資源簡介

(共33張PPT)
2.1 認識一元二次方程
第二章 一元二次方程
第1課時
學習&目標
1.理解一元二次方程的概念.（難點）
2.根據一元二次方程的一般形式，確定各項系數.
3.理解并靈活運用一元二次方程概念解決有關問題.(重點）
探索&交流
一元二次方程概念
1—
問題1 幼兒園活動教室矩形地面的長為 8 m，寬為 5 m，現準備在地面的正中間鋪設一塊面積為 18 m2 的地毯，四周未鋪地毯的條形區域的寬度都相同.
8m
5m
已知量：
未知量：
矩形地面的長、寬
地毯的面積
地毯的長、寬
條形區域的寬
探索&交流
解：如果設所求的寬為xm ,那么地毯中央長方形圖案的長為 m,寬為　 　　 m,根據題意,可得方程：
(8-2x)
(5-2x)
x
x
(8–2x)
x
x
(5–2x)
(8- 2x)（5-2x）=18.
化簡：2x2 - 13x + 11 = 0 .①
該方程中未知數的個數和最高次數各是多少？
探索&交流
問題2:觀察下面等式：
102＋112＋122 ＝132＋142
　　你還能找到其他的五個連續整數，使前三個數的平方和等于后兩個數的平方和嗎？
如果設五個連續整數中的第一個數為 x，那么后面四個數依次可表示為：_______，_______，_______，_______。
根據題意，可得方程：
x2 +(x＋1)2 +(x＋2)2 =(x＋3)2 +(x＋4)2
x＋1
x＋2
x＋3
x＋4
去括號、移項、合并同類項
x2-8x-20 = 0
探索&交流
問題3：如圖，一個長為 10 m 的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為 8 m．如果梯子的頂端下滑 1 m，那么梯子的底端滑動多少米？
解：由勾股定理可知，滑動前梯子底端距墻　 m
如果設梯子底端滑動xm，那么滑動后梯子底端距墻　　　　m
根據題意，可得方程：
72＋(x＋6)2＝102
6
（x＋6）
x2＋12x－15＝ 0
探索&交流
議一議
(8－2x)(5－2x ) = 18
2x2-13x+11=0
x2 +(x＋1)2 +(x＋2)2 =(x＋3)2 +(x＋4)2
x2 -8x-20=0
72＋(x＋6)2 ＝ 102
x2＋12x－15＝0
由上面三個問題，我們可以得到三個方程：
上述三個方程有什么共同特點？
1.只含有一個未知數;
2.未知數的最高次數是2;
3.整式方程．
探索&交流
只含有一個未知數x的整式方程，并且都可以化為ax2+bx+c=0(a,b,c為常數, a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程.
我們把ax2＋bx＋c＝0（a，b，c為常數，a≠0） 稱為一元二次方程的一般形式.
ax2
bx
c
二次項
一次項
常數項
a
b
二次項系數
一次項系數
探索&交流
想一想 為什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以為零嗎？
當 a = 0 時
bx＋c = 0
當 a ≠ 0，b =0時 ，
ax2＋c = 0
當 a ≠ 0 ，c=0時 ，
ax2＋bx = 0
當 a ≠0 ，b=c=0時 ，
ax2 = 0
總結：只要滿足a≠0，b，c可以為任意實數.
例題&解析
例題欣賞

例1.下列方程：① x2+y－6=0；② x2+=2；③ x2－x－2=0；④ 2x2－3x=2(x2－2)，其中是一元二次方程的有 _____ (填序號).
③
例題&解析
例題欣賞

例2.如果方程(m－3)·xm2－7－x+3=0 是關于x的一元二次方程，那么m 的值為( )
A. ±3 B. 3
C. －3 D. 以上都不對
C
例3.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項．
常數項為
解：將原方程化簡為：
　　9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9)
9x2＋12x＋4＝
9x2
二次項系數為 ，
一次項系數為 ，
5
36
－ 32
4 x2 －24x ＋36
－ 4 x2
＋ 24x
－ 36
＋ 12x
＋ 4
＝0
5x2 ＋ 36 x － 32＝0
例題欣賞

