資源簡介

新課標 北師大版
八年級上冊
6.1第3課時 數據的離散程度（1）
第六章
數據的分析
學習目標
1.理解離差平方和、方差、標準差的概念.（重點）
2.理解方差、標準差的意義，會用樣本方差、標準差估計總體的方差、標準差．（重點、難點）
新課引入
1.什么是平均數，什么是眾數，什么是加權平均數？
一組數據中所有數據之和除以這組數據的個數就得到這組數據的平均數，一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的眾數.若n個數x1,x2,…,xn的權數分別是w1,w2,…,wn,那么這n個數的加權平均數為
新課引入
我們知道，接受檢閱的儀仗隊必須精挑細選，整齊劃一，所以特注重隊員的身高．下面有兩組儀仗隊，準備抽取其中一組參與檢閱．已知這兩組儀仗隊隊員的身高（單位：cm）如下：
甲隊
178
177
179
178
178
177
178
178
177
179
乙隊
178
177
179
176
178
180
180
178
176
178
乙隊
甲隊
你認為哪支儀仗隊更為整齊？你是怎么判斷的？
核心知識點一
探究學習
離差平方和、方差與標準差
甲與丁每次的射擊成績如圖所示，他們的平均成績都是8環，兩個人的射擊表現一樣嗎？你對甲、丁的射擊表現有什么評價？
(1)你覺得誰發揮得更穩定？你的理由是什么？
(2)你能設法通過計算說明兩人成績的穩定程度嗎？
分析：學生觀察圖表，討論甲和丁的成績分布特點（如最高環數、最低環數、波動情況）.
通過上節課的學習我們發現甲和丁平均數相同，但數據波動程度不同，在實際生活中，除了關心數據的集中趨勢外，人們往往還關注數據的離散程度，即它們相對于集中趨勢的偏離情況.?在統計學里，數據的離散程度可以用離差平方和、方差或標準差等統計量來刻畫.
離差平方和是各個數據與它們平均數之差的平方和，即
方差(variance)是各個數據與平均數之差的平方的平均數，
其中，????是????1，????2…，????????的平均數，而標準差而標準差(standard deviation)則是方差的算術平方根，一般而言，一組數據的方差或標準差越小，這組數據就越穩定.
?
使用科學計算器可以很方便地計算一組數據的標準差，大致步驟是：進入統計計算狀態，輸入數據，按鍵得出標準差.
例1.計算圖中甲射擊成績的標準差（結果精確到0.01環）.
解：
????=1136+7×3+8×5+9×3+10=8.
?
????2
?
=1413≈1.04.
?
所以，甲射擊成績的標準差約為1.04環.
思考.交流
(1)計算圖中丙射擊成績的方差，并對甲、丙的射擊成績進行比較.
分析:計算甲和丙的方差,方差越小越穩定.甲、丙的射擊成績進行比較從平均數、眾數，穩定性，高分情況來分析.
解：????丙=????????????（6+7+8×2+9×6+10×3）≈8.69.
?
而甲的方差為1.04.故甲的射擊成績較穩定.但丙的平均成績較好一些，同時丙的射擊成績9環以上的有9次.若參加比賽丙更適合一些.
(2)丁又進行了幾次射擊，這時，他所有射擊成績的平均數沒變，但方差變小了。你認為丁后面幾次射擊的成績有什么特點？
平均數是指所有射擊成績的總和除以射擊次數。如果平均數不變，說明丁的后續射擊成績與之前的成績總體上保持了一致的水平，方差變小可能意味著丁在訓練中提高了穩定性，減少了隨機誤差.故丁的后續射擊成績在保持原有平均水平的同時，表現得更加穩定和一致.
1.在解決實際問題時,方差可以反應數據的波動大小,方差越大,數據的波動越大;方差越小,數據的波動越小.可以用樣本的方差估計總體的方差,但不能認為方差越小就表示這組數據越好,而是認為方差越小表示這組數據越穩定,至于數據的好壞,則要根據具體的情況進行具體分析.
2.運用方差解決實際問題的一般步驟:
(1)計算數據樣本平均數.
(2)兩組數據的平均數相等或相近時,利用樣本方差來估計總體數據的波動情況.
(3)在實際應用中,不是數據越穩定就越好,要根據實際情況進行具體分析.
總結歸納
隨堂練習
1.一組數據a,b,c,d,e,f,g的平均數是m,方差是n,則另一組數據3a-2,3b-2,3c-2,3d-2,3e-2,3f-2,3g-2的平均數和方差分別是 (　　)
A.3,3n-2 B.3m-2,n
C.m-2,3n D.3m-2,9n
D
2.在某中學舉行的演講比賽中,初一年級5名選手的成績如下表所示,則這5名選手成績的方差為 (　　)
選手
1號
2號
3號
4號
5號
平均成績
得分
90
95
■
89
88
91
A.2 B.6.8 C.34 D.93
B
3. 甲、乙兩人在相同的條件下,各射擊10次,經計算:甲射擊成績的平均數是8環,方差是1.1;乙射擊成績的平均數是8環,方差是1.5.下列說法中不一定正確的是 (　　)
A.甲、乙的總環數相同
B.甲的成績比乙的成績穩定
C.乙的成績比甲的成績波動大
D.甲、乙成績的眾數相同
D
4.一次學科測驗，學生得分均為整數，滿分為10分，成績達到6分以上(包括6分)為合格，成績達到9分以上(包括9分)為優秀，這次測驗中甲、乙兩組各12名學生成績分布的條形統計圖如圖所示.
(1)請補全下面的統計表：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平均數/分
方差
中位數/分
合格率
優秀率
甲組
6.9
2.4
7
91.7％
16.7％
乙組
7
1.3
7
83.3％
8.3％
7
7
(2)甲組學生說他們的合格率、優秀率均高于乙組，所以他們的成績好于乙組，但乙組學生不同意甲組學生的說法，認為他們組的成績要好于甲組，請你給出兩條支持乙組學生觀點的理由.
解：(2)(答案不唯一)
①因為乙組學生的平均成績高于甲組學生的平均成績，所以乙組學生的成績好于甲組；
②因為甲、乙兩組學生成績的平均數相差不大，而乙組學生的方差小于甲組學生的方差，說明甲、乙兩組學生的水平相當，乙組學生成績的波動性比甲組小，所以乙組學生的成績好于甲組.
課堂小結
方差
概念
方差是各個數據與平均數差的平方的________
公式
___________________________________
其中，x是x1，x2，…，xn的平均數，s2是方差
標準差
概念
標準差就是方差的____________
公式
_________________________________________
平均數
算術平方根
謝謝聆聽

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