資源簡介

新課標 北師大版
八年級上冊
6.1第4課時 數據的離散程度（2）
第六章
數據的分析
學習目標
1．通過更為豐富的例子，讓學生較為全面地理解方差及其在現實生活中的應用。
2．通過實例，讓學生體會數據的離散程度在現實生活中廣泛存在，應視情況分析方差或標準差對于問題的影響。
新課引入
1.數學上，數據的離散程度可以用 或 來刻畫.
2.一般而言,一組數據的極差、方差或標準差越小,這組數據就越 .
（1）方差是各個數據與 的平均數，即
平均數之差的平方
（3）標準差s就是方差的 .
穩定
方差
標準差
算術平方根
其中，????是????1,????2,???,????????的平均數，????2是方差.
?
新課引入
在統計學中，除了平均數、中位數、眾數這類刻畫數據集中趨勢的量以外，還有一類刻畫數據波動(離散)程度的量，其中最重要的就是方差. 本節我們將繼續在實際問題情境中，了解方差的統計意義并運用方差解決問題.
核心知識點一
探究學習
方差的應用
某日，A，B兩地的氣溫變化如下圖示：
1.不計算,說說A,B兩地這一天氣溫的特點;
A地的日溫差較大,B地的日溫差較小,
但平均氣溫相近.
2.分別計算這一天A,B兩地氣溫的平均數和方差,與你剛才的看法一致嗎?
A地24時氣溫(單位: ℃)分別是18,17.5,17,16,16.5,18,19,20.5, 22,23,23.5, 24,25,25.5, 24.5,23,22,20.5,20,19.5, 19.5, 19,18.5,18.
B地24時氣溫(單位: ℃)分別是20,19.5,19,18,19,19.5,20.5,22,22.5, 23,23, 23.5,24,24,23,22.5,22.5,22,21.5,21,21.5, 20.5,20.5,20.
????A=124(18+17.5+…+18)≈20.42(℃);
?
????B=124(20+19.5+…+20)≈21.35(℃);
?
????A2≈124[(18-20.42)2+…+(18-20.42)2]≈7.76;
?
????B2≈124[(20-21.35)2+…+(20-21.35)2]≈2.78.
?
A,B兩地平均氣溫相近,但A地日溫差較
大,B地日溫差較小,因此與剛才看法一致.
2.分別計算這一天A,B兩地氣溫的平均數和方差,與你剛才的看法一致嗎?
從折線統計圖獲取信息,分析兩組數據的穩定性.折線波動幅度大的方差大,折線波動幅度小的方差小,方差小的一組數據較穩定.
是不是方差越小就表示這組數據越好呢？
例：某校從甲、乙兩名跳遠運動員中選一人參加一項比賽。在最近的10次選拔賽中，他們的成績(單位:cm)如下：
{9216701D-D16B-4A1A-8D72-D9B34CDA9610}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
選手甲的成績（cm）
585
596
610
598
612
597
604
600
613
601
選手乙的成績（cm）
613
618
580
574
618
593
585
590
598
624
{9216701D-D16B-4A1A-8D72-D9B34CDA9610}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
選手甲的成績（cm）
585
596
610
598
612
597
604
600
613
601
選手乙的成績（cm）
613
618
580
574
618
593
585
590
598
624
-5
-4
+10
-2
+12
-3
+4
0
+13
+1
+13
+18
-20
-26
+12
-7
-15
-10
-2
+24
（1）他們的平均成績分別是多少？
估計一個值600
變量值與600差
甲＝
乙＝
(-5-4+10-2+12-3+4+0+13+1)÷10+600=1.6+600=601.6
(13+18-20-26+12-7-15-10-2+24)÷10+600=-0.7+600=599.3
{9216701D-D16B-4A1A-8D72-D9B34CDA9610}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
選手甲的成績（cm）
585
596
610
598
612
597
604
600
613
601
選手乙的成績（cm）
613
618
580
574
618
593
585
590
598
624
(2)甲、乙這10次比賽成績的方差分別是多少?
×[(585－601.6)2＋……＋(601－601.1)2]＝65.84
s2甲＝
s2乙=
×[(613－599.3)2＋……＋(624－599.3)2]＝284.21
{9216701D-D16B-4A1A-8D72-D9B34CDA9610}
1
2
3
4
5
6
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9
10
選手甲的成績（cm）
585
596
610
598
612
597
604
600
613
601
選手乙的成績（cm）
613
618
580
574
618
593
585
590
598
624
(3)這兩名運動員的運動成績各有什么特點？
∵????甲＞????乙，s2甲 ＜s2乙，
∴甲的成績較穩定.
