資源簡介

(共64張PPT)
1.2 矩形的性質(zhì)與判定
第一章 特殊平行四邊形
第1課時
學(xué)習(xí)&目標(biāo)
1.理解矩形的概念，知道矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系
2.會證明矩形的性質(zhì)，會用矩形的性質(zhì)解決簡單的問題（重點）
3.應(yīng)用矩形的性質(zhì)定理解決相關(guān)問題（難點）
情境&導(dǎo)入
平行四邊形有哪些性質(zhì)？
對邊平行且相等
對角相等
對角線互相平分
中心對稱圖形
邊
角
對角線
對稱性
情境&導(dǎo)入
觀察下面圖形,長方形在生活中無處不在.
探索&交流
下面圖片中都含有一些特殊的平行四邊形．觀察這些特殊的平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？
思考 長方形跟我們前面學(xué)行四邊形有什么關(guān)系？
探索&交流
矩形的性質(zhì)
1—
活動1：利用一個活動的平行四邊形教具演示,使平行四邊形的一個內(nèi)角變化,請同學(xué)們注意觀察.
矩形
不變：
變：
對邊仍保持相等，對邊仍分別平行，所以仍然是平行四邊形.
角的大小.
探索&交流
四邊形
兩組對邊
分別平行
平行
四邊形
一個角
是直角
∟
矩形
矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.也叫做長方形.
特別提醒:
(1)由矩形的定義知，矩形一定是平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形．
(2)矩形必須具備兩個條件：①它是一個平行四邊形；②它有一個角是直角．這兩個條件缺一不可.
探索&交流
想一想
思考 因為矩形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，由于它有一個角為直角，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？
可以從邊，角，對角線等方面來考慮.
探索&交流
既然矩形是平行四邊形,那么它具有平行四邊形的哪些性質(zhì)？
性質(zhì) 邊 角 對角線 對稱性
矩形
對邊平行
且相等
對角相等
對角線互相平分
中心對稱圖形
探索&交流
(2)矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？
(3)你認(rèn)為矩形還具有哪些特殊的性質(zhì)？與同伴交流.
D
C
B
A
矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，那么有幾條對稱軸？
軸對稱圖形
探索&交流
已知：如圖，四邊形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，對角線AC與DB 相交于點O.
求證：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的對角相等)，AB∥DC(矩形的對邊平行)．
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°.
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°.
探索&交流
已知：如圖，四邊形ABCD是矩形，∠ABC= 90°，對角線AC與DB相交于點 O。
求證：AC = BD.
證明：∵四邊形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC（矩形的對邊相等），
在△ABC 和 △DCB 中，
∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB.
∴△ABC ≌∠DCB.
∴AC = DB.
探索&交流
矩形除了具有平行四邊形所有性質(zhì)，還具有的性質(zhì)有：
矩形的四個角都是直角.
矩形的對角線相等.
歸納總結(jié)
幾何語言描述：
在矩形ABCD中，對角線AC與DB相交于點O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
探索&交流
矩形的性質(zhì)
矩形的對邊平行且相等.
角
對角線
邊
矩形的對角線相等.
矩形的對角線互相平分.
矩形的四個角都是直角.
矩形的對角相等.
對稱性
矩形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.
探索&交流
做一做
A 　
B 　
C 　
D 　
O 　
如圖，一張矩形紙片，畫出兩條對角線，沿著對角線AC剪去一半.
B
C
O
A
問題 Rt△ABC中，BO是一條怎樣的線段？
它的長度與斜邊AC有什么關(guān)系？
猜想：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
試給出數(shù)學(xué)證明.
探索&交流
O
C
B
A
D
證明: 延長BO至D, 使OD=BO,連接AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中線.求證:BO= AC .
∴BO= BD= AC.
矩形的性質(zhì).直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
例題&解析
例題欣賞

例1.如圖，在矩形 ABCD 中，兩條對角線相交于點 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求這個矩形對角線的長.
解：∵四邊形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的對角線相等）
OA = OC = AC，OB = OD = BD，
∴OA = OD。
∵∠AOD = 120°，
∴∠ODA =∠OAD = (180°-120°) = 30°。
∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5.
例2.如圖，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D為 AB 的中點，AE∥CD，CE∥AB，試判斷四邊形 ADCE 的形狀，并證明你的結(jié)論.
解：四邊形 ADCE 是菱形，
證明：∵ AE∥CD，CE∥AB，
∴四邊形 ADCE 為平行四邊形.
又∵在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，
D 為 AB 中點，
∴ AD = CD . ∴四邊形 ADCE 為菱形.
例題欣賞

