資源簡介

(共35張PPT)
2.3 用公式法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
第1課時
學習&目標
1.會用公式法解一元二次方程
2.掌握一元二次方程根的判別式
3.一元二次方程根的判別式的應用
情境&導入
問題：說一說用配方法解系數不為1的一元二次方程的步驟？
化：二次項系數化為 1 ；
移：將常數項移到等號右邊；
配：配方，使等號左邊成為完全平方式；
開：等號兩邊開平方；
解：求出方程的解。
每次求解都要配方，很麻煩，有簡單方法嗎？
用配方法可以解所有一元二次方程嗎
探索&交流
用公式法求解一元二次方程
1—
方程兩邊都除以a
解:
移項，得
配方，得
即
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
探索&交流
因為 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 當b2 -4ac≥0時，
是一個非負數，此時兩邊開平方，得
問題：接下來能用直接開平方解嗎？
一元二次方程的求根公式
特別提醒
探索&交流
求根公式
對于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），
當b2 - 4ac ≥ 0 時，它的根是：
用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法.
探索&交流
2. 公式法
用求根公式解一元二次方程的步驟：
①把一元二次方程化成一般形式；
②確定a，b，c 的值；
③求出b2－4ac 的值；
④若b2－4ac ≥ 0，則把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求解，若b2－4ac ＜ 0，則方程無實數解.
例題&解析
例題欣賞

例1.解方程 ：
（1）x2 -7x -18 = 0； （2）4x2 + 1 = 4x.
解：（1）a = 1，b = -7，c = -18.
∵ b2 - 4ac = (-7)2 - 4×1×(-18) = 121 > 0，
∴
即 x1 = 9，x2 = -2.
例題&解析
解：（2）將原方程化為一般形式，得 4x2-4x + 1 = 0.
這里 a = 4，b = -4，c = 1.
∵ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×4×1 = 0，
∴
即
探索&交流
議一議
（1）你能解一元二次方程 x2 -2x+3=0嗎？你是怎么想的？
解：（1）a=1，b=-2，c=3.
∵ b2 -4ac= (-2)2 -4×1×3=-8<0，
方程沒有實數根.
（2）對于一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0），
當 b2 -4ac<0時，它的根的情況是怎樣的？與同伴交流.
探索&交流
一元二次方程 ax2 +bx+c=0（a≠0），
根的判別式是：
⊿ = b2 -4ac
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0） 判別式的情況 根的情況 定理與逆定理
⊿=b2 -4ac>0
兩個不相等的實數根
⊿>0
兩個不相等的實數根
⊿=b2 -4ac=0
兩個相等的實數根
⊿=0
兩個相等的實數根
⊿=b2 -4ac< 0
沒有實數根
⊿<0
沒有實數根
探索&交流
公式法解方程的步驟
1.變形: 化已知方程為一般形式;
2.確定系數:用a,b,c寫出各項系數;
3.計算: b2-4ac的值;
4.判斷：若b2-4ac ≥0，則利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，則方程沒有實數根.
例題&解析
例題欣賞

例2.已知一元二次方程x2+x=1，下列判斷正確的是( )
A.該方程有兩個相等的實數根
B.該方程有兩個不相等的實數根
C.該方程無實數根
D.該方程根的情況不確定
B
例題&解析
例題欣賞

