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4 用因式分解法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
學(xué)習(xí)&目標(biāo)
1.理解用因式分解法解方程的依據(jù).
2.會(huì)用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重點(diǎn)）
3.會(huì)根據(jù)方程的特點(diǎn)選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?（難點(diǎn)）
情境&導(dǎo)入
1.我們已經(jīng)學(xué)過了幾種解一元二次方程的方法
(1)直接開平方法:
(2)配方法:
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n(n≥0)
(3)公式法:
選擇合適的方法解下列方程：
（1）x2-5x=8 （2）2x2+6x-3=0
因式分解的方法
（1）提公因式法
am + bm + cm = m(a + b + c)
（2）公式法
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
情境&導(dǎo)入
探索&交流
用因式分解法求解一元二次方程
1—
一個(gè)數(shù)的平方與這個(gè)數(shù)的 3 倍有可能相等嗎？如果能，這個(gè)數(shù)是幾？你是怎樣求出來的？
設(shè)這個(gè)數(shù)為 x，根據(jù)題意，可得方程 x2 = 3x.
由方程 x2 = 3x，得 x2-3x = 0.
因此
x1 = 0，x2 = 3.
所以這個(gè)數(shù)是 0 或 3.
他做得對(duì)嗎？
一個(gè)數(shù)的平方與這個(gè)數(shù)的 3 倍有可能相等嗎？如果能，這個(gè)數(shù)是幾？你是怎樣求出來的？
設(shè)這個(gè)數(shù)為 x，根據(jù)題意，可得方程 x2 = 3x.
由方程 x2 = 3x，兩邊同時(shí)約去 x ，得.
x = 3.
所以這個(gè)數(shù)是 3.
她做得對(duì)嗎？
探索&交流
探索&交流
小亮的思路：
由方程 x2 = 3x ,得
x2 - 3x = 0
即 x (x - 3) = 0
于是 x = 0 , 或 x - 3 = 0.
因此 x1 = 0 , x2 = 3
所以這個(gè)數(shù)是0或3
如果a·b=0,
那么a=0或b=0.
即“如果兩個(gè)因式的積等于零,那么至少有一個(gè)因式等于零.”
探索&交流
議一議
他們做得對(duì)嗎？為什么？你是怎么做的？
x2-3x = 0 x(x-3) = 0
當(dāng)一元二次方程的一邊是 0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，我們就可以用分解因式的方法求解.
這種用分解因式解一元二次方程的方法稱為因式分解法.
探索&交流
2.因式分解法解一元二次方程的一般步驟
(1)整理方程，使其右邊為0；
(2)將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的乘積；
(3)令兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；
(4)分別解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.
例題&解析
例題欣賞

例1. 解下列方程：
（1）5x2 = 4x； （2）x(x - 2) = x - 2.
解：（1）原方程可變形為
5x2 - 4x = 0 ，
x(5x - 4) = 0 ，
x = 0，或 5x–4 = 0.
（2）原方程可變形為
x(x - 2)–(x -2) = 0 ，
(x-2)(x-1) = 0 ，
x-2 =0 ，或 x–1 =0.
x1 = 2 ，x2 = 1.
探索&交流
想一想
你能用因式分解法解方程 x2-4=0，(x+1)2-25=0 嗎？
x2–4 = 0
解：原方程可變形為
(x + 2)(x - 2) = 0
x + 2 = 0 或 x - 2 = 0
x1 = -2，x2 = 2.
(x+1)2–25 = 0
解：原方程可變形為
(x+1+5)(x+1-5)=0
(x + 6)(x - 4) = 0
x + 6 = 0 或 x - 4 = 0
x1 = -6，x2 = 4.
例題&解析
例題欣賞

例2.用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br/>（1）3x（x+5）=5（x+5）； （2）（5x+1）2 =1；
解：化簡 (3x-5)(x+5) = 0.
即 3x-5= 0 或 x+5=0.
解：開平方,得
5x+1= ±1.
解得 x1= 0 , x2 =
例題&解析
（3）x2-12x = 4 ; （4）3x2 =4x+1；
解：配方,得
x2 -12x+62 =4+62,
即 (x - 6)2 = 40.
開平方,得
解得 x1=
x2=
解：化為一般形式
3x2 - 4x + 1 = 0.
∵Δ=b2 - 4ac=28 > 0,
探索&交流
填一填：各種一元二次方程的解法及適用類型.
一元二次方程的解法 適用的方程類型
直接開平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 +px + q = 0 （p2 -4q ≥0）
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
ax2+bx+c=0(a≠0,b2 -4ac≥0)
(x+m)（x + n）＝0
探索&交流
1.一般地，當(dāng)一元二次方程一次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)（ax2+c=0），應(yīng)選用直接開平方法；
2.若常數(shù)項(xiàng)為0（ ax2+bx=0），應(yīng)選用因式分解法；
3.若一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都不為0 (ax2+bx+c=0），先化為一般式，看一邊的整式是否容易因式分解，若容易，宜選用因式分解法，不然選用公式法；
4.不過當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)是1，且一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)時(shí)，用配方法也較簡單.
解法選擇基本思路
練習(xí)&鞏固
1.解下列方程：
①(x－2)2=5,② x2－2x+1=0,③ x2+ x－3=0,
較適當(dāng)?shù)姆椒? )
A. ①直接開平方法, ②因式分解法, ③公式法
B. ①因式分解法, ②公式法, ③配方法
C. ①公式法, ②配方法,③因式分解法
D. ①直接開平方法, ②公式法, ③因式分解法
A
練習(xí)&鞏固
2. 用適當(dāng)方法解下列方程：
（1）(2x+3)2-25=0; （2）x2+5x+7=3x+11.
解：化簡，得
4x2+12x+9-25=0
x2+3x-4=0
分解因式，得
(x-1)(x+4)=0
x1=1, x2=-4
解：化簡，得
x2+2x=4
x2+2x+1=5
(x+1)2=5
練習(xí)&鞏固
3.公園原有一塊正方形空地，后來從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花（如圖)，原空地一邊減少了 1 m，另一邊減少了 2 m，剩余空地面積為 12 m2，求原正方形空地的邊長.
解: 設(shè)原正方形空地的邊長為 x m．
x2－2x－x＋1×2＝12，
解得 x1＝－2（舍去），x2＝ 5．
所以，原正方形空地的邊長為 5 m．
小結(jié)&反思
用因式分解法解一元二次方程的步驟：
方程右邊化為______.
將方程左邊分解成兩個(gè)__________的乘積.
至少________因式為零，得到兩個(gè)一元一次方程.
兩個(gè)__________________就是原方程的解.
0
一次因式
有一個(gè)
一元一次方程的解

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