資源簡介

(共29張PPT)
第二章 相交線與平行線
1 兩條直線的位置關(guān)系（第1課時(shí)）
單元主題：相交線與平行線
學(xué)科：初中數(shù)學(xué)
年級(jí)：七年級(jí)下冊(cè)
初中數(shù)學(xué) （北師大2024版）七年級(jí)下學(xué)期
西漢時(shí)期，淮南王劉安的門客在《淮南萬畢術(shù)》中記載了“高懸大鏡，坐觀四鄰”的現(xiàn)象，這是利用平面鏡成像的特點(diǎn)和原理，通過光的反射來“隔墻視物”。
這是什么原理呢？利用這一原理，想在墻內(nèi)某個(gè)固定位置查看墻外門前區(qū)域是否有人經(jīng)過，我們可以如何放置平面鏡呢？
子任務(wù)一：認(rèn)識(shí)反射原理
子任務(wù)二：規(guī)劃平行光線
子任務(wù)三：制作反射裝置
借助數(shù)學(xué)模型，制作反射裝置
本節(jié)課主要聚焦單元大任務(wù)的任務(wù)一，即認(rèn)識(shí)反射原理，完成這個(gè)任務(wù)主要分兩個(gè)課時(shí)，這課時(shí)主要利用余角或補(bǔ)角的性質(zhì)進(jìn)行尺規(guī)作圖“已知入射光線求作反射光線”。
A
O
M
N
山川、道路、房屋、橋梁…在這些大自然的杰作和人類的創(chuàng)造物中，蘊(yùn)含著大量的基本平面圖形，如我們已經(jīng)研究過的線段、射線、直線、角等。生活中哪些物體或圖案給我們以直線的形象 我們之前學(xué)過點(diǎn)與直線有什么位置關(guān)系？那么直線與直線又有怎樣的位置關(guān)系呢
你是借助什么來判斷兩條直線的位置關(guān)系的？為什么？
你認(rèn)為可以從哪些方面研究平面圖形以及它們之間的關(guān)系？
在本章的學(xué)習(xí)過程中，你可以持續(xù)思考以下問題：
創(chuàng)設(shè)情境，歸納定義
請(qǐng)?jiān)诩埳袭媰蓷l直線，并用字母分別表示。
在小組內(nèi)進(jìn)行交流，你們畫的兩條直線的位置相同嗎？若不同，有什么不同？
如圖1，觀察下列生活中的圖片：
在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有 和 兩種。
若兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們稱這兩條直線為 。
在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作 。
相交
平行
相交線
平行線
圖1
創(chuàng)設(shè)情境，歸納定義
分
類
思
想
動(dòng)手實(shí)踐，探索新知
觀察你剛才畫的相交線，回答下列問題。
A
B
C
D
O
2
1
3
4
觀察·交流
圖2
（1）它們可以形成幾個(gè)小于平角的角？
（2）任意選?。?）中的2個(gè)角作為一對(duì)，可以組成多少對(duì)角 ？
（3）觀察（2）中每對(duì)角，它們各有什么特點(diǎn)？
動(dòng)手實(shí)踐，探索新知
如圖2，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，回答下列問題。
（1）∠1與∠2的有什么位置關(guān)系？
（2）∠1與∠2的有什么數(shù)量關(guān)系？
2
1
A
B
C
D
O
3
4
∠3與∠4為一組對(duì)頂角。
（1）∠1與∠2有公共的頂點(diǎn)O，它們的兩邊互為反向延長線，
具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫作對(duì)頂角。
追問：你還能找到具有這種位置關(guān)系的角嗎？
觀察·交流
圖2
動(dòng)手實(shí)踐，探索新知
如圖2，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，回答下列問題。
（2）∠1與∠2的有什么數(shù)量關(guān)系？
