資源簡介

2.2 用配方法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
第1課時(shí)
學(xué)習(xí)&目標(biāo)
1.會(huì)用直接開平方法解形如(x+m)2＝n(n>0)的方程.（重點(diǎn)）
2.理解配方法的基本思路.（難點(diǎn)）
3.會(huì)用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程.（重點(diǎn)）
情境&導(dǎo)入
如果一個(gè)數(shù)的平方等于 4，則這個(gè)數(shù)是____，
若一個(gè)數(shù)的平方等于 7，則這個(gè)數(shù)是_____.
一個(gè)正數(shù)有幾個(gè)平方根，它們具有怎樣的關(guān)系？
3.平方根的意義.
±2
兩個(gè)平方根，互為相反數(shù).
如果x2 =a (a≥0)，那么x= .
4.用字母表示因式分解的完全平方公式.
a2±2ab+b2=(a±b)2
探索&交流
用直接開平方法求解一元二次方程
1—
問題：一桶油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個(gè)同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？
解：設(shè)正方體的棱長為x dm，則一個(gè)正方體的表面積為6x2dm2，可列出方程
10×6x2=1500，
由此可得
x2=25
開平方得
即x1=5，x2=－5.
因棱長不能是負(fù)值，所以正方體的棱長為5dm．
x=±5，
探索&交流
1. 定義 利用平方根的意義直接開平方求一元二次方程解的方法叫做直接開平方法.
注意
直接開平方法利用的是平方根的意義，所以要注意兩點(diǎn)：
不要只取正的平方根而遺漏負(fù)的平方根；
只有非負(fù)數(shù)才有平方根，所以直接開平方法的前提是x2=p中p ≥ 0.
探索&交流
2. 方程x2=p 的解(根)的情況
(1)當(dāng)p>0 時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1=－????，x2=?????；
(2)當(dāng)p=0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=0；
(3)當(dāng)p<0 時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.
?
例題&解析
例題欣賞
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例1.用直接開平方法解下列方程：
(1)9x2－81=0；
(2)2(x－3)2－50=0.
解：(1)移項(xiàng)，得9x2=81.系數(shù)化為1，得x2=9.開平方，得x=±3.
∴ x1=3，x2=－3.
(2)移項(xiàng)，得2(x－3)2=50.系數(shù)化為1，得(x－3)2=25.
開平方，得x－3=±5.
∴ x1=8，x2=－2.
探索&交流
議一議
你能解方程 x2 + 12x-15 = 0 嗎？你遇到的困難是什么？
你能設(shè)法將這個(gè)方程轉(zhuǎn)化成上面的形式嗎？與同伴進(jìn)行交流.
x2 + 12x -15 = 0
移項(xiàng)，得 x2 + 12x = 15
兩邊都加 62，得 x2 + 12x +62 = 15+62
即 ( x + 6 )2 = 51
兩邊開平方，得
探索&交流
解一元二次方程的基本思路是什么？
x2 +12x-15=0
( x + 6 )2 = 51
解一元二次方程的思路是將方程轉(zhuǎn)化為 (x+m)2 = n 的形式.
一元二次方程
(代數(shù)式)2=常數(shù)
一元一次方程
轉(zhuǎn)化
開平方
降次
由應(yīng)用直接開平方法解形如：x2=p（p≥0），那么x=±
由應(yīng)用直接開平方法解形如：（mx+n）2=p（p≥0），則mx+n=_____ .
探索&交流
議一議
填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立：
1. x2 + 12x +_____ = (x+6)2
2. x2 - 4x +_____= (x - ___)2
3. x2 + 8x +_____= (x +___)2
62
22
2
42
4
上面等式的左邊常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)有什么關(guān)系？
一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方
對于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？
探索&交流
將方程化為(x+m)2=n的形式，它的一邊是一個(gè)完全平方式，另一邊是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)n≥0時(shí)，兩邊同時(shí)開平方即可求出它的解，這種方法叫配方法．
定義：
用配方法解形如 x2 + px + q = 0
①將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊. x2 +px=-q
②兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.x2 +px+（ ）2 =（ ）2 -q
③直接用開平方法求出它的解.（x + ）2 =（ ）2 - q
探索&交流
2.用配方法解一元二次方程的一般步驟
(1)移項(xiàng). (2)二次項(xiàng)系數(shù)化為1. (3)配方. (4)開方.
