資源簡介

(共29張PPT)
第8講　函數的單調性
第3章　函數
能力層級
考試內容　　　 了解 理解 掌握
函數的單調性 增函數、減函數的定義與函數圖像的幾何特征.
(2022，T57) 函數單調性的判定方法.
復習建議：
1.考情小結：單調性的定義、單調性的判定方法近三年涉及1次，屬于低頻考點，主要考查利用單調性的定義判定大小關系、二次函數的單調區間等，題目難度中等，分值4分左右.
2.備考攻略：同學們需要把義務教育階段所學的一次函數、二次函數、反比例函數的單調性理解掌握.
1.函數值隨著自變量的增大而增大(或減小)的性質稱為函數的單調性.
考點
函數的單調性
2.設函數y＝f(x)的定義域為D，區間I D.
(1)如果對于區間I上的任意兩點x1和
x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，
那么稱函數y＝f(x)在區間I上是增函
數，區間I稱為函數y＝f(x)的增區間，
如圖1.
(圖1)　　
(2)如果對于區間I上的任意兩點x1
和x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，
那么稱函數y＝f(x)在區間I上是減
函數，區間I稱為函數y＝f(x)的減
區間，如圖2.
　(圖2)
.
.
3.增函數的圖像自左向右呈上升趨勢，減函數的圖像自左向右呈下降趨勢.
4.如果函數y＝f(x)在區間I上是增函數或減函數，那么稱函數y＝f(x)在區間I上具有單調性，區間I稱為單調區間.增區間也稱為單調增區間，減區間也稱為單調減區間.
例1　(真題)設函數y＝f(x)在R上是增函數，實數a滿足f(2a－1)＞f(a＋4)，則a的取值范圍是(　　　)
A.(－∞，3) B.(－∞，5)
C.(3，＋∞) D.(5，＋∞)
【答案】 D
【試題分析】 本題考查函數單調性的定義.由增函數的定義可知，函數值越大，自變量越大，而f(2a－1)＞f(a＋4)，故對應的自變量的關系為2a－1＞a＋4.
【解題過程】 因為函數y＝f(x)在R上是增函數，而f(2a－1)＞f(a＋4)，故2a－1＞a＋4，所以a＞5，故選D.
跟蹤訓練1　(真題)若函數f(x)在R上是減函數，且f(x1)＞f(x2)，
則下列結論正確的是(　　　)
A.x1－x2＜0 B.x1－x2＞0
C.x1＋x2＜0 D.x1＋x2＞0
【試題分析】 本題考查函數的單調性的定義.由減函數的定義可知，函數值越大，自變量越小，而f(x1)＞f(x2)，故對應的自變量的關系為x1＜x2.
【解題過程】 因為函數y＝f(x)在R上是減函數，而f(x1)＞f(x2)，即x1＜x2，故選A.
A
【解題過程】 對于二次函數f(x)＝x2－2x，它的對稱軸方程為x＝1，而a＝1＞0，所以當x≥1時，它是增函數，即[1，＋∞)是它的單調遞增區間，故選B.
C
例3　(改編)討論函數f(x)＝kx＋b在(－∞，＋∞)上的單調性.
【試題分析】 本題考查函數單調性的定義.
【解題過程】 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝kx1＋b－(kx2＋b)＝kx1－kx2＝k(x1－x2)，而x1＜x2，故x1－x2＜0，所以當k＞0時，k(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，此時函數f(x)＝kx＋b在(－∞，＋∞)上是增函數；當k＜0時，k(x1－x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此時函數f(x)＝kx＋b在(－∞，＋∞)上是減函數.
跟蹤訓練3　證明函數f(x)＝－2x＋3在(－∞，＋∞)上是減函數.
【試題分析】 本題考查函數單調性的定義.
【解題過程】 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝－2x1＋3－(－2x2＋3)＝－2x1－(－2x2)＝－2(x1－x2)，而x1＜x2，故x1－x2＜0，所以－2(x1－x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函數f(x)＝－2x＋3在(－∞，＋∞)上是減函數.
1.(原創)函數f(x)＝3x＋m在(－∞，＋∞)上的單調性為(　　　)
A.增函數 B.減函數
C.由m的正負確定 D.無法確定
A
【試題分析】 本題考查一次函數的單調性.對于一次函數y＝kx＋b(k≠0)，當k＞0時，在(－∞，＋∞)上是增函數；當k＜0時，在(－∞，＋∞)上是減函數.
【解題過程】 因為函數f(x)＝3x＋m的k＝3＞0，故在(－∞，
＋∞)上是增函數，故選A.
2.(改編)函數f(x)＝mx－3x＋4在(－∞，＋∞)上是減函數，則m
的取值范圍是(　　　)
A.(－∞，0) B.(－∞，3)
C.(0，＋∞) D.(3，＋∞)
B
【試題分析】 本題考查一次函數的單調性.對于一次函數y＝kx＋b(k≠0).當k＞0時，在(－∞，＋∞)上是增函數；當k＜0時，在(－∞，＋∞)上是減函數.
【解題過程】 因為函數f(x)＝mx－3x＋4經化簡為f(x)＝(m－3)x＋4，故k＝m－3，函數f(x)＝mx－3x＋4在(－∞，＋∞)上是減函數，所以k＝m－3＜0，所以m＜3.故選B.
3.(改編)函數f(x)＝x2＋2x＋3的單調遞增區間為(　　　)
A.[－1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，－1] D.(－∞，1]
A
【解題過程】 對于二次函數f(x)＝x2＋2x＋3，它的對稱軸方程為x＝－1，而a＝1＞0，所以當x≥－1時，它是增函數，即[－1，＋∞)是它的單調遞增區間，故選A.
D
【解題過程】 一次函數f(x)＝x＋2在(－∞，＋∞)上是增函數，在分段區域x≤－1上也是增函數；二次函數f(x)＝x2在(－∞，0]上減函數，而其分段區域為x＞－1，故此函數的單調減區間為(－1，0]，故選D.
減
6.(原創)如圖所示函數f(x)，x∈[－4，7]，
則函數的單調遞增區間為
____________________.
【試題分析】 本題考查函數圖像的幾
何特征.結合圖像的上升趨勢，可判斷
出其增區間.
【解題過程】 結合圖像可知在[－4，－2]與[0，3]兩段圖像上呈上升趨勢，故函數的單調遞增區間為[－4，－2]∪[0，3].
[－4，－2]∪[0，3]
7.(改編)證明函數f(x)＝－x2＋3在(0，＋∞)上是減函數.
8.(改編)求函數f(x)＝－x2＋4x＋5的單調區間.

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