資源簡介

5.4 第2課時 應用二元一次方程組
確定一次函數表達式
主講：
北師大版 八年級 上冊
第5章 二元一次方程組
學習目標
1.進一步理解二元一次方程與一次函數之間的聯系，體會知識之間的普遍聯系和知識之間的互相轉化；
2.能利用二元一次方程組確定一次函數的表達式．（重、難點）
新課導入
復習回顧
1.一般地，以一個二元一次方程的 為坐標的點組成的圖象與相應的一次函數的圖象相同，是一條 .
3.二元一次方程組有哪些解法？
①消元法：加減消元法和代入消元法.
②圖象法.
2.一般地，從圖形的角度看，確定兩條直線 ，相當于求相應的二元一次方程組的解；解一個二元一次方程組相當于確定相應兩條直線的 .
解
直線
交點的坐標
交點的坐標
代數方法
新課導入
情境引入
問題：A ,B兩地相距100千米，甲、乙兩人騎車同時分別從A，B兩地相向而行．假設他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離 s(千米)都是騎車時間 t (h)的一次函數.1小時后乙距A地80千米; 2小時后甲距A地30千米. 經過多長時間兩人相遇?
你是怎樣做的？與同伴進行交流.
新課講授
探究：用二元一次方程組確定一次函數表達式
1小時后
2小時后甲距A地30千米
乙距A地80千米
甲
A
乙
B
小明、小穎和小亮都想出了解題方法，用他們的方法做一做，看看和你的結果一致嗎？
根據上述題意，可以畫出如下線段圖：
新課講授
P
可以分別作出兩人s 與t 之間的關系圖象，找出交點的橫坐標就行了.
40
30
20
0
4
1
2
3
t/h
s/km
乙
甲
100
80
60
由題意得：甲的圖象經過(0，0)、(2，30);
乙的圖象經過(0，100)、(1，80).
由圖象可知，無法準確讀出交點P的橫坐標，
因此小明的方法求出的結果不準確.
用圖象法可以解決問題.
問題：小明的方法求出的結果準確嗎？
小亮
新課講授
對于乙，s是t的一次函數，可設 s=kt+b.當t=0時，s=100；當t=1時，s=80.將它們分別代入s=kt+b中，可以求出k，b的值，即可以求出乙中s與t之間的函數表達式.同樣可以求出甲的s與t之間的函數表達式，再聯立這兩個表達式，求解方程組就行了！
你能幫她求出甲和乙的函數表達式嗎？
由題意易得甲的函數表達式為s=15t.
解：將t=0，s=100；t=1，s=80
分別代入s=kt+b中，
得????????????=????????????=????+????,
解得????=?????????????=????????????
∴乙的函數表達式為s=-20t+100.
?
解方程組????=?????????????+????????????????=????????????得????=????????????????????=????????????
?
∴經過????????????h兩人相遇.
?
用二元一次方程組可以解決問題.
小明
新課講授
1 時后乙距A地 80千米,即乙的速度是20千米/時，2 時后甲距A 地 30千米,故甲的速度是15千米/時，由此可以求出甲、乙兩人的速度和……
設同時出發后t小時相遇，則15t+20t=100
∴經過????????????h兩人相遇.
?
解得t=????????????.
?
利用一元一次方程可以解決問題.
小穎
新課講授
知識歸納
1.在上面的問題中，用畫圖象的方法可以直觀地獲得問題的結果，但有時卻難以獲得問題的準確結果.
2.為了獲得準確的結果，我們一般用代數方法.
想一想：在以上的解題過程中你受到什么啟發？
新課講授
例：某長途汽車客運站規定，乘客可以免費攜帶一定質量的行李，但超過該質量則需購買行李票，且行李費y（元）是行李質量x（kg）的一次函數．已知李明帶了60kg的行李，交了行李費5元；張華帶了90kg的行李，交了行李費10元．
（1）寫出y與x之間的函數表達式；
（2）旅客最多可免費攜帶多少千克的行李？
分析：（1）因為行李費y（元）是行李質量x（kg）的一次函數，所以可以設其函數表達式為y=kx+b，將x=60,y=5和x=90,y=10代入解二元一次方程組即可求出k和b的值.
（2）令y=0，即可求出旅客最多可免費攜帶行李的千克數.
x=60,y=5;
x=90,y=10.
新課講授
解：（1）設y=kx+b，
所以旅客最多可免費攜帶30千克的行李．
根據題意，得????=????????????+????, ①????????=????????????+????. ②
?
②-①，得 30k=5,
k=????????.
?
將 k=????????代入①，得 b=-5.
?
所以 y=????????x-5.
?
（2）令y=0，即????????x-5=0，解得x=30；當x＞30時，y＞0.
?
新課講授
知識歸納
先設出函數表達式，再根據所給條件確定表達式中未知的系數，從而得到函數表達式的方法，叫做待定系數法.
待定系數法：
學以致用
1.已知一次函數的圖象過點(3，5)與(-4，-9)，求這個一次函數的解析式．
解：設這個一次函數的解析式為y=kx+b.
3k+b=5，
-4k+b=-9，

把點（3，5）與（-4，9）分別代入，得：
解方程組得
b=-1.

