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(共46張PPT)
3.1 正方形的性質(zhì)與判定
第一章 特殊平行四邊形
第1課時(shí)
學(xué)習(xí)&目標(biāo)
1.掌握正方形的定義及性質(zhì)
2.探索并證明正方形的性質(zhì)，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別（重點(diǎn)）
3.會(huì)應(yīng)用正方形的性質(zhì)解決相關(guān)證明及計(jì)算問題（難點(diǎn)）
情境&導(dǎo)入
觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無(wú)處不在.
你還能舉出其他的例子嗎？
探索&交流
正方形的性質(zhì)與判定
1—
圖中的四邊形都是特殊的平行四邊形．觀察這些特殊的平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？
你能總結(jié)出正方形的定義嗎？
探索&交流
活動(dòng)一：準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，得到一個(gè)四邊形.
問題1：折疊后得到的特殊四邊形是什么四邊形？
正方形
活動(dòng)二：把可以活動(dòng)的菱形框架的一個(gè)角變?yōu)橹苯牵^察這時(shí)菱形框架的形狀.
問題2：經(jīng)過變化后得到特殊四邊形是什么四邊形？
有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.
正方形
探索&交流
（1）正方形是矩形嗎？是菱形嗎？
（2）你認(rèn)為正方形具有哪些性質(zhì)？與同伴交流.
探索&交流
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形與菱形的所有性質(zhì).
A
B
C
D
a
a
a
a
議一議
探索&交流
相關(guān)圖形性質(zhì)的關(guān)系
平行四邊形的性質(zhì)
對(duì)邊平行且相等
對(duì)角相等
對(duì)角線互相平分
菱形的性質(zhì)
四條邊相等
對(duì)角線互相垂直
四個(gè)角都是直角
對(duì)角線相等
矩形的性質(zhì)
正方形的性質(zhì)
探索&交流
已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.
求證：正方形ABCD四邊相等,四個(gè)角都是直角.
A
B
C
D
證明：∵四邊形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定義）.
又∵正方形是平行四邊形.
∴正方形是矩形（矩形的定義）,
正方形是菱形(菱形的定義).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
探索&交流
已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
證明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
正方形的性質(zhì)
定理：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等.
定理：正方形的對(duì)角線相等并且互相垂直平分.
探索&交流
想一想
正方形有幾條對(duì)稱軸？
正方形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.
正方形有 4 條對(duì)稱軸.
例題&解析
例題欣賞

例1.如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE＝CF . BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：
(1)∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角)．
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.
∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF.
(2)延長(zhǎng)BE交DF于點(diǎn)M(如圖)．
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF.
∵∠DCF＝90°，
∴∠CDF＋∠F＝90°.
∴∠CBE＋∠F＝90°.
∴∠BMF＝90°.
∴BE⊥DF.
例題&解析
平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有么關(guān)系？你能用一個(gè)你喜歡的方式直觀地示它們之間的關(guān)系嗎 ？與同伴交流.
矩形
菱形
正
方
形
平行四邊形
平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系：
正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.
議一議
探索&交流
例題&解析
例題欣賞

例2.如圖，四邊形ABCD 是正方形，點(diǎn)E在BC 的延長(zhǎng)線上.如果BE=BD，且AB=2 cm，求∠ E 的度數(shù)和BE 的長(zhǎng).
例題&解析
例題&解析
例題欣賞

例3.如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形，
求證：∠EAD＝∠EDA＝15° .
證明：∵ ΔBEC是等邊三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
練習(xí)&鞏固
1.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（ ）
A.四條邊相等 B.對(duì)角線互相垂直平分
C.對(duì)角線平分一組對(duì)角 D.對(duì)角線相等
D
練習(xí)&鞏固
2.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH.若BE∶EC＝2∶1，則線段CH的長(zhǎng)是(　　)
A．3　　　 B．4　　　
C．5　　　 D．6
B
練習(xí)&鞏固
3.如圖，四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AO＝2，求正方形的周長(zhǎng)與面積．
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
∴正方形的周長(zhǎng)為4AD＝ ，
面積為AD2＝8.
小結(jié)&反思
正方形同時(shí)具備平行四邊形，矩形，菱形的所有性質(zhì)，因此，正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，對(duì)角線互相垂直平分且相等，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，正方形是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．這些性質(zhì)為證明線段相等、垂直，角相等提供了重要的依據(jù)．
第2課時(shí)
學(xué)習(xí)&目標(biāo)
1．探索并證明正方形的判定，了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；
2．會(huì)運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算 .
3.探索并證明正方形的判定，并了解平行四邊形、 矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.（重點(diǎn)）
4.會(huì)運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.（難點(diǎn)）
情境&導(dǎo)入
正方形的定義
有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。
平行四邊形
一組鄰邊相等
一個(gè)角是直角
正方形
正方形的對(duì)角線相等并且互相垂直平分.
正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等.
正方形的性質(zhì)
情境&導(dǎo)入
問題：你是如何判斷是矩形、菱形？
平行四邊形
矩形
菱形
四邊形
三個(gè)角是直角
四條邊相等
定義
三個(gè)判定定理
定義
對(duì)角線相等
定義
對(duì)角線垂直
探索&交流
正方形的性質(zhì)與判定
1—
探究一 準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個(gè)正方形，可量一量驗(yàn)證驗(yàn)證.
正方形
猜想 滿足怎樣條件的矩形是正方形？
矩形
一組鄰邊相等
對(duì)角線互相垂直
正方形
探索&交流
定理：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.
已知：ABCD是矩形，且AB=BC，試證明，ABCD是正方形.
證明：∵ABCD 是矩形，
∴∠A = 90°，
又∵AB = BC，
∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
探索&交流
已知：ABCD是矩形，AC⊥BD，試證明，ABCD是正方形.
證明：∵ABCD 是矩形，
∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD
又∵AC⊥BD，
∴△AOB≌△AOD（SAS）
∴AB=AD
∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
定理：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.
探索&交流
探究二 把可以活動(dòng)的菱形框架的一個(gè)角變?yōu)橹苯牵^察這時(shí)菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.
正方形
猜想 滿足怎樣條件的菱形是正方形？
菱形
一個(gè)角是直角
對(duì)角線相等
正方形
探索&交流
定理：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD是菱形，∠A=90°，試證明，ABCD是正方形.
證明：∵ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，
又∵∠A = 90° ，
∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
探索&交流
定理：對(duì)角線相等的菱形是正方形.
已知：四邊形ABCD是菱形，AC=BD，試證明：四邊形ABCD是正方形.
證明：∵四邊形ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD
∴AC⊥BD（菱形對(duì)角線互相垂直）
又∵AC = BD ，
∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.
∴∠ABC = 90°.
∴四邊形ABCD 是正方形（正方形的定義）.
例題&解析
例題欣賞