（先猜想，后小組交流驗(yàn)證你們的猜想）
2
1
A
B
C
D
O
3
4
由 ∠1+∠3=180°，
∠2+∠3=180°，
得∠1+∠3=∠2+∠3=180°。
所以∠1=∠2。
對(duì)頂角的性質(zhì)：
對(duì)頂角相等。
思考：∠3與∠4也有這樣的數(shù)量關(guān)系嗎？
幾何畫板演示
猜想
觀察
操作
推理
動(dòng)手實(shí)踐，探索新知
練習(xí)1：下列各圖中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（ ）
1
2
C
1
2
D
1
2
A
1
2
B
D
有公共的頂點(diǎn)O，且兩邊互為反向延長線的兩個(gè)角叫作對(duì)頂角。
學(xué)以致用
1
動(dòng)手實(shí)踐，探索新知
學(xué)以致用
1
練習(xí)2：如圖3,有一個(gè)破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個(gè)扇形零件的圓心角的度數(shù)嗎 為什么
對(duì)頂角相等。
圖3
2
1
動(dòng)手實(shí)踐，探索新知
2
1
A
B
C
D
O
3
4
觀察你剛才畫的圖形，如圖2，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，回答下列問題。
觀察·思考
圖2
（3）∠1與∠3有什么數(shù)量關(guān)系？
∠1＋∠3=180°。
∠2＋∠3=180°，∠2＋∠4=180°，∠4＋∠1=180°。
（4）你還能在圖中找到具有這種數(shù)量關(guān)系的角嗎？
動(dòng)手實(shí)踐，探索新知
補(bǔ)角的定義：一般地，如果兩個(gè)角的和是180°，那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。
∠1＋∠3=180°
∠2＋∠3=180°
∠2＋∠4=180°
∠4＋∠1=180°
余角的定義：類似地，如果兩個(gè)角的和是90°，那么稱這兩個(gè)角互為余角。
這兩個(gè)概念反映的都是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，與兩個(gè)角的位置無關(guān)。
練習(xí)1： 已知∠A=60°，則∠A的余角∠B的度數(shù)是 ，
∠A的補(bǔ)角∠C的度數(shù)是 。
動(dòng)手實(shí)踐，探索新知
學(xué)以致用
1
120°
30°
∠A+∠B=90°
∠A+∠C=180°
練習(xí)2：如圖4，兩個(gè)角互補(bǔ)嗎？
圖4
練習(xí)3：如圖5，三個(gè)角互補(bǔ)嗎？
圖5
回顧“對(duì)頂角相等”的推理過程：
2
1
A
B
C
D
O
3
4
由 ∠1+∠3=180°，
∠2+∠3=180°，
得∠1+∠3=∠2+∠3=180°。
所以∠1=∠2。
∠1和∠3互為補(bǔ)角
∠2和∠3互為補(bǔ)角
∠1 = ∠2
都是∠3的補(bǔ)角
結(jié)論：同一個(gè)角的兩個(gè)補(bǔ)角相等。
補(bǔ)角的性質(zhì)：
同角的補(bǔ)角相等。
圖2
應(yīng)用實(shí)踐，鞏固新知
應(yīng)用實(shí)踐，鞏固新知
如何借助直角三角板畫∠1的余角？
由 ∠1+∠2=90°，
∠1+∠3=180°，
得∠1+∠2=∠1+∠3=90°。
所以∠2=∠3。
∠2和∠1互為余角
∠3和∠1互為余角
都是∠1的余角
結(jié)論：同一個(gè)角的兩個(gè)余角相等。
余角的性質(zhì)：
同角的余角相等。
圖6
1
∠2與∠3有怎樣的數(shù)量關(guān)系 并說明理由。
2
3
應(yīng)用實(shí)踐，鞏固新知
如圖7，打臺(tái)球時(shí),選擇適當(dāng)?shù)姆较蛴冒浊驌舸蚣t球，反彈后的紅球會(huì)直接入袋，此時(shí)∠1=∠2，將圖7簡化成圖8，ON與DC相交所成的∠DON 和∠CON都等于90°，且∠1=∠2。
