資源簡介

（基礎）四年級同步個性化分層作業8.1.1數字問題
一．選擇題（共3小題）
1．（2024秋 坪山區期末）如果三位數的中間位置的數字大于其首位數字與末位數字之和，我們就將其稱為友好三位數。那么連續的友好三位數最多可能有（　?。﹤€。
A．5 B．6 C．7 D．8
E．9
2．（2024 嘉定區模擬）1×2×3×4×……×2007×2008的運算結果末尾有多少個連續的0。（　?。?br/>A．100 B．300 C．500 D．700
3．（2024春 黃島區期中）從1寫到100，寫了（　?。﹤€8。
A．9個 B．10個 C．20個
二．填空題（共3小題）
4．（2025春 高青縣期中）從1到100，一共寫了 　 　 個“7”。
5．（2024 渝北區）由四個互不相同的非零數字組成的沒有重復數字的所有四位數之和為106656，則這些四位數中最大的是 　 　 。
6．（2024春 萊陽市期中）從1寫到100，一共寫了 　 　 個1，　 　 個0。
三．判斷題（共3小題）
7．（2025春 沂源縣期中）從1寫到100，一共寫了21個8。 　 　
8．（2024春 沂源縣期中）從1寫到100一共寫出了20個1。　 　
9．（2010 慈溪市校級自主招生）從1991到5678的自然數中，十位上的數字與個位上的數字相同的數共有369個．…　 　 ．
四．應用題（共1小題）
10．（2024 渝北區）已知一個三位自然數，若滿足百位數字等于十位數字與個位數字的和，則稱這個數為“和數”，若滿足百位數字等于十位數字與個位數字的平方差，則稱這個數為“諧數”。如果一個數既是“和數”，又是“諧數”，則稱這個數為“和諧數”。例如321，∵3＝2+1，∴321是“和數”；∵3＝22﹣12，∴321是“諧數”；∴321是“和諧數”。
（1）證明：任意“諧數”的各個數位上的數字之和一定是偶數；
（2）已知a＝10m+4n+716（0≤m≤7，1≤n≤3，且m、n均為正整數）是一個“和數”，請求出所有a的值。
（基礎）四年級同步個性化分層作業8.1.1數字問題
參考答案與試題解析
一．選擇題（共3小題）
題號 1 2 3
答案 D C C
一．選擇題（共3小題）
1．（2024秋 坪山區期末）如果三位數的中間位置的數字大于其首位數字與末位數字之和，我們就將其稱為友好三位數。那么連續的友好三位數最多可能有（　?。﹤€。
A．5 B．6 C．7 D．8
E．9
【考點】數字問題．
【專題】壓軸題；運算能力．
【答案】D
【分析】三位數的中間位置的數字大于其首位數字與末位數字之和，要使連續的友好三位數個數最多，首位數字應是1，中間數字是9，則末位數字可以是0到7，據此解答。
【解答】解：通過分析可得連續的友好三位數最多是190、191、192、193、194、195、196、197，共8個。
答：連續的友好三位數最多可能有8個。
故選：D。
【點評】本題考查了位值原理與數字問題的綜合運用。
2．（2024 嘉定區模擬）1×2×3×4×……×2007×2008的運算結果末尾有多少個連續的0。（　　）
A．100 B．300 C．500 D．700
【考點】數字問題．
【專題】壓軸題；應用意識．
【答案】C
【分析】根據題意，因為每一個5與每一個2相乘等于一個10即可得到末尾1個0，那么可利用分解質因數的方法將1到2008這些數中共含有幾個因數5、幾個因數2，因為分解質因數后2的個數要遠遠大于5的個數，所以有幾個5就能形成幾個10，也就是所求的幾個0了，進行計算即可得到答案。
【解答】解：在1﹣2008中，
是5的倍數的有：2008÷5＝401（個），余數省略；
是25的倍數的有：2008÷25＝80（個），余數省略；
是125的倍數的有：2008÷125＝16（個），余數省略；
是625的倍數的有：2008÷625＝3（個），余數省略，
所以5出現的次數就是401+80+16+3
＝481+16+3
＝500（次）
所以在1至2009個數中共有500個因數5出現，
那么1×2×3×……×2007×2008積的末尾會有500個0出現。
答：1×2×3×……×2007×2008積的末尾連續的0會有500個。
故選：C。
【點評】本題考查了數字問題的靈活運用。
3．（2024春 黃島區期中）從1寫到100，寫了（　　）個8。
A．9個 B．10個 C．20個
【考點】數字問題．
【專題】壓軸題；應用意識．
【答案】C
【分析】根據題意，個位是8的數有10個，十位是8的有10個，然后把個數相加即可。
【解答】解：10+10＝20（個）
答：從1寫到100，一共寫了20個“8”。
故選：C。
【點評】本題主要考查數字問題，關鍵注意8在哪個數位上。
二．填空題（共3小題）
4．（2025春 高青縣期中）從1到100，一共寫了 　20　 個“7”。
【考點】數字問題．
【專題】壓軸題；運算能力．
【答案】20。
【分析】7出現在個位次數：7，17，27……97，共10個，7出現在十位次數：70，71，72……79，共10個，據此解答。
【解答】解：10+10＝20（個）
答：從1寫到100，一共寫了20個“7”。
故答案為：20。
【點評】按個位和十位分別出現7的情況討論，不容易出現重復和遺漏現象。
5．（2024 渝北區）由四個互不相同的非零數字組成的沒有重復數字的所有四位數之和為106656，則這些四位數中最大的是 　9421　 。
【考點】數字問題．
【專題】壓軸題；應用意識．
【答案】9421。
【分析】設四個互不相同的非零數字是a、b、c、d，根據排列組合知識可得：每個數字在每個數位上都計算了1×3×2×1＝6（次），所以沒有重復數字的所有四位數之和為6×（a+b+c+d）×1111＝106656，然后進一步推斷這些四位數中最大的是幾。
【解答】解：設四個互不相同的非零數字是a、b、c、d，根據題意可得：
6×（a+b+c+d）×1111＝106656
解得：a+b+c+d＝16