例題&解析
例題&解析
例題欣賞

例3.證明：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.
證明：如圖，在△ABC 中，AC邊的中線 BD 等于 AC 的一半，則 AD = BD = DC，
∴∠1=∠A，∠2=∠C.
又∵∠1+∠A+∠2+∠C = 180°，
∴2（∠1+∠2）=180°，即∠ABC = 90°，
故△ABC 為直角三角形.
練習(xí)&鞏固
1.若直角三角形的兩條直角邊分別5和12,則斜邊上的中線長為 ( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能確定
C
練習(xí)&鞏固
2.如圖，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D為AB中點，若DE=5，AE=8，則BE的長為______．
6
練習(xí)&鞏固
3.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的動點，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.
解：連接OP.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC
= S矩形ABCD= ×6×8=12.
在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10，
∴AO=OD=5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD，
∴ AO·PE+ DO·PF=12，即5PE+5PF=24，
∴PE+PF= .
小結(jié)&反思
1．矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，因此，矩形是平行四邊形的特例，具有平行四邊形所有性質(zhì)．
2．性質(zhì)歸納：
(1)邊的性質(zhì)：對邊平行且相等．
(2)對角線性質(zhì)：對角線互相平分且相 等．
(3)對稱性：矩形是軸對稱圖形．
第2課時
學(xué)習(xí)&目標(biāo)
1.掌握矩形的判定方法，理解矩形的性質(zhì)與判定的區(qū)別與聯(lián)系.
2.會初步運用矩形的性質(zhì)、判定等知識，解決簡單的證明和計算，進一步培養(yǎng)學(xué)生的分析能力 .
3.經(jīng)歷矩形判定定理的猜想與證明過程，理解并掌握矩形的判定定理（重點）．
4.能應(yīng)用矩形的判定解決簡單的證明題和計算題（難點）.
情境&導(dǎo)入
有一個角是直角的平行四邊形.
矩形的定義：
平行四邊形
矩形
有一個角是直角
性質(zhì) 邊 角 對角線
矩形
矩形的對邊平行且相等.
矩形的兩條對角線相等且互相平分.
矩形的四個角都是直角.
情境&導(dǎo)入
思考 工人師傅在做門窗或矩形零件時，如何確保圖形是矩形呢？現(xiàn)在師傅帶了兩種工具（卷尺和量角器），他說用這兩種工具的任意一種就可以解決問題，這是為什么呢？
這節(jié)課我們一起探討矩形的判定吧.
探索&交流
矩形的判定
1—
如圖，是一個平行四邊形活動框架，拉動一對不相鄰的頂點時，平行四邊形的形狀會發(fā)生變化.
（1）隨著∠α的變化兩條對角線的長度將發(fā)生怎樣的變化？
探索&交流
（2）當(dāng)兩條對角線的長度相等時平行四邊形有什么特征？由此你能得到一個怎樣的猜想？
猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.
探索&交流
已知：如圖,在□ABCD中,AC , DB是它的兩條對角線, AC=DB.求證：□ABCD是矩形.
證明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC=∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定義）.
A
B
C
D
探索&交流
ABCD
AC = BD
ABCD是矩形
矩形的判定定理：
對角線相等的平行四邊形是矩形.
幾何語言描述：
在平行四邊形ABCD中，∵AC=BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形.
A
B
C
D
例題&解析
例題欣賞

