資源簡介

(共60張PPT)
1.1 菱形的性質與判定
第一章 特殊平行四邊形
第1課時
學習&目標
1.了解菱形的概念及其與平行四邊形的關系；
2.體會菱形的軸對稱性，經歷折紙等活動探索菱形的性質；
3.證明性質并能夠運用性質解決問題。
下面幾幅圖片中都含有一些平行四邊形.觀察這些平行四邊形，你能發現它們有什么樣的共同特征？
情境&導入
回憶一下，什么是平行四邊形，它有哪些性質？
定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
情境&導入
性質：
邊：平行四邊形的對邊平行且相等.
角：平行四邊形的對角相等，鄰角互補.
對角線：平行四邊形的對角線互相平分.
對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形.
回顧 & 思考

探索&交流
菱形的定義及其性質
1—
問題1: 觀察上圖中的這些平行四邊形，你能發現它們有什么樣的共同特征？
平行四邊形
菱形
菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
想一想
問題2: （1）菱形與平行四邊形有什么關系？
總結：菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質，但平行四邊形不一定是菱形.
菱形的對邊平行且相等，
對角相等，對角線互相平分。
探索&交流
（2）菱形還具有哪些特殊的性質？與同伴交流。
1.菱形的四條邊都相等.
2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.
3.菱形是軸對稱圖形
探索&交流
總結：菱形是特殊的平行四邊形，它除具有平行四邊形的所有性質外，還有平行四邊形所沒有的特殊性質.
角：對角相等.
邊：對邊平行且相等.
對角線：相互平分.
菱形的特殊性質
平行四邊形的性質
對稱性：是軸對稱圖形.
邊：四條邊都相等.
對角線：互相垂直，且每條對角線平分一組對角.
探索&交流
例題&解析
例題欣賞

例1.菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質是（ ）
A.內角和為360°
B.對角線互相垂直
C.對邊平行
D.對角線互相平分
B
做一做
探索&交流
用菱形紙片折一折，回答下列問題：
（1）菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關系？
菱形是軸對稱圖形；
有兩條對稱軸；
兩條對稱軸互相垂直。
用菱形紙片折一折，回答下列問題：
（2）菱形中有哪些相等的線段？
菱形的四條邊相等。
探索&交流
已知：如圖，在菱形ABCD 中，AB=AD, 對角線 AC 與BD相交于點O.
求證: （1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD.
證明:（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CD,AD=BC（菱形的對邊相等）.
又∵AB=AD, ∴AB=BC=CD=AD.
探索&交流
如何推理證明“菱形的四條邊相等，對角線互相垂直”這兩個性質呢？
例題&解析
例題欣賞

例2.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的邊長AB和對角線AC的長．
解：∵四邊形 ABCD 是菱形，
∴AB=AD（菱形的四條邊相等），
AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），
OB=OD= BD= =3（菱形的對角線互相平分）.
在等腰三角形 ABD 中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形.
∴AB=BD=6.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA2 + OB2 = AB2，
∴OA= .
∴AC=2OA= （菱形的對角線互相平分）
例題&解析
例3.如圖，在菱形 ABCD 中，E，F 分別是 BC，CD上的點，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°.求∠CEF的度數 .
例題&解析
例題欣賞

解：如圖 ，連接 AC.
∵ 四邊形 ABCD 是菱形，∠ B=60° ，
∴ AB=BC=CD=DA，∠ D= ∠ B=60° .
∴△ ABC 和△ ACD 均為等邊三角形 .
∴ AB=AC，∠ B= ∠ ACF= ∠ BAC=60° .
∵∠ EAF=60°，∴∠ BAC= ∠ EAF.
例題&解析
∴∠ BAE= ∠ CAF.
∴△ ABE ≌△ ACF ( ASA ) . ∴ AE=AF.
又∵∠ EAF=60°，∴△ EAF 是等邊三角形 .
∴∠ AEF=60° .
∵∠ AEC= ∠ B+ ∠ BAE= ∠ AEF+ ∠ CEF，
∴ 60°+18°=60°+ ∠ CEF.
∴∠ CEF=18° .
例題&解析
練習&鞏固
1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質是 （ ）
A.對角相等 B.對邊相等
C.對角線互相垂直 D.對角線相等
C
2.如圖，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，則△ABD的周長等于（　　）
A.18 B.16 C.15 D.14
B
練習&鞏固
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的對角線互相垂直)．
在Rt△AOB中，
由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，
∵
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD＝2BO＝2×3＝6(菱形的對角線互相平分)．
3.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O.已知AB＝5cm，AO＝4cm.求BD的長．
練習&鞏固
小結&反思
定義 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形 性質 對稱性 菱形是軸對稱圖形，對稱軸是兩條對角線所在的直線
邊 定理1：菱形的四條邊相等
對角線 定理2：菱形的對角線互相垂直，每一條對角線平分一組對角
周長 L=4a
面積 (1)S=ah
(2)菱形的面積等于對角線乘積的一半
第2課時
學習&目標
1.掌握菱形的判定定理
2.經歷菱形判定定理的探究過程（重點）
3.會用這些菱形的判定方法進行有關的證明和計算（難點）
情境&導入
回顧 & 思考