要使這個四位數最大，千位數字是9，個位數字是1，16﹣9﹣1＝6，6＝4+2，所以這些四位數中最大的是9421。
故答案為：9421。
【點評】本題考查了極值問題與數位知識的綜合運用。
6．（2024春 萊陽市期中）從1寫到100，一共寫了 　21　 個1，　11　 個0。
【考點】數字問題．
【專題】壓軸題；應用意識．
【答案】21；11。
【分析】要求一共寫了幾個1或0，只需分別求出十位上有1或0的數有幾個和100中有幾個1或0即可。
【解答】解：個位上1的數字是：1、11、21、31、41、51、61、71、81、91，共10個數；
十位上1的數字是：10、11、12、13、14、15、16、17、18、19，共10個數；
百位上1的數字是：100，1個數；
一共有：10+10+1＝21（個）。
從1到100中有0的數字有：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100，共11個0。
答：從1寫到100，一共寫了21個1，11個0。
故答案為：21；11。
【點評】本題主要考查了數字問題，關鍵是正確列舉，不要遺漏。
三．判斷題（共3小題）
7．（2025春 沂源縣期中）從1寫到100，一共寫了21個8。 　×　
【考點】數字問題．
【專題】應用意識．
【答案】×。
【分析】根據題意，寫出1到100中含有“8”的數，8、18、28、38、48、58、68、78、88、98、80、81、82、83、84、85、86、87、89，這里需要注意88里面書寫了2個8，據此解答。
【解答】解：從1寫到100，一共寫了20個8，不是21個8，即原題說法錯誤。
故答案為：×。
【點評】本題考查了數字問題的應用。
8．（2024春 沂源縣期中）從1寫到100一共寫出了20個1?！　痢?br/>【考點】數字問題．
【專題】壓軸題；推理能力．
【答案】×
【分析】分別寫出個位、十位、百位上1的數字，數一數一共有幾個，就寫了幾個“1”。
【解答】解：個位上1的數字是：1、11、21、31、41、51、61、71、81、91，共10個數；
十位上1的數字是：10、11、12、13、14、15、16、17、18、19，共10個數；
百位上1的數字是：100，1個數。
一共有：10+10+1＝21（個）。
即一共寫了21個“1”，所以原題說法錯誤。
故答案為：×。
【點評】本題主要考查了數字問題，明確要求寫了幾個“1”就是數一數個位、十位、百位上1的數字一共有多少即可，注意，重復的數字不用減掉。
9．（2010 慈溪市校級自主招生）從1991到5678的自然數中，十位上的數字與個位上的數字相同的數共有369個．…　√　 ．
【考點】數字問題．
【答案】見試題解答內容
【分析】1999算一個．從0到99里，共有10個這樣的數字（00算一個，比如2000）．那么，從0到999就有10×10個．那么，從2000到2999，從3000到3999，4000到4999，一共有300個．從5000到5678共有68個，再加上1999，所以共有300+68+1＝369個．
【解答】解：1991～1999，有一個；
由于從0到99里，共有10個這樣的數字，
所以從0到999就有10×10＝100（個），
則從2000～4999共有：100×3＝300（個）這樣的數字；
從5000到5678共有68個；
則從1991到5678的自然數中，十位上的數字與個位上的數字相同的數共有：
1+300+68＝369（個）．
故答案為：√．
【點評】了解自然數的組合規律是完成本題的關鍵．
四．應用題（共1小題）
10．（2024 渝北區）已知一個三位自然數，若滿足百位數字等于十位數字與個位數字的和，則稱這個數為“和數”，若滿足百位數字等于十位數字與個位數字的平方差，則稱這個數為“諧數”。如果一個數既是“和數”，又是“諧數”，則稱這個數為“和諧數”。例如321，∵3＝2+1，∴321是“和數”；∵3＝22﹣12，∴321是“諧數”；∴321是“和諧數”。
（1）證明：任意“諧數”的各個數位上的數字之和一定是偶數；
（2）已知a＝10m+4n+716（0≤m≤7，1≤n≤3，且m、n均為正整數）是一個“和數”，請求出所有a的值。
【考點】數字問題．
【專題】壓軸題；應用意識．
【答案】（1）設“諧數”的百位上數字是x，十位上數字是y，個位上數字是z（1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9），
則x＝y2﹣z2＝（y+z）×（y﹣z），所以x+y+z＝（y+z）×（y﹣z）+y+z＝（y+z）×（y﹣z+1），因為（y+z）和（y﹣z）奇偶性相同，則（y+z）和（y﹣z+1）一奇一偶，所以（y+z）×（y﹣z+1）的結果是偶數，即（x+y+z）一定是偶數，所以任意“諧數”的各個數位上的數字之和一定是偶數。
（2）734或770。
【分析】（1）設“諧數”的百位上數字是x，十位上數字是y，個位上數字是z（1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9），利用“諧數”百位數字等于十位數字與個位數字的平方差，找出各個數位上數字之間的數量關系，由此解答本題；
（2）已知a＝10m+4n+716，則a＝7×100+10×（m+1）+（4n+6），利用“和數”百位數字等于十位數字與個位數字的和，找出m和n的數量關系，已知0≤m≤7，1≤n≤3，且m、n均為正整數，找出符合要求的a。
【解答】解：（1）設“諧數”的百位上數字是x，十位上數字是y，個位上數字是z（1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9），
則x＝y2﹣z2＝（y+z）×（y﹣z），所以x+y+z＝（y+z）×（y﹣z）+y+z＝（y+z）×（y﹣z+1），因為（y+z）和（y﹣z）奇偶性相同，則（y+z）和（y﹣z+1）一奇一偶，所以（y+z）×（y﹣z+1）的結果是偶數，即（x+y+z）一定是偶數，所以任意“諧數”的各個數位上的數字之和一定是偶數。
