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第二章 相交線與平行線
３ 平行線的性質(zhì)（第1課時）
單元主題：相交線與平行線
學(xué)科：初中數(shù)學(xué)
年級：七年級下冊
初中數(shù)學(xué) （北師大2024版）七年級下學(xué)期
西漢時期，淮南王劉安的門客在《淮南萬畢術(shù)》中記載了“高懸大鏡，坐觀四鄰”的現(xiàn)象，這是利用平面鏡成像的特點和原理，通過光的反射來“隔墻視物”。
這是什么原理呢？利用這一原理，想在墻內(nèi)某個固定位置查看墻外門前區(qū)域是否有人經(jīng)過，我們可以如何放置平面鏡呢？
子任務(wù)一：認(rèn)識反射原理
子任務(wù)二：規(guī)劃平行光線
子任務(wù)三：制作反射裝置
借助數(shù)學(xué)模型，制作反射裝置
本節(jié)課主要聚焦單元大任務(wù)的任務(wù)三，即制作反射裝置，完成這個任務(wù)主要分兩個課時，本課時主要探索平行線的性質(zhì)運用平行線的性質(zhì)和判定制作反射裝置，完成第二個鏡子的擺放。
情景引入
A
O
M
N
回顧反思
問題1：我們已經(jīng)研究了相交線和平行線的哪兒些知識？
實際情境
兩條直線的位置關(guān)系
相交線
平行線
特例
垂直
定義
表示
判定
性質(zhì)
應(yīng)用
定義
表示
判定
線的位置關(guān)系 AB⊥CD
角的數(shù)量關(guān)系 ∠BOC=90°
線的位置關(guān)系 a∥b
角的數(shù)量關(guān)系
猜想
操作
推理
觀察
抽象
判定
定義
性質(zhì)
兩條直線相交
兩條直線被第三條直線所截
判定
性質(zhì)
從一般到特殊
判定1：同位角相等，兩直線平行
判定2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行
判定3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行
對頂角
余角
補角
同位角
內(nèi)錯角
同旁內(nèi)角
1.存在性、唯一性
2.垂線段最短
從一般到特殊
回顧反思
定義
問題2：前面是按什么路徑研究垂直的？
表示
性質(zhì)
判定
應(yīng)用
類比垂直的研究路徑，我們接下來研究平行線的什么內(nèi)容？
新知探究
a
b
c
問題3：
類比平行線的判定，我們可以通過什么思路來研究平行線的性質(zhì)？
判定1：同位角相等，兩直線平行
判定2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行
判定3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行
猜想
操作
推理
觀察
線的位置關(guān)系 a∥b
角的數(shù)量關(guān)系
判定
新知探究
問題4：比較同位角 ∠ 1 和 ∠ 5 的大小，它們有什么關(guān)系？
圖中還有其他同位角嗎？它們的大小有什么關(guān)系？
如圖，直線a與直線b平行。
角 ∠1
度數(shù)
角 ∠5
度數(shù)
猜想：兩條平行直線被第三條直線所截 ,同位角相等。
猜想
新知探究
改變直線c與直線a 所成角的大小再試一試，你能得到相同的結(jié)論嗎？（按上圖的順序標(biāo)角）
如圖，直線a與直線b平行。
a
b
角 ∠1 ∠5
度數(shù)
操作
新知探究
任意畫一組平行線試試，你能得到相同的結(jié)論嗎？（按上圖的順序標(biāo)角）
角 ∠1 ∠5
度數(shù)
猜想
操作
特殊
一般
測量
疊合
幾何畫板
觀察
操作
歸納總結(jié)
兩條平行直線被第三條直線所截 ,同位角相等。
簡述為：兩直線平行，同位角相等。
因為a∥ b
所以∠1=∠5
幾何語言：
2
b
a
1
c
5
a
b
平行線的性質(zhì)1：
新知探究
問題5：圖中有幾對內(nèi)錯角？它們的大小有什么關(guān)系？為什么？
歸納總結(jié)
兩條平行直線被第三條直線所截 ,內(nèi)錯角相等。
簡述為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。
因為a∥ b
所以∠4=∠5
幾何語言：
2
b
a
c
5
a
b
4
平行線的性質(zhì)2：
新知探究
問題6：圖中有幾對同旁內(nèi)角？它們的大小有什么關(guān)系？為什么？
推理
歸納總結(jié)
兩條平行直線被第三條直線所截 ,同旁內(nèi)角互補。
簡述為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。
因為a∥ b
所以∠3＋∠5=180°
幾何語言：
2
b
a
3
c
5
a
b
平行線的性質(zhì)3：
歸納總結(jié)
平行線的性質(zhì)
線的位置關(guān)系 a∥b
角的數(shù)量關(guān)系
判定
判定1：同位角相等，兩直線平行
判定2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行
