資源簡介

(共27張PPT)
第9講　函數(shù)的奇偶性
第3章　函數(shù)
能力層級
考試內(nèi)容　　　 了解 理解 掌握
函數(shù)的奇偶性 奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義與函數(shù)圖像的幾何特征.
(2024，T59；2023，T52，T60；2022，T55) 函數(shù)奇偶性的判定方法.
復(fù)習建議：
1.考情小結(jié)：奇偶性的定義、奇偶性的判定方法近三年都有涉及，屬于高頻考點，主要考查利用奇偶性的定義求解析式，判定奇偶性，求函數(shù)的最值、不等式的解集等，題目難度中等，分值4分左右.
2.備考攻略：同學們需要把義務(wù)教育階段所學的一次函數(shù)、二次函數(shù)具備奇偶性的條件理解掌握，同時掌握幾類對稱點坐標.
1.設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為數(shù)集D：
(1)若對于任意的x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，則函數(shù)f(x)叫作偶函數(shù)；
(2)若對于任意的x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)f(x)叫作奇函數(shù)；
(3)不具備奇偶性的函數(shù)叫作非奇非偶函數(shù).
考點
奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念及圖像特征
2.如果一個函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，就說這個函數(shù)具有奇偶性，其定義域一定關(guān)于原點對稱.
3.奇函數(shù)和偶函數(shù)的圖像特征
奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點中心對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱.
4.函數(shù)奇偶性判斷的步驟
(1)判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；
(2)若定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若定義域關(guān)于原點對稱，則計算f(－x)與f(x)的值；
(3)若f(－x)＝f(x)，則函數(shù)為偶函數(shù)；若f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)為奇函數(shù).
例2　(2020·安徽職教高考真題)下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是
(　　　)
A.y＝sin x B.y＝cos x
C.y＝sin x＋cos x D.y＝sin xcos x
【答案】 B
【試題分析】 本題考查由定義來判斷函數(shù)的奇偶性.
【解題過程】 A選項中函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，
f(－x)＝sin (－x)＝－sin x＝－f(x)，所以y＝sin x是奇函數(shù)；B選項中函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，f(－x)＝cos (－x)＝cos x＝f(x)，所以y＝cos x是偶函數(shù)；C選項中函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，f(－x)＝sin (－x)＋cos (－x)＝－sin x＋cos x，可知f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，所以y＝sin x＋cos x是非奇非偶函數(shù)；D選項中函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，f(－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sin xcos x＝－f(x)，所以y＝sin xcos x是奇函數(shù)，故選B.
跟蹤訓練2　(真題)下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(　　　)
A.y＝x3＋1 B.y＝x3＋x
C.y＝x2＋1 D.y＝x2＋x
B
【試題分析】 本題考查由定義來判斷函數(shù)的奇偶性.
【解題過程】 A選項中函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，f(－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1，可知f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠
－f(x)，所以y＝x3＋1是非奇非偶函數(shù)；B選項中函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，所以y＝x3＋x是奇函數(shù)；C選項中函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1，可知f(－x)＝f(x)，所以y＝x2＋1是偶函數(shù)；D選項中函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，可知f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠
－f(x)，所以y＝x2＋x是非奇非偶函數(shù)，故選B.
例3　(2023·安徽職教高考真題)若f(x)＝2x2＋ax＋1是R上的偶函數(shù)，則f(x)在區(qū)間[－3，2]上的最小值為(　　　)
A.0 B.1
C.9 D.19
【答案】 B
【試題分析】 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用.
【解題過程】 由于f(x)＝2x2＋ax＋1是R上的偶函數(shù)，所以a＝0，對稱軸為y軸.因為二次函數(shù)開口向上，定義域為[－3，2]，對稱軸在定義域內(nèi)，所以對稱軸處的函數(shù)值為最小值，把x＝0代入，求得y＝1，故選B.
例4　 (2024·安徽職教高考真題)已知f(x)是 R上的奇函數(shù)，當x＜0時，f(x)＝x2＋4x，若af(a)＞0，則a的取值范圍是(　　　)
A.(－4，0)∪(4，＋∞) B.(－∞，－4)∪(0，4)
C.(－4，0)∪(0，4) D.(－∞，－4)∪(4，＋∞)
【答案】 C
【試題分析】 本題考查函數(shù)的奇偶性、不等式的相關(guān)知識.解題時注意對a分a＞0，a＜0兩種情況進行討論，然后結(jié)合f(x)的解析式進行求解即可.