（2）已知a＝10m+4n+716，則a＝7×100+10×（m+1）+（4n+6），因為0≤m≤7，1≤n≤3，所以1≤m+1≤8，4≤4n≤12，則2≤m+2≤9，10≤4n+6≤18，所以a＝7×100+10×（m+1）+（4n+6）＝7×100+10×（m+2）+（4n+6﹣10）＝7×100+10×（m+2）+（4n﹣4），因為7＝m+2+4n﹣4，所以m+4n＝9，因為0≤m≤7，1≤n≤3，且m、n均為正整數，所以m＝1，n＝2或m＝5，n＝1，十位上數字是3或7，個位上數字是4或0，則a是734或770。
【點評】本題考查的是數字問題的應用。
考點卡片
1．數字問題
【知識點歸納】
1．數字問題的主要題型：
數字問題是研究有關數字的特殊結構、特殊關系以及數字運算中變換問題的一類問題，相對來說，難度較大．通常情況下題目會給出某個數各個位數關系，求這個數為多少．
2．核心知識
（1）數字的拆分
是將一個數拆分成幾個因數相乘或者相加的形式，經常需要綜合應用整除性質、奇偶性質、因式分解、同余理論等．
（2）數字的排列與位數關系
解答數字的排列與位數關系時，經常需要借助于首尾數法進行考慮、判斷，同時可以利用列方程法、代入法、假設法等一些方法，進行快速求解．
【命題方向】
?？碱}型：
例1：在1到400的整數中，至少能被3和5中的一個數整除的數有（　?。﹤€5．
A、213 B、187 C、133 D、80
分析：先求出400里面有幾個3，就是1﹣400中有多少個數能被3整除，再求出400里面有幾個5，就是1﹣400中有多少個數能被5整除；能同時倍3和5整除的數是15的倍數；求出400里面有多少個15，就是能同時被3和5整除的數，然后用3的倍數的個數加上5的倍數的個數然后減去15的倍數的個數即可．
解：1到400中能被3整除有：400÷3≈133（個）；
1到400中能被5整除有：400÷5＝80（個）；
1到400中既能被3也能被5整除有：400÷（3×5）≈26（個）；
在1到400的整數中，至少能被3和5中的一個數整除的數：133+80﹣26＝187（個）；
故選：B．
點評：本題要注意能同時被3和5整除的數，是重復計算的數字．
例2：自然數12321，90009，41014…有一個共同特征：它們倒過來寫還是原來的數，那么具有這種“特征”的五位偶數有　400　 個．
分析：倒過來寫還是原來的數，具有這種“特征”的五位偶數萬位和個位有2，4，6，8這4種選擇；千位和十位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10種選擇；百位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10種選擇．可以組成倒過來寫還是原來的數具有這種“特征”的五位偶數則有4×10×10＝400個．
解：根據分析，倒過來寫還是原來的數，具有這種“特征”的五位偶數有4×10×10＝400個．
答：具有這種“特征”的五位偶數有400個．
故答案為：400．
點評：根據這種數的特征，分析各對稱數位會出現的數字可能，把出現可能的種數相乘即可得這種特征數的個數．（進階）四年級同步個性化分層作業8.1.1數字問題
一．選擇題（共3小題）
1．（2025春 萊蕪區期末）從460到510中，數字8一共出現在（　?。﹤€數中。
A．5 B．10 C．14
2．（2024 武侯區校級模擬）在1～100這一百個數中，數字1出現了（　?。┐危?br/>A．10 B．11 C．21 D．20
3．（2024春 沈丘縣期中）已知三位數“4□1”正好是三個連續自然數的和，□里的數字可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空題（共3小題）
4．（2025春 東營期末）從10到20共有 　 　 個數字組成，其中“1”出現 　 　 次。
5．（2025春 東營期末）從1寫到100，要寫 　 　 個1，寫 　 　 個5。
6．（2025春 福山區期末）一年級3班共有52人，序號分別為1號、2號……52號，全班同學的序號中一共有 　 　 個數字“5”。
三．判斷題（共2小題）
7．（2021春 高青縣期末）從1寫到100，一共寫了20個5。 　 　
8．（2008 寧鄉縣）大于1的三個連續自然數中，一定有一個是3的倍數，至少有一個是偶數　 　 ．
四．應用題（共2小題）
9．（2022 江北區校級模擬）從敵方截獲了10組數據：14073，63136，29402，35862，84271，79558，42936，98174，50811，07145，破解人員知道這是一個五位數的密碼，每一組數據與這個密碼都只有一個數位上的數字相同，則這個密碼是多少？
10．（2020 沙坪壩區）有一個三位數，它的十位上的數字等于個位上的數字與百位上的數字之和；而個位上的數字與十位上的數字之和等于8；百位上的數字與個位上的數字互相調換后，所得的三位數比原數大99。求這個三位數。
（進階）四年級同步個性化分層作業8.1.1數字問題
參考答案與試題解析
一．選擇題（共3小題）
題號 1 2 3
答案 C C B
一．選擇題（共3小題）
1．（2025春 萊蕪區期末）從460到510中，數字8一共出現在（　　）個數中。
A．5 B．10 C．14
【考點】數字問題．
【專題】應用題；應用意識．
【答案】C
【分析】分類討論，按照個位、十位中“8”出現的次數，即可得出結論。
【解答】解：個位是數字“8”的有：468、478、488、498、508，共5個；
十位是數字“8”的有：480、481、482、483、484、485、486、487、488、489；共10個；
其中488重復了一次。
5+10﹣1＝14（個）
答：從460到510中，數字8一共出現在14個數中。
故選：C。
【點評】本題考查數字問題，考查分類討論的數學思想，關鍵是正確列舉。