判定3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行
性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等
性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等
性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補
性質(zhì)
類比
思考交流
（2）∠ 2 與 ∠ 4 的大小有什么關(guān)系？
如圖，一束平行光線 AB 與 DE 射向一個水平鏡面后被反射，此時∠1=∠2，∠3=∠4
（1）∠1與∠3 的位置有什么關(guān)系？大小有什么關(guān)系？
（3）反射光線 BC 與 EF 也平行嗎？
由∠1=∠3，∠1=∠2 ， ∠2=∠4 ， 得到∠2=∠4
由AB∥DE，得到 ∠1=∠3
由∠2＝∠4，得到 BC∥EF
問題解決
師：今天老師遇到了一個小問題，想請大家?guī)兔鉀Q：老師在圖紙上畫了一個角，記為∠A，
想要求出它的度數(shù)，但是不小心把墨水打翻了，圖紙上∠A的一部分被墨水染黑，你能想辦法，
幫助老師得到出這個角的角度嗎？
子任務(wù)三：制作反射裝置
1
2
3
4
要保證屋內(nèi)的人看到的像是原像，只要保證兩面鏡子平行即可，即兩面鏡子和水平面的夾角是一樣的。
E
F
H
J
怎么想到研
究平行線性質(zhì)的？
接下來，我們還可以研究平行線的什么？
平行線的性質(zhì)有什么作用呢？
你按照怎樣方法研究平行線性質(zhì)的？
課堂小結(jié)
課堂小結(jié)
問題7：回顧直線相交與平行的探究過程，你積累了哪兒些研究平面圖形的思路和方法？
實際情境
兩條直線的位置關(guān)系
相交線
平行線
特殊
垂直
定義
表示
判定
性質(zhì)
應(yīng)用
定義
表示
判定
線的位置關(guān)系 AB⊥CD
角的數(shù)量關(guān)系 ∠BOC=90°
線的置關(guān)位系 a∥b
角的數(shù)量關(guān)系
猜想
操作
推理
觀察
抽象
判定
定義
性質(zhì)
兩條直線相交
兩條直線被第三條直線所截
判定
性質(zhì)
從一般到特殊
判定1：同位角相等，兩直線平行
判定2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行
判定3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行
性質(zhì)
應(yīng)用
性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等
性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等
性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補
性質(zhì)
類比
平移、三角形、四邊形
對頂角
余角
補角
同位角
內(nèi)錯角
同旁內(nèi)角
1.存在性、唯一性
2.垂線段最短
1.存在性、唯一性
2.傳遞性
從一般到特殊
隨堂練習(xí)
1.如圖，a//b，c//d，分別找出與∠1相等或互補的角。
與∠1相等的角是
與∠1互補的角是
∠3、∠5、∠2
∠4、∠6
評價維度 評價要點 自評 互評 師評
知識 獲得 運用合情推理和演繹推理探索平行線的三條性質(zhì)
能運用平行線的性質(zhì)和直線平行的條件解決簡單問題
能力 提升 經(jīng)歷探索性質(zhì)的過程，發(fā)展幾何直觀和推理能力
能通過觀察、猜想、操作、推理驗證結(jié)論，用邏輯性的語言表達自己的發(fā)現(xiàn)和思考過程
學(xué)習(xí) 態(tài)度 積極參與小組討論，發(fā)表自己的觀點并交換觀點。
對課堂內(nèi)容有強烈興趣，能夠主動參與課堂學(xué)習(xí)活動
學(xué)習(xí) 方法 能將生活實例轉(zhuǎn)化為幾何模型分析
能類比垂直的研究路徑學(xué)習(xí)平行的知識，類比探索直線平行條件的方法研究平行線的性質(zhì)
價值觀念培養(yǎng) 通過解決子任務(wù)探究體會數(shù)學(xué)與科學(xué)的聯(lián)系，關(guān)注數(shù)學(xué)在工程、藝術(shù)等領(lǐng)域的價值
結(jié)合《淮南萬畢術(shù)》記載，感悟中國古代數(shù)學(xué)智慧
學(xué)習(xí)評價（每項5分，共150分）
分層作業(yè)
（≤100分）基礎(chǔ)類：習(xí)題2.3 第1，2，6，7，9題
（＞100分）提高類： 基于本章學(xué)習(xí)經(jīng)驗，若要進一步研究三角形，你認(rèn)為我們應(yīng)該按照怎樣的順序或思路展開研究？
（小組合作）實踐類：根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)制作一個簡易潛望鏡。
謝謝

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