k=2，
∴這個一次函數的解析式為y=2x-1.
新課講授
方法歸納
1.用含字母的系數設出一次函數的表達式(例如y=kx+b).
2.將已知條件代入上述表達式中得k，b的二元一次方程組.
3.解這個二元一次方程組得k，b的值.
4.將k，b的值代回，寫出一次函數的表達式.
利用二元一次方程組求一次函數表達式的一般步驟：
新課講授
2.如圖 所示，過點A的一次函數的圖象與正比例函數y= 2x 的圖象相交于點 B則這個一次函數的表達式是（ ）
A.y = 2x+3 B.y=x-3
C.y=2x-3 D.y =-x+3
D
新課講授
做一做：已知函數 y=2x+b的圖象經過點(a，7)和(－2，a)，求這個函數的表達式.
解：把點(a，7)和(-2，a)的坐標代入y=2x+b中，得
????????+????=????,?????+????=????,
?
解得????=????,????=????.
所以這個函數的表達式為y=2x-5.
?
典例分析
例1：右圖中的兩條直線l1,l2的交點坐標可以看做方程組 的解.
????+????=?????????????????=?????
?
分析：直線l1,l2的交點坐標為（1，3），即為以兩直線的函數表達式組成的方程組的解.因此，利用待定系數法，分別設出直線l1,l2的函數表達式，代入已知點的坐標，列出二元一次方程組即可求出直線l1,l2的函數表達式.
典例分析
例2：在某個范圍內,某產品的購買量y(單位:kg)與單價x(單位:元)之間滿足一次函數,若購買1000kg,單價為800元;若購買2000kg,單價為700元.若一客戶購買400kg,單價是多少?
解:設購買量y與單價x的函數解析式為y=kx+b，
∵當x=1000時 y = 800;當x=2000時y = 700，
∴
800k + b = 1000
700k + b = 2000
｛
因此,購買量y與單價x的函數解析式為 y =-10x + 9000
當 y = 400時得， -10 x + 900 =400,
∴ x =860.
答:當客戶購買400kg,單價是860元.
解得:
k=-10
b =900
｛
學以致用
1.已知直線y=kx+b經過（1，-1）,（-2，-7）兩點，則k-2b的值為（ ）.
A.-8 B.-16 C.-4 D.8
D
2.如圖所示，已知A地在B地正南方3 千米處,甲乙兩人同時分別從A，B兩地向正北方向勻速直行,他們行走的路程s(千米)與所用的時間t(小時)之間的函數關系分別如圖中的射線OC和ED所示，當他們行走4小時后他們之間的距離為 千米.
3
學以致用
4.李老師開車從甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）與行駛里程x(千米)之間是一次函數關系，其圖象如圖 所示，那么到達乙地時油箱剩余油量是 升.
20
3.星期天,小明上午8:00從家里出發,騎車到圖書館去借書,再騎車回到家.他離家的距離y(千米)與時間t(分鐘)的關系如圖所示，則上午8:45小明離家的距離是
千米.
1.5
學以致用
5.在彈性限度內，彈簧的長度 y(cm) 是所掛物體質量 x(kg)的一次函數，當所掛物體的質量為 1kg 時，彈簧長 15 cm;當所掛物體的質量為3kg時，彈簧長 16 cm.寫出y與x之間的關系式，并求當所掛物體的質量為 4kg 時彈簧的長度.
解：設y與x之間的關系式為y=kx+b.
k+b=15，
3k+b=16，

則：
解方程組得
b=14.5.

k=0.5，
∴y=0.5x+14.5.
當x=4時，y=0.5×4+14.5=16.5（cm）.
學以致用
6.甲、乙兩地相距300km,一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發駛向乙地.如圖 所示,線段OA表示貨車離甲地的距離y(km)與時間x(h)之間的函數關系，折線BCDE表示轎車離甲地的距離y(km)與時間x(h)之間的函數關系.根據圖象,解答下列問題:
(1)線段CD表示轎車在途中停留了 h;
(2)求線段DE對應的函數表達式；
0.5
(2)設直線DE的表達式為y= kx+b,
因為點D(2.5,80),E (4.5,300)在直線DE上,將兩點的標分別代入y=kx+b中,
得????.????????+????=????????,????.????????+????=????????????,解得????=????????????,????=?????????????.
所以y=110x-195.
所以線段DE對應的函數表達式為y=110x-195(25≤x≤4.5).
?
學以致用
(3)求轎車從甲地出發后經過多長時間追上貨車.
(3)設直線OA的表達式為y=mx,
因為點A(5,300)在直線y=mx上,將其坐標代入表達式得300=5m,解得m=60,所以y=60x.
解方程組????=?????????????????????????????,????=????????????,得????=????.????,????=????????????.
所以3.9-1=2.9 (h)
答:轎車從甲地出發后經過2.9h追上貨車.
?
學以致用
7.如圖所示，l1,l2分別表示兩個一次函數的圖象,它們相交于點P.
(1)求出兩條直線l1,l2的表達式;
(2)點P的坐標可看作是哪個二元一次方程組的解?
(3)求出圖中ΔAPB的面積.
解:(1)設直線l1的表達式是y= kt+b,已知l1經過點(0,3)，(1,0),
可得????=????????+????=????,解得????=??????=?????.
則直線l1的表達式是y=-3x+3.
同理可得直線l2的表達式是y=x-2.
?
(2)點P的坐標可看作是二元一次方程組????=?????????+????????=?????????的解.
?
(3)由(1)(2)可得A(0,3),B(0,-2),P(????????,?????????),則SΔAPB=?????????????????????????=????????×????×????????=????????????.
?
課堂小結
應用二元一次方程組確定一次函數表達式
步驟
待定系數法
先設出函數表達式，再根據所給條件確定表達式中未知的系數，從而得到函數表達式的方法，叫做待定系數法.
1.用含字母的系數設出一次函數的表達式(例如y=kx+b).
2.將已知條件代入上述表達式中得k，b的二元一次方程組.
3.解這個二元一次方程組得k，b的值.
4.將k，b的值代回，寫出一次函數的表達式.
作業布置
教材第132，133頁習題5.4第5，6，7題.
感謝聆聽

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