2．（2024 武侯區校級模擬）在1～100這一百個數中，數字1出現了（　?。┐危?br/>A．10 B．11 C．21 D．20
【考點】數字問題．
【答案】C
【分析】本題可根據自然數的排列規律按數段進行分析：
1～9中，數字1出現了1次；10～19中，1出現了11次；20～99中，1出現了1×8＝8次，再加上100百位上的1，共出現了1+11+8+1＝21次．
【解答】解：1～9中，數字1出現了1次；
10～19中，1出現了11次；
20～99中，1出現了1×8＝8次；
100：1次．
共出現了：1+11+8+1＝21（次）．
答：數字1出現了21次．
故選：C。
【點評】本題主要考查了數字變化類的一般規律問題，要認真分析，找出題中的隱含條件，從而求解．完成時要注意11這個特殊情況．
3．（2024春 沈丘縣期中）已知三位數“4□1”正好是三個連續自然數的和，□里的數字可能是（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
【考點】數字問題．
【專題】壓軸題；推理能力．
【答案】B
【分析】4□1是連續三個自然數的和，意味著平均值是中間的哪個數，也意味著4□1可以被3整除，4+1＝5，那么□里可能是1、4、7，也就是3個連續自然數的和可能是411、441、471，據此解答．
【解答】解：4□1是連續三個自然數的和，意味著平均值是中間的哪個數，也意味著4□1可以被3整除，
4+1＝5，那么□里可能是1、4、7，
所以只有選項B符合要求．
故選：B．
【點評】認真分析題意，知道“4□1是連續三個自然數的和，意味著平均值是中間的哪個數，也意味著4□1可以被3整除”是解題的關鍵．
二．填空題（共3小題）
4．（2025春 東營期末）從10到20共有 　22　 個數字組成，其中“1”出現 　11　 次。
【考點】數字問題．
【專題】有規律性排列的數的求和與推導問題；數感．
【答案】22，11。
【分析】從10到20共有11個數，不是10個，每個數中含有2個數字，所以共有22個數字；
只有20中沒有數字1，11中有兩個數字1，其它數都含有一個數字“1”。平均每個數含有一個數字“1”，所以共有11個數字“1”。
【解答】解：從10到20共有 22個數字組成，其中“1”出現 11次。
故答案為：22，11。
【點評】一年級學生完全可以全部寫出來數一數。
5．（2025春 東營期末）從1寫到100，要寫 　21　 個1，寫 　20　 個5。
【考點】數字問題．
【專題】數感；運算能力．
【答案】21，20。
【分析】從1到100我們可以把含有數字1或5的數寫出來即可。
【解答】解：從1寫到100，一共寫了21個“1”，即：1，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，21，31，41，51，61，71，81，91，100。
從1寫到100，一共寫了20個“5”，即：5，15，25，35，45，50，51，52，53，54，55，56，57，58，59，65，75，85，95。
答：一共寫了21個1，寫20個5。
故答案為：21，20。
【點評】本題主要考查了100以內數的認識。能夠正確的寫數。
6．（2025春 福山區期末）一年級3班共有52人，序號分別為1號、2號……52號，全班同學的序號中一共有 　8　 個數字“5”。
【考點】數字問題．
【專題】應用題；數感．
【答案】8。
【分析】寫出1～52中，含有數字“5”的數即可。
【解答】解：1～52中，含有數字“5”的數有：5、15、25、35、45、50、51、52；
一共有8個“5”。
答：全班同學的序號中一共有8個數字“5”。
故答案為：8。
【點評】解答本題的關鍵是枚舉出1～52中所有含有數字“5”的數。
三．判斷題（共2小題）
7．（2021春 高青縣期末）從1寫到100，一共寫了20個5。 　√　
【考點】數字問題．
【專題】應用意識．
【答案】√
【分析】5出現在個位次數：5，15，25……95，共10個，5出現在十位次數：50，51，52……59，共10個，據此解答即可。
【解答】解：從1寫到100，5在個位出現10次，在十位出現10次，
10+10＝20（個）
答：從1寫到100，一共寫了20個5。
所以原題的說法是正確的。
故答案為：√。
【點評】按個位和十位分別出現5的情況討論，不容易出現重復和遺漏現象。
8．（2008 寧鄉縣）大于1的三個連續自然數中，一定有一個是3的倍數，至少有一個是偶數　√．　 ．
【考點】數字問題．
【專題】壓軸題；數的整除．
【答案】見試題解答內容
【分析】由于自然數中3的倍數為3，6，9，…，即每兩個3的倍數之間相隔兩個數，大于1的三個連續自然數中，一定有一個是3的倍數；自然數中每相鄰的兩個自然數相差1，設這三個連續的自然數中第一個數為x，則第二個數為x+1，第三個數為x+2，如果為x為偶數，根據數和的奇偶性可知，x+2也為偶數，即這三個數中有兩個偶數，如果x為奇數，則x+1為偶數，x+2為奇數，即三個數中只有一個偶數．所以大于1的三個連續自然數中，至少有一個是偶數．
【解答】解：由于每兩個3的倍數之間相隔兩個數，
大于1的三個連續自然數中，一定有一個是3的倍數；
自然數中每相鄰的兩個自然數相差1，設這三個連續的自然數中第一個數為x，
則第二個數為x+1，第三個數為x+2，
如果為x為偶數，則x+2也為偶數，即這三個數中有兩個偶數，
如果x為奇數，則x+1為偶數，x+2為奇數，即三個數中只有一個偶數．
則大于1的三個連續自然數中，至少有一個是偶數．
所以，于1的三個連續自然數中，一定有一個是3的倍數，至少有一個是偶數說法正確．
【點評】根據自然數的排列規律及數和的奇偶性進行分析是完成此類問題的關鍵．
四．應用題（共2小題）
9．（2022 江北區校級模擬）從敵方截獲了10組數據：14073，63136，29402，35862，84271，79558，42936，98174，50811，07145，破解人員知道這是一個五位數的密碼，每一組數據與這個密碼都只有一個數位上的數字相同，則這個密碼是多少？