1．菱形的定義是什么？菱形有哪些性質？
(1)菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
(2)菱形的性質
兩組對邊平行
四條邊相等
兩組對角分別相等
鄰角互補
兩條對角線互相垂直平分
邊
角
對角線
每一條對角線平分一組對角
情境&導入
根據菱形的定義，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．除此之外，你認為還有什么條件可以判斷一個平行四邊形是菱形？先想一想，再與同伴交流．
菱形
平行四邊形
滿足？條件
對角線
邊
角
平行四邊形的對角線滿足什么條件時，它就是菱形了？
探索&交流
　　如圖，取兩根長度不等的細木棒，讓兩個木棒的中點重合并固定在一起，用筆和直尺畫出木棒四個端點的連線。我們知道，這樣得到的四邊形是一個平行四邊形．若轉動其中一個木棒，重復上面的做法，當兩個木棒之間的夾角等于90°時，得到的圖形是什么圖形呢？
探索&交流
菱形判定
1—
猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
已知:如圖,在□ABCD 中,對角線 AC 與 BD 交于點 O,AC⊥BD. 求證: □ABCD 是菱形
證明:∵四邊形 ABCD 是平行四邊形
∴OA = OC
又∵AC⊥BD
∴BD是線段 AC 的垂直平分線
∴BA = BC
∴四邊形 ABCD 是菱形(菱形定義)
探索&交流
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，AC⊥BD，
∴四邊形 ABCD是菱形。
歸納：若用對角線進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明
對角線互相垂直，或直接證明四邊形的對角線互相垂直平分.
定理
AC⊥BD
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
探索&交流
議一議
已知線段AC，你能用尺規作圖的方法作一個菱形ABCD，使AC為菱形的一條對角線嗎？
如圖，分別以 A，C 為圓心，以大于 AC 為半徑作弧，兩弧交于 B、D，依次連接 A，B，C，D，四邊形 ABCD 看上去是菱形.
你是怎么做的？你認為小剛的做法正確嗎？
四邊相等的四邊形是菱形。
請你完成這個定理的證明。
探索&交流
證明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形（平行四邊形的判定）.
又∵AB=BC,
∴四邊形ABCD是菱形 (菱形的定義).
A
B
C
D
已知：右圖，四邊形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求證：四邊形ABCD是菱形.
探索&交流
四邊相等的四邊形是菱形.
定理
AB=BC=CD=AD
幾何語言描述：
∵在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四邊形 ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
四邊形ABCD
A
B
C
D
探索&交流
做一做
你能用折紙等辦法得到一個菱形嗎？動手試一試！
先將一張長方形的紙對折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，將紙展開，就得到了一個菱形。
你能說說小穎這樣做的道理嗎？
例題&解析
例題欣賞

例1.已知：如圖，在□ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于點 O，AB = ，OA=2，OB=1.
求證：□ABCD 是菱形.
證明：在△AOB 中，
∵AB = ，OA=2，OB=1，
∴AB2 = AO2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角.
∴AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形（對角線垂直的平行四邊形是菱形）.
例題&解析
例題欣賞

例2.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于點O，點E在AO上，且OE＝OC.(1)求證：∠1＝∠2；(2)連接BE，DE，判斷四邊形BCDE的形狀，并說明理由.
A
B
C
D
E
O
1
2
例題&解析
解：(1)在△ABC 和△ADC 中，
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，∴∠1＝∠2；
(2)四邊形BCDE是菱形．理由如下：
連接BE，DE.
∵BC＝DC，∠1＝∠2，∴OD＝OB，OC⊥BD.
∵OE＝OC，∴四邊形BCDE是平行四邊形．
又∵OC⊥BD，∴四邊形BCDE是菱形．
A
B
C
D
E
O
1
2
練習&鞏固
1.下列條件中,不能判定四邊形ABCD為菱形的是（　　）．
Ａ. AC⊥BD ，AC與BD互相平分
Ｂ. AB=BC=CD=DA
Ｃ. AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
O
A
D
C
B
C
練習&鞏固
2.如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（　　）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
B
練習&鞏固
3.已知：如圖，在□ABCD 中，對角線 AC 的垂直平分線分別與 AD，AC，BC 相交于點 E，O，F. 求證：四邊形 AFCE 是菱形.
證明：在□ABCD 中，AD∥BC，即 AE∥FC.
又∵EF為 AC 的垂直平分線，
∴AC⊥EF，AO = OC，
即∠AOE=∠COF=90°，∠EAO=∠FCO.
∴△FOC≌△EOA，即AE=FC.
∴四邊形 AFCE 為平行四邊形.
又∵AC⊥EF，∴四邊形 AFCE 是菱形.
練習&鞏固
4.如圖，在平行四邊形 ABCD 中，對角線 AC，BD 相交于點 O，過點 O 作直線 EF ⊥ BD，分別交 AD， BC 于點 E 和點 F， 連接 BE， DF. 求證： 四 邊形BEDF 是菱形 .
練習&鞏固
證明： ∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴ OB=OD， AD ∥ BC.
∴∠ EDO= ∠ FBO，∠ OED= ∠ OFB.
∴△ OED ≌△ OFB(AAS) . ∴ DE=BF.
又∵ DE ∥ BF，∴四邊形 BEDF 是平行四邊形 .
又∵ EF ⊥ BD，∴四邊形 BEDF 是菱形 .
小結&反思
菱形的判定
1.菱形的判定方法：
(1)(定義法)：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
(2)(對角線)：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
(3)(邊)：四邊相等的四邊形是菱形．
第3課時
學習&目標
1.能靈活運用菱形的性質定理及判定定理解決一些相關問題,并掌握菱形面積的求法。(重點、難點)
2.經歷菱形性質定理及判定定理的應用過程,體會數形結合、轉化等思想方法。
情境&導入
回顧 & 思考

