資源簡介

(共39張PPT)
第一章 特殊平行四邊形
1.1 菱形的性質與判定
第1課時 菱形的性質
情景導入
欣賞下面圖片，圖片中框出的圖形是你熟悉的嗎？
欣賞視頻，前面的圖片中出現的圖形是平行四邊形，和視頻中菱形一致，那么什么是菱形呢？
點擊圖片，播放視頻
實踐探究
探究1：菱形的性質
如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,內角大小保持不變僅改變邊的長度讓它有一組鄰邊相等,這個特殊的平行四邊形叫什么呢
平行四邊形
菱形
鄰邊相等
思考
歸納總結
定義：
菱形是特殊的平行四邊形.
平行四邊形不一定是菱形.
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
(1)菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質，你能列舉一些這樣的性質嗎？
(2)你認為菱形還具有哪些特殊的性質？
思考
如何利用折紙、剪切的方法，既快又準確地剪出一個菱形的紙片？
點擊圖片，播放視頻
活動1
在自己剪出的菱形上畫出兩條折痕,折疊手中的圖形(如圖），并回答以下問題:
(1)菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關系？
(2)菱形中有哪些相等的線段？
活動2
歸納總結
通過上面的折紙活動，我們可以發現菱形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸，對稱軸互相垂直；它的四條邊相等．
探究2
如何推理證明“菱形的四條邊相等，對角線互相垂直”這兩個性質呢？
A
B
C
O
D
已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AD，對角線AC與BD相交于點O.
求證:(1) AB = BC = CD =AD；
(2) AC⊥BD；
A
B
C
O
D
思考：(1)菱形是特殊的平行四邊形，你能從平行四邊形的性質證明菱形的四條邊相等嗎？
(2)可以利用什么性質來證明AC⊥BD.
證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB = CD，AD = BC（平行四邊形的對邊相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四邊形ABCD是菱形,
∴OB = OD （菱形的對角線互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD.
A
B
C
O
D
歸納
定理 菱形的四條邊相等；
定理 菱形的對角線相互垂直.
探究3：定理的拓展延伸
過對“菱形的對角線互相垂直”的證明過程，你還能發現菱形的對角線有什么性質？
方法提示：由折疊過程或等腰三角形“三線合一”推出菱形對角線的性質．
歸納
菱形的每條對角線平分一組對角．
菱形是特殊的平行四邊形，它除具有平行四邊形的所有性質外，還有平行四邊形所沒有的特殊性質.
角：對角相等.
邊：對邊平行且相等.
對角線：相互平分.
菱形的特殊性質
平行四邊形的性質
歸納總結
對稱性：是軸對稱圖形.
邊：四條邊都相等.
對角線：互相垂直，且每條對角線平分一組對角.
應用舉例
如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的邊長AB和對角線AC的長．
例1
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD(菱形的四條邊都相等)，AC⊥BD(菱形的對角線互相垂直)，
OB＝OD＝ BD＝ ×6＝3(菱形的對角線互相平分)．
在等腰△ABD中，∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AB＝BD＝6.
在Rt△AOB中，由勾股定理得OA2＋OB2＝AB2，
∴OA＝ ，∴AC＝2OA＝ .
如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC且交BC的延長線于點E.
求證：DE＝ BE.
例2
【方法指導】連接BD，由四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，易得BD⊥AC，∠DBC＝30°，又由DE∥AC，即可證得DE⊥BD，由30°所對的直角邊等于斜邊的一半，即可證得DE＝ BE.
A
B
C
D
E
證明：連接BD.
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BD⊥AC，∠DBE＝30°.
∵DE∥AC，
∴DE⊥BD，即∠BDE＝90°.
∵在Rt△BDE中，∠DBE＝30°，
∴DE＝ BE.
A
B
C
D
E
課堂小結
菱形的性質
菱形的性質
有關計算
邊
周長=邊長的四倍
角
對角線
1.兩組對邊平行且相等
2.四條邊相等
兩組對角分別相等，鄰角互補鄰角互補
1.兩條對角線互相垂直平分
2.每一條對角線平分一組對角
隨堂練習
知識點1　菱形的定義及對稱性
1.下列說法正確的是( )
A.兩組對邊分別相等的四邊形是菱形
B.兩組對角分別相等的四邊形是菱形
C.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
D.一組對邊平行且相等的四邊形是菱形
C
2.如圖，在菱形OABC中，若點B在x軸上，點A的坐標為(3，5)，則點C的坐標為___________.