【考點】數字問題．
【答案】09876。
【分析】這個五位數的5個數字一共會出現10次。在同一個數位上相同的數字最多會出現在5組數字中。觀察這10組數據可得，第一位上沒有相同的數字；第二位上相同的數字是4和9，都各有兩組；第三位上相同的數字是1的有3組，是8的有2組；第4位上是7的有3組，是3的有2組；第五位上是2和6的各有2組。五位數的5個數字一共會出現了10次從第一位到第五位出現的次數依次是：1，2，3，2，2。第四位一定是7，有7的數據是14073，84271，98174；第三位上就不能是1，就是8，是8 的數據有：35862，50811；第五位上就不能是2，只能是6，數據有：63136，42936；第二位上不能是4，只能是9，數據有：29402，79588；那么第一位就是0，數據是：07145。這個密碼是：09876。
【解答】解：這個五位數的5個數字一共會出現10次。在同一個數位上相同的數字最多會出現在5組數據中。觀察這10組數據可得，第一位上沒有相同的數字；第二位上相同的數字是4和9，都各有兩組；第三位上相同的數字是1的有3組，是8的有2組；第4位上是7的有3組，是3的有2組；第五位上是2和6的各有2組。五位數的5個數字一共會出現了10次從第一位到第五位出現的次數依次是：1，2，3，2，2。第四位一定是7，有7的數據是14073，84271，98174；第三位上就不能是1，就是8，是8 的數據有：35862，50811；第五位上就不能是2，只能是6，數據有：63136，42936；第二位上不能是4，只能是9，數據有：29402，79588；那么第一位就是0，數據是：07145。這個密碼是：09876。
【點評】理解密碼中的五個數字出現的次數是解決本題的關鍵。
10．（2020 沙坪壩區）有一個三位數，它的十位上的數字等于個位上的數字與百位上的數字之和；而個位上的數字與十位上的數字之和等于8；百位上的數字與個位上的數字互相調換后，所得的三位數比原數大99。求這個三位數。
【考點】數字問題．
【專題】文字題；數感．
【答案】253。
【分析】百位上的數字與個位上的數字互相調換后，所得的三位數比原數大99，即增加1個百，減少1個一，由此可知百位數字比個位數字小1，據此設個位數字為x，根據十位數字等于個位數字與百位數字的和，用含有x的式子表示出十位數字，再根據“個位數字+十位數字＝8”列方程求解可求出個位數字，進而算出十位數字和百位數字，最后寫出這個三位數。
【解答】解：設個位數字為x。
x+x﹣1+x＝8
3x＝9
x＝3
3﹣1＝2
2+3＝5
答：這個三位數是253。
【點評】解答此題的關鍵在于理解百位上的數字與個位上的數字互相調換后，所得的三位數比原數大99，就是百位數字比個位數字小1。
考點卡片
1．數字問題
【知識點歸納】
1．數字問題的主要題型：
數字問題是研究有關數字的特殊結構、特殊關系以及數字運算中變換問題的一類問題，相對來說，難度較大．通常情況下題目會給出某個數各個位數關系，求這個數為多少．
2．核心知識
（1）數字的拆分
是將一個數拆分成幾個因數相乘或者相加的形式，經常需要綜合應用整除性質、奇偶性質、因式分解、同余理論等．
（2）數字的排列與位數關系
解答數字的排列與位數關系時，經常需要借助于首尾數法進行考慮、判斷，同時可以利用列方程法、代入法、假設法等一些方法，進行快速求解．
【命題方向】
?？碱}型：
例1：在1到400的整數中，至少能被3和5中的一個數整除的數有（　?。﹤€5．
A、213 B、187 C、133 D、80
分析：先求出400里面有幾個3，就是1﹣400中有多少個數能被3整除，再求出400里面有幾個5，就是1﹣400中有多少個數能被5整除；能同時倍3和5整除的數是15的倍數；求出400里面有多少個15，就是能同時被3和5整除的數，然后用3的倍數的個數加上5的倍數的個數然后減去15的倍數的個數即可．
解：1到400中能被3整除有：400÷3≈133（個）；
1到400中能被5整除有：400÷5＝80（個）；
1到400中既能被3也能被5整除有：400÷（3×5）≈26（個）；
在1到400的整數中，至少能被3和5中的一個數整除的數：133+80﹣26＝187（個）；
故選：B．
點評：本題要注意能同時被3和5整除的數，是重復計算的數字．
例2：自然數12321，90009，41014…有一個共同特征：它們倒過來寫還是原來的數，那么具有這種“特征”的五位偶數有　400　 個．
分析：倒過來寫還是原來的數，具有這種“特征”的五位偶數萬位和個位有2，4，6，8這4種選擇；千位和十位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10種選擇；百位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10種選擇．可以組成倒過來寫還是原來的數具有這種“特征”的五位偶數則有4×10×10＝400個．
解：根據分析，倒過來寫還是原來的數，具有這種“特征”的五位偶數有4×10×10＝400個．
答：具有這種“特征”的五位偶數有400個．
故答案為：400．
點評：根據這種數的特征，分析各對稱數位會出現的數字可能，把出現可能的種數相乘即可得這種特征數的個數．（培優）四年級同步個性化分層作業8.1.1數字問題
一．選擇題（共3小題）
1．（2024秋 西崗區期末）一個三位數，各個數位上數字的和是3，這樣的數中偶數有（　?。﹤€．
A．2 B．3 C．5 D．4
2．（2025 黃埔區）先寫出一個兩位數35，接著在35右端寫這兩個數字的和8，得到358，再寫末兩位數字5和8的和13，得到35813，用上述方法得到一個有2025位的整數。則這個整數的數字之和是（　?。?br/>A．7070 B．7090 C．7089 D．7094
