(shù)字，百位數(shù)字的7倍比個(gè)位數(shù)字、十位數(shù)字的和大2，求這個(gè)三位數(shù)。
解：設(shè)個(gè)位數(shù)字是x,十位數(shù)字是y，百位數(shù)字是z.
解得
答：這個(gè)數(shù)是275.
學(xué)以致用
2.三元一次方程組????+????=????????+????=????????+????=????的解是（ ）
A.????=????????=????????=???? B.????=????????=????????=???? C. ????=????????=????????=???? D.????=????????=????????=????
?
1.下列方程組中，是三元一次方程組的是（ ）
A.????????=????????????+????=????????+????+????=???? B.?????????????+????=??????????????????+????=????????=?????
C. ????+?????????=????????????????=?????????????????=???? D.????+????=????????+????=????????+????=????
?
D
A
學(xué)以致用
3.已知x，y，z滿足方程組????+????=????,①????+????=????,②????+????=????,③ 則x+y+z的值為（ ）
A.4 B.5 C.8 D.10
?
A
4.解三元一次方程組?????????+????=?????,①????+?????????????=????,②????+????=????, ③ 要使解法較為簡單，首先應(yīng)進(jìn)行的變形為( )
A.①+② B.①-② C.①+③ D.②-③
?
A
學(xué)以致用
5.小華到學(xué)校超市買鉛筆11支,作業(yè)本5本,筆芯2支，共花12.5元;小剛在這家超市買同樣的鉛筆10 支,同樣的作業(yè)本4本,同樣的筆芯1支，共花10元.則買這樣的鉛筆1支、作業(yè)本1本、筆芯1支共需 元.
2.5
0
6.若????=????, ????=?????,????=????, 是三元一次方程?????????(?????????)????+????????=????的一組解，則m的值為 .
?
學(xué)以致用
7.解方程組：????+????+????=????????, ①????=????????? ,②????????+????=????+????????,③
?
?
學(xué)以致用
解:由①+②+③,得 2x+2y+2z =90,即 x+y+z = 45 ④.
④-①,得z= 18;④-②,得x= 12;④-③,得y=15.
因此,原方程組的解為????=????????,????=????????,????=????????.
?
8.解方程組：????+????=????????, ①????+????=????????, ②????+????=????????, ③
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學(xué)以致用
9.某次運(yùn)動(dòng)會上，我國運(yùn)動(dòng)員頑強(qiáng)拼搏，獲得金、銀、銅牌共342枚.其中金牌枚數(shù)比銀牌與銅牌枚數(shù)之和少40.銅牌枚數(shù)比金牌與銀牌枚數(shù)之差多40，問金、銀、銅牌各獲得多少？
解:設(shè)獲得金牌x枚，銀牌y枚，銅牌z枚.
根據(jù)題意,得????+????+????=????????????,????+????????=????+????,?????????+????????=????,
解得????=????????????,????=????????????,????=????????.
答：獲得金牌151枚，銀牌108枚，銅牌83枚.
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課堂小結(jié)
三元一次方程組
含有三個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程.
共含有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做三元一次方程組.
三元一次方程（組）的概念
三元一次方程組中各個(gè)方程的的公共解，叫做這個(gè)三元一次方程組的解.
“消元法”——把“三元”化為“二元”，再化為“一元”.
三元一次方程組的解法
作業(yè)布置
教材第132，133頁習(xí)題5.4第5，6，7題.
感謝聆聽

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