例1.已知：如圖，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，
求證：四邊形 BECF 是正方形.
45°
45°
例題&解析
證明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四邊形BECF是平行四邊形.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°,
∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB,
∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°,
∴ ∠ EBC =∠ ECB .
∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 .
在△EBC中
∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°,
∴∠BEC = 90°,
∴菱形BECF是正方形.
探索&交流
做一做
如圖，任意畫一個(gè)四邊形，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個(gè)新四邊形，這個(gè)新四邊形的形狀有什么特征？正方形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？
任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.
三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．
探索&交流
已知：如圖，點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H 分別是正方形ABCD 各邊的中點(diǎn).求證：四邊形 EFGH為正方形.
證明：連接 AC，BD，
∵ E，F(xiàn) 分別是 AB 和 BC 邊中點(diǎn)，
∴ EF∥AC 且EF = AC，
同理可證 HG∥AC 且HG = AC，
EH∥BD且 EH = BD，F(xiàn)G∥BD且FG = BD.
∴四邊形 PFQO 為平行四邊形.
探索&交流
菱形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？矩形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？
菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形.
你能試著證明嗎？
矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形.
探索&交流
已知：如圖，點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H 分別是菱形 ABCD 各邊的中點(diǎn). 求證：四邊形 EFGH 為矩形.
證明：連接 AC，BD，
∵ E，F(xiàn)分別是 AB 和 BC 邊中點(diǎn)，
∴ EF∥AC，同理可證 HG∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD.
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四邊形 EFGH ，PFQO 為平行四邊形.
又∵四邊形 ABCD 是菱形
∴AC⊥BD（菱形的對(duì)角線互相垂直），
∴∠1=90°，∠2=90°.
∴四邊形 EFGH 是矩形（矩形的定義）
探索&交流
已知：如圖，點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H 分別是矩形 ABCD 各邊的中點(diǎn). 求證：四邊形 EFGH 為菱形.
證明：連接 AC，BD，
∵ E，F(xiàn) 分別是 AB 和 BC 邊中點(diǎn)，
∴EF∥AC 且 EF = AC，
同理可證 HG∥AC且HG = AC，
EH∥BD且EH= BD，F(xiàn)G∥BD且FG= BD.
∴四邊形 EFGH 為平行四邊形.
又∵四邊形 ABCD是矩形
∴AC=BD（矩形的對(duì)角線相等），∴EF=EH
∴四邊形 EFGH 是菱形（菱形的定義）
例題&解析
例題欣賞

例2.如圖，在四邊形ABCD中, AB=BC ,對(duì)角線BD平分 ABC , P是BD上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PM AD , PN CD ,垂足分別為M、N.
(1) 求證： ADB= CDB;
(2) 若 ADC=90 ,求證：四邊形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
證明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
∴△ABD≌△CBD (AAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
例題&解析
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵∠ADC=90°;
又∵PM⊥AD,PN⊥CD;
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四邊形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB;
∴∠ADB=∠CDB=45°.∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四邊形NPMD是正方形.
練習(xí)&鞏固
1．四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形一定是（ ）
A.正方形 B.菱形
C.矩形 D.平行四邊形
C
練習(xí)&鞏固
2.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再?gòu)蘑貯B=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，其中錯(cuò)誤的是___________（只填寫序號(hào)）．
②③或①④
練習(xí)&鞏固
3.在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．
四邊形EFMN是正方形嗎 為什么
練習(xí)&鞏固
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四邊形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四邊形EFMN是正方形 .
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
小結(jié)&反思
正
方
形
對(duì)角線相等
性質(zhì)
判定
正方形的面積公式
特殊的矩形
一組鄰邊相等
對(duì)角線互相垂直
特殊的菱形
一個(gè)角是直角

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