3．（2024 鐵西區）已知三位數3□2正好是三個連續自然數的和，□里的數字可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空題（共3小題）
4．（2025 東西湖區）對于一個自然數，用與這個數互質且大于2的最小自然數替換這個數，稱為一次“互質替換”，在黑板上任意寫出一個大于2025的自然數，反復進行“互質替換”，最多經過 　 　 次“互質替換”首次出現3。
5．（2025春 蓮湖區期中）歡歡想到一個三位數，它在各個數位上的數字和是19，十位數字減2的差是3，個位數字減4的差也是3，她想的這個三位數是 　 　 。
6．（2025 北碚區）如果一個五位數，它的各位數字乘積恰好是它的各位數字和的25倍。那么，這個五位數的前兩位的最大值是 　 　 。
三．應用題（共4小題）
7．（2024 北碚區校級模擬）黑板上任意寫上一個正整數，在它的約數之外，找出最小的正整數，擦去原數，寫上這個最小的正整數（例如：開始寫的數是12，在12的約數之外，最小的正整數是5，擦去12，寫上5）。這樣繼續下去，直到黑板上出現2為止。對于任意的一個正整數，最多擦多少次，黑板上就可以出現2？請說明理由。
8．（2024 北碚區校級模擬）若干個學生圍成一個圓圈，每人手里有一些糖果。假設按順時針方向，第一個人的糖果比第二個人的多一塊，第二個人的糖果比第三個人的多一塊，以此類推，倒數第二個人的糖果比最后一個人的多一塊。下面開始做傳遞糖果的游戲：第一個人給第二個人1塊糖果，第二個人給第三個人2塊糖果，如此直到最后一個人給第一個人數目與人數相同的糖果數，這樣算一輪。經過若干輪直到游戲不能再做為止，最后發現恰有兩個相鄰的同學其中一人的糖果是另一人的6倍，則所有同學的人數為　 　 人，游戲開始前最后一個同學手里糖果數為　 　 塊。
9．（2024 江北區）已知一個四位數加上它的各位數字之和后等于2008，則所有這樣的四位數之和為多少？
10．（2024 北碚區）閱讀材料：把一個自然數所有數位上的數字先平方再求和得到一個新數，叫作第一次運算，再把所得新數所有數位上的數字先平方再求和又將得到一個新數，叫作第二次運算，……，如此重復下去，若最終結果為1，我們把具有這種特征的自然數稱為“快樂數”.例如：32→32+22＝13→12+32＝10→12+02＝1，所以32是快樂數.根據上述材料，解決以下問題：
（1）試說明：19是“快樂數”；
（2）若一個三位“快樂數”進過兩次運算后結果為1，把這個三位“快樂數”與它的各位上的數字相加所得的和被8除余數是2，求出這個“快樂數”。
（培優）四年級同步個性化分層作業8.1.1數字問題
參考答案與試題解析
一．選擇題（共3小題）
題號 1 2 3
答案 D B B
一．選擇題（共3小題）
1．（2024秋 西崗區期末）一個三位數，各個數位上數字的和是3，這樣的數中偶數有（　　）個．
A．2 B．3 C．5 D．4
【考點】數字問題．
【專題】整除性問題．
【答案】D
【分析】把3拆分為3個數字的和，再根據排列組合知識和偶數的特征（個位是0、2、4、6、8）列舉解答即可．
【解答】解：3＝0+0+3＝0+1+2＝1+1+1
①3＝0+0+3
這樣的數中偶數有：300
②3＝0+1+2
這樣的數中偶數有：210、120、102
③3＝1+1+1
不能組成偶數，
所以共有：1+3＝4（個）
答：這樣的數中偶數有4個．
故選：D．
【點評】解答本題關鍵是明確偶數的特征：個位是0、2、4、6、8．
2．（2025 黃埔區）先寫出一個兩位數35，接著在35右端寫這兩個數字的和8，得到358，再寫末兩位數字5和8的和13，得到35813，用上述方法得到一個有2025位的整數。則這個整數的數字之和是（　?。?br/>A．7070 B．7090 C．7089 D．7094
【考點】數字問題．
【專題】應用意識．
【答案】B
【分析】繼續寫下去，發現規律后即可解答。
【解答】解：繼續往下多寫幾個數：358134711235813471123……
可以發現10個數字一循^，這10個數字之和為：
3+5+8+1+3+4+7+1+1+2＝35。
因此2025÷10＝202……5，
這個2025位數字之和等于：
35×202+（3+5+8+1+3）
＝7070+20
＝7090
答：這個整數的數字之和是7090。
故選：B。
【點評】本題考查了數字和問題的應用，解答本題的關鍵是找出數字排列的規律。
3．（2024 鐵西區）已知三位數3□2正好是三個連續自然數的和，□里的數字可能是（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
【考點】數字問題．
【專題】綜合判斷題；運算能力．
【答案】B
【分析】三個連續自然數是3的倍數，3的倍數的數數字和是3的倍數，因為3+2＝5，故□可以為1、4、7，據此選擇。
【解答】解：三個連續自然數是3的倍數，3的倍數的數數字和是3的倍數，因為3+2＝5，故□可以為1、4、7。
即只有B選項4符合題意，三位數可以是342。三個連續的自然數是113、114、115。
故選：B。
【點評】本題考查了能被3整除的數的應用。
二．填空題（共3小題）
4．（2025 東西湖區）對于一個自然數，用與這個數互質且大于2的最小自然數替換這個數，稱為一次“互質替換”，在黑板上任意寫出一個大于2025的自然數，反復進行“互質替換”，最多經過 　3　 次“互質替換”首次出現3。
【考點】數字問題．
【專題】應用意識．
【答案】3。
【分析】根據題意，分析不同類型大于2025的自然數經過“互質替換”得到3的過程和次數。
【解答】解：大于2025的偶數：例如2026，與它互質且大于2的最小自然數是一個奇數（不是3的倍數時），經過一次“互質替換”，就把偶數變成了奇數；
大于2025的奇數：
①奇數不是3的倍數：比如2027，它不是3的倍數，與2027互質目大于2的最小自然數就是3。此時，從不是3的倍數的奇數到3，經過了1次“互質替換”（如果前面是從偶數變來的，那么總共經過2次）；