例1.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC. 求證：四邊形ABCD是矩形.
探索&交流
證明：∵AB∥CD且AB＝CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABD＝∠BDC.
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BAC.
∴OA＝OB.∴AC＝BD.
∴四邊形ABCD是矩形．
探索&交流
想一想
我們知道，矩形的四個角都是直角.反過來，一個四邊形至少有幾個角是直角時，這個四邊形就是矩形呢？請證明你的結(jié)論， 并與同伴交流.
猜想：有三個角是直角的四邊形是矩形.
探索&交流
已知：如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求證：四邊形ABCD是矩形.
證明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是矩形.
A
B
C
D
探索&交流
矩形的判定定理：
有三個角是直角的四邊形是矩形.
幾何語言描述：
在四邊形ABCD中，
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四邊形ABCD是矩形.
A
B
C
D
探索&交流
數(shù)學(xué)來源于生活，事實上工人師傅為了檢驗兩組對邊相等的四邊形窗框是否成矩形，一種方法是量一量這個四邊形的兩條對角線長度，如果對角線長相等，則窗框一定是矩形，你現(xiàn)在知道為什么了嗎？
對角線相等的平行四邊形是矩形.
議一議
例題&解析
例題欣賞

例2 如圖在 □ ABCD 中，對角線 AC 和 BD 相交于點 O，△ABO 是等邊三角形，AB = 4.
求 □ ABCD 的面積.
例題&解析
解: ∵四邊形 ABCD 是平行四邊形,
∴OA = OC,OB = OD.
又∵△ABO 是等邊三角形，
∴OA = OB = AB = 4.
∴OA = OB = OC = OD = 4.
∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
∴□ABCD 是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）.
∴∠ABC = 90°（矩形的四個角都是直角）.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2，
∴BC=
∴S□ABCD = AB·BC = 4× = .
例題&解析
例題欣賞

例3.如圖，在△ABC中, AB=AC,D為BC上一點，以AB,BD為鄰邊作平行四邊形ABDE,連接AD , EC.
（1）求證：△ADC≌△ECD;
（2）若BD=CD,求證：四邊形ADCE是矩形.
A
D
C
E
B
例題&解析
證明：（1）∵△ABC是等腰三角形,
∴∠B=∠ACB.
又∵四邊形ABDE是平行四邊形,
∴∠B=∠EDC,AB=DE,
∴∠ACB=∠EDC,
∴△ADC≌△ECD.
(2)∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.
∵四邊形ABDE是平行四邊形,
∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,
∴四邊形ADCE是平行四邊形.
而∠ADC=90°,
∴四邊形ADCE是矩形.
練習(xí)&鞏固
C
1.能夠判斷一個四邊形是矩形的條件是( )
A．對角線相等 B．對角線垂直
C．對角線互相平分且相等 D．對角線垂直且相等
練習(xí)&鞏固
2.如圖,直線EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點,AB、CB、CD、AD分別是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分線,則四邊形ABCD是 （ ）
A.梯形 B.平行四邊形 C.矩形 D.不能確定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
練習(xí)&鞏固
3. 如圖，點 B 在 MN 上，過 AB 的中點 O 作 MN 的平行線，分別∠ABM 的平分線和∠ABN 的平分線于點 C，D.試判斷四邊形 ACBD 的形狀，并證明你的結(jié)論.
練習(xí)&鞏固
證明: ∵CD ∥MN , BC, BD 分別為∠MBA ,∠ABN 的平分線,
∴∠ABD ＝∠DBN ＝∠CDB, ∠ABC ＝∠CBM ＝∠DCB,
且∠CBD ＝90°, ∴OC＝OB＝OD ＝OA ．
∵∠AOD ＝∠COB,∴△AOD ≌△COB,
則∠DAO＝∠OBC, AD ∥BC, AD ＝BC,
∴四邊形 ACBD 為平行四邊形．
又∵AB ＝ CD , ∴四邊形 ACBD 為矩形．
小結(jié)&反思
1.矩形的判定方法：
（1）矩形的判定與性質(zhì)是互逆定理；
（2）判定矩形的常見思路如下：
平行四邊形
四邊形
矩形
對角線
互相平分
有三個角是直角
有一個角是直角
對角線相等
第3課時
學(xué)習(xí)&目標(biāo)
1.掌握矩形的性質(zhì)及判定方法
2.會運用矩形的性質(zhì)及判定方法進行計算和證明（重點）
3.矩形的性質(zhì)和判定方法與其他有關(guān)知識的綜合運用（難點）
情境&導(dǎo)入
矩形的定義
矩形判定定理
矩形判定定理
有三個角是直角的四邊形是矩形.
有一個角是直角的平行四邊形.
對角線相等的平行四邊形是矩形.
探索&交流
矩形的性質(zhì)與判定綜合運用
1—
例1.如圖，矩形 ABCD 的兩條對角線相交于點 O，已知∠AOD = 120°，AB = 2.5cm，則∠DAO = ______，AC=______cm，
30°
5
例題&解析
例題欣賞