(3，－5)
知識點2　菱形的邊、角的性質
3.在菱形ABCD 中，若AB＝6，則菱形ABCD 的周長為( )
A.6 B.12
C.24 D.48
C
4.如圖，已知菱形ABCD.
(1)若∠B＝70°，則∠BAC的度數是_______；
(2)若AB＝10，∠B＝60°，則AC的長為______.
55°
10
5.(教材P9習題T1變式)如圖，在菱形ABCD中，點E，F分別在邊BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD.求證：BE＝DF.
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
在△ABE和△ADF中，
∵∠AEB＝∠AFD，∠B＝∠D，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴BE＝DF.
知識點3　菱形的對角線的性質
6.如圖，四邊形ABCD為菱形，下列描述不一定正確的是( )
A.CA平分∠BCD
B.AC，BD互相平分
C.∠AOB＝90°
D.AC＝CD
D
7.【新情境·傳統文化】中國結寓意團圓、美滿，以獨特的東方神韻體現中國人民的智慧和深厚的文化底蘊.如圖，小陶家有一個中國結裝飾，可以近似地看作菱形ABCD，測得BD＝16 cm，AC＝12 cm，則此菱形的周長為( )
A.28 cm B.40 cm
C.56 cm D.80 cm
B
8.如圖，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，則AC的長為( )
A. B.1
C. D.
D
[變式](2025·鞍山岫巖月考)如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，P是邊AB上的一個動點，E，F分別是DP，BP的中點，則線段EF的長為( )
A.2 B.4
C.2 D.2
A
9.如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD是菱形，A，B兩點的坐標分別是(2，2)，(－1，－)，點D在第一象限，則點D的坐標是( )
A.(6，2) B.(8，2)
C.(6，) D.(8，)
B
10.(教材P9習題T3變式)如圖，四邊形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于點E，則AE的長是( )
A. B.6
C. D.12
A
11.如圖，在菱形ABCD中，AB的垂直平分線FE交對角線AC于點F，交AB于點E，連接DF.
(1)求證：AF＝DF；
解：證明：如圖，連接BF.
∵EF垂直平分AB，
∴AF＝BF.
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAF＝∠BAF.
又∵AF＝AF，
∴△DAF≌△BAF(SAS)，
∴DF＝BF，
∴AF＝DF.
11.如圖，在菱形ABCD中，AB的垂直平分線FE交對角線AC于點F，交AB于點E，連接DF.
(2)若∠BAD＝70°，求∠FDC的度數.
解：證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝70°，
∴∠DAF＝∠BAD＝35°，
∠ADC＝180°－∠BAD＝110°.
∵AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAF＝35°，
∴∠FDC＝∠ADC－∠ADF＝110°－35°＝75°.
12.如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF為等邊三角形，點E，F分別在菱形的邊BC，CD上滑動，且點E，F不與點B，C，D重合.
(1)求證：不論點E，F在BC，CD上如何滑動，總有BE＝CF.
解：證明：如圖，連接AC.
∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠1＋∠EAC＝60°，AB＝AC.
∵△AEF為等邊三角形，
∴∠EAF＝∠2＋∠EAC＝60°，
∴BE＝CF.
∴∠1＝∠2.
在△ABE和△ACF中，
∵∠1＝∠2，AB＝AC，∠ABC＝∠ACD，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴BE＝CF.
12.如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF為等邊三角形，點E，F分別在菱形的邊BC，CD上滑動，且點E，F不與點B，C，D重合.
(2)點E，F在BC，CD上滑動的過程中，四邊形AECF的面積和△CEF的周長是否發生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大(或最小)值.
解：證明：四邊形AECF的面積不變，
△CEF的周長發生變化.
由(1)，得△ABE≌△ACF，
∴S△ABE＝S△ACF，
∴S四邊形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC，是定值.
過點A作AH⊥BC于點H(圖略)，則∠AHB＝90°.
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°.
∵∠ABC＝60°，∴∠BAH＝30°.
∵AB＝4，∴BC＝4，BH＝AB＝2，
∴S四邊形AECF＝S△ABC＝BC·AH＝BC·
＝4.
∵△CEF的周長為CE＋CF＋EF＝CE＋BE＋
EF＝BC＋EF＝BC＋AE，
由“垂線段最短”可知，當等邊三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短，
∴△AEF的周長會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，△CEF的周長最小，最小值為4＋＝4＋2.

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