1．平行四邊形的對邊 ，對角 ，對角線 ．
2．菱形具有 的一切性質．
3．菱形是 圖形也是 圖形．
4．菱形的四條邊都 ．
5．菱形的兩條對角線互相 ．
平行且相等
相等
互相平分
平行四邊形
軸對稱
中心對稱
相等
垂直且平分
情境&導入
問題1 菱形是特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形面積公式計算菱形ABCD的面積嗎
A
B
C
D
能.過點A作AE⊥BC于點E,
則S菱形ABCD=底×高 =BC·AE.
E
思考 前面我們已經學習了菱形的對角線互相垂直,那么能否利用對角線來計算菱形ABCD的面積呢
探索&交流
問題2 如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O,試用對角線表示出菱形ABCD的面積.
A
B
C
D
O
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
你有什么發現？
菱形的面積=底×高=對角線乘積的一半
探索&交流
菱形面積
1—
例1.如圖，四邊形ABCD 是邊長為13cm的菱形，其中對角線BD長為10cm.
求：(1)對角線 AC 的長度；
(2)菱形 ABCD 的面積.
探索&交流
解：(1)∵四邊形 ABCD 是菱形，AC 與 BD 相交于點 E，
∴∠AED = 90°（菱形對角線互相垂直），
DE = BD = ×10 = 5（cm）（菱形對角線互相平分）.
∴AE = = = 12（cm）.
∴AC=2AE=2×12=24（cm）（菱形的對角線互相平分）.
(2) 菱形ABCD 的面積
=△ABD 的面積 + △CBD 的面積
=2×△ABD 的面積
=2× ×BD×AE
=2× ×10×12=120 （cm2）.
例2.如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC和BD相交于點O，AC=4cm，BD=8cm，則這個菱形的面積是 cm ．
16
例題&解析
例題欣賞

探索&交流
做一做
如圖兩張不等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分是什么圖形？
平行四邊形
探索&交流
如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊部分 ABCD 是菱形嗎？為什么？
證明：∵等寬紙條對邊平行，
∴AD∥BC， AB∥CD，∴□ABCD 是平行四邊形，
從 A點作AM⊥DC 交于點 M,作AN⊥BC交于點 N,
∵是兩張等寬的紙，∴AM = AN.
∵□ABCD 是平行四邊形，∴∠ABN=∠ADM，
∵AM⊥DC ，AN⊥BC，∴∠ANB =∠AMD = 90°，
∴△ABN≌△ ADM，∴AB = AD,
∴四邊形 ABCD 是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）
探索&交流
例題&解析
例題欣賞

例3.如圖所示，在菱形ABCD中，點O為對角線AC與BD的交點，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD兩對邊的距離h.
例題&解析
解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，
OB＝12，
于是
所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
又因為菱形兩組對邊的距離相等，
所以S菱形ABCD＝AB h＝13h，
即13h＝120，得
練習&鞏固
1.已知菱形的周長是28 cm，那么它的邊長是______.
7cm
練習&鞏固
2.如圖，菱形的兩條對角線長分別為6cm和8cm，則菱形的邊長是（ ）
A.6cm
B.8cm
C. 5cm
D.14cm
A
B
C
D
O
C
練習&鞏固
3.菱形 ABCD 的周長為 40 cm，它的一條對角線BD 長 10 cm.
（1）求這個菱形的每一個內角的度數；
（2）求這個菱形另一條對角線的長.
解：（1）∵菱形 ABCD 的周長為 40 cm，
∴AB = BC = CD = DA = 10（cm）,
又∵BD = 10（cm），
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠BAD = 60°，∴∠BCD = 60°，
∠ABC =∠CDA = 120°.
練習&鞏固
（2）∵△AEB是直角三角形，
AB =10（cm），BE = 5（cm），
AE = = = （cm）.
AC = 2AE = （cm）
小結&反思
A
B
D
C
a
h
(1)S = a·h.
(2)S = AC·DB.
O
菱形的面積計算公式：
菱形的面積 = 底×高 = 對角線乘積的一半

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