②奇數是3的倍數：例如2031＝3×677，與它互質且大于2的最小自然數不是3，而是其他數，比如4（因為2031是3的倍數，4與2031互質且大于2），經過這一次替換得到了一個偶數。
從上述分析可知，先把偶數通過一次“互質替換”變成奇數，若這個奇數不是3的倍數，再一次“互質替換”就得到3；若這個奇數是3的倍數，經過﹣次替換得到偶數，再對偶數替換得到奇數，然后再一次“互質替換”得到3。所以，最多經過3次“互質替換”就能首次出現3。
綜上，最多經過3次“互質替換”首次出現3。
答：最多經過3次“互質替換”首次出現3。
故答案為：3。
【點評】本題考查了基于數論中互質概念的邏輯推理的應用。
5．（2025春 蓮湖區期中）歡歡想到一個三位數，它在各個數位上的數字和是19，十位數字減2的差是3，個位數字減4的差也是3，她想的這個三位數是 　757　 。
【考點】數字問題．
【專題】綜合題；數據分析觀念．
【答案】757。
【分析】十位數字減2的差是3，個位數字減4的差也是3，分別計算出十位，個位上數字，再計算百位上數字。
【解答】解：十位上數字：3+2＝5
個位上數字：3+4＝7
百位上數字：19﹣7﹣5＝7
這個三位數是757。
故答案為：757。
【點評】本題考查的是數字問題的應用，解決本題的關鍵是計算出各個數位上數字。
6．（2025 北碚區）如果一個五位數，它的各位數字乘積恰好是它的各位數字和的25倍。那么，這個五位數的前兩位的最大值是 　75　 。
【考點】數字問題．
【專題】綜合填空題；數據分析觀念．
【答案】75。
【分析】設五位數的五個數字為a、b、c、d、e，已知a×b×c×d×e＝25×（a+b+c+d+e），則原來的5個數字中一定有2個數字5，假設d、e都是5，則a×b×c＝a+b+c+10，要使這個五位數最大，假設a＝9，計算有沒有符合要求的b和c，同理驗證a＝8，a＝7時，有沒有符合要求的b和c，由此解答本題。
【解答】解：設五位數的五個數字為a、b、c、d、e，
已知a×b×c×d×e＝25×（a+b+c+d+e），
則原來的5個數字中一定有2個數字5，
假設d、e都是5，則a×b×c＝a+b+c+10，
要使這個五位數最大，假設a＝9，則9bc＝b+c+19，即81bc＝9b+9c+171，所以（9b﹣1）×（9c﹣1）＝172＝4×43，此時沒有滿足條件的整數b和c；
假設a＝8，則8bc＝b+c+18，即64bc＝8b+8c+144，所以（8b﹣1）×（8c﹣1）＝145＝5×29，此時沒有滿足條件的整數b和c；
假設a＝7，則7bc＝b+c+17，即49bc＝7b+7c+119，所以（7b﹣1）×（7c﹣1）＝120，（7b﹣1）與（7c﹣1）除以7都余6，則7b﹣1＝6，7c﹣1＝120，所以b＝1，c＝3，此時五位數是75531。
這個五位數的前兩位的最大值75。
故答案為：75。
【點評】本題考查的是數字問題的應用。
三．應用題（共4小題）
7．（2024 北碚區校級模擬）黑板上任意寫上一個正整數，在它的約數之外，找出最小的正整數，擦去原數，寫上這個最小的正整數（例如：開始寫的數是12，在12的約數之外，最小的正整數是5，擦去12，寫上5）。這樣繼續下去，直到黑板上出現2為止。對于任意的一個正整數，最多擦多少次，黑板上就可以出現2？請說明理由。
【考點】數字問題．
【專題】應用意識．
【答案】3次。理由為：①如果黑板上的數是偶數2，則不用擦；②如果黑板上的數是奇數，則擦后即出現2；③如果黑板上的數是偶數n（n＞2），則最多擦3次。
【分析】分析每次寫上的數與原數約數的關系，找出出現2最多需要擦寫的次數。我們從最初給定的正整數出發，按照規則依次找出在約數之外最小的正整數并替換原數，觀察經過幾次這樣的操作能得到2。
【解答】解：第一次操作：
設最初寫在黑板上的正整數為n。
當n＞1時，若n是奇數，那么1和n是它的約數，2不是它的約數，所以在它約數之外最小的正整數就是2，此時只需要擦1次就出現2；
若n是偶數，設n＝2k（k為正整數），1、2是它的約數，3有可能不是它的約數（比如4，約數是1、2、4，3不在約數中），所以在約數之外最小的正整數可能是3。
第二次操作：
若第一次寫上的數是3，3的約數是1和3，那0么在它約數之外最小的正整數就是2，此時總共擦了2次就出現2了；
若第一次寫上的數不是3，比如第一次寫上的數是偶數且不是2的倍數，設這個數為m，1是它的約數，2不是它的約數，所以在它約數之外最小的正整數就是2，此時總共擦了2次就出現2了。
第三次操作：
若第一次寫上的數既不是2也不是3，且經過第二次操作后得到的數既不是2也不是3。設第二次寫上的數為P，若P不是2的倍數，那么在它約數之外最小的正整數就是2，此時總共擦了3次就出現2了。
答：對于任意的一個正整數，最多擦3次，黑板上就可以出現2。
【點評】本題考查了最值問題的應用。
8．（2024 北碚區校級模擬）若干個學生圍成一個圓圈，每人手里有一些糖果。假設按順時針方向，第一個人的糖果比第二個人的多一塊，第二個人的糖果比第三個人的多一塊，以此類推，倒數第二個人的糖果比最后一個人的多一塊。下面開始做傳遞糖果的游戲：第一個人給第二個人1塊糖果，第二個人給第三個人2塊糖果，如此直到最后一個人給第一個人數目與人數相同的糖果數，這樣算一輪。經過若干輪直到游戲不能再做為止，最后發現恰有兩個相鄰的同學其中一人的糖果是另一人的6倍，則所有同學的人數為　11　 人，游戲開始前最后一個同學手里糖果數為　4　 塊。
【考點】數字問題．
【專題】應用意識．
【答案】11；4。
【分析】每輪操作過程，實際上就是每人減少1塊糖果，這些糖果再給第一個人，第一個人增加的糖果塊數比人數少1。如果相鄰的兩個人的糖果數連續，肯定不會是6倍關系。據此解答。
【解答】解：設共有n名學生，最后一個人開始有a塊糖果，則第一個人開始有糖果（a+n﹣1）塊。如果無法操作，說明糖果數最少的學生已經沒有糖果了，所以需要經過a輪傳遞，且只有第一個人與第二個人的糖果數可能存在6倍關系，開始狀態如圖1所示，結束狀態如圖2所示。如下圖所示：