例3.方程2x2－6x+3=0 較小的根為p，方程2x2－2x－1=0 較大的根為q，則p+q 等于( )
A. 3 B. 2
C. 1 D. 2
B
練習&鞏固
1.方程3x2－x＝4化為一般形式后的a，b，c的值分別為(　　)
A．3、1、4 B．3、－1、－4
C．3、－4、－1 D．－1、3、－4
B
練習&鞏固
2. 用公式法解方程 ：y2－2y－2=0；
練習&鞏固
3.長方體木箱的高是 8 dm，長比寬多 5 dm，體積是 528 dm3，求這個木箱的長和寬.
解: 設這個木箱的寬是 x dm．
x(5＋x)×8＝528，解得 x1＝－11 (舍去)，x2＝6．
所以，這個木箱的寬是 6 dm，長是 11 dm．
小結&反思
通過這節課的學習活動，你有什么收獲？
對于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），
當b2 - 4ac ≥ 0 時，它的根是：
用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法.
第2課時
學習&目標
1.能夠建立一元二次方程模型解決有關面積的問題.（重點、難點）
2.能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性.（難點）
情境&導入
1、怎樣用配方法解一元二次方程？
用配方法解方程的步驟:
化：二次項系數化為 1 ；
移：將常數項移到等號右邊；
配：配方，使等號左邊成為完全平方式；
開：等號兩邊開平方；
解：求出方程的解。
2、怎樣用公式法解一元二次方程？
對于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），
當b2 - 4ac ≥ 0 時，它的根是：
用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法.
情境&導入
探索&交流
利用一元二次方程解決面積問題
1—
問題：如圖，某小區規劃在一個長45 m、寬30 m的長方形土地上修建三條等寬的通道，使其中兩條與AB平行，另外兩條與AD平行，其余部分種花草，要使每一塊花草的面積都為 78 m2，那么通道寬應該設計為多少？設通道寬為x m，則由題意列的方程為_____________________.
C
B
D
A
(45-2x)(30-x)=6×78
探索&交流
解：設小路的寬為 x m, 根據題意，得
即 x2 - 14x + 24 = 0.
解得 x1 = 2 , x2 = 12.
將x =12 代入方程中不符合題意舍去.
答：小路的寬為2 m.
小明設計：
如圖所示，其中花園四周小路的寬都相等.通過解方程,
得到小路的寬為2 m或12 m.
16m
12m
問題：你覺得他的結果對嗎？你能將小明的解答過程重現嗎？
x
x
探索&交流
小芳設計：
如圖所示，其中花園每個角上的扇形都相同.
問題：你能幫小亮計算一下這個扇形的半徑是多少嗎？
16m
12m
解：設扇形的半徑為x m，由題意得：
πx2 = 16×12×
πx2 = 96
x1≈ 5.5，x2≈ -5.5（舍）
探索&交流
小華設計：
如圖所示，其中花園是兩條互相垂直的小路,且它的寬都相等.
問題：你能幫小穎計算一下圖中x嗎？
16m
12m
xm
xm
解：設小路的寬為 x m. 根據題意，得
即 x2 - 28x + 96 = 0.
解得 x1 = 4 , x2 = 24,
將x =24 代入方程中不符合題意，舍去.
答：小路的寬為4 m.
例題&解析
例題欣賞

例1.在一幅長90cm,寬40cm的風景畫四周外圍鑲上一條寬度相同的金色紙邊,制成一幅掛圖.如果要求風景畫的面積是整個掛圖面積的72%.那么金邊的寬應是多少？
解：設金邊的寬為 x cm, 根據題意得:
(90 + 2x)(40 + 2x)×72% = 90×40.
即 x2 + 65x - 350 = 0.
解方程,得 x1= 5 , x2 = -70 (舍去).
答:金邊的寬應是5cm.
例題&解析
例題欣賞

例2.學校為了美化校園環境，計劃在一塊長為40 m，寬為20 m 的矩形空地上新建一個長為9 m，寬為7 m 的矩形花圃.
(1)若要在這塊空地上設計一個矩形花圃， 使它的面積比學校計劃的面積多1 m2. 請給出你認為合適的三種不同的設計方案；
(2)在學校計劃新建的矩形花圃周長不變的情況下, 矩形花圃的面積能否增加2 m2 ？如果能，請求出矩形花圃的長和寬；如果不能，請說明理由.
例題&解析
（1）解：學校計劃新建的花圃的面積為9×7＝63(m2)，比它多1 m2的矩形面積為64 m2.因此，可設計以下方案：
方案一：長和寬都為8 m；
方案二：長為10 m，寬為6.4 m；
方案三：長為20 m，寬為3.2 m.
例題&解析
解：不能．理由如下：
假設在學校計劃新建的矩形花圃周長不變的情況下，矩形花圃的面積能增加2m2.計劃新建的矩形花圃的周長為2×(9＋7)＝32(m)．設面積增加后的矩形花圃的長為x m，則寬為(16－x)m.
根據題意，得x(16－x)＝9×7＋2.整理，得x2－16x＋65＝0.
∵b2－4ac＝(－16)2－4×1×65＝－4<0，∴此方程沒有實數根．
∴假設不成立，即在學校計劃新建的矩形花圃周長不變的情況下，矩形花圃的面積不能增加2 m2.
練習&鞏固
1.一元二次方程(x+1)(x－1)=2x+3的根的情況是( )
A. 有兩個不相等的實數根 B. 有兩個相等的實數根
C. 只有一個實數根 D. 沒有實數根
A
練習&鞏固
2.如圖，圓柱的高為 15 cm，全面積（也稱表面積) 為 200 π cm2，那么圓柱底面半徑為多少？
解: 設圓柱底面半徑為 r cm．
2πr2＋15×2πr ＝ 200π
解得 r1＝－20(舍去)，r2＝5．
所以，圓柱底面半徑為 5 cm．
練習&鞏固
3.如圖1，在寬為20米，長為32米的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540平方米，求道路的寬.
解：設道路寬為x米，由平移得到圖2，則寬為(20-x)米，長為（32-x)米，列方程得
（20-x)(32-x)=540，
整理得 x2-52x+100=0，
解得 x1=50(舍去），x2=2.
答：道路寬為2米.
圖1
圖2
小結&反思
通過這節課的學習活動，你有什么收獲？
對于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），
當b2 - 4ac ≥ 0 時，它的根是：
用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法.

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