但乙的最好成績超過甲的最好成績.
?
{9216701D-D16B-4A1A-8D72-D9B34CDA9610}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
選手甲的成績（cm）
585
596
610
598
612
597
604
600
613
601
選手乙的成績（cm）
613
618
580
574
618
593
585
590
598
624
(4)歷屆比賽成績表明,成績達到5.96 m就很可能奪冠,你認為為了奪冠應選誰參加這項比賽?如果歷屆比賽成績表明,成績達到6.10 m就能打破紀錄,那么你認為為了打破紀錄應選誰參加這項比賽呢?
{9216701D-D16B-4A1A-8D72-D9B34CDA9610}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
選手甲的成績（cm）
585
596
610
598
612
597
604
600
613
601
選手乙的成績（cm）
613
618
580
574
618
593
585
590
598
624
解:為了奪冠應選甲參賽,因為10次比賽中,甲有9次達到5.96 m,而乙只有5次;
為了打破紀錄應選乙參賽,因為乙的成績超過6.10 m的有4次,比甲的次數多.
總結歸納
方差越小表示這組數據越穩定，但依據統計量進行數據的分析,比較和判斷的時候,依據不同的統計量,得到的結果不一定相同,不要認為方差小的成績就好,應根據實際問題進行分析推斷.
①先計算數據的平均數；
②根據公式計算方差；
③根據方差大小作出判斷.
利用方差的大小判斷數據穩定性的步驟：
10個蘋果的直徑如圖所示.
思考.交流
例3.按照“組內離差平方和達到最小”的方法，把圖6-6中的10個蘋果按直徑大小分成兩組.
（1）若想把這10個蘋果分成兩組，使每組蘋果的“個頭”差不多，你不想怎么分？說說你分組的理由.
（2）一般情況下，如果想把一組數據分成若干組，使每組組內的數據差距不大，且組與組之間的數據差別明顯，那么你認為應遵循怎樣的分組原則？
分析 :在統計學里，分組的方法有很多，其中較常用的方法是使“組內離差平方和達到最小”.多組數據的組內離差平方和是指每組數據的離差平方和的和.
問1：將10個數據由小到大排序，然后分成兩組共有多少種分組方法？
共有9種分組方法：
第一組1個（65），第二組9個（69, 70, 75, 76, 76, 78, 80, 80, 81）；
第一組2個（65,69），第二組8個（ 70, 75, 76, 76, 78, 80, 80, 81）；
第一組3個（65,69, 70），第二組7個（75, 76, 76, 78, 80, 80, 81）；
第一組4個（65,69, 70, 75），第二組6個（76, 76, 78, 80, 80, 81）；
第一組5個（65,69, 70, 75, 76），第二組5個（ 76, 78, 80, 80, 81）；
第一組6個（65,69, 70, 75, 76, 76），第二組4個（ 78, 80, 80, 81）；
第一組7個（65,69, 70, 75, 76, 76, 78），第二組3個（ 80, 80, 81）；
第一組8個（65,69, 70, 75, 76, 76, 78, 80,），第二組2個（80, 81）；
第一組9個（65，69, 70, 75, 76, 76, 78, 80, 80,），第二組1個（81）.
提示：如第一組2個數據（65，69），這兩個數據的平均數為67.故第一組數據的組內離差平方和為：
S1=（65-67）2+（69-67）2=8.
第二組有8個數據，這8個數據的平均數為77，故這個組的組內離差平方和為：
S2=（70-77）2+（75-77）2+（76-77）2×2+（78-77）2+（80-77）2×2+（81-77）2=90.
因此第二種分組情況的組內離差平方和為：
S=S1+S2=8+90=98.
問2：分別計算出每種分組方法的組內數據的組內離差平方和.
全班同學分成8個小組，同理計算出其他8種分組情況的組內離差平方和.
問3：哪一種分組情況離差平方和最小.
計算表明第3種分組情況（第一組3個，第二組7個）的組內離差平方和最小，因此將10個蘋果按直徑大小分成的兩組是{65, 69, 70}和{75, 76, 76, 78, 80, 80, 81}.
歸納：分組優化問題的步驟
1.數據排序：確保從小到大排列.