則（n﹣1）+an＝6（n﹣2）
即n（5﹣a）＝11
而11＝11×1
所以
所以，共有同學11人，游戲開始前，最后一個同學有糖果4塊。
故答案為：11；4。
【點評】能否把題目解答出來，關鍵在于審題，也就是把題目轉化為數學表達的能力。對于未知的量，可以先用未知數表達，它們之間的關系利用四則運算和等量表達出來。這里既不知道最后一個人有幾塊糖果，也不知道人數，二者設出未知就可以把操作表達出來，然后繼續操作下去。最后就是解二元一次不定方程的正整數解問題。
9．（2024 江北區）已知一個四位數加上它的各位數字之和后等于2008，則所有這樣的四位數之和為多少？
【考點】數字問題．
【專題】整數的分解與分拆．
【答案】3988。
【分析】如果這個四位數的最高位是2，四個數字的和是2008﹣2000＝8，則四位數個位上數字的2倍是8﹣2＝6，個位數字即可求。如果這個四位數的最高位上1，則百位上只能是9，因為四個數字的最大和是二十幾，這個數字的十位上如果是9，（1+9+9）+1990＝2009，不符合題意；這個數字的十位上如果是8，2008﹣（1+9+8）﹣1980＝10，10÷2＝5，個位上是5，符合題意；這個數字的十位上如果是7，2008﹣（1+9+7）﹣1970＝21，個位上是21÷2，商不是整數，不符合題意。
【解答】解：2008＝2003+（2+3+0+0）
2008＝1985+（1+9+8+5）
則2003+1985＝3988
答：所有這樣的四位數之和為3988。
【點評】運用首尾數法計算是解決本題的有效途徑。
10．（2024 北碚區）閱讀材料：把一個自然數所有數位上的數字先平方再求和得到一個新數，叫作第一次運算，再把所得新數所有數位上的數字先平方再求和又將得到一個新數，叫作第二次運算，……，如此重復下去，若最終結果為1，我們把具有這種特征的自然數稱為“快樂數”.例如：32→32+22＝13→12+32＝10→12+02＝1，所以32是快樂數.根據上述材料，解決以下問題：
（1）試說明：19是“快樂數”；
（2）若一個三位“快樂數”進過兩次運算后結果為1，把這個三位“快樂數”與它的各位上的數字相加所得的和被8除余數是2，求出這個“快樂數”。
【考點】數字問題．
【專題】閱讀型；數的運算；數感．
【答案】（1）12+92＝1+81＝82
82+22＝64+4＝68
62+82＝36+64＝100
12+02+02＝1
（2）860。
【分析】（1）按照“快樂數“的驗證方法來解答。
（2）一個三位“快樂數”經過兩次運算后結果為1，經過第一次運算結果為100?？汕蟮?00＝82+62+0。再根據這個三位“快樂數”與它的各位上的數字相加所得的和被8除余數是2求出“快樂數“。
【解答】解：（1）12+92＝1+81＝82
82+22＝64+4＝68
62+82＝36+64＝100
12+02+02＝1
則19是“快樂數”。
（2）一個三位“快樂數”經過兩次運算后結果為1，經過第一次運算結果為100。可求得100＝82+62+0。
這個“快樂數”可能是860，860+8+6+0＝874
874÷8＝109……2
答：這個“快樂數“為860。
【點評】明確“快樂數”的含義是解決本題的關鍵。
考點卡片
1．數字問題
【知識點歸納】
1．數字問題的主要題型：
數字問題是研究有關數字的特殊結構、特殊關系以及數字運算中變換問題的一類問題，相對來說，難度較大．通常情況下題目會給出某個數各個位數關系，求這個數為多少．
2．核心知識
（1）數字的拆分
是將一個數拆分成幾個因數相乘或者相加的形式，經常需要綜合應用整除性質、奇偶性質、因式分解、同余理論等．
（2）數字的排列與位數關系
解答數字的排列與位數關系時，經常需要借助于首尾數法進行考慮、判斷，同時可以利用列方程法、代入法、假設法等一些方法，進行快速求解．
【命題方向】
?？碱}型：
例1：在1到400的整數中，至少能被3和5中的一個數整除的數有（　?。﹤€5．
A、213 B、187 C、133 D、80
分析：先求出400里面有幾個3，就是1﹣400中有多少個數能被3整除，再求出400里面有幾個5，就是1﹣400中有多少個數能被5整除；能同時倍3和5整除的數是15的倍數；求出400里面有多少個15，就是能同時被3和5整除的數，然后用3的倍數的個數加上5的倍數的個數然后減去15的倍數的個數即可．
解：1到400中能被3整除有：400÷3≈133（個）；
1到400中能被5整除有：400÷5＝80（個）；
1到400中既能被3也能被5整除有：400÷（3×5）≈26（個）；
在1到400的整數中，至少能被3和5中的一個數整除的數：133+80﹣26＝187（個）；
故選：B．
點評：本題要注意能同時被3和5整除的數，是重復計算的數字．
例2：自然數12321，90009，41014…有一個共同特征：它們倒過來寫還是原來的數，那么具有這種“特征”的五位偶數有　400　 個．
分析：倒過來寫還是原來的數，具有這種“特征”的五位偶數萬位和個位有2，4，6，8這4種選擇；千位和十位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10種選擇；百位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10種選擇．可以組成倒過來寫還是原來的數具有這種“特征”的五位偶數則有4×10×10＝400個．
解：根據分析，倒過來寫還是原來的數，具有這種“特征”的五位偶數有4×10×10＝400個．
答：具有這種“特征”的五位偶數有400個．
故答案為：400．
點評：根據這種數的特征，分析各對稱數位會出現的數字可能，把出現可能的種數相乘即可得這種特征數的個數．

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