B
【試題分析】 本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用.
【解題過程】 設(shè)a，b∈[1，2]，且當f(x)max＝f(a)＝4，f(x)min＝f(b)＝3.由于f(x)是奇函數(shù)，所以－a，－b∈[－2，－1].且f(－a)＝－f(a)＝－4，f(－b)＝－f(b)＝－3，從而f(x)在區(qū)間[－2，－1]上最小值為－4，最大值為－3，故選B.
1.對稱點的坐標
一般地，設(shè)點P是平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，坐標記為(a，b)則：
(1)點P(a，b)關(guān)于x軸的對稱點的坐標為(a，－b)；
(2)點P(a，b)關(guān)于y軸的對稱點的坐標為(－a，b)；
(3)點P(a，b)關(guān)于原點的對稱點的坐標為(－a，－b)；
(4)點P(a，b)關(guān)于直線y＝x的對稱點的坐標為(b，a)；
(5)點P(a，b)關(guān)于y＝－x的對稱點的坐標為(－b，－a).
2.奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.
3.如果一個奇函數(shù)的定義域中包含0，則必有f(0)＝0.
4.若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)，則b＝0；若一次函數(shù)f(x)＝kx＋b是奇函數(shù)，則b＝0.
C
B
3.函數(shù)f(x)＝3x2＋1，x∈[－1，4]的奇偶性為(　　　)
A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)
C.非奇非偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)
C
【試題分析】 本題考查由定義來判斷函數(shù)的奇偶性.
【解題過程】 由于函數(shù)f(x)＝3x2＋1的定義域是x∈[－1，4]，不關(guān)于原點對稱，此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故選C.
4.(改編)已知函數(shù)g(x)＝x2＋2f(x)，且f(x)是偶函數(shù)，g(3)＝6，
則g(－3)的值是(　　　)
A.－6 B.6
C.3 D.－3
B
【試題分析】 本題考查偶函數(shù)的性質(zhì).
【解題過程】 因為g(－x)＝(－x)2＋2f(－x)，而f(x)是偶函數(shù)，即f(－x)＝f(x)，所以g(－x)＝(－x)2＋2f(－x)＝x2＋2f(x)＝g(x)，從而g(－3)＝g(3)＝6，故選B.
5.(改編)點P(3，－2)關(guān)于x軸的對稱點的坐標是________，關(guān)于y軸的對稱點的坐標是_____________，關(guān)于原點的對稱點的坐標是___________.
(3，2)
(－3，－2)
(－3，2)
【試題分析】 本題考查對稱點坐標的問題.點P(a，b)關(guān)于x軸的對稱點的坐標為(a，－b)；點P(a，b)關(guān)于y軸的對稱點的坐標為(－a，b)；點P(a，b)關(guān)于原點的對稱點的坐標為(－a，－b).
6.(原創(chuàng))若函數(shù)f(x)＝x2＋ax－b為偶函數(shù)，且f(1)＝2，則a＋b＝________.
－1
【試題分析】 本題考查偶函數(shù)的性質(zhì).若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)，則b＝0.
【解題過程】 由于函數(shù)f(x)＝x2＋ax－b為偶函數(shù)，所以a＝0；而f(1)＝2，所以1－b＝2，所以b＝－1，從而a＋b＝－1.
7.(改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－x，請判斷f(x)的奇偶性.
【試題分析】 本題考查由定義來判斷函數(shù)的奇偶性.
【解題過程】 函數(shù)f(x)＝x3－x的定義域是(－∞，＋∞)，且f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)＝－f(x).所以f(x)＝x3－x是奇函數(shù).
8.(改編)設(shè)偶函數(shù)f(x)在(－∞，0]上是增函數(shù)，討論函數(shù)f(x)在(0，＋∞]上的單調(diào)性.
【試題分析】 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的性質(zhì).
【解題過程】 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且0＜x1＜x2，則－x2＜－x1＜0.而f(x)在(－∞，0]上是增函數(shù)，所以f(－x2)＜f(－x1).又因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1)，從而f(x2)＜f(x1)，所以f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù).

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