圖7
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
圖8
（1）請(qǐng)?jiān)趫D2中找出互為補(bǔ)角和互為余角的角，并說說你的理由。
（2）∠3與∠4的大小有什么關(guān)系？∠AOC與∠BOD呢？你能說明理由嗎？與同伴進(jìn)行交流。
思考·交流
應(yīng)用實(shí)踐，鞏固新知
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
圖8
（1）圖中有哪些角互為補(bǔ)角？
如圖8，ON與DC交于點(diǎn)O，∠DON=∠CON=90°，∠1=∠2。
∠1與∠AOC、∠2與∠BOD、∠DON與∠CON互為補(bǔ)角。
同理∠1與∠BOD也互為補(bǔ)角。
由∠1=∠2，∠1＋∠AOC=180°，
得到∠2＋∠AOC=180°，
所以∠2與∠AOC互為補(bǔ)角。
應(yīng)用實(shí)踐，鞏固新知
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
圖8
（1）圖中有哪些角互為余角？
∠1與∠3、∠2與∠4互為余角。
同理∠1與∠4也互為余角。
由∠1＋∠3=90°，∠1=∠2，
得到∠2＋∠3=90°，
所以∠2與∠3互為余角。
如圖8，ON與DC交于點(diǎn)O，∠DON=∠CON=90°，∠1=∠2。
應(yīng)用實(shí)踐，鞏固新知
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
圖8
（2）∠3和∠4有什么關(guān)系？為什么？
∠1+∠3=90°
∠2+∠4=90°
由∠1=∠2 得到∠3 =∠4
∠1的余角
∠2的余角
∠3是∠1的余角
結(jié)論：相等角的兩個(gè)余角是相等的。
余角的性質(zhì)：
等角的余角相等。
同角或等角的余角相等
同角的余角相等
等角的余角相等
∠4是∠2的補(bǔ)角
如圖8，ON與DC交于點(diǎn)O，∠DON=∠CON=90°，∠1=∠2。
應(yīng)用實(shí)踐，鞏固新知
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
圖8
（2）∠AOC與∠BOD有什么關(guān)系？為什么？
∠1+∠AOC=180°
∠2+∠BOD=180°
由∠1=∠2 得到∠AOC =∠BOD
∠1的補(bǔ)角
∠2的補(bǔ)角
∠AOC是∠1的補(bǔ)角
結(jié)論：相等角的兩個(gè)補(bǔ)角是相等的。
補(bǔ)角的性質(zhì)：
等角的補(bǔ)角相等。
同角或等角的補(bǔ)角相等
同角的補(bǔ)角相等
等角的補(bǔ)角相等
∠BOD是∠2的補(bǔ)角
拓展延伸，綜合應(yīng)用
1. 問題：下列說法正確的有__________。（填序號(hào)）
①已知∠A =40°，則∠A的余角等于50°；
②若∠1+∠2=180°，則∠1和∠2互為補(bǔ)角；
③若∠1+∠2+∠3=180°，則∠1，∠2，∠3互補(bǔ)；
④若∠A = 40°26′，則∠A 的補(bǔ)角 = 139°34′；
⑤一個(gè)角的補(bǔ)角必為鈍角；
⑥一個(gè)銳角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角大90°。
①②④⑥
拓展延伸，綜合應(yīng)用
2.如圖9，小穎想測(cè)量一堵拐角高墻在底面上所成的角∠AOB的度數(shù)，人不能進(jìn)入圍墻內(nèi)，你能幫小穎想出簡單的測(cè)量方法嗎？請(qǐng)簡述你的方法。
A
B
O
圖9
拓展延伸，綜合應(yīng)用
3.完成單元子任務(wù)一：
在物理學(xué)中，光的反射跟臺(tái)球的運(yùn)動(dòng)軌跡相似．光線反射時(shí)，反射光線、入射光線和法線在同一平面內(nèi)，反射光線、入射光線分別在法線兩側(cè)，反射光線與法線的夾角（反射角）等于入射光線與法線的夾角（入射角），即∠2=∠1.