例題&解析
例題欣賞
?
例2.解方程：x2 + 8x–9 = 0.
解: 可以把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得
x2 + 8x = 9.
兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù) 8 的一半的平方，得
x2 + 8x + 42 = 9 + 42，
(x+4)2 = 25.
兩邊開平方，得 x + 4 = ±5，
即 x+4 =5，或 x+4 =-5.
所以 x1 = 1，x2 = -9.
例題&解析
例題欣賞
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例3.用配方法解一元二次方程
(1)x2+4x+3=0； (2)x2+x－ ????????=0；
(3)(1+x)2+2(1+x)－3=0.
?
例題&解析
解：(1)移項(xiàng)，得x2+4x=－3.配方，得x2+4x+22=－3+22.
∴(x+2)2=1. ∴ x1=－1，x2=－3.
(2)移項(xiàng)，得x2+x= ????????.
配方，得x2+x+(????????)2= ????????+(????????)2.
∴ (x+ ????????)2=1.∴ x1= ????????，x2=－ ????????.
(3)移項(xiàng)，得(1+x)2+2(1+x)=3.
配方，得(1+x)2+2(1+x)+12=3+12.
∴(1+x+1)2=4. ∴ x1=0，x2=－4.
?
練習(xí)&鞏固
1.方程 x2 - 4 = 0 的解是（ ）
A. x =2 B. x = -2
C. x =±2 D. x =±4
C
練習(xí)&鞏固
2.一名同學(xué)將方程x2－4x－3=0化成了(x+m)2=n 的形式，則m，n 的值應(yīng)為( )
A. m=－2，n=7 B. m=2，n=7
C. m=－2，n=1 D. m=2，n=－7
A
練習(xí)&鞏固
如圖，在一塊長 35 m、寬 26 m 的矩形地面上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分栽種花草，要使剩余部分的面積為 850 m2. 道路的寬應(yīng)為多少？
解: 設(shè)道路的寬為 x m．
35×26＝850＋(26＋35)x－x2．
x2－61x＋60＝0．
得 x1＝60(舍去)，x2＝1．
所以，道路的寬為 1 m．
35 m
26 m
練習(xí)&鞏固
解：(1)整理方程，得x2－x－6=0.
其中二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為－1，常數(shù)項(xiàng)為－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14=0.
其中二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為2，常數(shù)項(xiàng)為－14.
(3)整理方程，得2x2－7=0.
其中二次項(xiàng)系數(shù)為2，一次項(xiàng)系數(shù)為0，常數(shù)項(xiàng)為－7.
小結(jié)&反思
用配方法解
一元二次方程
直接開平方法：
基本思路：
解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程步驟
形如（x + m）2 = n (n≥0)
將方程轉(zhuǎn)化為（x+m）2 =n (n≥0)的
形式，在用直接開平方法，直接求根.
1.移項(xiàng)
3.直接開平方求解
2.配方
第2課時(shí)
學(xué)習(xí)&目標(biāo)
1.會(huì)用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程;.（重點(diǎn)）
2.能夠熟練地、靈活地應(yīng)用配方法解一元二次方程.（難點(diǎn)）
情境&導(dǎo)入
用配方法解一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）的步驟是什么？
步驟：（1）將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊,使方程的左邊只含二次項(xiàng)和一次項(xiàng);
（2）兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.
（3）直接用開平方法求出它的解.
情境&導(dǎo)入
將下列各式填上適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，配成完全平方式(口頭回答).
1. x2+2x+______= (x +___)2
12
1
2. x2-4x+_____= (x -___)2
22
2
3. x2+______+36 = (x +___)2
12x
6
4. x2 + 10x +_____= (x +___)2
52
5
5. x2-x+________= (x-____)2
探索&交流
配方法及其應(yīng)用
1—
問題1：觀察下面兩個(gè)是一元二次方程的聯(lián)系和區(qū)別：
① x2 - 6x–40 = 0 ;
② 3x2 +18x +24 = 0.