例2.如圖，在矩形ABCD中，AD=6，對角線AC與BD交于點O，AE ⊥BD，垂足為E，ED=3BE. 求AE的長.
解∵ 四邊形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD = 90°（矩形的四個都是直角），
AC = BD（矩形的對角線相等）
AO = CO = AC，BO=DO = BD（矩形的對角線互相平分）.
∴AO = BO = DO = BD.
∵ED = 3BE，∴BE = OE，
又∵AE⊥BD，∴AB = AO. ∴AB = AO = BO，
即 △ABO是等邊三角形. ∴∠ABO = 60°.
∴∠ADB = 90°-∠ABO = 90°- 60°= 30°.
∴AE = AD = ×6 = 3.
例題&解析
例題&解析
例題欣賞

例3.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一條角平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．
（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）連接DE，交AC于點F，請判斷
四邊形ABDE的形狀，并證明；
（3）線段DF與AB有怎樣的關(guān)系？
請直接寫出你的結(jié)論.
證明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM，
∴∠CAD = ∠BAC，∠CAN = ∠CAM.
∴∠DAE =∠CAD +∠CAN= （∠BAC +∠CAM）= ×180°=90°.
在△ABC中，∵AB = AC，AD為∠BAC 的平分線，
∴AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°.
又∵CE⊥AN，∴∠CEA = 90° .
∴四邊形 ADCE 為矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形）.
（2）解：四邊形ABDE是平行四邊形，理由如下：
由（1）知，四邊形ADCE為矩形，
則AE=CD，AC=DE．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形；
例題&解析
例題&解析
例題欣賞

在例題4 中，若連接 DE，交 AC 于點 F.
（1）試判斷四邊形 ABDE 的形狀，并證明你的結(jié)論.
四邊形 ABDE 是平行四邊形，
證明：∵△ABC 是等腰三角形且 AD⊥BC，
∴BD = CD,
又∵ADCE是矩形，∴AE = CD，AE∥CD，
∴BD=AE, BD∥AE,
∴四邊形 ABDE 是平行四邊形.
探索&交流
在例題4 中，若連接 DE，交 AC 于點 F.
（2）線段 DF 與 AB 有怎樣的關(guān)系？請證明你的結(jié)論.
DF∥AB，DF = AB.
證明：四邊形 ABDE 是平行四邊形，
∴AC = DE, ∴DF = AC.
又∵AB = AC，∴ DF = AB.
∴DF∥AB.
∵四邊形 ABDE 是平行四邊形.
例題&解析
例題欣賞

例4.如圖所示，在△ABC中，D為BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF＝BD.連接BF.
(1)BD與DC有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由．
探索&交流
解：(1)BD＝CD.理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中點，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF＝DC.
∵AF＝BD，
∴BD＝DC；
探索&交流
(2)當(dāng)△ABC滿足AB＝AC時，四邊形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形．
∴AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ADB＝90°.
∴四邊形AFBD是矩形．
練習(xí)&鞏固
1.如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，若∠CAE＝15°，則∠BOE＝____度．
75
練習(xí)&鞏固
2．如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點，AH⊥BC于點H，連接EH，若DF＝10 cm，則EH等于(　　)
A．8 cm　　B．10 cm　　C．16 cm　　D．24 cm
B
練習(xí)&鞏固
3. 已知：如圖，在△ABC中，AB = AC ，D 為 BC 的中點，四邊形 ABDE 是平行四邊形. 求證：四邊形 ADCE 是矩形.
證明: 在△ABC 中, AB＝AC, D 為 BC 的中點,
∴∠ADC ＝ 90°, BD ＝ CD ．
又∵四邊形 ABDE 是平行四邊形,
∴ BD AE, 則 CD AE．
∴四邊形 ADCE 為平行四邊形．
又∵∠ADC ＝ 90°,
∴四邊形 ADCE 為矩形．
∥
=
∥
=
小結(jié)&反思
與全等三角形的結(jié)合
矩形的性質(zhì)與判定的綜合
與平面直角坐標(biāo)系的結(jié)合
折疊問題

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