如圖10，入射光線AO打在平面鏡MN上，請(qǐng)你根據(jù)今天所學(xué)用，利用尺規(guī)畫出反射光線.
2
1
A
O
M
N
在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系是怎樣的？
接下來，我們還可以研究什么？
兩條直線相交，我們學(xué)習(xí)了哪些定義和性質(zhì)？我們是怎么一步步研究它們的？
我們是怎樣研究相交線的？
歸納總結(jié)，反思升華
實(shí)際情境
兩條直線的位置關(guān)系
相交線
平行線
線的位置關(guān)系
角的數(shù)量關(guān)系
抽象
轉(zhuǎn)化
兩條直線相交
共頂點(diǎn)的角
互余 互補(bǔ) 對(duì)頂角
定義 若∠A+∠B=90°，
則∠A與∠B互余。 若∠A+∠B=180°，
則∠A與∠B互補(bǔ)。 兩個(gè)角的兩邊互為反
向延長線，則這兩個(gè)
角叫作對(duì)頂角。
對(duì)應(yīng)
圖形
關(guān)系
性質(zhì) 同角或等角的
余角相等 同角或等角的補(bǔ)
角相等 ∠1=∠2
(對(duì)頂角相等)
注意：余角、補(bǔ)角是數(shù)量關(guān)系的角；對(duì)頂角是位置關(guān)系的角。
分類討論、數(shù)形結(jié)合、類比
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
整體
局部
猜想
觀察
操作
推理
學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
評(píng)價(jià)維度 評(píng)價(jià)要點(diǎn) 自評(píng) 互評(píng) 師評(píng)
知識(shí) 獲得 理解對(duì)頂角、補(bǔ)角、余角的概念
能用對(duì)頂角、補(bǔ)角、余角的性質(zhì)解決簡單問題
能力 提升 經(jīng)歷相交線、平行線等概念的抽象過程以及相關(guān)性質(zhì)的探索過程，能靈活利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題
能通過觀察、猜想、推理驗(yàn)證結(jié)論，用邏輯性的語言表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)和思考過程
學(xué)習(xí) 態(tài)度 積極參與小組討論，貢獻(xiàn)自己的觀點(diǎn)并交換觀點(diǎn)。
對(duì)課堂內(nèi)容有強(qiáng)烈興趣，能夠主動(dòng)參與課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)
學(xué)習(xí) 方法 能將生活實(shí)例轉(zhuǎn)化為幾何模型分析
能類比補(bǔ)角的概念學(xué)習(xí)余角的概念，類比補(bǔ)角的性質(zhì)研究余角的性質(zhì)
價(jià)值觀念培養(yǎng) 通過解決子任務(wù)探究體會(huì)數(shù)學(xué)與科學(xué)的聯(lián)系，關(guān)注數(shù)學(xué)在工程、藝術(shù)等領(lǐng)域的價(jià)值
結(jié)合《淮南萬畢術(shù)》記載，感悟中國古代數(shù)學(xué)智慧
分層作業(yè)
基礎(chǔ)題：1.習(xí)題2.1第1,4,5,6,9題。
2.如圖12，已知直線AB，點(diǎn)O在直線AB上，OC是∠AOB的平分線，∠DOE是直角，請(qǐng)找出圖中互余的角、互補(bǔ)的角、相等的角？
提高題：3.兩塊相同的直角三角板拼成如圖13所示的圖形，其中∠FDE=∠AOB=90°，點(diǎn)D，E在直線AB上，點(diǎn)O在直線FD上，請(qǐng)找出相等的角、互余的角、互補(bǔ)的角。
實(shí)踐題：請(qǐng)用今天所學(xué)的知識(shí)任選校園內(nèi)的一個(gè)花壇，測(cè)量學(xué)校花壇拐角的度數(shù)。
O
A
B
D
E
F
圖12
圖13
謝謝

展開更多......

收起↑