問題2：用配方法來解 x2 + 6x + 8 = 0 .
想一想怎么來解3x2 +18x +24 = 0.
移項(xiàng)，得 x2 - 6x = 40
方程兩邊都加上 32 （一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方），得
x2 - 6x + 32 = 40 + 32
即 (x-3)2 = 49
開平方，得 x - 3 = ±7
即 x - 3 = 7 或 x - 3 = -7
所以 x1 = 10，x2 = -4
探索&交流
解方程：② 3x2 +18x +24 = 0.
如果一元二次方程的系數(shù)不是1，我們應(yīng)該怎樣使用配方法去解方程呢？
在方程的兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)
解：方程兩邊都除以 3，得
移項(xiàng)，得
配方，得
兩邊開平方，得
所以
探索&交流
做一做
一小球以 15 m/s 的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度 h(m) 與時(shí)間 t(s) 滿足關(guān)系: h = 15t - 5t2，小球何時(shí)能達(dá)到 10 m 的高度？
解：根據(jù)題意得 15t -5t2 = 10
方程兩邊都除以 -5，得 t2 -3t = -2
配方，得
兩邊開平方，得
探索&交流
請你描述一下，在做一做中 t 有兩個(gè)值，它們所在時(shí)刻小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).
一小球以 15 m/s 的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度 h(m) 與時(shí)間 t(s) 滿足關(guān)系: h = 15t - 5t2，小球何時(shí)能達(dá)到 10 m 的高度？
t = 1 時(shí)，小球向上運(yùn)動(dòng)，
t = 2 時(shí)，小球向下運(yùn)動(dòng)。
探索&交流
思考：用配方法解一元二次方程的一般步驟.
①移項(xiàng)，二次項(xiàng)系數(shù)化為1；
②左邊配成完全平方式；
③左邊寫成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
例題&解析
例題欣賞
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例1.用配方法解一元二次方程：
(1)x2+4x+3=0； (2)x2+x－ ????????=0；
(3)2x2－4x－1=0； (4)(1+x)2+2(1+x)－3=0.
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例題&解析
解：(1)移項(xiàng)，得x2+4x=－3.配方，得x2+4x+22=－3+22.
∴(x+2)2=1. ∴ x1=－1，x2=－3.
(2)移項(xiàng)，得x2+x= ????????.
配方，得x2+x+(????????)2= ????????+(????????)2.
∴ (x+ ????????)2=1.∴ x1= ????????，x2=－ ????????.
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例題&解析
(3)移項(xiàng)，得2x2－4x=1.二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2－2x=???????? .
配方，得x2－2x+12= ????????+12，即(x－1)2= ????????.
∴ x1=1+ ?????????，x2=1－ ?????????.
(4)移項(xiàng)，得(1+x)2+2(1+x)=3.
配方，得(1+x)2+2(1+x)+12=3+12.
∴(1+x+1)2=4. ∴ x1=0，x2=－4.
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例題&解析
例題欣賞
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例2..若a,b,c為△ABC的三邊長，且
試判斷△ABC的形狀.
解：對原式配方，得
由代數(shù)式的性質(zhì)可知
所以，△ABC為直角三角形.
練習(xí)&鞏固
1.若關(guān)于x 的方程4x2－(m－2)x+1=0的左邊是一個(gè)完全平方式，則m 等于( )
A. －2 B. －2 或6
C.－2 或－6 D. 2 或－6
B
練習(xí)&鞏固
2.方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根為x = 0，則m的值為（ ）
A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2
C
練習(xí)&鞏固
3.解下列方程：
（1）4x2-6x-3=0； （2） 3x2+6x-9=0.
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
小結(jié)&反思
配方法
方法
步驟
一移常數(shù)項(xiàng)；
二配方[配上 ]；
三寫成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接開平方法解方程.
應(yīng)用
求代數(shù)式的最值或證明
在方程兩邊都配上

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