2.計算各種分組情況的離差平方和.
3.選擇關鍵分割點：優先檢查中間及相鄰差值較大的位置.
4.簡化計算：僅需計算3-4個分割點即可確定最優解，減少工作量.
通過理解數據分布特性并靈活應用上述步驟，學生可高效解決此類分組優化問題.
1.某排球隊6名場上隊員的身高(單位：cm)分別是：180，
184，188，190，192，194，現用一名身高為186 cm的隊
員換下場上身高為192 cm的隊員，與換人前相比，場上隊
員的身高(　A　)
A
A. 平均數變小，方差變小
B. 平均數變小，方差不變
C. 平均數變大，方差變小
D. 平均數變大，方差不變
隨堂練習
2.已知一組數據 x1， x2， x3， x4， x5的平均數是4，方差是
6，則3 x1＋4，3 x2＋4，3 x3＋4，3 x4＋4，3 x5＋4的平均
數和方差分別為(　D　)
A. 4，6
B. 16，6
C. 4，22
D. 16，54
D
3.某學校對八年級(1)(2)兩個班級的學生進行了一次數學測
試，兩個班級前5名的成績(滿分：100分)分別是：
八(1)班：92分，86分，85分，85分，77分；
八(2)班：92分，89分，85分，85分，79分.
兩個班級前5名的成績的有關統計數據如下表.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平均分/分
中位數/分
眾數/分
方差/分2
八(1)班
85
b
c
22.8
八(2)班
a
85
85
19.2
(1) a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ?；
點撥： a ＝ 92+89+85+85+795 ＝86，
八(1)班前5名的成績按從小到大的順序排列為77分，
85分，85分，86分，92分，
?
所以 b ＝85， c ＝85.
86　
85　
85　
請解決下面問題：
(2)根據統計數據，說明哪個班級前5名的整體成績較好.
解：因為八(2)班前5名的成績的平均分大于八(1)班，而方差小于八(1)班，所以八(2)班前5名的平均成績比八(1)班好，且成績更穩定.所以八(2)班前5名的整體成績較好.
4.某班10名學生數學成績（已排序）為：62, 65, 68, 72, 75, 78, 80, 85, 88, 92.若需將學生分為兩個組，使每組內成績波動最小，應如何分組？
解：將前5名學生（62, 65, 68, 72, 75）分入第一組，后5名學生（78, 80, 85, 88, 92）分入第二組.（計算過程略）
5.如今，綠色輕簡化突破性水稻新品種成為糧食培育發展的方向，某水稻試驗基地為研究出優質高效、綠色輕簡的水稻新品種，引進了甲、乙兩種水稻良種，并同時在6塊試驗田進行播種培育，其產量(kg/畝)如下表所示：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}試驗田編號
①
②
③
④
⑤
⑥
甲
570
565
535
534
520
515
乙
550
540
550
540
545
515
現對甲、乙兩種水稻良種糧食產量數據分析如下：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}統計量
平均數(kg/畝)
中位數(kg/畝)
方差
甲
539.8
534.5
435.1
乙
540.0
m
141. 7
根據上述信息，解答下列問題：
(1)甲種水稻的試驗田中，產量超過534.5 kg/畝的占比為 ％.
50　
(2)求表格中的 m 及乙種水稻產量的眾數.
解：(2)將乙種水稻6塊試驗田的水稻產量(kg/畝)從低到高排列為515，540，540，545，550，550，處在最中間的兩個數據分別為540，545，所以 m ＝ 540+5452 ＝542.5.因為乙種水稻產量中，數據540和550都出現了兩次，出現的次數都最多，所以乙種水稻產量的眾數為540 kg/畝和550 kg/畝.
?
(3)如果你是水稻培育員，要在這兩種水稻良種中選擇更具有
培育前景的一種，你會選擇哪一種？為什么？
解：(3)選擇乙.理由如下：
從平均數來看，乙的平均數比甲的高，說明乙的產量比甲的高；從方差來看，乙的方差比甲小，說明乙的產量穩定性更好，所以應該選擇乙.
課堂小結
數據的離散程度2
分組優化問題
步驟：①數據排序；
②計算各種分組情況的離差平方和；
③根據離差平方和的大小作出判斷.
利用方差的大小判斷數據穩定性
步驟：①先計算數據的平均數；
②根據公式計算方差；
③根據方差大小作出判斷.
謝謝聆聽

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