例題&解析
練習&鞏固
1.將一元二次方程3x2－2=－4x 化成一般形式ax2+bx+c=0(a ＞0)后，一次項和常數項分別是( )
A．－4，2 B．－4x，2
C．4x，－2 D．3x2，2
C
練習&鞏固
2.如果方程(m－3)·xm2－7－x+3=0 是關于x的一元二次方程，那么m 的值為( )
A. ±3 B. 3
C. －3 D. 以上都不對
C
練習&鞏固
3.把下列一元二次方程轉化成一般形式，并寫出它們的二次項系數、一次項系數及常數項.
(1)(x+1)(x－2)=4；
(2)2(x－3)(x+4)=x2－10；
(3)(2x+1)(x－2)=5－3x.
練習&鞏固
解：(1)整理方程，得x2－x－6=0.
其中二次項系數為1，一次項系數為－1，常數項為－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14=0.
其中二次項系數為1，一次項系數為2，常數項為－14.
(3)整理方程，得2x2－7=0.
其中二次項系數為2，一次項系數為0，常數項為－7.
小結&反思
通過這節課的學習活動，你有什么收獲？
只含有一個未知數 x 的整式方程，
并且都可以化為 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c為常數，a≠0)的形式，
這樣的方程叫做一元二次方程．
第2課時
學習&目標
1.理解方程的解的概念.
2.經歷對一元二次方程解的探索過程并理解其意義.(重點)
3.會估算一元二次方程的解.（難點）
情境&導入
一元二次方程有哪些特點？
① 只含有一個未知數;
②未知數的最高次項系數是2;
③整式方程
一元二次方程的一般形式是什么？
ax2 +bx + c = 0(a , b , c為常數, a≠0)
使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的____.
解
探索&交流
一元二次方程的根
1—
一元二次方程的根：使一元二次方程等號兩邊相等的未知數的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
練一練：下面哪些數是方程 x2–x–7=0 的解
-5 ,-3.5 , -3 ,-2 ,0 ,1.5,2,3 ,4，6
解：
-3和4.
例題&解析
例題欣賞

例1.已知a是方程 x2+2x－2=0 的一個實數根, 求 2a2+4a+2018的值.
解：由題意，得
探索&交流
問題1：在上一課中，我們知道四周未鋪地毯部分的寬度x滿足方程(8 -2x)(5-2x)= 18，你能求出這個寬度嗎？
(1) x可能小于0嗎 說說你的理由．
(2) x可能大于4嗎 可能大于2.5嗎
說說你的理由.
x不可能小于0 ，因為寬度不能為負.
x不可能大于4 ，(8-2x)表示地毯的長，所以有8-2x>0.x不可能大于2.5，(5-2x)表示地毯的寬，所以有5-2x>0.
探索&交流
（2）你能確定 x 的大致范圍嗎？
0 < x < 2.5
（3）填寫下表：
x 0.5 1 1.5 2
(8-2x)(5-2x)
28
18
10
4
（4）你知道地毯花邊的寬 x(m) 是多少嗎？還有其他求解方法嗎？與同伴進行交流.
所求寬度為 x = 1 m.
探索&交流
做一做
問題2：在上一課中，梯子的底端滑動的距離x滿足方程
x2 +12 x-15=0.
10m
8m
1m
xm
你能猜出滑動距離x的大致范圍嗎？
(1) 小明認為底端也滑動了1 m,他的說法正確嗎？為什么？
(2) 底端滑動的距離可能是2m嗎？
可能是3m嗎？為什么？
不正確，因為 x = 1時，方程左邊不等于 0
不可能是2，因為x=2時，方程左邊不等于0.
不可能是3，因為x=3時，方程左邊不等于 0.
探索&交流
（3）你能猜出滑動距離 x(m) 的大致范圍嗎？
（4）x的整數部分是幾？十分位是幾？
x2＋12x－15＝0
填寫下表你能發現 x 的大致范圍嗎？
x 0 0.5 1 1.5 2
x2 +12x-15
-15
-8.75
-2
5.25
13
通過觀察發現，若想使代數式的值為0，那么x的取值應在1和1.5之間。
所以 1 < x < 1.5
探索&交流
x2＋12x－15＝0
進一步計算：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2 +12x-15
-0.59
0.84
2.29
3.76
所以 1.1＜x＜1.2
因此 x 的整數部分是 1，十分位是 1。
例題&解析
例題欣賞

例2.根據題意,列出方程,并估算方程的解：
一面積為120 m2 的矩形苗圃，它的長比寬多2 m，苗圃的長和寬各是多少？
解：設苗圃的寬為x m,則長為(x+2) m .根據題意，得
x (x + 2) = 120，即 x2 + 2x - 120 = 0.
由題意,得x的取值范圍大致是0 < x < 11.解方程 x2+2x-120=0.
完成下表(在0 < x < 11這個范圍內取值計算,逐步逼近):
x … …
x2 +2x–120 … …
8 9 10 11
-40 -21 0 23
120 m2
(x+2)m
xm
所以x=10.因此這苗圃的長是12米，寬是10米.
練習&鞏固
1. 如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一個根，那么字母b的值為(　　)
A. 3　　B. －3　　C. 4　　D．－4
B
練習&鞏固
2.已知關于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個根是3，求a的值.
解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0，
化簡，得9+4a=0.
即4a=-9.
練習&鞏固
有一條長為 16 m 的繩子，你能否用它圍出一個面積為 15 m2 的矩形？若能，則矩形的長、寬各是多少？
解: 設矩形的寬為 x m．
x(8－x) ＝ 15．
x ＝ 3 或5
所以，矩形的寬為 3 m，長為 5 m．
小結&反思
一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0)
一元二次方程
概念
一個未知數
最高次是2
整式方程
一元二次方程 的根
一元二次方程解的估算（二分法求近似解）

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