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第22講　指數(shù)函數(shù)
第5章　
指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)
能力層級
考試內(nèi)容　　　 了解 理解 掌握
指數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)概念、圖像和性質(zhì). 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).
(2023，T60)
指數(shù)型函數(shù) 指數(shù)型函數(shù).
復(fù)習(xí)建議：
1.考情小結(jié)：2023年第60題，結(jié)合函數(shù)的奇偶性考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，難度較大，分值4分.
2.備考攻略：結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，特別是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.在沒有指明a的取值情況時，一定要考慮a＞1和0＜a＜1的兩種情況.
一般地，形如y＝ax(a＞0且a≠1)的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù).
考點1
指數(shù)函數(shù)的概念
例1　y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則(　　　)
A.a＝1 B.a＝2
C.a＝1或a＝2 D.a＞0且a≠1
【答案】 B
【試題分析】 本題考查指數(shù)函數(shù)的概念.a2－3a＋3＝1，a＞0且a≠1.
【解題過程】 a2－3a＋3＝1，解得a＝1或a＝2，又因為a＞0且a≠1，所以a＝2，故選B.
跟蹤訓(xùn)練1　若函數(shù)y＝(a－2)ax是指數(shù)函數(shù)，則(　　　)
A.a＝2 B.a＝3
C.a＝4 D.a＞2
B
【試題分析】 本題考查指數(shù)函數(shù)的概念，a－2＝1，a＞0且a≠1.
【解題過程】 因為a－2＝1，解得：a＝3且a≠1，所以a＝3，故選B.
指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)的圖像和性質(zhì)：
考點2
指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
a的取值 a＞1 0＜a＜1
圖像
a的取值 a＞1 0＜a＜1
性質(zhì) (1)定義域：R (1)定義域：R
(2)值域：(0，＋∞) (2)值域：(0，＋∞)
(3)x＝0時，y＝1，即過定點(0，1) (3)x＝0時，y＝1，即過定點(0，1)
(4)單調(diào)性：在R上是增函數(shù) (4)單調(diào)性：在R上是減函數(shù)
(5)當(dāng)x＜0時，0＜y＜1；
當(dāng)x＞0時，y＞1 (5)當(dāng)x＜0時，y＞1；
當(dāng)x＞0時，0＜y＜1
函數(shù)y＝cax(a＞0且a≠1)，其中c(c＞0)為常數(shù)，當(dāng)a＞1時，稱為指數(shù)增長模型；當(dāng)0＜a＜1時，稱為指數(shù)衰減模型.
考點3
指數(shù)型函數(shù)
例4　某市2020年的人口數(shù)為300萬，人口的年增長率為1.2%.設(shè)從2020年起經(jīng)過5年增長后的總?cè)丝跀?shù)為y(萬)，則y的關(guān)系式是(　　　)
A.y＝300×0.0125 B.y＝300×1.0125
C.y＝300＋300×1.0125 D.y＝300＋300×0.0125
【答案】 B
【試題分析】 本題考查指數(shù)型函數(shù).指數(shù)增長型函數(shù)是y＝N(1＋p%)x，在題意中搞清楚N，p，x的意義即可.
【解題過程】 由指數(shù)增長型函數(shù)是y＝N(1＋p%)x可知，N＝300，p＝1.2，x＝5，代入為y＝300×1.0125，故選B.
跟蹤訓(xùn)練3　銀行存款按復(fù)利計算，若本金為a，每年的利率為
r，存期是x年，到期后，本利和為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式
(　　　)
A.y＝arx B.y＝(a＋r)x
C.y＝a(1＋r)x D.y＝a(1＋rx)
【試題分析】 指數(shù)增長型函數(shù)是：y＝N(1＋p%)x，在題意中搞清楚N，p，x的意義即可.
【解題過程】 由指數(shù)增長型函數(shù)是：y＝N(1＋p%)x可知，N＝a，P＝r，代入為y＝a(1＋r)x故選C.
C
1.比較大小常用方法：(1)利用同底指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；(2)利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小；(3)利用“中介”(常用1)來比較大小.
2.指數(shù)增長型函數(shù)：y＝N(1＋p%)x，指數(shù)衰減型函數(shù)：y＝N(1－p%)x.
1.(改編)若函數(shù)f(x)＝(3a－2)x是指數(shù)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.
3.解不等式：a2x＋3＜ax＋4(a＞0且a≠1).
【試題分析】 本題是解指數(shù)不等式，因為a不確定，所以要考慮a的兩種情況，再結(jié)合指數(shù)的單調(diào)性求解不等式.
【解題過程】 (1)當(dāng)a＞1時，指數(shù)函數(shù)y＝ax在x∈R上是增函數(shù)，所以2x＋3＜x＋4，x∈(－∞，1)；(2)當(dāng)0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)y＝ax在x∈R上是減函數(shù)，所以2x＋3＞x＋4，x∈(1，＋∞).

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